第1章 三角形的初步认识 （中等类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、三边关系的应用 【解惑】下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．3、4、8 B．4、6、10 C．6、6、10 D．3、6、10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： A．因为，所以不能组成三角形，故不符合题意； B．因为，所以不能组成三角形，故不符合题意； C．因为，所以能组成三角形，故符合题意； D．因为，所以不能组成三角形，故不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知三角形的两边分别为3和5， 根据三角形三边关系可知：，， 因此，第三边的取值范围为． 故选：C． 2．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是奇数， ∴这个三角形第三边长的最大值是7， ∴这个三角形周长的最大值为， 故答案为：15． 3．若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 类型二、反例 【解惑】可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题，只要在选项中找到满足，但不满足即可． 【详解】解：A、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，，是反例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举例判断命题，理解题意举出恰当的例子是解题的关键．根据题意只需要举例令的值满足，但不满足即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 当时，可以说明“若，则”是错误的． 故答案为：（答案不唯一）． 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只举出一个反例，反例中 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但，与矛盾， ∴命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 类型三、全等的依据 【解惑】小明同学不小心把一块玻璃打碎,变成了如图所示的三块,现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃,聪明的小明只带了图去,就能做出一个和原来一样大小的玻璃他这样做的依据是( ) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【分析】此题根据全等三角形的判定方法ASA进行分析即可得到答案． 【详解】解：第一块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法； 第二块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行； 第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合ASA判定,所以应该拿这块去． 故选D． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的运用,要求对常用的几种方法熟练掌握． 【融会贯通】 1．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 2．如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得的长度就是的长度，这是由时，得到的缘故．此问题中判定的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是， 故答案为：． 3．如图，分别以的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，则，依据是 ．    【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得出答案． 【详解】由作图可知是的垂直平分线，则， 依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 类型四、玻璃块与卡钳问题 【解惑】九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和被两个角夹住的边， 则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形． 故选：． 【融会贯通】 1．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小高用“卡钳”按如图方法进行测量，其中，，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是（   ） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．6厘米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴厘米， ∵厘米， ∴圆柱形容器的壁厚是（厘米）， 故选：A． 2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 3．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为 ． ． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是解题的关键． 根据题意可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵把两根钢条的中点连在一起， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：16 ． 类型五、三角形的中线求周长 【解惑】如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 2．如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出． 先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式即可得解． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为， 即， ， 的周长． 故答案为：． 3．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 类型六、三角形的中线求面积 【解惑】如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查三角形中线的性质，根据三角形中线性质得到的面积与的面积相等，由此推出的面积的面积，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积与的面积相等， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 2．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，且，则面积 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得，同理可得，则． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 类型七、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据角平分线的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 2．如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，即可利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 3．教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【详解】（1）解：已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 类型八、垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得垂直平分，进而求解三角形的周长即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又周长， ∴周长． 故选：D． 2．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度． 【答案】37 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确理解线段垂直平分线的性质并运用解题是关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理计算即可得到的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， 所以． 故答案为：37． 3．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据垂直平分线的判定即可得出证明； （2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （3）根据进行计算即可． 【详解】（1）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 则线段和线段的位置关系是 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴； （3）∵ ∴ ∴“筝形”的面积为：． 类型九、网格作图——高线、中线 【解惑】如图，在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行作图． (1)画出三角形向右平移5格，在向上平移2格后的； (2)过点C画出线段的垂线，垂足为O； (3)直接写出的面积______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了网格中的平移及作图，格点三角形的面积； （1）根据平移要求，作出图形即可求解； （2）找出格点，即可求解； （3）由三角形面积公式，即可求解； 能在网格中熟练作图并会利用格点求三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解： ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向右平移6个单位长度，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线和高线； (3)的面积为________． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)4 【分析】本题考查了平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积等知识．熟练掌握平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中线、高线的定义作图即可； （3）根据三角形面积公式，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：由题意知，的面积， 故答案为：4． 2．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 3．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了平移作图，作中线和高线，平行线间的距离等知识，熟练掌握相关知识点正确作图即可． （1）根据平移的性质作图即可； （2）取中点，连接即为中线；延长与过点的水平线的交点为，即为高线； （3）根据同底等高的三角形面积相等，以及平行线间的距离相等，过点作与平行的直线，点为直线上的格点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，中线，高线即为所求作； （3）解：过点作与平行的直线，点为直线上的格点， 则除点外，格点P的个数有个； 类型十、尺规作图——角平分线与垂直平分线 【解惑】课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ 利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质； 的平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：点P的位置如图所示： 【融会贯通】 1．如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 作线段的垂直平分线，作平分，射线交直线F于点O，点O即为所求． 【详解】解：如图，点O即为所求． 2．如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角的尺规作图、作角平分线．熟练掌握角平分线的性质和直角的尺规作图是解题的关键．点到的两边距离相等，即可以先作出的角平分线，再以点为垂足作的垂线，两条线的交点即为点． 【详解】解：作图如下： 3．已知：如图， (1)是边上的高，请用三角板画出； (2)试利用尺规作图，作出的角平分线，与相交于点F； (3)在（1）和（2）的条件下，与交于点若，，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高的画法、角平分线的尺规作图以及三角形内角和定理与外角性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，并能结合角度关系进行计算． （1）用三角板的直角边与重合，另一直角边过点C画垂线，垂足为D，即为所求高； （2）以A为圆心，适当长为半径画弧交于两点；分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧交于一点；过A与该交点画射线交于F，即为角平分线； （3）设角度未知数，利用三角形内角和定理求出；由角平分线定义得；结合高的性质知；根据外角性质求出． 【详解】（1）解：如图所示，为所画的高； （2）如上图，为所求作的角平分线； （3）设，则 根据题意，得 ，， ， 平分， ， 是边AB上的高， ， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、三边关系的应用 【解惑】下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．3、4、8 B．4、6、10 C．6、6、10 D．3、6、10 【融会贯通】 1．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为 ． 3．若，，是的三边，试化简： ． 类型二、反例 【解惑】可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只举出一个反例，反例中 ． 类型三、全等的依据 【解惑】小明同学不小心把一块玻璃打碎,变成了如图所示的三块,现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃,聪明的小明只带了图去,就能做出一个和原来一样大小的玻璃他这样做的依据是( ) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【融会贯通】 1．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得的长度就是的长度，这是由时，得到的缘故．此问题中判定的依据是 ． 3．如图，分别以的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，则，依据是 ．    类型四、玻璃块与卡钳问题 【解惑】九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 【融会贯通】 1．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小高用“卡钳”按如图方法进行测量，其中，，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是（   ） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．6厘米 2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 3．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为 ． ． 类型五、三角形的中线求周长 【解惑】如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 2．如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 3．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 类型六、三角形的中线求面积 【解惑】如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，且，则面积 ． 3．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 类型七、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 2．如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为 ． 3．教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 类型八、垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【融会贯通】 1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．22 D．23 2．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度． 3．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 类型九、网格作图——高线、中线 【解惑】如图，在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行作图． (1)画出三角形向右平移5格，在向上平移2格后的； (2)过点C画出线段的垂线，垂足为O； (3)直接写出的面积______． 【融会贯通】 1．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向右平移6个单位长度，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线和高线； (3)的面积为________． 2．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 3．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 类型十、尺规作图——角平分线与垂直平分线 【解惑】课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ 利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； 【融会贯通】 1．如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 3．已知：如图， (1)是边上的高，请用三角板画出； (2)试利用尺规作图，作出的角平分线，与相交于点F； (3)在（1）和（2）的条件下，与交于点若，，求的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$