第13章 勾股定理（知识清单）数学新教材华东师大版八年级上册

第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为a²+b²=c²。 2.直角三角形的判定 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。 3.反证法 反证法是一种证明论题的方法，先提出和论题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了该论题。 13.2 勾股定理的应用 勾股定理在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师计算出斜面的长度；在物理学中，它可以用来计算抛体运动的轨迹；在日常生活中，我们可以用它来估算物体的距离或高度。此外，勾股定理在数学竞赛和考试中也是一个重要的考点。 具体应用场景包括： 1.城市规划：用于计算城市道路的布局，确保建筑高度和街道宽度之间的合理关系。 2.航空航天：用于飞行路径的计算，优化飞行效率。 3.体育领域：如篮球投篮角度、田径比赛中的起跳角度和距离的计算等。 4.日常生活：如装修房屋时计算天花板到地面的距离，或测量家具的尺寸是否合适等。 5.工程测量：在土木工程、建筑工程等领域，勾股定理可用于测量和计算建筑物的高度、深度、宽度等关键尺寸，确保工程精度。 6.图形设计：在二维和三维图形设计中，设计师可以利用勾股定理来计算图形的比例、角度和边长，确保设计的一致性和准确性。 7.编程和算法：在计算机科学中，勾股定理可用于开发图形渲染算法、物理模拟算法等，提高程序的效率和准确性。 8.电子工程：在电路设计和信号处理中，勾股定理可用于计算信号的幅度、相位和频率等关键参数。 9.统计分析：在数据分析中，勾股定理可用于计算数据的距离、相似度和聚类等，为数据分析和挖掘提供有力支持。 10.教育领域：勾股定理是中学数学教育中的重要内容，通过学习勾股定理，学生可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。 一、忽略勾股定理的使用条件 勾股定理仅适用于直角三角形，对于非直角三角形，不能直接应用勾股定理。例如，已知三角形的三边长度，若未明确三角形为直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 二、不能正确区分直角边与斜边 在直角三角形中，斜边是直角三角形中最长的边，与直角相对。在解题时，若题目未明确哪条边为斜边，需要分情况讨论。例如，已知直角三角形的两边长度，需要判断这两边哪条为直角边，哪条可能为斜边，从而正确应用勾股定理。 三、考虑不全面，造成漏解 在解决勾股定理相关问题时，需要考虑所有可能的情况，避免漏解。例如，在求解直角三角形的第三边长度时，若已知两边长度，需要分别考虑这两边为直角边和其中一边为斜边的情况，从而得到所有可能的解。 四、思维定式导致的错误 在解决勾股定理相关问题时，要避免思维定式的影响。例如，已知直角三角形的两边长度，不要直接认为这两边就是勾股数中的两个数，从而得出错误的第三边长度。需要根据勾股定理的公式，正确计算第三边的长度。 题型01 勾股数问题 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股数的定义以及勾股定理进行判断即可． 【详解】解：A、1，，不全是正整数，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，且都是整数，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 2.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3.满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 4.下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：①0.6，0.8，不是正整数，故0.6，0.8，1不是勾股数； ②，故5，12，13是勾股数； ③，4，5，6不是勾股数； 综上：是勾股数的是：②； 故答案为：②． 5.满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 题型02直角三角形的条件 1.下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） 4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，掌握它是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：最长边为4，验证 ，而 ， ，故不能构成直角三角形． 最长边为2，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为5，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为1.3，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 综上，符合条件的有，共3组， 故选C． 2.在中，三边长分别为下列选项中，能保证三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断各选项是否符合勾股定理或存在角． 【详解】解：A、设三个角的度数分别为、、，则，解得，此时最大角为，不是直角，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； B、由变形得，符合勾股定理，故选项能保证三角形是直角三角形，符合题意； C、设，，，则，不满足勾股定理，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； D、是三角形内角和的必然结论，与是否为直角三角形无关，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3.在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：①， ∴是直角三角形； ②， ， ， ， ， ∴是直角三角形； ③，， ， ∴不是直角三角形； ④， 设，，， ，， ， ∴是直角三角形； ⑤， ，， ， ， 解得：，，， ∴不是直角三角形； 综上所述，可以判定为直角三角形的有3个， 故答案为：3． 4.已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)填空： ， ， ； (2)判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)；；5 (2)能；理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确结合网格分析是解题关键． （1）直接利用勾股定理得出、、的长即可； （2）直接利用勾股定理逆定理分析得出答案即可． 【详解】（1）解：线段的长是：； 线段的长是：； 线段的长是：； （2）解：以，，三条线段为边能构成直角三角形；理由如下： ， ， ∴， 、、三条线段的长能构成一个直角三角形． 题型03 勾股定理与无理数 1.如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 2.如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．首先求出正方形对角线的长度，再根据点B在数轴上的位置，确定点B表示的数． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴，点表示的数为， ∵以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B， ∴， ∴B点横坐标为：． 故选：D． 3.如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】如图： ， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 4.如图，数轴的原点为，点在数轴上表示的数是2，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数轴上表示的数等．根据题意可求得，继而可得本题答案． 【详解】解：∵点在数轴上表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 5.【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①，；②；；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （1）①根据大正方形面积是两个小正方形的面积和，可得大正方形的面积，根据勾股定理可得可得小正方形的对角线长； ②依据图2中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为，可得点表示的数分别为； （2）①由于大正方形的边长是小长方形的对角线，所以根据勾股定理可得大正方形的边长； ②由①可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上以原点为圆心，为半径，即可找到表示的点． 【详解】解：（1）①拼的新的大正方形的面积为， 小正方形的对角线长为， 故答案为：，； ②如图2中小正方形对角线长为， 原点与之间的距离为， 点表示的数为； 点到圆心的距离是， 点表示的数分别为， 故答案为：，； （2）①由图可知大正方形的边长为， 故答案为：； ②如图所示，以原点为圆心，小长方形对角线或直角三角形的斜边长度为半径画弧，交数轴于点，点即为所求．          或 题型04 网格中的直角三角形 1.如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 3.如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 4.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /90度 2 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 5.图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型05 反证法 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设（   ） A．三角形中每个内角都大于 B．三角形中至少有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于或等于 D．三角形中每一个内角都小于或等于 【答案】A 【分析】本题考查反证法，使用反证法时，需假设原命题结论的否定，由此可解． 【详解】解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题的反面应为“三角形中每一个内角都大于”，即首先应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选A． 2.用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：C． 3.用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设 ． 【答案】不是直角 【分析】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤．根据反证法的步骤，得出是直角的反面是不是直角即可． 【详解】解：反证法证明“是直角”时，应先假设不是直角． 故答案为：不是直角． 4.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设 ． 【答案】每个内角都小于 【分析】本题主要考查了反证法中的假设，反证法中第一步应假设原结论不成立，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设个内角都小于， 故答案为：个内角都小于． 5.用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 题型06赵爽弦图 1.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积为：， 故选B． 2.如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 3.如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 【答案】① 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①正确；②错误；③错误；④错误； 故答案为：①． 4.有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 5.出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）， ， ； （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型07 勾股定理的证明 1.“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 2.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 3.将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 4.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5.勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型08 勾股定理的应用 1.把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 2.一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 3.如图，是一个长方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别把几何体展开，作图，根据勾股定理进行列式运算，再比较大小，即可作答． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和， 则所走的最短线段是 第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和， 所以走的最短线段是 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 ∴走的最短线段是 ∵ ∴它需要爬行的最短路径是 故答案为： 4.《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 【详解】解：如图，    由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 5.【问题情境】 （1）如图1，一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．如果梯子的顶端A下滑到点C，求梯子的底端B在水平方向上滑动的距离； 【探究迁移】 （2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在水平方向上滑动的距离与顶端A下滑的距离相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，连接交于点O，分别以点A，F为圆心，以，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，． ①求证：四边形是矩形； ②若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；② 【分析】（1）利用勾股定理，结合解答即可； （2）连接．证明，等量代换，计算解答即可； （3）①先证明四边形平行四边形，再证明是矩形； ②过点D作于点M，于点N，连接，，根据三角形面积，平角定义等解答即可． 【详解】解：（1）在中，， 在中， ∴． （2）连接． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）①证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②如图，过点D作于点M，于点N，连接，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定，平行四边形的判定，平角定义，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 题型09 勾股定理的最值 1.如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】过点G作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，根据垂线段最短可知，的最小值为， 【详解】解：如图，过点G作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2.如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短．取的中点，连接、，求出，证明，得出，即可得出，当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵在等腰中，，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即， 故选：D． 3.如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 4.如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转60°得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，旋转的性质 ，等腰三角形的性质；根据直角三角形中的边角关系可得，，连接，由已知旋转可知，从而得到A点在线段的垂直平分线上、垂直平分线段，根据等腰三角形三线合一得，作点B关于直线的对称点，交直线于点H，根据轴对称的性质知，连接，由“两点之间，线段最短”可知：当点G在上时，的值最小，从而的值最小，最小值为线段的长，连接，得到，得到是等边三角形，在中，由勾股定理即可求出线段的长，即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴ 连接： ∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴G点在线段的垂直平分线上， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴A点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴，即在点D的运动过程中， 点G在与夹角为的射线上运动， 作点B关于直线的对称点，交直线于点H， 则总有， 连接， 当点G在上时，的值最小， 从而的值最小，最小值为线段的长， 连接 此时，， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理，得 故答案为：． 5.【综合与探究】 【问题背景】 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________． 【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的． 【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． ①若平面上的点、，则____________； ②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形） 【答案】（1）；（2）作图见解析，证明见解析；（3）①，最小值为，作图见解析 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）构造三边分别为的三角形，利用三边关系即可得出结果； （3）①根据平面直角坐标系中两点间距离公式进行求解即可； ②将转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：的面积为； （2）如图，由图可得：， 由三角形的三边关系可知：， ∴； （3）①∵平面上的点、， ∴； ②的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值， 如图，作关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长度， ∵，， ∴； ∴的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，以及利用坐标与图形，掌握数形结合的思想，是解题的关键． 题型10 勾股定理的新定义 1.我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是，那么这个三角形称作帅气等腰三角形．已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，过点作， 设， 则， 由勾股定理，得： ， 即：， 解得：， ， 是帅气等腰三角形， 又， 这样的直线最多可画条， 故选：． 2.《周髀算经》中记载了“勾三股四弦五”的直角三角形边长关系，即当直角三角形的两条直角边长分别为3和4时，斜边长为5．受此启发，我们定义：若一个直角三角形的两条直角边a和b满足（k为正实数），则称这个直角三角形为“勾股标准形”直角三角形．现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为24，则它的斜边长是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，理解题意，学会利用参数解决问题是解题的关键． 根据题意，得，，根据面积求出值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ∴三角形的面积为，解得， ∴，， ∴斜边长为． 故选：C． 3.奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理及新定义三角形，根据题意，由勾股定理及奇异三角形定义两边平方和等于第三边平方的两倍，列方程组求解即可得到答案，读懂题意，理解奇异三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在，，如图所示： 由勾股定理可得，即，则， 假设是奇异三角形， 根据奇异三角形定义，分两种情况：①；②； 当，即，联立，则，解得； 当，即，则，联立，则，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 4.我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，分三种情况讨论，利用三角形面积公式求得即可．分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：， 为斜边， 当时，的面积； 当时，的面积； 当时，则， 的面积； 故答案为：1或或. 5.定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点A作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， ， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点A作，且， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为a²+b²=c²。 2.直角三角形的判定 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。 3.反证法 反证法是一种证明论题的方法，先提出和论题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了该论题。 13.2 勾股定理的应用 勾股定理在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师计算出斜面的长度；在物理学中，它可以用来计算抛体运动的轨迹；在日常生活中，我们可以用它来估算物体的距离或高度。此外，勾股定理在数学竞赛和考试中也是一个重要的考点。 具体应用场景包括： 1.城市规划：用于计算城市道路的布局，确保建筑高度和街道宽度之间的合理关系。 2.航空航天：用于飞行路径的计算，优化飞行效率。 3.体育领域：如篮球投篮角度、田径比赛中的起跳角度和距离的计算等。 4.日常生活：如装修房屋时计算天花板到地面的距离，或测量家具的尺寸是否合适等。 5.工程测量：在土木工程、建筑工程等领域，勾股定理可用于测量和计算建筑物的高度、深度、宽度等关键尺寸，确保工程精度。 6.图形设计：在二维和三维图形设计中，设计师可以利用勾股定理来计算图形的比例、角度和边长，确保设计的一致性和准确性。 7.编程和算法：在计算机科学中，勾股定理可用于开发图形渲染算法、物理模拟算法等，提高程序的效率和准确性。 8.电子工程：在电路设计和信号处理中，勾股定理可用于计算信号的幅度、相位和频率等关键参数。 9.统计分析：在数据分析中，勾股定理可用于计算数据的距离、相似度和聚类等，为数据分析和挖掘提供有力支持。 10.教育领域：勾股定理是中学数学教育中的重要内容，通过学习勾股定理，学生可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。 一、忽略勾股定理的使用条件 勾股定理仅适用于直角三角形，对于非直角三角形，不能直接应用勾股定理。例如，已知三角形的三边长度，若未明确三角形为直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 二、不能正确区分直角边与斜边 在直角三角形中，斜边是直角三角形中最长的边，与直角相对。在解题时，若题目未明确哪条边为斜边，需要分情况讨论。例如，已知直角三角形的两边长度，需要判断这两边哪条为直角边，哪条可能为斜边，从而正确应用勾股定理。 三、考虑不全面，造成漏解 在解决勾股定理相关问题时，需要考虑所有可能的情况，避免漏解。例如，在求解直角三角形的第三边长度时，若已知两边长度，需要分别考虑这两边为直角边和其中一边为斜边的情况，从而得到所有可能的解。 四、思维定式导致的错误 在解决勾股定理相关问题时，要避免思维定式的影响。例如，已知直角三角形的两边长度，不要直接认为这两边就是勾股数中的两个数，从而得出错误的第三边长度。需要根据勾股定理的公式，正确计算第三边的长度。 题型01 勾股数问题 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20 2.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 3.满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 4.下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是 ．（填序号） 5.满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 题型02直角三角形的条件 1.下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） 4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.在中，三边长分别为下列选项中，能保证三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3.在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 4.已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)填空： ， ， ； (2)判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 题型03 勾股定理与无理数 1.如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D． 2.如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 3.如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 4.如图，数轴的原点为，点在数轴上表示的数是2，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 5.【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 题型04 网格中的直角三角形 1.如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 4.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 5.图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 题型05 反证法 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设（   ） A．三角形中每个内角都大于 B．三角形中至少有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于或等于 D．三角形中每一个内角都小于或等于 2.用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 3.用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设 ． 4.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设 ． 5.用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 题型06赵爽弦图 1.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15．5 2.如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3.如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 4.有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 5.出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 题型07 勾股定理的证明 1.“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 2.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 3.将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 4.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 5.勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 题型08 勾股定理的应用 1.把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3.如图，是一个长方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 4.《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    5.【问题情境】 （1）如图1，一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．如果梯子的顶端A下滑到点C，求梯子的底端B在水平方向上滑动的距离； 【探究迁移】 （2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在水平方向上滑动的距离与顶端A下滑的距离相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，连接交于点O，分别以点A，F为圆心，以，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，． ①求证：四边形是矩形； ②若，，，求的度数． 题型09 勾股定理的最值 1.如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 2.如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 3.如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 4.如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转60°得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是 ． 5.【综合与探究】 【问题背景】 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________． 【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的． 【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． ①若平面上的点、，则____________； ②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形） 题型10 勾股定理的新定义 1.我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是，那么这个三角形称作帅气等腰三角形．已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 2.《周髀算经》中记载了“勾三股四弦五”的直角三角形边长关系，即当直角三角形的两条直角边长分别为3和4时，斜边长为5．受此启发，我们定义：若一个直角三角形的两条直角边a和b满足（k为正实数），则称这个直角三角形为“勾股标准形”直角三角形．现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为24，则它的斜边长是（    ） A． B． C．10 D． 3.奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 4.我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 5.定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$