2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2024—2025学年浙教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回忆一般形式、求根公式及根的判别式导入，结合填表引导猜想，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于通过猜想-证明过程培养推理意识，填表转化代数式训练抽象能力，构造新方程等应用发展模型意识。例如题3利用根的相反数构造新方程，题6结合判别式求参数k，体现探究式教学和问题解决法。小结归纳方法，学生能提升逻辑思维和应用能力，教师可直接用于课堂提高教学效率。

一元二次方程之 根与系数的关系 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 填写下表： 方程 两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系 猜想： 如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 求证： 推导: 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 练习 已知关于x的方程 当m= 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 时,此方程的两根互为倒数. －1 1 分析:1. 2. 引申:若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个不相等的实数根. 4 1 14 12 题2 则： ＝ ＝ 应用：一求值 另外几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入. 练习 设 的两个实数根 为 则: 的值为( ) A. 1 B. －1 C. D. A 以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为: 二　已知两根求作新的方程 题3 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ） A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0 B 分析:设原方程两根为 则: 新方程的两根之和为 新方程的两根之积为 求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程. 练习: 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　 题4 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。 2和-1 解法(一):设两数分别为x,y则: { 解得: x=2 　y=－1 { 或 ｘ＝－1 y=2 { 解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: 求得 ∴两数为2,－１ 三　已知两个数的和与积，求两数　 题6 已知方程　　　　　　　　的两个实数根 是　　　且　　　　　 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2 解得：k=4 或k=－2 题7 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知, △= { 即 { m>0 m-1<0 ∴0<m<1 一正根，一负根 △＞0 X1X2＜0 两个正根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0 两个负根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＜0 { { { 小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 作业: 作业本 点p(m,n)既在反比例函数 的 图象上, 又在一次函数 的图象上, 则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 解:由已知得, { 即 m·n=－2 m+n=－2 { ∴所求一元二次方程为: $$