第13章 勾股定理（复习讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

第13章 勾股定理（复习讲义） 课程标准 一、教学目标 1.知识目标： 掌握勾股定理的概念和原理； 能运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。 2.能力目标： 培养学生的数学思维能力和创新能力； 使学生能够运用勾股定理解决实际问题。 二、教学重点与难点 1.教学重点： 掌握勾股定理的定义和使用方法； 培养学生的逻辑思维和推理能力。 2.教学难点： 如何将勾股定理应用到实际问题中； 如何培养学生的创新思维能力。 三、教学内容 1.勾股定理的概念； 2.勾股定理的简单应用； 3.利用勾股定理求直角三角形的边长； 4.勾股定理的逆定理及其判定直角三角形的方法。 四、教学过程建议 1.可以通过情境导入或问题导入的方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望； 2.在讲解勾股定理时，可以结合图形和实例，帮助学生理解和掌握定理的内容； 3.注重培养学生的应用能力，通过实际问题来强化学生对于勾股定理的掌握； 4.在教学过程中，要关注学生的个体差异，采取因材施教的方法，使每个学生都能得到发展。 五、教学评价 1.通过课堂练习和课后作业，检查学生对勾股定理的掌握情况； 2.通过观察学生在解决实际问题中的表现，评价学生的应用能力和创新思维能力； 3.鼓励学生参与课堂讨论和探究活动，评价学生的积极参与度和合作精神。 通过以上课程标准的实施，旨在使学生掌握勾股定理的概念和原理，能够运用勾股定理解决实际问题，同时培养学生的数学思维能力和创新能力。 中考考查的考点; 考点1：勾股定理的定义与公式 考点2：利用勾股定理求边长 考点3：勾股定理逆定理的应用 考点4：勾股数的识别与应用 考点5：利用勾股定理解决面积问题 考点6应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 考点7：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 考点8：与勾股定理相关的实际问题 考点9： 勾股定理的证明过程 考点10：其他与勾股定理相关的考点：如勾股树问题、网格问题等，这些问题需要结合勾股定理进行求解。 章节 知识点 常考结论 易错点 13.1(1) 直角三角形三边关系 (勾股定理) • 直角边a、b与斜边c满足：a² + b² = c² • 已知任意两边可求第三边 • 特殊直角三角形比例：3:4:5, 5:12:13等 • 混淆直角边与斜边位置 • 未识别非直角三角形的误用 • 计算平方时符号错误 13.1(2) 直角三角形的判定 (逆定理) • 若a² + b² = c²，则∠C=90° • 三边满足n²+²=²时为直角 • 最大边对角判定法 • 未验证最大边即套用公式 • 忽略定理的互逆关系 • 条件不充分时误判 13.1(3) 反证法 • 假设结论不成立→推导矛盾→原命题成立 • 适用于"不存在"/"唯一性"证明 • 假设命题表述不完整 • 推导矛盾时逻辑不严密 • 与直接证明法混淆 13.2 勾股定理的应用 • 立体图形表面最短路径计算 • 实际应用题：梯子滑动/航海方位 • 网格图中的线段长度证明 • 空间问题平面化建模错误 • 忽略单位统一和精确度要求 • 实际问题未考虑物理约束 题型一 用勾股定理解三角形 【例1】在中，已知，，边上的高为，则线段的长为（   ） A． B． C． D．或者 【变式1-1】若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ． 【变式1-2】如图，在中，于点D，E为上一点，． (1)求证：． (2)已知，求的长． 题型二 勾股数问题 【例2】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【变式2-1】如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 【变式2-2】综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 题型三 反证法 【例3】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，首先应假设这个直角三角形中（   ） A．每个锐角都大于 B．每个锐角都小于 C．每个锐角都不大于 D．每个锐角都等于 【变式3-1】用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设 ． 【变式3-2】阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 题型四 勾股定理与无理数 【例4】如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【变式4-2】学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数． (1)如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（开始滚动时与点重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是_____，它是一个无理数； (2)如图，在中，，，，根据勾股定理可以求得_____，它是一个无理数； (3)如图，在每个小正方形边长均为1的网格中，画出一条长为的线段，使线段的两端点都在格点上（小正方形的顶点上）； (4)如图，请你在数轴上找到表示的点． 题型五 赵爽弦图 【例5】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式5-1】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 【变式5-2】如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 题型六 勾股定理的证明 【例6】如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【变式6-1】在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【变式6-2】【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 题型七 勾股定理的解决应用——梯子滑落问题 【例7】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 【变式7-2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 题型八 勾股定理的解决应用——旗杆高度问题 【例8】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 【变式8-1】我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【变式8-2】项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 题型九 勾股定理的解决应用——大树折断问题 【例9】如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【变式9-2】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 题型十 勾股定理的解决应用——杯中筷子问题 【例10】市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝ ． 【变式10-2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．    题型十一 勾股定理的解决应用——蚂蚁爬行问题 【例11】如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【变式11-1】如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【变式11-2】如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 题型十二 勾股定理的最值问题 【例12】如图，中，垂直于点，且上方有一动点满足，则最小值为（　　） A． B． C． D．8 【变式12-1】如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【变式12-2】数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 基础巩固通关测 1．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（  ） A．2，2，2 B． C． D．2，3，4 2．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 3．已知是△ABC的三边，且满足，则△ABC是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．如图，点表示的实数是 ． 5．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 6．如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 7．如图，在中，，，，求的长． 8．求下图中字母所代表的正方形的面积．其中， 9．已知的三边分别为a、b、c且满足， (1)求a、b、c的值； (2)试判断的形状． 10．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 能力提升进阶练 1．如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 2．如图，在等腰直角中，，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ． 7．洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． (1)求的长； (2)若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 8．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 9．如图，在等腰直角中，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 【观察与思考】如图1，连接，可以看作由逆时针旋转变换得到，则在这一过程中，旋转中心是 ，旋转角的度数是 ． 【迁移与运用】将图1中的绕点A旋转，如图2，求证：； 【操作与拓展】将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 10．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 勾股定理（复习讲义） 课程标准 一、教学目标 1.知识目标： 掌握勾股定理的概念和原理； 能运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。 2.能力目标： 培养学生的数学思维能力和创新能力； 使学生能够运用勾股定理解决实际问题。 二、教学重点与难点 1.教学重点： 掌握勾股定理的定义和使用方法； 培养学生的逻辑思维和推理能力。 2.教学难点： 如何将勾股定理应用到实际问题中； 如何培养学生的创新思维能力。 三、教学内容 1.勾股定理的概念； 2.勾股定理的简单应用； 3.利用勾股定理求直角三角形的边长； 4.勾股定理的逆定理及其判定直角三角形的方法。 四、教学过程建议 1.可以通过情境导入或问题导入的方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望； 2.在讲解勾股定理时，可以结合图形和实例，帮助学生理解和掌握定理的内容； 3.注重培养学生的应用能力，通过实际问题来强化学生对于勾股定理的掌握； 4.在教学过程中，要关注学生的个体差异，采取因材施教的方法，使每个学生都能得到发展。 五、教学评价 1.通过课堂练习和课后作业，检查学生对勾股定理的掌握情况； 2.通过观察学生在解决实际问题中的表现，评价学生的应用能力和创新思维能力； 3.鼓励学生参与课堂讨论和探究活动，评价学生的积极参与度和合作精神。 通过以上课程标准的实施，旨在使学生掌握勾股定理的概念和原理，能够运用勾股定理解决实际问题，同时培养学生的数学思维能力和创新能力。 中考考查的考点; 考点1：勾股定理的定义与公式 考点2：利用勾股定理求边长 考点3：勾股定理逆定理的应用 考点4：勾股数的识别与应用 考点5：利用勾股定理解决面积问题 考点6应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 考点7：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 考点8：与勾股定理相关的实际问题 考点9： 勾股定理的证明过程 考点10：其他与勾股定理相关的考点：如勾股树问题、网格问题等，这些问题需要结合勾股定理进行求解。 章节 知识点 常考结论 易错点 13.1(1) 直角三角形三边关系 (勾股定理) • 直角边a、b与斜边c满足：a² + b² = c² • 已知任意两边可求第三边 • 特殊直角三角形比例：3:4:5, 5:12:13等 • 混淆直角边与斜边位置 • 未识别非直角三角形的误用 • 计算平方时符号错误 13.1(2) 直角三角形的判定 (逆定理) • 若a² + b² = c²，则∠C=90° • 三边满足n²+²=²时为直角 • 最大边对角判定法 • 未验证最大边即套用公式 • 忽略定理的互逆关系 • 条件不充分时误判 13.1(3) 反证法 • 假设结论不成立→推导矛盾→原命题成立 • 适用于"不存在"/"唯一性"证明 • 假设命题表述不完整 • 推导矛盾时逻辑不严密 • 与直接证明法混淆 13.2 勾股定理的应用 • 立体图形表面最短路径计算 • 实际应用题：梯子滑动/航海方位 • 网格图中的线段长度证明 • 空间问题平面化建模错误 • 忽略单位统一和精确度要求 • 实际问题未考虑物理约束 题型一 用勾股定理解三角形 【例1】在中，已知，，边上的高为，则线段的长为（   ） A． B． C． D．或者 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键；本题应分两种情况进行讨论：①当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长；②当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长． 【详解】解：此题应分两种情况说明： ①当为锐角三角形时，在中， ， 在中， ， ， ②当为钝角三角形时， 在中， ， 在中， ， ． 线段的长为或者， 故选：D． 【变式1-1】若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式可得：，解得：． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， 过点作，过点作， ， 在中，， ， 又， 解得：． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，于点D，E为上一点，． (1)求证：． (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）直接利用证明三角形全等即可； （2）全等三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型二 勾股数问题 【例2】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 【变式2-1】如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 【变式2-2】综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 【答案】（1）；；（2）①或；②正方形E的边长为； 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要． （1）小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；再利用等面积法推导即可； （2）①分两种情况讨论：①当6，8为直角边时，当8为斜边时，再计算即可；②直接利用勾股定理推导即可． 【详解】解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积， 可表示为： 正方形的面积还可以表示为： ∴，化简得． （2）①当6，8为直角边时， 斜边的平方； 当8为斜边时， 第三边的平方； ②如图，设正方形的边长分别为 根据勾股定理可得： ∴正方形的面积之和等于正方形E的面积， 同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和， ∴正方形E的面积为， ∴正方形E的边长为． 题型三 反证法 【例3】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，首先应假设这个直角三角形中（   ） A．每个锐角都大于 B．每个锐角都小于 C．每个锐角都不大于 D．每个锐角都等于 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时， 应先假设两个锐角都小于45°． 故选：B． 【变式3-1】用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设 ． 【答案】在中， 【分析】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可求解． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设在中， 故答案为：在中，． 【变式3-2】阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； （2）证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 题型四 勾股定理与无理数 【例4】如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 【变式4-1】如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 【详解】解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 【变式4-2】学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数． (1)如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（开始滚动时与点重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是_____，它是一个无理数； (2)如图，在中，，，，根据勾股定理可以求得_____，它是一个无理数； (3)如图，在每个小正方形边长均为1的网格中，画出一条长为的线段，使线段的两端点都在格点上（小正方形的顶点上）； (4)如图，请你在数轴上找到表示的点． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由的长度就等于圆的周长，即可得到数轴上点代表的实数就是无理数； （）直接运用勾股定理求出即可； （）根据，结合勾股定理解决问题即可； （）在数轴上做一个两直角边分别为，的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，这点就是所求的表示的点． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， 由网格可知：， ∴即为所求； （4）解：如图，在数轴上做一个两直角边分别为，的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点， ∴， ∴， ∴点表示的数为， ∴点即为所求． 题型五 赵爽弦图 【例5】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理及利用全等三角形确定相关边的长度是解题的关键．先根据全等直角三角形的性质确定小直角三角形的直角边长度，再利用勾股定理求的长． 【详解】解：∵ 四个直角三角形全等，，， ∴ 内部小正方形的边长为， 又∵ 是由小直角三角形的两条直角边构成的等腰直角三角形的斜边， ∴ 根据勾股定理，， 故选：． 【变式5-1】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系． 根据所求问题，利用小正方形的面积得到，进一步求出即可求解． 【详解】解：小正方形的面积为8，得到它的边长为， 即得， ∴， 即①， ∵， ∴②， ①②得，， ∴， 即大正方形的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17 (2)96 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出大正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． （2）设，根据勾股定理建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中， 解得， 即， ． 题型六 勾股定理的证明 【例6】如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 【变式6-1】在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 【变式6-2】【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 题型七 勾股定理的解决应用——梯子滑落问题 【例7】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 【变式7-1】如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 【答案】 2.5 1.3 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是： （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 【变式7-2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 题型八 勾股定理的解决应用——旗杆高度问题 【例8】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，过点B作，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 由题意得，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选：C． 【变式8-1】我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 【变式8-2】项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（）根据题意解答即可； （）如图，过点作于点，设米，可得米，米，米，米，由勾股定理得，解方程求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解： 如图，过点作于点， 设米， 则米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 答：学校旗杆的高度为米． 题型九 勾股定理的解决应用——大树折断问题 【例9】如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴ ∴这棵树在折断前的高度是， 故选：C 【变式9-1】《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 【变式9-2】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】大树折断前高16米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【详解】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 题型十 勾股定理的解决应用——杯中筷子问题 【例10】市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 【变式10-1】如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝ ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，连接，利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵圆形水杯的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵木棍长， ∴， 故答案为：5． 【变式10-2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即． 题型十一 勾股定理的解决应用——蚂蚁爬行问题 【例11】如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米），\ ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）， 故选：D． 【变式11-1】如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 【变式11-2】如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 题型十二 勾股定理的最值问题 【例12】如图，中，垂直于点，且上方有一动点满足，则最小值为（　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由三角形面积关系得出P在与平行，且到的距离为的直线l上，，作点B关于直线l的对称点，连接交l于P，则，，此时点P到B、C两点距离之和最小，作于M，则，最后结合勾股定理列式计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴P在与平行，且到的距离为的直线l上，且， 作点B关于直线l的对称点，连接交l于P，则，， 此时点P到B、C两点距离之和最小，即是最小值； 作于M， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴最小值为， 故答案为：A． 【变式12-1】如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：． 故答案为： ． 【变式12-2】数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 基础巩固通关测 1．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（  ） A．2，2，2 B． C． D．2，3，4 【答案】C 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【分析】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 2．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 3．已知是△ABC的三边，且满足，则△ABC是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义等知识，由非负数的性质可知，若两个非负数的和为0，则每个数均为0．据此分别解出关于a、b、c的关系式，结合三角形形状的判定条件即可得出结论． 【详解】解∶∵ ， ∴，且 ， ∴且， ∴为等腰直角三角形， 故选∶A． 4．如图，点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理求数轴上的点表示的数．由勾股定理求出，即可得到点表示的实数． 【详解】解：如图， 可知， ∴表示的实数是， 故答案为：． 5．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目要求列出方程即可． 【详解】 故答案为：． 6．如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可求得的值，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：2． 7．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 8．求下图中字母所代表的正方形的面积．其中， 【答案】（1）100（2）11 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形面积的计算． （1）根据两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案； （2）根据两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）的边长为直角三角形的斜边，则的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36和64， 的面积； （2）由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和， ∴，则． 9．已知的三边分别为a、b、c且满足， (1)求a、b、c的值； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】本题主要考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理， （1）根据完全平方公式，二次根式的非负性可得，可得答案； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 10．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 【答案】(1)15m (2)22800元 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理的公式是解题的关键． （1）连接，在中，由勾股定理即可求解； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由求出面积，即可求出费用． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ． 答：，两点间的距离为． （2）解：，，， ，． ， ， ， 则（元）． 答：铺设草坪的费用为22800元． 能力提升进阶练 1．如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理， 利用勾股定理计算的长，结合题意可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 2．如图，在等腰直角中，，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过B作交延长线于D，先证明得到，再利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质求得，进而证明是等腰直角三角形得到，，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过B作交延长线于D， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，，， 由得，即， ∴， 故选：B． 3．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ，点到距离为的值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 4．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：点A表示的数为， 故答案为：． 5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出，，作交的延长线于，得出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴（负值舍去，不符合题意）， ∵， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 如图：作交的延长线于， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C关于的对称点E，作，使得，连接，使得，连接，，．则，，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，C关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵与的周长的和为： ， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 7．洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． (1)求的长； (2)若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用 ，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）作与点，根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作与点， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， （2）解：如图，该生继续向前走，到达处，连接， 此时， 在中， ， 此时迎宾门铃距离该生头顶米． 8．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，设，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）证明：过点作，垂足为，在上截取，连接， 是的垂直平分线， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 为“类勾股三角形”． 9．如图，在等腰直角中，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 【观察与思考】如图1，连接，可以看作由逆时针旋转变换得到，则在这一过程中，旋转中心是 ，旋转角的度数是 ． 【迁移与运用】将图1中的绕点A旋转，如图2，求证：； 【操作与拓展】将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 【答案】【观察与思考】点A，90°；【迁移与应用】见解析；【操作与拓展】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 【观察与思考】由，D在边的延长线上，得，而，可证明，则可以由绕点A逆时针旋转得到，所以旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为； 【迁移与运用】首先推导出，结合，推导出即可； 【操作与拓展】当B，D，E三点在同一条直线上，设直线经过的中点G，作于点H，则，所以，则 ，设，则，根据勾股定理求得，由，求得，即可求得，最后代入化简即可． 【观察与思考】解：∵，D在边的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点A逆时针旋转得到， ∴旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为， 故答案为：点A；； 【迁移与应用】证明：如图2，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵D在的延长线上， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【操作与拓展】解：的值为，理由如下： 如图3，B，D，E三点在同一条直线上，且直线经过的中点G，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 10．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$