培优01 数轴上的10种动点问题（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优01 数轴上的10种动点问题 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 题型1 数轴动点中的绝对值最值问题 步骤: 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 题型2 数轴动点中的相遇问题 利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将各个点在数轴上一一表示出来，并以动点表示出行走的方向和路线，便可清晰直观地看出所要求的解. 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 6．（24-25七年级上·河北张家口·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 7．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 题型3 数轴动点中的中点问题 9．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 题型4 数轴动点中的翻折问题 13．（23-24七年级上·广东河源·期中）点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 14．（24-25七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 16．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 题型5 数轴动点中的相距问题 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 18．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 19．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 题型6 数轴动点中的和差倍分问题 21．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，数轴上的点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足． (1)______，______，______． (2)点为数轴上一动点，表示的数为，则的最小值为______，此时点表示的数为______． (3)若点，，开始在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在使，若存在求出的值，若不存在，请说明理由？ 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上，点与点对应的数分别是、，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（在的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为_____个单位长度； (2)若直尺在数轴上间，且满足，求此时A点对应的数； (3)设直尺以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从O点出发，以3个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为秒．若三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的的值 23．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 24．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 题型7 数轴动点中的定值问题 25．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）如图，数轴上一个点从原点出发，先向左移动5个单位长度到达A点，再向右移动12单位长度到达B点，点C、点D在数轴上，把一根木棒放置在数轴上，它的端点分别落在点C、点D处，将木棒在数轴上移动，当点M移动到点A处时，点N落在点C处，当点N移动到点B处时，点M落在点D处． (1)请你直接写出点所表示的数：点A表示的数为__________，点B表示的数为__________，点C表示的数为__________，点D表示的数为__________； (2)若木棒从处（端点分别落在点C、点D上）出发，以每秒个单位长度向右移动，同时点P和点Q分别从点A、点B出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右移动，设移动的时间为t（秒）． ①点之间的距离用表示，当为个单位长度时，求t的值； ②点之间的距离用表示，点之间的距离用表示，请问是否存在常数k，使得的值为定值？若存在，请求出常数k和这个定值；若不存在，请说明理由． 27．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 28．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 题型8 数轴动点中的折返问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 29．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 30．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 32．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①：已知线段厘米，线段上的动点从端点开始在两个端点、之间一直作往返移动．点移动规则如下：第一次，点从点出发移动厘米到达点；第二次，点从点出发移动厘米到达点；第三次，点从点出发移动厘米到达点（点在移动过程中到达线段端点处立即折返移动） 例如：①当厘米时，、、、位置如图②所示，其中与点恰好重合，厘米，厘米，厘米，厘米； ②当厘米时，、、、位置如图③所示，其中点是点从移动到点后折返到途中的位置（即厘米），而恰好与重合； 仔细阅读上述材料后，解答下列问题： (1)若厘米，请利用图④操作实践，则 厘米； (2)若的取值在20厘米与29厘米之间，且点恰好平分线段，在图⑤中分析、、、的大概位置，并求出的值； (3)若的取值小于34厘米，且厘米，则对应的值是 ． 题型9 数轴动点中的规律问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 33．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 34．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 35．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 36．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）如图，点A 对应的有理数为a，点B 对应的有理数为b ，点C 对应的有理数为c ，且，点C 向左移动 2 个单位长度到达点A ，再向右移动 7 个单位长度到达点B ． (1)a = ，b = ； (2)若点A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒 3 个单位长 度和 1 个单位长度的速度向右运动，假设t 秒过后，点 A 与点C 之间的距离表示为m ， 点B 与点C 之间的距离表示为n ，的值是否会随着时间t 的变化而改变？ (3)若动点P 从点A 出发，第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动 2 个单位长度，再在此位置第三次向左运动 3 个单位长度，…… ，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点P 运动了n 次时，用含n 的代数式表示点P 表示的有理数（直接写出结果）． 题型10 数轴动点中的新定义问题 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 38．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 39．（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 40．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 数轴上的10种动点问题 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 题型1 数轴动点中的绝对值最值问题 步骤: 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值代数意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； 本题主要考查了数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 【详解】解：（）解决问题，的值是， 故答案为：； （）的最小值是， 故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或， 故答案为：或；    拓展提升： （）的最小值是，最大值是，理由如下： 令， 当时，； 当时，， ∴， 当时，， 综上可知：， 故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值， 故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值， 所以，则； 当时，有最小值， 所以，则； 则的值是或， 故答案为：或； （）∵，且为整数， ∴， 则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵， ∴ 时，，则； 时，，则； 所以的值为或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 题型2 数轴动点中的相遇问题 利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将各个点在数轴上一一表示出来，并以动点表示出行走的方向和路线，便可清晰直观地看出所要求的解. 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意分别表示出点所表示的数，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当在点的左边时，，当在点的右边时，，分别解方程即可求解； （3）分别表示出、的长，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是，点与相向运动， 依题意，秒后，点表示的数是，点表示是的数是， 当，相遇时，， 解得：； （2）解：依题意，点与同时向左运动，则点表示的数是，点表示是的数是， 当在点的左边时，， 解得：； 当在点的右边时，， 解得：； 综上所述，当或时，与Q相距个单位长度； （3）点表示的数为，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， 解得或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的表示方法并用含t的式子表示，根据题意列出方程是解题关键，解题时要注意多种情况分类讨论． 6．（24-25七年级上·河北张家口·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1) ，     ， (2)当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)当或时， 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用中点公式即可求出线段的中点表示的数； 根据点，的出发点、运动方向、运动速度以及运动时间，即可用含的代数式表示出、； （2）根据、两点相遇时，、两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，可得，又，所以，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解： 两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ，， 故答案为：，； （2）解：当、两点相遇时，、两点表示的数相等， ， 解得：， 当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解： 秒后，点表示的数为，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算、中点坐标公式、列代数式、一元一次方程的应用、解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【答案】(1)40 (2)点C对应的数是； (3)点D对应的数是． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：40； （2）解：设动点P、Q经过t秒相遇， 则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点C对应的数是； （3）解：设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点D对应的数是． 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)； (2)或；或 (3)； (4)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 【分析】（1）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （2）分别分两种情况：向左移动、向右移动，并根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （4）结合（3）的结论，根据、两点相遇即点表示的数与点表示的数相同，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， 又∵，， ∴点向右移动个单位长度，表示的数为；图中点向左移动个单位长度，表示的数为， 故答案为：；； （2）∵，；，， ∴点移动个单位长度，表示的数为或；图中点移动个单位长度，表示的数为或， 故答案为：或；或； （3）设运动时间为秒， ∵点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点、同时运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （4）由（3）知：运动时间为秒，点、同时运动，则点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，即点与点重合， ∴， 解得：， ∴， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，点的移动，列代数式，一元一次方程的应用，熟知数轴上点移动的规律“左减右加”是解题的关键． 题型3 数轴动点中的中点问题 9．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4. (3)或3 (4)不发生变化，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）将点M表示的数为：，点N表示的数为，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为∶①10，；②，； （2）解：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， P、Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：t秒后，点P表示的数为， 点Q表示的数为，， 又， ， 或， 解得：或； （4）解：不发生变化，理由如下∶ 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为， ． 点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【答案】(1)，，2 (2)①或；②当时，点M恰好是线段的中点． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，两点间的距离，求出以及点C所对应的数即可； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可； ②根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； 故答案为：，，2； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②由题意得：点M表示的数为：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴由题意得， 解得：； 当时，点M恰好是线段的中点． 题型4 数轴动点中的翻折问题 13．（23-24七年级上·广东河源·期中）点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 【答案】(1)；6 (2)9 (3)①3；②点表示的数为，点表示的数为1010 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，结合数轴的特点正确列出方程是解题的关键． （1）观察数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，点A表示的数是，设点A与表示数的点重合，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答； （3）①由题意得，、分别表示与3、与6在数轴上所对应的点之间的距离，再分析数轴上点的位置即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可得，点B表示的数是，点C表示的数是6． 故答案为：；6． （2）解：由数轴可得，点A表示的数是， 设点A与表示数的点重合， 由数轴折叠可得，， 解得：， ∴点A与表示数9的点重合． 故答案为：9． （3）解：①表示与3在数轴上所对应的点之间的距离， 表示与6在数轴上所对应的点之间的距离， 当时，有最小值，最小值为6与3在数轴上所对应的点之间的距离，即， ∴的最小值为3； ②设点表示的数为，则点表示的数为， 由数轴折叠可得，， 解得：， 则， ∴点表示的数为，点表示的数为1010． 14．（24-25七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【答案】(1)3 (2)， (3)或时，P、A之间距离为3个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧）， ∴点A到对称中心的距离为，且A点在的右边，点B到对称中心的距离为，且B点在的左边， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （3）解：∵动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P对应的数为， 当P、A之间距离为3个单位长度时， 或 ， 解得或， ∴或时，P、A之间距离为3个单位长度． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点A表示的数点B表示的数线段的长，即可求出点A表示的数； （2）根据，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设点D表示的数为y，则点表示的数是，根据，可列出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数是1，点A在点B的左侧，且， ∴点A表示的数是； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为6； （3）解：设点D表示的数为y，则点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：点D表示的数为或． 16．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 题型5 数轴动点中的相距问题 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过 个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 18．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】(1)正半轴 (2)当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点相遇时，两点表示的数相同建立方程求解即可； （2）设两只电子蚂蚁运动的时间为，根据两点所走的距离加上15等于点A和点B的距离建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒时，两只电子蚂蚁相遇， 由题意得， 解得， ∴点在数轴上所对应的数为， ∴点在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上． （2）解：设两只电子蚂蚁运动的时间为， 由题意可得， 解得， 答：当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 19．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】(1)30，，36 (2)点在数轴上表示的数为6或； (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可； （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36； 故答案为：30，，36； （2）解：点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或； （3）解：经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)； (2)或； (3)秒或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； （2）解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； （3）解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 题型6 数轴动点中的和差倍分问题 21．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，数轴上的点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足． (1)______，______，______． (2)点为数轴上一动点，表示的数为，则的最小值为______，此时点表示的数为______． (3)若点，，开始在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在使，若存在求出的值，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，，5 (2)8； (3)存在， 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，一元一次方程的应用等知识，解题的关键： （1）最大的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，即可解题； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，据此求解即可； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式计算出、，然后代入得出关于t的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶∵是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为∶，，5； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为，，， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点），有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：8；； （3）解：存在， 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得． 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上，点与点对应的数分别是、，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（在的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为_____个单位长度； (2)若直尺在数轴上间，且满足，求此时A点对应的数； (3)设直尺以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从O点出发，以3个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为秒．若三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的的值 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段中点问题，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）由题可知：，所以，则； （2）利用图形直观得出，根据等量关系式，列式可求解； （3）分分别为，，的中点，根据距离相等求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）直尺在数轴上、间，且满足， 设，则， 可得：， 所以：， 所以点对应的数是：； （3）解：由（2）可得A点对应的数为，则点对应的数为， ∴秒后点表示的数为，表示的数为， ①当点是的中点时， ， 解得：（舍去）； ②当点是的中点时， ， 解得：； ③当点是的中点时， ， 解得：， 综上所述，B、P、C三点中恰好有一个点到另两个点距离相等时的值为或 23．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【答案】(1)， (2)D所表示的数为或，理由见详解 (3)①或 ② 【分析】（1）根据多项式的次数及常数项定义解题； （2）分三种情况讨论，当当点D在点A的左侧时，或当点D在点A和点C之间时，或当点D在点C的右侧时，根据数轴上两点间距离的数量关系解题即可； （3）①t秒后，，，根据时，列出绝对值方程求解即可得出答案． ②设运动时间为t秒时，分别写成出点表示的数为，点表示的数为，可以用t表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是a，次数是c ∴， （2）解：由（1）得 设点D表示的数为n ①如图，当点D在点A和点C之间时 ， ∵， ∴， ∴ ②如图，当点D在点A的左侧时 ， ∵ ∴ ∴ ③如图，当点D在点C的右侧时 此时不满足 ∴不合题意，舍去 综上所述点D所表示的数为或 （3）解：①∵点B所表示的数是1，点A代表的数是，点C代表的是20， ∴后，A代表的数是：，点B代表的数是：，点C代表的数是：， ∴，， 则当时， 即， 则，或者 解得：或． ②∵点B所表示的数是1 ∴， 当运动时间为t秒时，根据题意得： ， ∴ ∵的值与t无关， ∴， ∴ 【点睛】本题考查数轴上的动点、利用数轴求两点间的距离，整式加减运算涉及多项式的次数、常数项、一元一次方程、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，解题的关键是掌握相关知识． 24．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【答案】(1)，9 (2)玩具小火车的长度为4 (3)点C所表示的数是3或9 【分析】题目主要考查绝对值和平方的非负性，解一元一次方程，理解题意是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，结合题意求解即可； （3）设点所表示的数为，则点表示的数为，得出，然后结合题意，得出方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 故答案为：，9 （2）解：由（1）可知 表示的数是表示的数是9 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为 玩具小火车的长度为4． （3）解：设点所表示的数为，则点表示的数为 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧 只能向右运动，即 当时，有 或 解得：或 点C所表示的数是3或9． 题型7 数轴动点中的定值问题 25．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为 ，点与点的中点为，则点表示的数为 ；运动秒后，点表示的数为 （用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算可求出的长，根据数轴上线段中点的计算公式可求出点表示的数，根据点的运动速度即可求出运动秒后，点表示的数； （2）秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分三种情况：①若为中点；②若为中点；③若为中点，分别列出一元一次方程求解即可； （3）当点在点右侧时，表示出、的长，再计算，整理成，令，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴的距离为：； 又∵点表示数，点表示数，点为中点， ∴点表示的数为：； ∵点表示数，且以每秒个单位长度向左运动， ∴运动秒后，点表示的数为， 故答案为：；；； （2）由题意可知，秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 分三种情况： ①若为中点，则：， 解得：； ②若为中点，则：， 解得：； ③若为中点，则：， 解得：； 综上所述，当或或时，，，三点中恰有一点为另外两点的中点； （3）存在． ∵点在点右侧，点在点右侧， ∴，， ∴， 当，即时，结果与无关， 此时为定值， ∴存在常数使的值为定值． 【点睛】本题考查数轴，列代数式，两点间距离，一元一次方程的应用，正确理解题意，能用代数式表示出点所表示的数是解题的关键． 26．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）如图，数轴上一个点从原点出发，先向左移动5个单位长度到达A点，再向右移动12单位长度到达B点，点C、点D在数轴上，把一根木棒放置在数轴上，它的端点分别落在点C、点D处，将木棒在数轴上移动，当点M移动到点A处时，点N落在点C处，当点N移动到点B处时，点M落在点D处． (1)请你直接写出点所表示的数：点A表示的数为__________，点B表示的数为__________，点C表示的数为__________，点D表示的数为__________； (2)若木棒从处（端点分别落在点C、点D上）出发，以每秒个单位长度向右移动，同时点P和点Q分别从点A、点B出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右移动，设移动的时间为t（秒）． ①点之间的距离用表示，当为个单位长度时，求t的值； ②点之间的距离用表示，点之间的距离用表示，请问是否存在常数k，使得的值为定值？若存在，请求出常数k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)①或；②存在k＝0.5，定值 【分析】（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案． （2）①用表示点M为，根据两点间距离列出等式，即可求得值； ②分别用表示点P、Q和，然后列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∵当点M移动到点A处时，点N落在点C处，当点N移动到点B处时，点M落在点D处， ∴，，， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：，，，． （2）①由题意可得：点M表示的数为：， 则：， 解得：或； ②由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：，点表示的数为：， ∴，， ∴， 要是为定值，需要， 解得：， 此时：． 【点睛】本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，一元一次方程的应用，掌握数轴上点运动后对应的数的表示规律，两点间的距离，分类讨论是解题的关键． 27．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)运动时间为12秒或1秒 (3)是， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题. （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，进而可求出和的值； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 28．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30 (2)点P所表示的数x为或11 (3)存在， 【分析】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． （1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，由数轴可知，求出x，根据算出点C表示的数，即可作答． （2）记对折后A的对称点为，分点在点C左边和点在点C右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点P、点A、点B和点C表示的数算出来，再算出并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：依题意，设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， 故答案为：，30， （2）解：由（1）得点分别表示的有理数是， 依题意，记对折后A的对称点为 当点在点C的左边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为； 当点在点C的右边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为11； 综上：点P所表示的数x为或11； （3）解：存在，理由如下： ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是， 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值k， ∴， 解得：， ∴， ∴ 题型8 数轴动点中的折返问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 29．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 【答案】(1)， (2)当运动时间为秒或秒时， (3)运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、多项式以及实数与数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）由多项式的次数是二次，二次项系数为，可得出，，解之即可得出、的值； （2）当运动时间为秒时，，对应的数分别为，，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，结合点的速度变化，可求出各节点的时间，分，及三种情况考虑，根据点、相遇时两点对应的数相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：多项式的次数是二次，二次项系数为， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：运动秒后，，对应的数分别为，， ，而， ， ， 或， 解得：或， 当运动时间为秒或秒时，； （3）解：由（1）知：点的初始运动速度是每秒个单位长度，则从点返回点的速度为每秒个单位长度，再从点折返的速度为每秒个单位长度， ， 点第一次运动到点时：， 从点返回点时：， 再从点折返到点时：， 运动秒后，点对应的数分别为， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得； 运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒． 30．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，绝对值的运用，非负数性质的运用，解答时根据行程问题的追击问题和相遇问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据非负数的性质，建立方程求出，的值； （2）根据，两点到原点的距离相等分两种情况，当、在原点的右侧、相遇和、在原点的异侧时，建立方程求出其解即可； （3）分四种情况讨论：当、在原点的右侧相遇时；当点从点返回出发点时与相遇；当点从出发点返回点时与点相遇．分别依据线段的和差关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ，， 解得：，； （2）解：设原点为O， 点对应的数为，对应的数是， ，，． 当、在原点的异侧时， 若点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得：． 当、在原点的右侧相遇时，点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得， ，两点到原点的距离相等时，的值为或； （3）解：点C对应的数为14，点D对应的数为， ， 点运动至点所需的时间为， 故， 由（2）得，当时，，两点同时到达的点表示的数是； 由题意，得当点从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从出发点返回点时，若与点相遇， 则， 解得， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：（不符合题意）， 综上所述，，两点同时到达的点在数轴上表示的数为：或或． 32．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①：已知线段厘米，线段上的动点从端点开始在两个端点、之间一直作往返移动．点移动规则如下：第一次，点从点出发移动厘米到达点；第二次，点从点出发移动厘米到达点；第三次，点从点出发移动厘米到达点（点在移动过程中到达线段端点处立即折返移动） 例如：①当厘米时，、、、位置如图②所示，其中与点恰好重合，厘米，厘米，厘米，厘米； ②当厘米时，、、、位置如图③所示，其中点是点从移动到点后折返到途中的位置（即厘米），而恰好与重合； 仔细阅读上述材料后，解答下列问题： (1)若厘米，请利用图④操作实践，则 厘米； (2)若的取值在20厘米与29厘米之间，且点恰好平分线段，在图⑤中分析、、、的大概位置，并求出的值； (3)若的取值小于34厘米，且厘米，则对应的值是 ． 【答案】(1)75 (2) (3)或或 【分析】本题考查动点与线段之间的关系；能够理解题意，根据点的运动情况确定点的位置是解题的关键 （1）厘米； （2）线段厘米，厘米，； （3）三种情况讨论：①不掉头，厘米，②掉头一次，在右侧，厘米，③掉头一次，在左侧，厘米． 【详解】（1）解：厘米； 故答案为：75； （2）解：厘米，厘米，厘米，厘米； 恰好平分线段． 线段厘米， 厘米， ， ； （3）解：①不掉头， 厘米， ； ②掉头一次，在右侧， 厘米， ， ； ③掉头一次，在左侧， ， ， 厘米， ； 综上所述：或或； 故答案为：或或． 题型9 数轴动点中的规律问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 33．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【答案】(1)；； (2) (3)和分别是点运动了第次和第6次到达的位置 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，熟练掌握数轴和一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意得到，，从而得到的值，进而得到两点之间的距离． （2）根据点P在数轴上运动的规律，可找到最后点P的位置，从而得到答案； （3）设点P所对应的有理数为，由题可分三种情况： ①当点在点的左侧时， ②当点在点和点之间时， ③当点在点的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴两点之间的距离． 故答案为：；7； ． （2）解：依题可得： ． ∴点P所对应的有理数为． （3）解：设点P所对应的有理数为， ①当点在点的左侧时：，， 由题可得：， 解得：， ②当点在点和点之间时：，， 由题可得：， 解得：， ③当点在点的右侧时：，， 由题可得：由题可得：， 解得：，这与点在点的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点所对应的有理数分别是和， ∴和分别是点运动了第次和第6次到达的位置． 34．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)秒 【分析】（1）由绝对值的意义可得或，再进一步求解即可； （2）由数轴上点P位于表示2的点的右边，即，再化简绝对值即可； （3）由数轴可得，再结合线段的和差关系可得答案； （4）求解当时，的值最小，最小值为，结合，每次向左移动个单位；进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或． （2）解：∵数轴上点P位于表示2的点的右边，即， ∴． （3）解：∵，， ，， ∴． （4）解：设Q点表示的数为时，的值最小， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度； ∴，则最终满足条件时，需要向左平移103个单位，由已知可得：每次向左移动个单位； ∴， ∴Q点运动次， ∴ ， ∴Q点运动秒钟满足条件． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，化简绝对值，线段的和差，数轴上的动点问题；理解题意是关键. 35．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 36．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）如图，点A 对应的有理数为a，点B 对应的有理数为b ，点C 对应的有理数为c ，且，点C 向左移动 2 个单位长度到达点A ，再向右移动 7 个单位长度到达点B ． (1)a = ，b = ； (2)若点A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒 3 个单位长 度和 1 个单位长度的速度向右运动，假设t 秒过后，点 A 与点C 之间的距离表示为m ， 点B 与点C 之间的距离表示为n ，的值是否会随着时间t 的变化而改变？ (3)若动点P 从点A 出发，第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动 2 个单位长度，再在此位置第三次向左运动 3 个单位长度，…… ，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点P 运动了n 次时，用含n 的代数式表示点P 表示的有理数（直接写出结果）． 【答案】(1)，4 (2)的值不会随着时间t的变化而变化，理由见解析 (3)当n为奇数时，P表示的数：为；当n为偶数时，P表示的数：为 【分析】本题主要考查数字类规律问题，数轴，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）依题表示出运动后的点A、B、C，化简的值，即可判断出其值不随时间的变化而变化，值为． （3）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得：点A表示的数为：； 点B表示的数为：； 故答案为：，4； （2）解：的值不会随着时间t的变化而变化，理由如下： 经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ， ， ． 的值不会随着时间t的变化而变化； （3）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； 第5次运动P点对应的数为； 第6次运动P点对应的数为； …， 所以，当n为奇数时，P表示的数：为；当n为偶数时，P表示的数：为． 题型10 数轴动点中的新定义问题 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【答案】(1) (2)或2 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，以及新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）先求出点，点表示的数，再根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点、、表示的数分别为3、6、7． 点到点的距离是4，到点的距离是3， ∴点是的美好点． 故答案为： （2）设点表示的数为， 点表示的数分别为， 点到点的距离是2，到点的距离是， 点是的美好点， ， 或2； （3）由题意，得：点表示的数为，点表示的数为． 点表示的数为2， ，， 点恰好为的美好点， ． 当时，； 解得：； 当时，． 解得：． 38．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 39．（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)①或； 的值为6或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论； （3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴点P表示的数为， ∵M为的中点，N为的中点，， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴线段的长度为4； （3）解：①∵点P从点A出发向右运动，，， ∴点P表示的数为， ∵，， ∴， ∴点Q表示的数为或， 故答案为：或； ②∵点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在点P左边时，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当点Q在点P右边时，点Q表示的数为， ∵， ∴点B在点Q左边， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）； 综上：或． 40．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①②或；（2）或；（3） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别求出点C，D，E到点，点的距离，根据新定义，进行判断即可； ②设表示的数为，根据新定义列出方程进行求解即可； （2）点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据新定义，得到，根据，且，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点C，D，E表示的数分别是，，3， ∴，， ， ∴， ∴是的2值点的点是； ②设表示的数为，则：，解得：或； 故答案为：或； （2）由题意，点表示的数为，则：， ∵， ∴，解得：或； （3）由题意，得：， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$