2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)　同步练习2024-2025学年浙教版八年级数学下册　　　

2.4一元二次方程根与系数的关系(选学) 一、单选题 1．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是(   ) A． B． C．0 D．2 2．以2和为根的一元二次方程是(    ) A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于(    ) A． B． C．3 D．10 4．一个等腰三角形的底边长是3，两腰长是关于x的方程的两个根，则该等腰三角形的周长为(    ) A．6 B．7 C．8 D．15 5．关于的一元二次方程中，若，，，则这个方程的根的情况是(   ) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根 6．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值(    ) A．2 B． C． D． 7．若m，n是方程的两个根，则代数式的值为(    ) A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为(　　) A． B．2 C．2或 D． 二、填空题 9．若方程有两个不相等的正实数根，则常数的取值范围为 ． 10．已知m、n是方程的两根，则 ． 11．已知a，b是方程的两根，则 ． 12．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 13．已知a、b是方程的根，则式子的值为 ． 14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ． 三、解答题 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若时，求方程两根的值． 17．已知m，n是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值． (2)求的值． 18．已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求k的值． 20．(1)用适当方程解一元二次方程：； (2)已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 21.关于的一元二次方程的两根为． (1)设，请用含的代数式表示； (2)当时，求此时方程的根． 参考答案 一、单选题 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，取找出b、c的值，由此即可得出以2、为根的一元二次方程，理解根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为2和 则，， ∴当时，，， ∴该一元二次方程可以为． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得出即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， ． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两腰的和，进而求出周长 【详解】解：∵底边为3， 又两腰长是关于x的方程的两个根， ∴两腰的和为4， 所以该等腰三角形的周长是． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况． 【详解】解：，，， ，即 ， 方程有两个不相等的实数根， 方程有一个正根和一个负根， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为a，b， ∴， ∴， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数关系， 把代入，得出，再根据根与系数关系求出，整体代入计算即可解答． 【详解】解：是方程的两个根， ， 把代入得：， ∴， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系:是一元二次方程的两根时,.据此即可求解. 【详解】解：因为一元二次方程的两实数根为， 所以， 所以m的值为2或， 当m的值为2时，原方程为， ，原方程无实数根， 故m的值为 故选：A. 二、填空题 9． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．由方程有两个不相等的正实数根，可得且即可求解． 【详解】解：由题可知有两个不相等的正实数根， 且， 解得：且， 常数的取值范围为． 10.2020 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值．根据根与系数的关系和方程的解得到，将原式变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2020 11．0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 12． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．再利用整体代入法是本题的关键． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答本题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，将原式通分化简，利用，．根据根与系数的关系得出，，代入求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的根， ∴根据根与系数的关系，得 ，， ∴． 故答案为： ． 14．或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键； 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解： ，， 又是倍根方程， 当是的2倍时， 则， 解得：， 当是的2倍时， 则， 解得：， 故答案为：或． 三、解答题 15．(1)解： 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 的取值范围为：； (2)解：方程的两个实数根互为倒数， 又， ， ． 16．(1)解：， ∵， ∴， ∴总有两个实数根； (2)解：由一元二次方程根与系数的关系知：， 而， ∴． 17．(1)解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； (2)解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 18．(1)证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，() ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， (负值已舍)， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 19．(1)证明：，， ∵， ∴ ∴此方程总有实数根． (2)方法一：， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 方法二：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20．解：(1)∵， ∴， ∴或， 解得； (2)∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或； 21.(1)解：∵方程的两根为， ∴， ∴； (2)解：当时，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时原方程为， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$