第2章 06第五节 受迫振动 共振-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案全书PPT（粤教版）

该高中物理课件聚焦“受迫振动”与“共振”核心内容，通过荡秋千阻尼振动分析、弹簧振子受迫振动实验等师生互动活动导入，衔接简谐运动知识，构建从阻尼振动到受迫振动再到共振的递进式学习支架。 其特色在于以科学探究为主线，结合实验观察（如不同弹簧振子频率变化）、问题驱动（如共振条件推导）及对比表格（三种振动特征对比），培养科学思维与物理观念。实例丰富（如脱水机共振、火车过桥防共振），助力学生理解应用，教师可高效实施教学。

第二章　机械振动 第五节　受迫振动 共振 1.知道什么是等幅振动和阻尼振动，并能从能量转化的角度予以简单说明.2.知道什么是受迫振动，知道物体做受迫振动的频率特点.3.知道什么是共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和防止. 2 目录 1 2 3 课前自主学习 课堂探究评价 课后课时作业 课前自主学习 一　受迫振动的频率 1.等幅振动：_______不变的运动.它是一种机械能______的振动. 2.阻尼振动 (1)定义：振幅逐渐______的振动. (2)原因：由于__________和摩擦力等因素导致机械能逐渐耗散. 3.固有频率 (1)定义：物体的______振动频率. (2)影响因素：只与它们_____________有关. 振幅 守恒 减小 空气阻力 自由 自身的参数 课前自主学习 5 4.受迫振动 (1)定义：在外界________作用下的振动. (2)受迫振动的频率(周期)：物体做受迫振动达到稳定后，其振动频率______驱动力的频率，与系统的固有频率______. 二　共振　共振的应用和防止 1.共振：驱动力的频率______振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅______，这种现象叫作共振. 驱动力 等于 无关 等于 最大 课前自主学习 6 2.共振曲线(如图所示) 3.共振的应用和防止 在需要利用共振时，应使驱动力的频率______________振动系统的固有频率； 在防止共振时，应使驱动力的频率与振动系统的固有频率______________. 接近或者等于 保持一定差距 课前自主学习 7 1.判一判 (1)阻尼振动的频率随振幅的减小而不断减小.(　　) (2)系统做受迫振动时的振动频率与其固有频率无关.(　　) (3)驱动力的频率越大，系统的振幅越大.(　　) (4)驱动力的频率等于系统的固有频率时发生共振.(　　) (5)共振只有害处，没有益处.(　　) 提示： (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 提示 课前自主学习 8 2.想一想 (1)实际的弹簧振子的运动是阻尼振动吗？ 提示：实际的弹簧振子在运动中除受弹力外，还受摩擦力等阻力的作用，振幅逐渐减小，因此振子做的是阻尼振动.当阻力很小时，在不太长时间内看不出振幅有明显的减小，于是就可以把它当作简谐运动来处理. 提示 课前自主学习 9 (2)做受迫振动的物体一定会发生共振吗？ 提示：不一定.物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，才会发生共振，即发生共振的物体一定做受迫振动，做受迫振动的物体不一定发生共振.　 提示 课前自主学习 10 课堂探究评价 课堂任务 　受迫振动的频率 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”. 课堂探究评价 12 活动1：如图甲所示，荡秋千时，人坐在秋千座板上抓住铁索不动，从一定的高度摆下，之后秋千的振幅如何变化？为什么？ 提示：之后秋千的振幅越来越小，最终停止摆动.因为秋千摆动时，铁索和顶部吊环之间存在摩擦力，人和秋千组成的系统还受到空气阻力的作用，使机械能逐渐转化为内能.　 提示 课堂探究评价 13 活动2：在图乙中，三个不同的弹簧将三个质量相同的小球固定在摇杆上，分别使驱动力的频率由小逐渐变大，观察三个小球所做受迫振动的频率有什么变化. 提示：三个小球的振动频率始终相等，且随驱动力的频率由小逐渐变大.　 提示 课堂探究评价 14 活动3：在图乙中，将三个不同的弹簧换成三个相同的弹簧，将三个质量相同的小球换成三个质量不同的小球，重复操作，观察三个小球所做受迫振动的频率又有什么变化. 提示：三个小球的振动频率变化情况与活动2的变化情况相同. 　 提示 课堂探究评价 15 活动4：由实验可以总结出弹簧振子做受迫振动稳定后的频率与驱动力的频率是什么关系？与自身的固有频率有什么关系？ 提示 课堂探究评价 16 1.对阻尼振动的认识 (1)由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小.这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动，其振动图像如图所示. 课堂探究评价 17 (2)阻尼振动的振幅不断减小，系统的机械能不断减少，但阻尼振动的频率不变，其频率为系统振动的固有频率，由系统本身决定.例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变. (3)系统做阻尼振动时，振幅减小的快慢跟所受阻力的大小有关.振动系统受到的阻力越大，振幅减小得越快.阻力过大时，系统不能发生振动.阻力越小，振幅减小得越慢，当阻力很小时，在不太长的时间内看不出振幅有明显的减小，于是可以把它当作简谐运动来处理. 课堂探究评价 18 2.驱动力 阻尼振动最终会停止.为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫作驱动力. 3.受迫振动 振动系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动.物体做受迫振动达到稳定后，其振动的频率由驱动力的频率决定，即其振动的频率总等于驱动力的频率，驱动力频率改变，物体做受迫振动的频率就改变，与物体的固有频率无关. 课堂探究评价 19 4.简谐运动、阻尼振动、受迫振动对比总结 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受外力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 固有频率 固有频率 驱动力频率 振幅 不变 减小 大小变化不确定 振动图像 形状不确定 实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声、机器运转时底座的振动 课堂探究评价 20 例1　如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为(　　) A.1 Hz B.3 Hz C.4 Hz D.5 Hz 答案 课堂探究评价 21 物体做受迫振动时，振动频率由什么来决定？ 提示：振动频率由驱动力的频率决定. 提示 规范解答　转动把手后，弹簧振子开始做受迫振动，受迫振动是按照外界驱动力的频率振动的，既然振子稳定后的振动频率为1 Hz，则把手转动的频率为1 Hz. 规范解答 课堂探究评价 22 求振动频率的步骤 解题步骤 解题注意事项 第一步：判断物体是做受迫振动还是固有振动 若物体是在周期性的驱动力作用下的振动则为受迫振动 第二步：区分物体的固有频率与驱动力的频率 做受迫振动物体的振动频率等于驱动力的频率 课堂探究评价 [变式训练1] 　下列振动中属于受迫振动的是(　　) A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动 B.打点计时器接通电源后，振针的振动 C.小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动 D.弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动 答案 解析　敲击后的钟不再受驱动力，其振动不属于受迫振动，A错误；电磁式打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动，振动频率等于交流电的频率，B正确；小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动属于自由振动，不属于受迫振动，C错误；弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动，不受驱动力，不属于受迫振动，D错误. 解析 课堂探究评价 24 课堂任务 　共振　共振的应用和防止 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”. 课堂探究评价 25 活动1：如图所示，在一根张紧的绳上挂几个单摆，其中单摆A、B、C的摆长相等，单摆A与D的摆长相差最大，与单摆E的摆长相差其次.当单摆A振动时，其他各摆做什么运动？ 提示：单摆A通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动. 　 提示 课堂探究评价 26 活动2：各摆振动的频率等于什么？各摆的固有频率由什么决定？ 活动3：除A摆外，其余各摆的振幅大小有什么特点？ 提示：各摆振动的频率等于驱动力的频率，等于A摆的固有频率，各摆的固有频率取决于自己的摆长. 　 提示 提示： B、C摆的振幅最大，E摆的摆幅其次，D摆的摆幅最小. 课堂探究评价 27 1.发生共振的条件 驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小.当驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，发生共振. 说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊情况. 课堂探究评价 28 2.对共振条件的理解 (1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅有增大的趋势.当驱动力的频率等于物体的固有频率时，在一个振动周期内，驱动力的方向始终与物体运动的方向相同，物体振动的振幅趋于无穷大；但因为有阻尼作用，实际振幅不是无穷大，但达到一个最大值. (2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加. 课堂探究评价 29 3.共振的应用和防止 (1)应用：在应用共振时，使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率.如：共振筛、地震仪、超声工具、共振转速计等. (2)防止：在防止共振时，使驱动力的频率与系统的固有频率相差越大越好.如：部队过桥应便步走，火车过桥要按设计要求的速度通过，建筑的设计施工、机器设备的设计、制造、安装都要考虑防止共振产生的危害等. 课堂探究评价 30 例2　如图所示是一个单摆的共振曲线. (1)若单摆所处环境的重力加速度g＝9.8 m/s2，试求此摆的摆长； (2)若将此摆移到高山上，共振曲线的峰将怎样移动？ 答案　 (1)2.8 m　(2)左移 答案 课堂探究评价 31 (1)共振曲线中，振幅最大的位置对应的频率的意义是什么？ (2)将单摆移至高山上，其固有频率如何变化？ 提示：此频率等于单摆的固有频率. 提示 课堂探究评价 32 规范解答 课堂探究评价 (1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大. (2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解 课堂探究评价 [变式训练2－1]　如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到沿竖直方向且频率为9 Hz的驱动力做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是(　　) A.甲的振幅较大，且振动频率为18 Hz B.甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz C.乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz D.乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz 答案 解析　因为甲的固有频率等于驱动力的频率，根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，故B正确. 解析 课堂探究评价 35 [变式训练2－2] 　在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害.后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题.在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是(　　) A.加大飞机的惯性 B.使机体更加平衡 C.使机翼更加牢固 D.改变机翼的固有频率 答案 解析　飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，要想解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故D正确. 　 解析 课堂探究评价 36 课后课时作业 1.(阻尼振动)(多选)关于阻尼振动，以下说法中正确的是(　　) A.机械能不断减小 B.动能不断减小 C.振幅不断减小 D.一定不是简谐运动 解析　阻尼振动是振幅不断减小的振动，故阻尼振动一定不是简谐运动，而振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中系统的机械能不断减小，但振子的动能在振动过程中是不断变化的，并不是不断减小.故B错误，A、C、D正确. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 2.(阻尼振动和受迫振动)(多选)下列说法中正确的是(　　) A.实际的自由振动必然是阻尼振动 B.在外力作用下的振动是受迫振动 C.阻尼振动的振幅越来越小 D.受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关 解析　实际的自由振动由于阻力的作用，振幅会越来越小，故一定为阻尼振动，A正确；物体在周期性驱动力的作用下的振动是受迫振动，而物体在外力作用下的振动不一定是受迫振动，B错误；阻尼振动的振幅越来越小，C正确；受迫振动稳定后的频率取决于驱动力的频率，与自身物理条件无关，D正确. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 3.(共振)有一固有频率为400 Hz的弹簧振子，分别在周期性驱动力F1、F2作用下做受迫振动，其中驱动力F1的频率为100 Hz，驱动力F2的频率为300 Hz，则振动稳定后(　　) A.F1作用时，振子的振幅较大，振动频率是100 Hz B.F2作用时，振子的振幅较大，振动频率是300 Hz C.F1作用时，振子的振幅较大，振动频率是400 Hz D.F2作用时，振子的振幅较大，振动频率是400 Hz 解析　振动稳定后，受迫振动的频率等于驱动力的频率，C、D错误；由于驱动力F2的频率更接近弹簧振子的固有频率，所以F2作用时振子的振幅较大，B正确，A错误. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 4.(受迫振动和共振)如图所示的演示装置，一根张紧的 水平绳上挂着五个单摆，其中A、E摆长相同，先使A摆动， 其余各摆也随着摆动起来，可以发现振动稳定后(　　) A.各摆的固有周期均相同 B.各摆振动的周期均与A摆相同 C.C摆振幅最大 D.B摆振动周期最小 解析　重力加速度相同时，单摆的固有周期由摆长决定，故除A、E固有周期相同外，其他摆的固有周期都不相同，A错误；A摆动后，通过水平绳对周围的B、C、D、E四个单摆提供周期性的驱动力，四摆都在同一驱动力作用下运动，它们的振动周期均与A摆的固有周期相同，B正确，D错误；因为A、E摆长相同，固有周期相同，故E摆发生共振现象，其振幅最大，C错误. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 5.(共振曲线)(多选)如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知(　　) A.驱动力频率为f2时，振子处于共振状态 B.驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3 C.假如让振子自由振动，它的频率为f2 D.振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3 解析　由题图可知当驱动力的频率为f2时，振子的振幅最大，即振子发生共振现象，故A正确；由共振条件知振子的固有频率为f2，故C正确，D错误；振子做受迫振动时，振动频率由驱动力的频率决定，故B正确. 　 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 6.(共振的应用和防止)脱水机把衣服脱水完后切断电源，电动机还要转一会儿才能停下来，在这一过程中，发现脱水机在某一时刻振动得很剧烈，然后又慢慢振动直至停止运转.其中振动很剧烈的原因是(　　) A.脱水机没有放平稳 B.电动机在这一时刻转快了 C.电动机在这一时刻的转动频率跟脱水机的固有频率相近或相等 D.是脱水机出现了故障 解析　电动机的转动使脱水机做受迫振动.切断电源后，电动机转动的频率是逐渐变化的，当它的频率接近或等于脱水机的固有频率时，发生共振现象，脱水机振动得很剧烈，C正确. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 7.(共振的应用)工厂测机器转速可用一种振动式转速计.振动式转速计由十几根不同长度的钢丝组成，每根钢丝的固有频率都不同.使用时，将振动式转速计固定在发动机附近，机器工作时，每转一转，活塞上下运动一次，产生一次振动.观察发现，固有频率为60 Hz的那一根钢丝的振动幅度最大，由此可知机器的转速约为(　　) A.1800 r/min B.3600 r/min C.7200 r/min D.60 r/min 解析　当驱动力的频率等于物体固有频率时，发生共振，振幅最大，所以发动机转动的频率与振幅最大的那根钢丝的固有频率近似相等，即约为60 Hz，发动机的转速约为n＝f＝60 r/s＝3600 r/min，故B正确. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 8.(阻尼振动、受迫振动与共振)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示.则(　　) A.针对不同树木，落果效果最好的振动频 率可能不同 B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅 度一定增大 C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析　根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时树木产生共振，此时落果效果最好，而不同树木的固有频率一般不同，则针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时树木产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，不同粗细的树干固有频率不同，所以不同粗细树干的振动频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 9.(共振的应用和防止)(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是(　　) A.列车的危险速率为40 m/s B.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 10.(共振)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振 曲线，下列说法正确的是(　　) A.若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且 摆长相等，则图线Ⅱ表示月球上单摆的共振曲线 B.若两次受迫振动都是在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比L1∶L2＝4∶25 C.图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1 m D.若摆长约为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 11.(综合)如图所示为一单摆的共振曲线，则 (1)该单摆的摆长约为多少？ (2)共振时单摆的振幅是多大？ (3)共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加 速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10) 答案 答案　(1)1 m　(2)8 cm (3)0.25 m/s　0.8 m/s2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 提示：由第三节拓展内容可知弹簧振子的周期T＝2πeq \r(\f(m,k))，则其频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(k,m))，由活动2可知弹簧振子做受迫振动的频率与弹簧的劲度系数无关，由活动3可得弹簧振子做受迫振动的频率与小球的质量无关，所以弹簧振子做受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，与弹簧振子的固有频率无关.　 提示：高山上，重力加速度g较小，由f＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,L))知，其固有频率减小.　 规范解答　(1)由图像知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz 由f＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,L))得 L＝eq \f(g,4π2f2)＝eq \f(9.8,4×3.142×0.32) m≈2.8 m. (2)由f＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,L))知，单摆移动到高山上，重力加速度g减小，其固有频率减小，故“峰”将向左移. 解析　对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝eq \f(L,T)＝40 m/s，A正确；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率，防止桥梁发生共振，B错误；列车运行的振动频率等于驱动力的频率，与列车的固有频率无关，C错误；由v＝eq \f(L,T)知，L增大时，T不变，危险车速v变大，有利于列车高速运行，D正确. 解析　图线中振幅最大处对应频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz.根据周期公式可得f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,L)).当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A错误；若两次受迫振动都是在地球上同一地点进行的，则g相同，两次摆长之比L1∶L2＝2,1)eq \f(1,f) ∶2,2)eq \f(1,f) ＝25∶4，B错误； 图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入固有频率的计算公式可解得L2≈1 m，故C正确；若摆长约为1 m，将f1＝0.2 Hz和L1＝1 m代入固有频率的计算公式可解得g≈1.6 m/s2，则图线Ⅰ不是在地球上完成的，故D错误. 解析　(1)由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz， 因为f＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,L))，所以L＝eq \f(g,4π2f2)， 代入数据解得L＝1 m. (2)由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.　 (3)设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度与摆球自然下垂时的高度差为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,max)＝mgh， 又由几何关系得h＝L(1－cosθ)， 当θ很小时，1－cosθ＝2sin2eq \f(θ,2)＝2,max)eq \f(A,2L2) ， 解得vmax＝eq \f(Amax,L) eq \r(gL)＝0.25 m/s. 摆球在最大位移处振动的加速度最大，有mgsinθ＝mamax， 即amax＝gsinθ＝g eq \f(Amax,L)， 代入数据解得amax＝0.8 m/s2. $$