2.2.3函数的单调性和最值（第2课时）（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数最值，涵盖定义、几何意义、求法及应用。通过观察f(x)=-x²+4、f(x)=|x|等函数图象导入，以函数单调性为前导知识支架，帮助学生构建从单调性到最值的认知脉络。 其亮点在于以“观察—探究—应用”为主线，通过图象法直观判断、单调性逻辑推理（如例2分段函数去绝对值）、实际问题建模（如处理二氧化碳获利问题），培养数学眼光、思维与语言。采用分层练习、步骤化典例教学，学生能深化理解，教师可高效实施分层教学。

§2.3 函数的单调性和最值 第2课时—最值 第二章 函 数 北师大版2019必修第一册·高一 01 理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义 02 重点 从对最值概念的理解,体会数学的符号语言和逻辑语言的清晰和严谨 能利用函数的最值解决有关的实际应用问题 难点 借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值或值域 学 习 目 标 函数性质—最值 探究 在单调 . 在单调 . 观察下列函数 的图象,函数值在何处达到最高点,在何处达到最低点？ 递增 递减 当时,函数值达到最高点,此时函数值最大,最大值为4，无最低点. 函数的最大值 若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最大值. 当时, 4,. 函数的定义域和函数的连续性 关键点 函数性质—最值 探究 在单调 . 在单调 . 观察下列函数的图象,函数值在何处达到最高点,在何处达到最低点？ 递减 递增 当时,函数值达到最低点,此时函数值最小,最大值为0,无最高点. 函数的最小值 若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最小值. 当时, 0,0. 函数的最大值和最小值统称为最值. 函数性质—最值 练一练 √ × 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) （1）任何函数都有最大值或最小值．( ) （2）函数的最小值一定比最大值小．( ) （3）若函数恒成立,则的最大值为1.( ) （4）若是函数的最大值,则是图象上的 最高点．( ) × × 没有最大值和最小值 函数的最大值和最小值都是1 函数最值的概念 练一练 2.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的值域是(　　) A. B. C. D. B 方法点拨 函数的最值和值域的联系与区别 函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域. 联系 区别 ①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在; ②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素. 函数最值的概念 练一练 3．函数的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　) A.f(2)，f(－2) B.f()，f(－1) C.f(), f(－) D.f()，f(0) C　 方法点拨 图象法求最值的基本步骤：作图找点确定 1.作图 画出函数y=f(x) 的图象 2.找点 观察图象,找出图象的最高点和最低点 3. 确定 最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. 例2.图象法求最值（课本P62） 03 典例剖析,掌握概念 例2 根据函数图象直观判断的单调性，并求出最小值． 解：函数可以表示为 画出函数的图象（如图）． 去绝对值符号,分段函数 画出函数图像 含绝对值函数 从左往右看,上升增，下降减 直观判断 由图象可知该函数 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时,取得最小值,最小值为0． 的图象向右平移1个单位到图象 方法2.图象平移法 分析 图象法求最值 练一练 课本P62 练习第3题 3.请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值： (1)，； (2)，； (3)，． 解：（1）一次函数的图象是一条直线，在上单调递减， 最大值是，最小值是； 方法点拨 已知函数在定义域 上单调递减 ： 则 ，. 图象法求最值 练一练 课本P62 练习第3题 3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值： (1)，； (2)，； (3)，． 解：（2）在上是单调递增的, 当时,取得最小值,函数无最大值. 方法点拨 已知函数在定义域 上单调递增 ： 则 ，. 图象法求最值 练一练 课本P62 练习第3题 3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值： (1)，； (2)，； (3)，． 解：（3）， 画出函数在内的图象，如图所示： 在、上单调递减，在、上单调递增， 所以的最小值为，最大值为. 方法点拨 作图 找点 确定 方法总结 求最值的方法 归纳 图象法 1.作图 画出函数y=f(x) 的图象 2.找点 观察图象,找出图象的最高点和最低点 3. 确定 最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. 单调性法 作图找点确定 已知函数在定义域 上 单调递增 ：则 ， 单调递减 ：则 ， 函数的性质—最值 练一练 1.已知函数= (1)画出f(x)的图象; (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 分析 观察 图像 找点 作图 确定 最值 (2)由图象可知f(x)的 最小值为f(1)=1, 无最大值. 解 (1)函数f(x)的图象如图所示. 函数的性质—最值 练一练 2.已知函数 （1）讨论函数在 上的单调性； （2）求函数在 上的最大值和最小值． 分析 解： （1）设,,且 ， 则 . 因为,所以,, 即 ，又 , 所以,即 , 所以函数在 上单调递减． 闭区间上单调 利用单调性 定义法判断单调性 求最大、小值 （2）由(1)知,在 上单调递减,所以当时,取得最大值,最大值为；当时, 取得最小值,最小值为 ． 一元二次函数的最值问题 探究 1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值. 分析 开口方向和对称轴 讨论对称轴与给定区间位置 动轴定区间最值问题 对称轴在给定区间的左边、右边、里面 对称轴在区间左边 对称轴在区间里面 对称轴在区间右边 利用单调性求最值 利用单调性求最值 开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到. 一元二次函数的最值问题 探究 1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值. 解 y=(x-a)2-1-a2. (1)当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①. 故函数在x=0处取得最小值-1, 在x=2处取得最大值3-4a. 方法点拨 1.对称轴在给定区间的左边 利用单调性求最值 (2)当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1, 在x=2处取得最大值3-4a. 当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1. 2.对称轴在给定区间的里面 (1)开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到. (2)开口向下:对称轴位置取得最大值,最小值在离对称轴远的端点处取到. 一元二次函数的最值问题 探究 1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值. 方法点拨 1.对称轴在给定区间的左(右)边 利用单调性求最值 2.对称轴在给定区间的里面 (1)开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到. (2)开口向下:对称轴位置取得最大值,最小值在离对称轴远的端点处取到. (3)当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④. 函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 练一练 2.函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式. 分析 开口方向、对称轴 讨论对称轴与给定区间位置 定轴动区间最值问题 轴在区间的左(右)边、里面 解 :由函数f(x)=x2-2x+2知其图象开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论: (1)当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减, ∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. (2)当 即0<t<1时,如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在[1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1. (3)当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2. 综上可知, 最值的实际应用 探究 1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 分析 建模：文字语言转化为数学语言 求解：一元二次函数最值问题、均值不等式 审题:理清数量关系 检验：结合实际问题答题 （1）根据题意得到二氧化碳每吨的平均处理成本表达式,结合基本不等式求解最小值即可 （2）根据题意得到该单位每月获利的表达式,结合二次函数性质求解最值即可 最值的实际应用 探究 1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 解： （1）由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为 , 当且仅当, 即时等号成立, 故该单位每月处理量为600吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为400元 方法点拨 均值不等式求最值 最值的实际应用 探究 1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 解： （2）设该单位每月获利为元, 则 , 由题意得,,所以当时, 故该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000元才能不亏损．   方法点拨 一元二次函数的最值问题 练一练 分析 (多选题)1.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且,利润率.现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是（    ） A.此时获得最大利润率 B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润 当时,, 故当时,获得最大利润,为,故B正确,D错误； , 当且仅当,即时取等号,此时研发利润率取得最大值2,故C正确,A错误. BC 方法总结 最值的实际应用 归纳 实际应用 审题:理清数量关系 建模：文字语言转化为数学语言 求解：一元二次函数最值问题、均值不等式 求解检验 检验：结合实际问题答题 函数性质—最值 最值的定义 应用 最大值 最小值 求最值的方法 实际应用 若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最大值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最小值. 最值 图象法：作图找点确定 1.作图画出函数y=f(x) 的图象；2.找点：观察图象,找出图象的最高点和最低点；3. 确定：最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值 单调性法： 已知函数在定义域 上 单调递增 ：则 ， 单调递减 ：则 ， 求解检验 审题:理清数量关系 建模：文字语言转化为数学语言 求解：一元二次函数最值问题、均值不等式 检验：结合实际问题答题 课堂小结 课本P65A组第2题 课后作业 2.求函数在下列各区间上的最值： (1)； (2)； (3)； (4)． 参考答案 （1）在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为； （2）由（1）可知，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为； （3）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又和时，，故最大值为5； （4）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，，故最大值为17； 感谢聆听! $$