第1章 三角形的初步认识 （基础类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、真假命题 【解惑】下列命题是真命题的是（   ） A．三个角分别相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．相等的角是对顶角 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及全等三角形的判定、等腰三角形的性质、对顶角的定义及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关概念和性质． 【详解】A．三个角分别相等的两个三角形相似但不一定全等(全等需要边对应相等)，故A是假命题； B．等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形的基本性质，故B是真命题； C．相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角相等)，故C是假命题； D．若，，则但，故D是假命题． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假性的判断，代入具体数值检验选项是否成立是解决本题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到满足但的例子即可． 【详解】解：选项A：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项B：，。 则有，，满足，但，此时，命题不成立； 选项C：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项D：，， 则有，，不满足，故排除， 综上，选项B是唯一满足条件的反例，说明原命题为假． 故选：B ． 2．下列命题：①若，则、两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘法法则，角的和差关系，平行线的判定，平行公理，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则、两数符号相同，故①是真命题； 锐角与直角的和一定是钝角；故②是真命题； 在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行；故③为假命题； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故④是真命题； 故答案为：①②④． 3．命题“任何数的0次幂都等于1”是 （填写“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】本题考查了判断命题的真假，零指数幂． 根据0的0次幂无意义判断即可． 【详解】解：∵0的0次幂无意义， ∴命题“任何数的0次幂都等于1”是假命题， 故答案为：假命题． 类型二、全等三角形的性质 【解惑】如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，，．若，，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据全等三角形的性质，推出，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：， ， ，即， ． ， ． ， ， ． 故答案为40． 3．如图，点在上，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 类型三、三角形的中线 【解惑】如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论． 【详解】解：A 、是的中线， ， ， ，故A选项正确； B、条件不足，无法得到，故B选项错误； C 、，分别是的高和角平分线， ，， ， ， ， ，故C选项正确； D、，， ，， ， ， ， ，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，同（等）角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．在中，如果D是的中点，那么是的 ， ． 【答案】 中线 【分析】本题考查三角形中线的定义．在三角形中，连接顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线，据此即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴是的中线，． 故答案为：中线， 3．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，由题意得，，据此即可求解； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 类型四、三角形的高线 【解惑】用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 【融会贯通】 1．在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 2．已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 3．若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键． 根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 类型五、三角形的角平分线 【解惑】如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形中线的定义，根据题意得，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：∵的角平分线、中线相交于点O， ， ①在中，，∴是的角平分线，故①正确； ②，所以不是的中线，故②错误； ③在中，是的中线，故③正确； ④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项①③． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 2．如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③； 【详解】解：∵，    ，平分 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，故③错误； 故答案为：①② 3．如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 类型六、全等的性质与判定(SSS) 【解惑】工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 【融会贯通】 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．如图，与相交于点，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定；先证明得出，进而根据内错角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 【详解】证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 类型七、全等的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和定理得出，证明，得出，再根据即可得出答案． 【详解】∵， ， 在和中，， ， ， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 2．如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理得到，求得，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ， ， ， ． 类型八、全等的性质与判定(ASA) 【解惑】如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判定，进而可得．本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 2．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 【答案】 16 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 3．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定证明，再运用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由证得，根据全等三角形的判定证明，则有、即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型九、全等的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键． 利用证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 3．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 类型十、尺规作图——等角与平行 【解惑】如图，已知，，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角；作即可，因此按照作一个角等于已知角的步骤进行即可． 【详解】解：如图，作，使角的另一边交于点P， 则， 故点P为所求作的点． 【融会贯通】 1．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1）①，②；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可； （3）结合全等三角形的判定，作的平分线，交于点E，则点E即为所求． 【详解】解：（1）如图1，由尺规作图可知，， 所以． 故答案为：，． （2）如图2，先任意作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接，则即为所求． （3）如图3，作的平分线，交于点E，则． ∵， ∴，则点E即为所求． 2．过直线外一点作直线的平行线． 作法 图形 1．在直线上任取一点，作直线； 2．以为顶点，为一边，作； 直线为所求作的直线． (1)根据作法完成作图（保留作图痕迹）； (2)的依据是什么？ 【答案】(1)见解析 (2)内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了尺规作已知直线的平行线，内错角相等，两直线平行，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据作法作图即可； （2）根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】（1）如图所示，直线为所求作的直线． （2）由作法得， ∴． ∴的依据是内错角相等，两直线平行． 3．如图，点、分别是的边、上的一点． (1)用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数； (3)在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析，理由见解析 【分析】（1）结合平行线的判定与性质，在的右侧作，交于点，作直线即可； （2）由平行线的性质可得，可得； （3）先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示： 直线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示： 此时垂直平分， ∴， ∴，即为最小值， 则点即为所求． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作两个角相等、作线段垂直平分线，涉及平行线的判定与性质、垂直平分线性质、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学几何知识解决问题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 思维导图 【类型覆盖】 类型一、真假命题 【解惑】下列命题是真命题的是（   ） A．三个角分别相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．相等的角是对顶角 D．若，则 【融会贯通】 1．下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题：①若，则、两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有 ．（写出所有真命题的序号） 3．命题“任何数的0次幂都等于1”是 （填写“真命题”或“假命题”）． 类型二、全等三角形的性质 【解惑】如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 【融会贯通】 1．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，．若，，，则 ． 3．如图，点在上，，若，，则 ． 类型三、三角形的中线 【解惑】如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，如果D是的中点，那么是的 ， ． 3．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 类型四、三角形的高线 【解惑】用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 3．若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 类型五、三角形的角平分线 【解惑】如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 3．如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 类型六、全等的性质与判定(SSS) 【解惑】工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，与相交于点，则与的位置关系是 ． 3．如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 类型七、全等的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 3．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 类型八、全等的性质与判定(ASA) 【解惑】如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 2．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 3．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 类型九、全等的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【融会贯通】 1．如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 3．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 类型十、尺规作图——等角与平行 【解惑】如图，已知，，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） 【融会贯通】 1．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 2．过直线外一点作直线的平行线． 作法 图形 1．在直线上任取一点，作直线； 2．以为顶点，为一边，作； 直线为所求作的直线． (1)根据作法完成作图（保留作图痕迹）； (2)的依据是什么？ 3．如图，点、分别是的边、上的一点． (1)用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数； (3)在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$