第2章 05第四节 用单摆测量重力加速度-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案Word（粤教版）

该高中物理导学案围绕“用单摆测量重力加速度”展开，引导学生理解单摆简谐运动条件及周期公式中各量意义，通过“活动”支架（如摆长选择、悬挂方式讨论等）连接理论与实验操作，学习测量摆长和周期的方法。 以“测量过程-数据分析-误差探究”为主线，通过图像法修正摆长测量误差、讨论误差来源与减小方法，培养科学探究能力和科学思维，典例与变式训练结合，帮助学生掌握实验方法，提升物理观念和解决实际问题的能力。

物理 选择性必修 第一册(粤教) 第四节　用单摆测量重力加速度 1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义.2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度. 一　实验原理 由单摆的振动周期公式T＝2π，可得g＝，因此，通过实验方法测出单摆的摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度. 二　实验器材 带有铁夹的铁架台，金属小球（球心开有小孔）、秒表、细丝线（1 m左右）、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等. 课堂任务　测量过程·获取数据 　　仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”. 活动1：单摆摆长是长些好还是短些好？为什么？ 提示：适当长些，测量摆长和周期时可减小误差. 活动2：如图1所示，细线上端的两种不同的悬挂方式，哪种较好？为什么？ 提示：乙较好.这样摆球在摆动过程中，细线上端固定，摆长不变. 活动3：请写出该实验的操作步骤. 提示：（1）将细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结. （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在桌边，使铁夹伸出桌面，把细线上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂，制成一个单摆. （3）用刻度尺测量悬线长度L0，用游标卡尺测量摆球的直径d，则摆长L＝L0＋. （4）把此单摆从平衡位置拉开一个很小的角度，并使这个角小于5°，再释放摆球.当摆球摆动稳定以后，用秒表测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期. （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格. 活动4：测量周期时，如图2所示，选哪个位置作为计时的起始和终止位置更好？为什么？ 提示：选图乙小球经过平衡位置时作为计时的起始和终止位置更好，因为小球经过平衡位置时速率大，所用时间短，这样测量时间的误差较小，测出的周期更准确. 活动5：本实验中有哪些注意事项？ 提示：（1）选择摆线时要选用细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右；小球应选用密度较大、直径较小（最好不超过2 cm）的金属球； （2）悬点要固定，单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中； （3）小球摆动时控制摆线偏离竖直方向的摆角小于5°； （4）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆； （5）摆长L为悬点到球心的距离； （6）测单摆周期时，应从摆球通过平衡位置开始计时，并且采用倒数到0开始计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2……，在数“0”的同时按下表开始计时计数. 课堂任务　分析数据·得出结论 活动1：分析数据有哪些方法？ 提示：（1）平均值法：根据公式g＝，将每次实验的L、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值. 实验次数 摆长L/m 周期T/s 重力加速度g/（m·s－2） 重力加速度g的平均值/（m·s－2） 1 ＝ 2 3 （2）图像法：作出T2­L图像，由T2＝可知T2­L图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝. 活动2：图像法分析有什么优点？ 提示：图像法的优点：除了简化计算外，还可以修正摆长测量引起的误差. 如果L记录错误，比如说把它记为了摆线长（少加小球半径）或记为了摆线长加球的直径（即多加半径），若此时还以L作横坐标的话直线将不通过原点.比如若漏加小球半径r，T2＝的公式应修正为T2＝，即图中的①，若多加半径r，则为图中的②.由数学知识可知将图像左右平移，k不变，故g不变. 通过作图像来计算g，实验误差主要来自时间（周期T）的测量. 活动3：实验中有哪些误差？分别来源于哪里？怎么减小这些实验误差？ 提示：（1）本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等. （2）本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）和摆长的测量.根据g的表达式知，单摆周期的测量精确度要求更高，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数.本实验中在长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米即可（即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米）；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.为了减小偶数误差，需进行多次测量后取平均值. 课堂任务　典例探究·提升能力 例　利用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验. （1）实验室有如下器材可供选用： A.长约1 m的细线 B.长约1 m的橡皮绳 C.直径约2 cm的均匀铁球 D.直径约5 cm的均匀木球 E.秒表 F.时钟 G.10分度的游标卡尺 H.最小刻度为毫米的米尺 选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择　　　　（填写器材前的字母）. （2）用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图乙所示，读出小球直径的值为　　　　 mm. （3）将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂.用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝　　　　　　　　.（用l、d、n、t表示） （4）正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（写出一条即可）. [规范解答]　（1）摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选A、C、E. （2）游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为6×0.1 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm. （3）单摆的摆长L＝l＋，单摆的周期T＝，根据T＝2π，得：g＝＝. （4）多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度比北京低或海拔比北京高. [答案]　（1）ACE　（2）17.6 （3） （4）实验所在处比北京纬度低或海拔高（其他答案合理也可） 　用单摆测重力加速度的实验操作中的注意事项 （1）小球摆动时，摆角应小于5°，且应在同一竖直面内摆动； （2）计算单摆的全振动次数时，应以摆球通过平衡位置开始计时，摆球从同一侧通过平衡位置时记为一次全振动； （3）测摆长应测出摆球重心到悬点的距离，要用游标卡尺测摆球直径d，摆长L等于悬线长加； （4）应改变摆长，重做几次实验，取多次测出的重力加速度的平均值作为最终结果. [变式训练]　某实验小组在利用摆长约为1 m的单摆测量当地重力加速度的实验中，改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2­L图像，可以更准确地求出重力加速度g.已知三位同学作出的T2­L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值　　　　（填“偏大”或“偏小”），出现图线c的原因可能是周期T的测量值　　　　（填“偏大”或“偏小”）. 答案　偏小　偏小 解析　根据单摆的周期公式T＝2π得：T2＝.已知图线b满足T2＝L，再由图可知，图线a的函数关系式可写成T2＝L＋r，其中r是图线a的纵截距，上式可整理成T2＝（L＋r），与图线b的方程T2＝L比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小一个量r.由图可知图线c的斜率k＝偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小. 1.（多选）在做“用单摆测量重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是（　　） A.适当加长摆线 B.质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D.当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期 答案　AC 解析　适当加长摆线有利于摆长的测量，使相对误差减小，另外有利于控制摆角较小，A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，若摆角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，C正确；经过一次全振动后停止计时，所测周期偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，D错误. 2.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时，且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为l，再用游标卡尺测得摆球的直径为d. （1）该单摆的摆长为　　　　. （2）该单摆的周期为　　　　. （3）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝　　　　. （4）实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的　　　　. A.单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了 B.把第n次经过最低点误记为第（n＋1）次 C.以摆线长作为摆长来计算 D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 答案　（1）l＋　（2） （3）　（4）BD 解析　（1）单摆的摆长为悬挂点到摆球重心的距离，即为l＋. （2）从开始计时到第n次经过最低点的时间内的周期数为，则该单摆的周期为T＝. （3）由单摆周期公式，得T＝2π，联立解得g＝. （4）若单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了，测量的周期增大，则t增大，由此可知，测得的重力加速度的值偏小，A错误；若把第n次经过最低点误记为第（n＋1）次，由g＝可知测得的重力加速度的值偏大，B正确；若以摆线长作为摆长来计算，由g＝可知测得的重力加速度的值偏小，C错误；若以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，由g＝可知测得的重力加速度的值偏大，D正确. 3.在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值.现将测得的六组数据标示在以L为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点. （1）根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线； （2）根据图线可求出g＝　　　　 m/s2.（结果取两位有效数字） 答案　（1）图见解析　（2）9.9（或9.8） 解析　（1）把在一条直线上的点连在一起，不在直线上的点平均分布在直线的两侧（如图），则直线斜率k＝. （2）由g＝＝，可得g＝9.9 m/s2（结果为9.8 m/s2也正确）. 4.某同学利用如图1所示的装置测量当地的重力加速度，实验步骤如下： A.按装置图安装好实验装置 B.用游标卡尺测量小球的直径d C.用米尺测量悬线的长度l D.让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t E.多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D F.计算出每个悬线长度对应的t2 G.以t2为纵坐标、l为横坐标，作出t2­l图线 结合上述实验，完成下列题目： （1）用游标为10分度（测量值可精确到0.1 mm）的卡尺测量小球的直径，某次测量的示数如图2所示，读出小球直径d的值为　　　　 mm； （2）该同学根据实验数据，利用计算机作出t2­l图线如图3所示，根据图线拟合得到方程t2＝408.0l＋3.0，设t2­l图像的斜率为k，由此可以得出当地的重力加速度的表达式g＝　　　　，其值为　　　　 m/s2（取π2＝10，结果保留三位有效数字）. 答案　（1）15.2　（2）　9.80 解析　（1）由图示游标卡尺可知，主尺示数是15 mm，游标尺示数是2×0.1 mm＝0.2 mm，游标卡尺示数即小球的直径d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm. （2）由题意知，单摆的周期T＝＝，由单摆周期公式有T＝2π，可得t2＝l＋，则k＝，解得g＝；由图像得到的方程为t2＝408.0l＋3.0，则＝408.0，解得g＝ m/s2≈9.80 m/s2. 5.一同学为了测量当地的重力加速度，选用电动机、长条白纸、毫米刻度尺、长木板以及由装满颜料的带孔小球和细线构成的单摆等组成如图甲所示装置.把白纸固定在长木板上，实验中，电动机以0.1 m/s的速度匀速拖动长木板带动纸带运动，同时让小球在垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，小球可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了小球在不同时刻的位置，如图乙所示.实验中该同学测出了细线悬挂点到小球下边缘的距离L，如图丙所示，同时测出白纸上得到的图像A、B间的距离为x.通过改变L，测出对应的A、B间的距离x，获得多组x与L数据，再以x2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像，如图丁所示.由图像可知，摆球的半径r＝　　　　 m，当地重力加速度g＝　　　　 m/s2（结果保留三位有效数字）；该同学测得的重力加速度值与实际的重力加速度值相比　　　　（选填“偏大”“偏小”或“一样”）.（假设整个过程中小球的重心位置不变，取π＝3.14） 答案　0.01　9.86　一样 解析　由图乙可知，小球从A到B运动了5个周期，则有x＝0.1×5T，解得T＝2x；根据T＝2π，可得T2＝（L－r），所以x2＝（L－r）；结合图丁可知，图像的纵截距为：－r＝－0.01，图像的斜率k＝＝＝1，可解得重力加速度g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2，摆球的半径r＝0.01 m.根据上述分析可知，由x2­L图线的斜率求得的重力加速度没有系统误差，则测得的重力加速度与实际的重力加速度相比一样. 6.某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆.通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离.如图甲，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg. r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 （1）由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示　　　　. （2）Ic的国际单位为　　　　，由拟合直线得到Ic的值为　　　　（保留到小数点后两位）. （3）若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值　　　　（选填“偏大”“偏小”或“不变”）. 答案　（1）T2r　（2）kg·m2　0.17　（3）不变 解析　（1）由T＝2π，可得T2r＝＋r2，所以图中纵轴表示T2r. （2）Ic的单位与mr2的单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2；结合T2r＝＋r2和题图中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17. （3）重力加速度g的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$