22.3　实践与探索 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

22.3实践与探索 第1课时　关于图形与增长率方面的应用　 有关图形问题中的数量关系 1.(2024呼和浩特中考)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意是:矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步?若设长为x步,则下列符合题意的方程是 (　　) A.x·=864 B.x(60+x)=864 C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 2.如图,某小区要在长为16 m,宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路宽为　　　　m.  列一元二次方程解决增长(或降低)率的问题 3.(2024眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670 kg增长到了2023年的780 kg,设该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为 (　　) A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780 C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780 4.(2024牡丹江中考)一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为 (　　) A.20% B.22% C.25% D.28% 1.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是 (　　) A.(32-x)(20-x)=32×20-570 B.32x+2×20x=32×20-570 C.(32-2x)(20-x)=570 D.32x+2×20x-2x2=570 2.(数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步=10尺)时,此时踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长?”如图,若设秋千绳索长为x尺,则可列方程为 (　　) A.x2+102=(x+1)2 B.(x+1)2+102=x2 C.x2+102=(x-4)2 D.(x-4)2+102=x2 3.俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据:≈1.414) (　　) A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 4.(2024重庆A卷中考)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是　　　　.  5.某一养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长.已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x. (1)第三年的可变成本用含x的代数式表示为　　　　万元.  (2)若该养殖户第三年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x. 6.(几何直观)如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P、Q分别以3 cm/s,2 cm/s的速度从点A、C同时出发,沿规定路线移动. (1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10 cm? (2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△PBQ的面积为12 cm2? 【详解答案】 基础达标 1.C　解析:长为x步,则宽为(60-x)步,∴x(60-x)=864.故选C. 2.2　解析:设小路宽为x m,根据题意得(16-2x)(12-2x)=×12×16,解得x=2或x=12(舍去),∴小路宽为2 m. 3.B　解析:根据题意得670×(1+x)2=780.故选B. 4.C　解析:设每次降价的百分率为x,由题意,得48(1-x)2=27,解得x1==25%,x2=(舍去).故选C. 能力提升 1.C　解析:∵道路的宽为x m,∴种植草坪的部分可合成长为(32-2x)m,宽为(20-x)m的矩形.根据题意得(32-2x)(20-x)=570.故选C. 2.D　解析:根据题意得OC⊥CD,OE⊥BE,OA=OB=x尺,AE=5-1=4(尺),∴OE=(x-4)尺,故可列方程为x2=102+(x-4)2.故选D. 3.C　解析:设每天“遗忘”的百分比为x,(1-x)2=,解得x1=,x2=(不合题意,舍去), ∵≈0.293,∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%.故选C. 4.10%　解析:设该公司这两年缴税的年平均增长率是x,根据题意得40(1+x)2=48.4,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意,舍去),∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%. 5.解:(1)2.6(1+x)2 (2)根据题意,得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1=0.1=10%, x2=-2.1(不合题意,舍去). 答:可变成本平均每年增长的百分率是10%. 6.解:(1)如图,过点P作PE⊥CD于点E,设x s后,P、Q两点之间的距离是10 cm,则(16-2x-3x)2+62=102,∴x1=,x2=,∴经过 s或 s,P、Q两点之间的距离是10 cm. (2)设经过y s后△PBQ的面积为12 cm2. ①当0≤y≤时,PB=16-3y, ∴PB·BC=12,即×(16-3y)×6=12,解得y=4; ②当<y≤时,BP=3y-16,QC=2y, 则BP·CQ=(3y-16)×2y=12, 解得y1=6,y2=-(舍去); ③<y≤8时,QP=CQ-PC= 22-y,则QP·CB=(22-y)× 6=12,解得y=18(舍去). 综上所述,经过4 s或6 s,△PBQ的面积为12 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3　实践与探索　 第2课时　关于传播与利润方面的应用 关于传播方面的应用题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台被感染.设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑,由题意列方程应为 (　　) A.1+2x=100 B.x(1+x)=100 C.(1+x)2=100 D.1+x+x2=100 2.一个同学经过培训后会做某项试验,回到班级后第一节课他教会了若干个同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做这项试验,若设1人每次能教会x名同学,则可列方程为 (　　) A.x+(x+1)x=3 B.(x+1)2=36 C.x+(x+1)2=36 D.1+x+x2=36 关于利润方面的应用题 3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是 (　　) A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 4.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销量,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,经市场调查发现,如果每件衬衫降价1元,那么商场平均每天可多售出2件,若商场想平均每天盈利达1 200元,那么每件衬衫应降价多少元? 5.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力病毒防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在这次助力病毒防控活动中,该药店仅获利1 760元.这种消毒液每桶实际售价多少元? 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是91.设每个支干长出x个分支,则可列方程为 (　　) A.x2+x+1=91 B.(x+1)2=91 C.x2+x=91 D.x2+1=91 2.(2025汕头潮南区期中)有一人患了红眼病,经过两轮传染后共有144人患了红眼病,则每轮传染中平均一个人传染的人数为 (　　) A.10人 B.11人 C.12人 D.13人 3.制造某种产品,原来每件成本为100元,由于两次降低成本,该产品在售价不变的情况下,每件利润增加19元,则平均每次降低成本的　　　　%.  4.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话: 小王:“该水果的进价是每千克22元.” 小李:“当售价为每千克38元时,每天可售出160 kg;若每千克降低3元,每天销售量将增加120 kg.” 根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的售价为每千克多少元. 5.某种电脑病毒的传播速度非常快,若有2台电脑被感染,则经过两轮传播后会有288台电脑被 感染. (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑? (2)若病毒得不到有效控制,三轮传播后,被感染的电脑共有多少台 6.(2024辽宁中考)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示: 每件售价x/元…455565… 日销售量y/件…554535… (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)该商品日销售额能否达到2 600元?如果能,求出每件售价;如果不能,说明理由. 7.(应用意识)某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物,以每件58元的价格出售.经统计,4月份的销售量为256件,6月份的销售量为400件. (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率. (2)从7月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经试验,发现该吉祥物每降价1元,月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时,月销售利润达8 400元? 【详解答案】 基础达标 1.C　解析:根据题意列方程得(1+x)2=100.故选C. 2.B　解析:根据题意可得1+x+x(1+x)=36,即(x+1)2=36.故选B. 3.A　解析:每盆多植x株,则现在每盆有(3+x)株.若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,则多植x株后每株盈利会减少0.5x元,即多植x株后每株的盈利为(4-0.5x)元.要使每盆的盈利达到15元,则(3+x)(4-0.5x)=15.故选A. 4.解:设每件衬衫应降价x元, 由题意得(40-x)(20+2x)=1 200, 即2x2-60x+400=0,∴x2-30x+ 200=0,∴(x-10)(x-20)=0, 解得x=10或x=20, 为了尽快减少库存,∴x=20. 故每件衬衫应降价20元. 5.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将点(1,110),(3,130)的坐标代入一次函数关系式,得解得 故y与x之间的函数关系式为y=10x+100(0<x<20). (2)由题意,得(10x+100)×(55-x-35)=1 760,整理,得x2-10x-24= 0,解得x1=12,x2=-2(舍去). ∴55-x=43. 答:这种消毒液每桶实际售价43元. 能力提升 1.A　解析:根据题意得x2+x+1=91.故选A. 2.B　解析:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,由题意,得x+1+x(x+1)=144,解得x1=-13(舍去),x2=11.故选B. 3.10　解析:设平均每次降低成本的百分率为x,根据题意,得100-100(1-x)2=19,即(1-x)2=0.81,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),∴平均每次降低成本的10%. 4.解:设降低x元,超市每天可获得销售利润3 640元,由题意,得(38-x-22)·=3 640, 整理,得x2-12x+27=0, ∴x1=3,x2=9. ∵要尽可能让顾客得到实惠,∴x=9. ∴售价为38-9=29(元/kg). 答:这种水果的售价为每千克29元. 5.解:(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑, 根据题意得2(1+x)+2(1+x)x=288,即2(1+x)2=288, 整理得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(不合题意,舍去). 答:每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑. (2)由题意知2(1+x)2+2x(1+x)2=2(1+x)3,由(1)知x=11,则2×(1+11)3=3 456(台). 答:三轮传播后,被感染的电脑共有3 456台. 6.解:(1)由题意,设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),又结合表格数据知图象过(45,55),(55,45), ∴解得 ∴所求函数关系式为y=-x+100. (2)不能.理由:由题意,得销售额为x(-x+100)=-x2+100x,又∵销售额是2 600元,∴2 600=-x2+100x. ∴x2-100x+2 600=0. ∴Δ=(-100)2-4×2 600=10 000-10 400=-400<0. ∴方程没有实数根,故该商品日销售额不能达到2 600元. 7.解:(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x, 根据题意得256(1+x)2=400, 解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意,舍去). 答:该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%. (2)设该吉祥物售价为y元,则每件的销售利润为(y-35)元,月销售量为400+20(58-y)=(1 560-20y)件,根据题意得 (y-35)(1 560-20y)=8 400,整理得y2-113y+3 150=0,解得y1=50,y2=63(不符合题意,舍去). 答:该款吉祥物售价为50元时,月销售利润达8 400元. 学科网（北京）股份有限公司 $$