第13章 勾股定理（单元测试·基础卷）数学华东师大版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．最大数为24，计算得 = 49 + 441 = 490，而 = 576，不满足勾股定理，故不是勾股数． B．最大数为10，计算得 = 36 + 64 = 100 = ，满足勾股定理，是勾股数． C．最大数为13，计算得 = 25 + 144 = 169 = ，满足勾股定理，是勾股数． D．最大数为5，计算得 = 9 + 16 = 25 = ，满足勾股定理，是勾股数． 综上，只有A不满足勾股数条件， 故选：A． 2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可判断． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，不符合题意； B、，故能组成直角三角形，不符合题意； C、，故不能组成直角三角形，符合题意； D、，故能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【详解】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 4．用反证法证明命题“已知，，求证：．”的第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题结论为“”，其反面应为“”． 【详解】解：反证法证明命题“已知，，求证：．”的第一步应先假设， 故选：A． 5．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质并运用面积法建立方程是解题的关键．先通过勾股定理求出的长，再利用角平分线的性质和三角形面积关系来求解的长度． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 根据勾股定理， 由作图可知，是的平分线，过作于， ∵ 平分，，， ∴ ， 设，则，， ∵ ， 即， ∴ ∴，即， 解得 ∴ 故选：． 7．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键． 根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积即可得到结果． 【详解】解：5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ， 正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ， 故选：C． 8．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据折叠的性质得，，，即，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，进行计算得，即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C落在边的点， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， 解得， ∴的面积为：， 故选：A． 9．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（   ） A．7．5 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】通过设未知数，利用勾股定理建立方程，求出相关线段长度，进而根据直角三角形面积公式计算勾股形的面积．本题主要考查了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）以及直角三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并能通过设未知数建立方程求解线段长度是解题的关键． 【详解】解：如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为，则，，． 由勾股定理，得，即， 解得． ． ． 故选A． 10．如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键．如图，过作于，证明，，可得，结合，可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．在中，斜边，则的值是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵斜边， ， 故答案为：100． 12．用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设 ． 【答案】是直角三角形 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设“是直角三角形”． 故答案为：是直角三角形． 13．如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出，因为以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴ 依题意， ∵点A在负半轴， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 14．如图，25、169分别表示两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 15．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 17．如图是由四个全等的直角三角形，，，）组成的新图形．若，．则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 则正方形的边长为． 故答案为：． 18．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】尺 【分析】设折断处离地的高度为尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设折断处离地的高度为尺， 由勾股定理得：， 即，（5分） 解得， 答：折断处离地的高度为尺．（10分） 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 20．（10分）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴．（5分） （2）解：， ， ．（10分） 【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 21．（10分）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米．（5分） （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．（10分） 22．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10． 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解． 【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可； （2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意； （3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形． 【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求； （4分） （2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意； （8分） （3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为， 面积为：，符合题意． （12分） 【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理． 23．（12分）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形；（6分） （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积．（12分） 24．（12分）如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2， ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）①由三角形的外角性质得到，则；②先利用勾股定理求出的长，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ；（6分） （2）①证明：由（1）得：， ， ；（9分） ②解：，， ， 在中，由勾股定理得： ．（12分） 25．（12分）如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发后，是等腰三角形 (3)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴；（3分） （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形；（6分） （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为或或时，为等腰三角形．（12分） 学科网（北京）股份有限公司19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D． 3．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“已知，，求证：．”的第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 5．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 9．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（   ） A．7．5 B．10 C．12 D．15 10．如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．在中，斜边，则的值是 ． 12．用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设 ． 13．如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 14．如图，25、169分别表示两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积是 ． 15．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 16．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 17．如图是由四个全等的直角三角形，，，）组成的新图形．若，．则正方形的边长为 ． 18．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 20．（10分）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 21．（10分）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 22．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10． 23．（12分）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 24．（12分）如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2， ①求证：； ②若，求的长． 25．（12分）如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D． 3．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“已知，，求证：．”的第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 5．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 9．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（   ） A．7．5 B．10 C．12 D．15 10．如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．在中，斜边，则的值是 ． 12．用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设 ． 13．如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 14．如图，25、169分别表示两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积是 ． 15．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 16．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 17．如图是由四个全等的直角三角形，，，）组成的新图形．若，．则正方形的边长为 ． 18．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 20．（10分）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 21．（10分）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 22．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10． 23．（12分）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 24．（12分）如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2， ①求证：； ②若，求的长． 25．（12分）如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D A C A C A A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．100 12．是直角三角形 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 【答案】尺 【分析】设折断处离地的高度为尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设折断处离地的高度为尺， 由勾股定理得：， 即，（5分） 解得， 答：折断处离地的高度为尺．（10分） 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 20．（10分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴．（5分） （2）解：， ， ．（10分） 【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 21．（10分） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米．（5分） （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．（10分） 22．（12分） 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解． 【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可； （2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意； （3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形． 【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求； （4分） （2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意； （8分） （3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为， 面积为：，符合题意． （12分） 【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理． 23．（12分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形；（6分） （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积．（12分） 24．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）①由三角形的外角性质得到，则；②先利用勾股定理求出的长，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ；（6分） （2）①证明：由（1）得：， ， ；（9分） ②解：，， ， 在中，由勾股定理得： ．（12分） 25．（12分） 【答案】(1) (2)出发后，是等腰三角形 (3)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴；（3分） （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形；（6分） （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为或或时，为等腰三角形．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$