第1章 三角形的初步认识 （优质类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、双垂直平分线模型 【解惑】如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 3．如图，在中，，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．    类型二、最值问题 【解惑】如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图， 中，，作 边的垂直平分线交 于点 E，D，点 M 是直线 上任意一点，则 的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 3．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 类型三、三角形的三种角平分线 【解惑】如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 3．某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 类型四、三角形的三种折叠 【解惑】如图，的边、上分别有点、，连接，将沿折叠，使点落在点处，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 3．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 类型五、一线三等角 【解惑】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 2．如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 3．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 类型六、倍长中线法 【解惑】在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 如图，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ． 3．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 类型七、全等三角形中的动点求t 【解惑】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（　　）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 2．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 3．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 类型八、三角形的新定义 【解惑】在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在 ，，中，的“2系数补角”是________； 【初步认识】 （2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接 ．若H为平面内一动点（点H不在直线上）， 与两个角的三等分线（靠近）交于点M．若，，是 的“3系数补角”，直接写出 的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 【融会贯通】 1．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 2．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 类型九、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】在中，是边上的点（不与重合），连接．    (1)如图1，当点是边的中点时，______________； (2)如图2，是的垂直平分线，的周长为15，求的周长； (3)如图3，是的角平分线，，求的值． 【融会贯通】 1．已知，如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D， （1）如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，DA和CB的延长线交于点E，点F是CD上一点且DF＝AE，连接AF交BD于点G，若CE＝9，求DG的长． 2．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）试说明：BE=CF；（2）若AF=3，BC=4，求△ABC的周长． 3．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． ①求证：BE=CF； ②若AF=5，BC=6，求△ABC的周长． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）： (1)在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点，画出三角形； (2)过点A画线段使且； (3)图中与的关系是 ； (4)点E在线段上，，点H是直线上一动点，线段的最小值为 ． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段与的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点，连结，使与互余； (2)在图②中找一格点，连结，使与互余； (3)在图③中找一点，连结、，使与互余． 2．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 3．如图，在的方格纸中，的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） ①在图1中，先作出的边上的高，再在边上作点，使； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有______个． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、双垂直平分线模型 【解惑】如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，由的周长，最后代入即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 【详解】解：∵，分别为，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故选：． 2．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：． 3．如图，在中，，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答． 【详解】解：∵分别为边、的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴的周长， 故答案为：4． 类型二、最值问题 【解惑】如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，则， ，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， 由的周长为， ∴当三点共线，的周长最小值为， 故选：． 【融会贯通】 1．如图， 中，，作 边的垂直平分线交 于点 E，D，点 M 是直线 上任意一点，则 的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质与两点之间线段最短的知识，解题关键是灵活运用相关知识点． 先连接，将 转化为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、M、C三点共线时， 最小，等于， ∴ 的最小值是5， 故选：C ． 2．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 3．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 类型三、三角形的三种角平分线 【解惑】如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的角平分线和高线有关的角度计算，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线和高线求出和，最后根据三角形外角求． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 2．如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 3．某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 类型四、三角形的三种折叠 【解惑】如图，的边、上分别有点、，连接，将沿折叠，使点落在点处，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先根据折叠的性质得，再根据平行线的性质和三角形内角和定理得，，即可得，最后由可得答案． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 2．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （2）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （3）连接，根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】（1）∵ 沿折叠，点C落在点的位置，， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）∵沿折叠，点C落在点的位置，，， ∴，， ∴． （3）．理由如下： 连接， ∵沿折叠，点C落在点的位置， ∴，      ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键． 类型五、一线三等角 【解惑】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 2．如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 【答案】92 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，先通过已知条件证明，得到，再利用三角形内角和定理求出，最后求出． 【详解】解：在和中， ， ， ∴， ∵，且 ， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：92． 3．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 类型六、倍长中线法 【解惑】在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键．延长至点，使得，连接，可证，可得，根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接， 点是中点， ， 又， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， ． 故选：C． 2．数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 如图，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据证明，得出，根据三角形三边关系即可得到结论． 【详解】解：延长至E，使，连接， ， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：，； 3．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 类型七、全等三角形中的动点求t 【解惑】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（　　）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，一元一次方程的应用，设点的运动速度是，有两种情况：①，②，，列出方程，求出方程的解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设点的运动速度是， ∵， ∴三点构成的三角形与三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 2．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【答案】或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 3．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 类型八、三角形的新定义 【解惑】在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在 ，，中，的“2系数补角”是________； 【初步认识】 （2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接 ．若H为平面内一动点（点H不在直线上）， 与两个角的三等分线（靠近）交于点M．若，，是 的“3系数补角”，直接写出 的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①；②或或或 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案； ②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】解：（1） 设 的“2系数补角”是， ∵ ， ∴ ，即 ，解得， ∴的“2系数补角”是； （2）设 ，如图 设与相较于点 ∵， ∴， 即 ∵是的“6系数补角” ∴，即 联立 得 解得： 即 ②∵是的“3系数补角” ∴ ∴ 如图；与两个角的三等分线交于点M ∴， ∵ 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ ∴ 如图： 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 如图： 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ ∴ 如图； 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 如图： 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 如图； 过点作 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 综上所述，的大小为或或或． 【点睛】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角等知识． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； ②由题意可得，所以分两种情况，，． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 故答案为：或． 2．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 类型九、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】在中，是边上的点（不与重合），连接．    (1)如图1，当点是边的中点时，______________； (2)如图2，是的垂直平分线，的周长为15，求的周长； (3)如图3，是的角平分线，，求的值． 【答案】(1) (2)的周长为23 (3) 【分析】（1）根据三角形的中线计算三角形的面积即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为15，得出，最后求出结果即可； （3）过点D作于点E，过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，根据，，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为： ， ∴的周长为： ． （3）解：过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形面积的计算，根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的性质． 【融会贯通】 1．已知，如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D， （1）如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，DA和CB的延长线交于点E，点F是CD上一点且DF＝AE，连接AF交BD于点G，若CE＝9，求DG的长． 【答案】（1）∠BAD+∠BCD＝180°，见解析；（2）BD＝AB+BC，见解析；（3）. 【分析】（1）过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H，根据HL可证明△ADH≌△CDG，可得∠HAD＝∠DCG，得出∠BAD+∠BCD＝180°； （2）在BD上截取BF＝AB，证明△ABF为等边三角形，△ADC为等边三角形，再证明△ABC≌△AFD，可得出DF＝BC，则BD＝BF+DF＝AB+BC． （3）延长FD至点M，使DM＝DF，证明△EAC≌△MDA，可得AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，可由DG＝得出结果． 【详解】（1）∠BAD+∠BCD＝180°，理由如下： 如图1，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H， ∵AC的垂直平分线与∠ABC角平分线的交于点D， ∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC， ∴DH＝DG， ∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL）， ∴∠HAD＝∠DCG， ∵∠BAD+∠HAD＝180°， ∴∠BAD+∠DCG＝180°， 即∠BAD+∠BCD＝180°； （2）BD＝AB+BC，理由如下： 如图2，在BD上截取BF＝AB，连结AF， 由（1）知∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠ABC+∠DAC＝180°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DBC＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AB＝AF＝BF，∠BAF＝60°， ∵AD＝DC， ∴△ADC为等边三角形， ∴AD＝AC，∠DAC＝60°， ∴∠DAF＝∠BAC， ∴△ABC≌△AFD（SAS）， ∴DF＝BC， ∴BD＝BF+DF＝AB+BC． （3）由（2）知∠DAC＝∠DBC＝60°，如图3，延长FD至点M，使DM＝DF， ∴∠ACB＝∠ADB， ∵DM＝DF，DF＝AE， ∴DM＝AE， ∵∠DAC＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠EAC＝120°， ∵AC＝AD， ∴△EAC≌△MDA（SAS）， ∴AM＝CE，∠MAD＝∠ECA， ∴∠MAD＝∠ADB， ∴DG∥AM， ∵DF＝DM， ∴AG＝GF， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）试说明：BE=CF；（2）若AF=3，BC=4，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论； （2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可． 【详解】解：连接DB、DC， （1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵DG垂直平分BC， ∴DB=DC， 在Rt△BED和Rt△CFD中， DE=DF，BD=CD， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF； （2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD， ∴△AED≌△AFD， ∴AF=AE=3， 由（1）得：BE=CF， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 3．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． ①求证：BE=CF； ②若AF=5，BC=6，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析；（2）16． 【分析】①连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF；②根据Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可． 【详解】①证明：连结CD， ∵D在BC的中垂线上， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°， 在RT△BDE和RT△CDF中，DE=DF，BD=CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF； ②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=5， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）=5+6+5=16． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定和性质. 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）： (1)在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点，画出三角形； (2)过点A画线段使且； (3)图中与的关系是 ； (4)点E在线段上，，点H是直线上一动点，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4) 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用数形结合的思想作出图形即可； （3）根据平移变换的性质判断即可； （4）根据垂线段最短，面积法求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：由平移变换的性质可知，． 故答案为：，． （4）解：当时，的值最小． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段与的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点，连结，使与互余； (2)在图②中找一格点，连结，使与互余； (3)在图③中找一点，连结、，使与互余． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，互余的概念，平行线及线段的垂直平分线的性质等知识． （1）取一格点，使即可； （2）取一格点，使，则； （3）两种作法：作且；或作线段垂直平分线，；均可得符合条件的点F． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所； ，即与互余； （2）解：如图所示，点E即为所； 由图可知， ∴，即与互余； （3）解：如图所示，点F即为所； 由图可知，，， ∴，， 即与互余； 或 由图可知，，， ∴， 即与互余． 2．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解； （2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； 由格点三角形得和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的高； （2）解：如图，线段和点为所求作； 取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是； 取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有． 【点睛】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键． 3．如图，在的方格纸中，的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） ①在图1中，先作出的边上的高，再在边上作点，使； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有______个． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了作图以及全等三角形：（1）观察，作垂直即可；先构造一个等腰直角三角形再延长交于点；数格子，找到合适的线段比例，连线即可；（2）分类讨论，三边分别为公共边时，通过数格子，找到与另外两边相等线段组成的三角形，连线即可． 【详解】（1）观察，作垂直即可 先构造一个等腰直角三角形再延长交于点 数格子，找到合适的线段比例，连线即可 （2）与全等且有一条公共边的格点三角形 分别是以为公共边的三角形 当公共边为时 当公共边为时 当公共边为时 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$