第一章有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数及其大小比较-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第一章 有理数 1.1正数和负数 要点提示 1,正数和负数的概念：(1)像3,1.8,57%这样大于0的数叫作正熱.(2)像-3，一1.8，一57%这样在正数前加 上符号“一”的数网作育教 2.用正、负数表示具有相反意义的量：(1)具有相反意义的量的两层含义，①具有相反意义：②具有数量.(2)为 了表示具有相反意叉的量，我们可以把其中一个量魏定有正的，用正数表示，而把与这个量意义相反的是魏 定为童的，用负数表示 O1固基础 02提能力乡 知识点1正数、负数和0 6.跨地理学科等高线指的是地形图上高度相 1.(2024凉山)下列各数中：5，- 7，-3,0, 等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线 上标注的数为该等高线的海拔.如图，某地的 -25.8,十2.负数有 ( 等高线标注为一155m,表示此处的高度 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (填“高于”或“低于”)海平面 2.(教材变式)把下列各数填在相应的横线上： 155m. 6,-9.517%,-182号0，-32.0i (1)正数： (2)负数： 第6题图 (3)既不是正数也不是负数： 7.体育课上全班男生进行了百米测试，达标成 知识点2用正、负数表示具有相反意义的量 绩为14s,下面是第一小组8名男生的成绩 3.(2024云南)中国是最早使用正、负数表示具有 (单位：s),大于14s的记为正，小于14s的 相反意义的量的国家.若向北运动100m记作 记为负 十100m,则向南运动100m可记作 -1,+0.80-1-0,30+0.3+0.6 A.100m B.-100m (1)这个小组跑得最快的男生用了 C.200m D.-200m s 4.跨物理学科月球表面的白天平均温度是零 (2)这个小组男生百米测试达标的有 上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下 人 150℃，应记作 ( (3)求这个小组8名男生的平均成绩. A.+150℃ B.-150℃ C.+276℃ D.-276℃ ●易错点对正数、负数的认识不正确而出错 5.下列语句：①不带“一”号的数是正数；②正 数前面加上“一”号后表示的数是负数：③不 存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表 示没有温度，其中正确的有 个 上册第一章 1.2有理数及其大小比较 1.2.1有理数的概念 要点提示 1.有理数的概念：(1)正整数，0、贞整数统称为整数，整数可以写成分数的形式.(2)正分数和负分数统称为分数， (3)可以写成分数形式的数称为有理数。 2.有理数的分类： (1)按性魔分类： (2)按定又分类： 有理数 有理戴 正有理数 0 寅有理戴 鉴数 分数 正整数正分数 负整数负分数 正整截0负整数 正分散负分数 O1固基础 。0 02提能力◆ 知识点①有理数的有关概念 6.对于一3.271，下列说法不正确的是() 1.在有理数-4,0，十18,13，-2号中，整数 A.是负数，不是整数 的个数是 ( B.是分数，不是自然数 A.1 B.2 C.3 D.4 C.是有理数，不是分数 2.（2024一2025上饶期中）给出下列各数： D.是负有理数，且是负分数 子1.0185,0.20202002-（每两个 7.有下列各数：3，-7，-号5.6,0，-8子15， 2 2之间0的个数逐渐增加1).这五个数中有 理数的个数是 子其中非正数有 () A.2 B.3 C.4 D.5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2有理数的分类 3在16，-5-是-号01，-632，-80 8(教材变式)将-7,5.6,0.-3是，15，号分为 两类，使这两类所含数的个数相等，则应分 2.333中，负分数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 为 4.分别写出一个符合下列条件的有理数： 9在 号33，-314，十4，-1，号中，整数有 (1)是负数但不是整数： a个，负数有b个，则a十b= (2)是整数但不是负数： 10.(2024一2025赣州兴国期中)把下列各数填 (3)是分数但不是正数： 在相应的集合中（填序号） (4)既不是整数，也不是负数： ①-5，②+号③0.82，④0，⑤-6.4⑥7， ◆易错点对数的相关定义理解不透彻而误判 5.有下列各数：①-2.5；②10：③3.14：④0； 国-最：0-20，@9.7：国+58，@号 负数集合：{ …}. ⑩一1.其中正分数有 ,非 正分数集合：{ …} 负整数有 (填序号) 非负整数集合：{ …} 数学七年级RJ版 1.2.2数轴 要点提示 L,数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数釉 2.数轴的画法：画数的时关键要体现数轴的三要素，即原点、正方向、单位长度， 3.数轴上的点与有理数的关系：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；煮示数一a的点在原，点的左边，与原，点的距离是a个单位长度.所有的有理数都可以用数抽上 的点来表示。 O1因基础 02提能力◆ 知识点①数轴的概念 6.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为() 1.关于数轴，下列说法中，最准确的是( 52101234 A.一条直线 第6道图 B.有原点和正方向的一条直线 A- B. C.-1.7D.-4.1 C.有单位长度的一条直线 7.已知A,B两点在数轴上表示的数分别是 D.规定了原点、正方向和单位长度的直线 一3和一6.若在数轴上找一点C,使得A,C 知识点2数轴的画法 两点之间的距离是4，再找一点D,使得B, 2.(2024一2025南昌新建区月考)下列数轴正 D两点之间的距离是1，则C,D两点之间的 确的是 ( 距离不可能是 () -10 32012方4 A.0 B.6 C.2 D.4 B 8.如图，将刻度尺倒放在数轴上，刻度尺上 1012 2123→ D “4cm”和“5cm”分别对应数轴上的1和0， 知识点3数轴上的点与有理数的关系 那么刻度尺上“2.4cm”对应数轴上的数为 3.(2024河南)如图，数轴上点P表示的数是 ( ,89St￡Zm0 -4-3-2-101234 结8通图 第3题图 9.一辆货车从超市出发，向东走了3km到达 A.-1 B.0 C.1 D.2 A地，继续向东走25km到达B地，然后向 知识点4数轴上的点与原点的距离 西走了10km到达C地，最后回到超市.以 4.在数轴上与原点的距离等于4的点表示的 超市为原点，向东的方向为正方向，用1个 数是 ( ) 单位长度表示5km,画出数轴并在数轴上表 A.4 B.-4 示出A地、B地、C地的位置 C.4或-4 D.8 5.(2024苏州}用数轴上的点表示下列各数，其 中与原点距离最近的是 A.-3 B.1 C.2 D.3 上册第一章 1.2.3相反数 要点提示 1,相反数的概念：像十3和一3这样只有特号不同的两个数，互为潮反熟， (1)几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，互为相反数.(2)代数定义：只有 符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 2.相反数的表示法：在一个数的前面加上“一”号，即可得到这个数的相反数，如的相反数是一a.任何一个数都 有相反数，而且只有一个，特别地，0的相反是0， O1因基础 02提能力 知识点①相反数的概念 8.一个数的相反数等于它本身，这样的数有 1.(2024江西)一5的相反数是 () A.0个 B.1个C.2个D.无数个 A.-5 B.5 c D.- 5 9.已知A为数轴上的一点，将点A先向左移 2.在2，分-2,0中，互为相反数的是（ 动6个单位，再向右移动3个单位，得到点 B.若A,B两点表示的数恰好互为相反数， A.0与2 B与2 则点A表示的数为 () C.2与-2 D与-2 A.3 B.-3 C.1.5 D.-1.5 3.如图，表示互为相反数的两个点是( 10.-[+(] ；一个数的相反 B D 数是一(-3.2)，这个数是 2201 第3题周 11.数轴上点A表示的数为一3，B,C两点表示 A.点A与点B B.点A与点D 的数互为相反数，且点B到点A的距离为 C.点C与点B D.点C与点D 2,则点C表示的数为 4号和它的相反数之间的整数有 12.若a与b互为相反数，b与c互为相反数， 个. 则a与c的关系是 知识点2多重符号的化简 13.已知+(-号)的相反数是，-(+3)的相 5.下列各数：十(-5)，一(-2.6)，一（十5） 反数是y,z的相反数是，求x十y十：的相 十（十+》其中负数有 ( 反数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2024一2025南昌青山湖区月考)化简： -[-(-3] 易错点因对多重符号的化简理解不透 彻而出错 7.下列化简中，正确的是 A.-(-6)=-6B.-(+6)=-6 C.+(-)=D.-[+(-)]== 数学七年级RJ版 1.2.4绝对值 要点提示 L,绝对值的概念：(1)数轴上表示数a的点与原点的联离叫作数a的绝对使，记作a. (2)一个正数的绝对值是它本身：一个负数的她对值是它的相反数，0的猫对值是0 a(a>0), 2.数的绝对值：a= 0(a=0), -a(a0), O1因基础 7.计算下列各式的值： 知识点1绝对值的概念 四-3-+-3引， 1.(2024宜宾)2的绝对值是 A.2 B司 c是 D.-2 2.如图，数轴上点A,B,C,D表示的数中，绝对 值是2的点是 () 2-3号引÷-1×1-121， 3 第2题图 A.点A B.点B C.点C D.点D 3.绝对值等于的数是 知识点3绝对值的非负性 知识点2绝对值的计算 8.若|a=一a,则a的取值范图是 4.化简一2 的结果是 ( 9.若|a-3十6-2|=0，求a和b的值. A司 B号 C.2 D.-2 5.下列等式中，正确的是 ( A.|-1|=-1 B.-1-5|=1-5| c-21-2 D.--引=-日 ●易错点对绝对值的意义理解不清，认为 6.下列各组数中，互为相反数的是 若a=|b川，则a=b A.-引与-(-)B-与-- 10.已知a=-5,a=|b,则b的值等于 c-引与+(-)D.-引与- A.十5B.-5C.0D.±5 上册第一章 02提能力心… (2)请你对6个排球按照最好到最差排名. 11.(2024一2025丰城校级月考}若|a|=b,则 下列a,b的关系一定成立的是() A.a≥bB.a>bC.abD.a<b 12.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点 之间的距高为18，则这两个数为() A.+18和-18 B.+9和-9 C.-9和十18 D.-18和+9 13.如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离均 为1个单位长度.若数轴上点A,B所表示 的数的绝对值相等，则点C表示的数为 03拓思维 18.|m一n的几何意义是数轴上表示数m的 点与表示数n的点之间的距离， 第13题图 A.0 B.3 C.5 D.7 (1)|x|的几何意义是数轴上表示数 14.绝对值不小于5且小于8的整数有 的点与表示 的点 个 之间的距离，且|x |x-01(填 15.已知a与-3互为相反数，则|一(a十2)= “”“<”或“=”) (2)|x一3|的几何意义是数轴上表示数 4 16.根据引x是非负数，且非负数中最小的数是 的点与表示数 的点之间 0,解答下列问题： 的距离；若|x一3=1，则x= (1)当x= 时，x一2025有 (3)找出所有符合条件的整数x,使得x 最小值，这个最小值是 (-5)1+|x-2=7 (2)当x= 时，2025-1x-1|有 最大值，这个最大值是 17.正式排球比赛对所用排球的质量有严格的 规定，允许有0.02kg的误差.下面是6个 排球的质量检测结果（用正数记超过规定 质量的千克数，用负数记不足规定质量的 千克数，单位：kg): 1号 2号 3号 4号 5号 6号 +0.031 -0.017 +0.023 -0.021+0.022 -0.011 (1)请你指出哪几号排球符合要求. 数学七年级RJ版 1.2.5有理数的大小比较 要点提示 有理数大小的比较方法：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数，(2)两个负数，绝对值女的反而小，(3)在数轴 上表示的两个数，右边的数总要大于左边的数， 之O1固基础◆ 6.比较大小： (1)1 -2. 知识点①利用法则比较有理数的大小 (2)-9.01 -9.001. 1.下列四个数中，最小的数是 A.-2 B.0 C.3 n-号 -(】 -(-0 2.(2024广西)下列选项记录了我国四个直辖 --引 市某年一月份的平均气温，其中气温最低的 知识点2利用数轴比较有理数的大小 是 7.实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图 北京 上海 天津 重庆 所示，则这四个数中绝对值最小的是() -4.6℃ 5.8℃ -3.2℃ 8.1℃ 18116g上日上+ 4-3-2-10123 A B D 第7题国 3.下列各组有理数的大小比较，正确的是 A.a B.6 C.c D.d ) 8.如图，数轴上A点表示的数是a,写出一个 A.1<-1 B.-(-0.3)< 比a大的负分数： c-- D.-(-5)<0 543-201 第8通图 4.下列四个式子：①-3.8>-(+3)： 9.a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位 @-(-)>-(-):③1-2.51>-2.5： 置如图所示，则一a,一b的大小关系是一a b(填“>”“<”或“=”). ④-（一5）》>+5号引其中正确的是( 1a016→ 第9题阁 A.③④ B.①③C.①② D.②③ 10.(2024一2025龙南期中)画出数轴，在数轴 5用“<”连接一至，一0.8，一吾这三个数，正确 上表示下列各数，并把这些数按从小到大 的顺序用“<”连接起来 的是 A-<-0.8<- +5,-(-35.--号引+(-0.0 6 B-<-08<- C-0.8<-<-8 6 n-<-<-8 上册第一章 02提能力⊙ (2)把这五个数分成三类，其中两类各含两 个数，最后一类含一个数，并写出每类数的 11.某大型超市春节举行惠民活动，相比于前 特征 天，猪肉价格的增幅是一10%，鸡蛋价格的 增幅是一7%，苹果价格的增幅是一4.2%， 菠菜价格的增幅是一9.6%，这些增幅数据 中，最小的是 ( A.-10% B.-7% C.-4.2% D.-9.6% 12.有理数a在数轴上的对应点的位置如图所 示.若有理数b满足|b<a,则b的值不可 能是 ……O3拓思维心 。4.4 ( 4内2寸012本 17.已知有理数a,b,c,d,其中a,d为负数，b,c 第12道国 为正数，且|c>|b>|d|>a A.-1B.-3 C.0 D.2 (1)画出数轴，并标出表示数a,b,c,d的点 13.跨物理学科下表表示的是几种液体在标 的大致位置： 准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是 (2)将a,c,d,一a,一c,一d按照从小到大 的顺序排列. (3)比较a,-b,-c1,-(十d0的大小 液体名称 液态氧 液态氢 液态氢 液态氰 (4)若有理数m满足|b<m,试比较6， 沸点/℃ 183 -253 -196 -268.9 一b,m之间的大小. A.液态氧 B.液态氢 C.液态氮 D.液态氮 14.王老师负责雅备趣味运动会体育器材，在 一批同款跳绳中抽取6根进行长度测量， 超过标准长度的厘米数记为正数，不足的 记为负数.测量结果分别为①一1.5cm, ②+0.7cm,③+0.5cm,④-0.9cm, ⑤-0.6cm,⑥+0.3cm.其中误差最大的 是 ,误差最小的是 (填序号) 15.在一1.0426中，用数字3替换其中的一个 非零数字后，使所得的数最大，则被替换的 数字是 16.(教材变式)画一条数轴，把数3,0,3.5， -1.5, 号表示在数轴上 (1)将这五个数按从小到大的顺序排列。 数学七年级RJ版参考 第一章有理数 1.1正数和负数 1.C 2d6,17%,号2.0i2)-95,-182,-是 (3)0 3.B4.B5.16.低于 7.解：(1)12.8(2)5 (3)这8名男生的成绩（单位：s)如下表： 12.814.8141313.71414.314.6 (12.8+14.8+14+13+13.7+14+14.3+14.6)÷8 13.9(s). 故这个小组8名男生的平均成绩是13.95， 1.2有理数及其大小比较 1.2.1有理数的概念 1.C2.C3.B 4.)-(答案不唯一）(2)3（答案不难-）(3）-号（答 案不难一)(4)1.2（答案不唯一） 5.③⑦⑨②④86.C7.D 8.正数和非正数（或整数和分数）9.5 10.①⑤②③③④⊙ 1.2.2数轴 1.D2.B3.A4.C5.B6.A7.D8.2.6 9,解：如图 C 专0站0市0方动 1,2.3相反数 1,B2.C3.B4.15.B6.-3号7.B8.B 9.c10号 -3.211.1或512.相等 13解：因为+()）的相反数是x,一（十3）的相反数是 7 7 的相反数是，所以x=了y=3,=0,所以x十y十= 十3十0-9，所以x十y叶：的湘反数是一号 1.2.4绝对值 1.A2B3号政-号4.A5.D6.C 白原武=3号1×12-碧×音×12=2 8.4小于或等于0 9.解：因为1a一3引+|b=21=0, 所以a一3=0，b-2=0,所以a=3,b=2. 10.D11.C12.B13.C14.615.5 16.(1020250(2)12025 17,解：(1)符合要求的有2号和6号. (2)1+0.0311=0.031,1-0.0171=0.017,1+0.0231= 0.023,1-0.0211=0.021,1+0.0221=0.022,1-0.0111 =0.011. 因为0.011<0.017<0.0210.022<0.023<0.031， 答案 数越小，代表排球的质量越好， 所以排球按照最好到最差的排名为6号，2号、4号，5号，3 号、1号. 18.解：(1)x原点 (2)x32或4 (3)川x一（一5）1+x一21=7的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数一5,2的点的距离之和为7，而表示数一5和 2的点之间的距离正好为7，所以表示数x的点在以表示数 一5和2的点为端点的线段上，所以符合条件的整数x有 -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 L.2.5有理数的大小比较 1.A2.A3.B4.D5.B 6.(1)>(2)<(3)<(4)≥ 7.B8.-2(答案不难-)9.> 10解：-(-3.0=8.5，--号-，+(-0=-4，在 数轴上表示如图： +(4) 20 -(-35)+5 -5-4-3-2-1012345 1 用“<"莲接：+（一40<一一2<0<-（一35）<+5 11.A12.B13.A14.①⑤15.4 16.解：如图所示. 9 -1.50 33.5 Q)由各点在数轴上的位登可知，-号<-1.5<0<3< 3.5. （②)-是，-1.5是负数 0既不是正数也不是负数： 3,3.5是正数 17.解：(1)在数轴上标出表示数a,b,c,d的点如图①. b→ 周① (2)在数轴上标出表示数4，c,d,一a,一c,一d的点如图②， 所l以一c<da<一a<一d<c. 思② (3)在数抽上标出表示数a,一b,一|c|,一（十d)的点如图 ③，所以-1c|<一b<a<-(十d). 因③ (4)需分以下三种情况讨论： ①若m=0,因为b>0,所以引b>|m,不符合题意，舍去： ②若m>0,因为6>0，且|b<1m|, 所以m>b>一b: ③若m<0,因为b>0,且b<ml: 所以b>一>m 上册参考答案 169 综上所述，m>>一b或b>一>m 本章小结 1.C2.C3.A4.55.+2025 6.解：(1)因为30十0.03=30,03(mm) 30-0.02m29.98(mm), 所以29.98mm≤零件合格的直径尺寸≤30.03mm (2)因为29.88mm不在该范围之内，所以这个爱件不合格 7.D8.2025 9.解：(1)如图所示。 (2)A,B,C三点表示的数分别为4,6，一4， (3)点C可以看作是蚂蚊从原点出发，向左很了4个单位长 度得到的 10.A11.7 12.解：(1)如图所示】 (2)由题意可知，数a对应的点与原点相距10个单位长度 且在原点左侧，所以4是一10. (3)-a<-1<0<-b<1<a 13.C14.C15.(1)±1(2)2 16.解：(1)AA:AeAA (2)点A,先向左移动2个单位长度到达点A,再向右移动 6个单位长度到达点A, (3)|-4|+1-31+|-1|+11+|31=12. 第二章有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 2.1.1有理数的加法 第1课时有理数的加法 1.A2.D3.A4.A5.C6.B 7.解：(1)-(-18)十(-30)=18十(-30)=-12. (2)-75+1-241=-75+24=-51. 8.A9.C10.D 1解：原式-[（-1)+(-号)门+(28+)-(-17+28 +(+）)=11-}-10是 12.B13.C14.D15.016.1317.-1 18,解：(1)①② (2)因为这个有理数与一3.1可以组成“吉利数对” 所以这个有理数与一3.1的和是9. 又因为-3.1十12.1=9 所以另外一个有理数是12.1. (3)0或18. 19.解：(1)①>②=③>④= (2)分以下三种情况讨论： 当a,b异号时，a+b|>a十bt 当4，b同号时，4十=a十b 当a=0或b=0时，|a+|b1=1a+b|. 综上所述，a|十|b≥|a十b. (3)x≤010或一10或5或-5 第2课时有理数的加法运算律 1.B2.A3.B4.-4 5.解：1)原式=[(+6)+(+4号)门+[(-5号） (1] =11十(-7) =4 170 数学七年级RJ版 (②原式-[(-2言)+(+58)]+[(+3号)+ (-3] =3十0 =3. 6.C7.C8.376 9.解：原式-[(-)+()]+[()+()] =-+- =-1 10.C11.A12.013.125114.-415.-2024 16.解：(1)6658 (2)因为第4棒火炬手的实际里程为61m, 所以第4棒火炬手的里程波动值为1m 因为2+6+（一5）+1+3+(-2)+0+（一5）+(-8)+4+ 1=-3(m), 所以60十3=63(m). 故第10棒火炬手的实际里程为63m. 17.A 18.解：如图所示（答案不难一）. ① ① ⑩-①-⑨⑧①-⑦6①⊙ 2.1.2有理数的减法 第1课时有理数的减法 1.C2.C3.A4.25.B6.B7.A 8.解：(1)点D的高度为一1.1一1.2=一2.3(m), 点D比点A低10-(-2.3)=12.3(m). (2)B,C,D三个点中，最高点为点B,最低点为点C, 点C的高度为10-13.2=-3.2(m), 点B与点C的高度差为-1.1-(-3.2)=-1.1十3.2=2.1 (m) 故最高点比最低点高2,1m 9.解：原式=（-)+(-1) =-(品+) =-1高 10.D1.A12D3.-214.-12是 15.解：由数轴可知，a<6<0<c (1)a一b<0,b一c<0,c一a>0,即a一b的符号是负，b-c的 符号是负，一4的符号是正。 (2因为a=2,b1=是，el=1a<b<0<c,所以a -2,b= 是6-1，所以c-b-1号，b-a-1是，所以e b=6-a. 16.解：(1) -4 一3 b 0 A,B两点间的距离 3 (2)由题意，得d=|a一b.