1.3 勾股定理的应用-【木牍中考•名师教案】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

该教案聚焦勾股定理的应用，通过圆柱形玩具侧面梯子问题导入，连接勾股定理基础，以实际情境为支架引导学生将立体图形转化为平面模型，梳理从实际问题抽象数学问题的脉络。 特色在于融合《九章算术》芦苇问题等古代数学文化，结合方位、折叠等现实情境，培养模型意识、推理能力与应用意识，学生经历建模过程提升分析能力，为教师提供清晰教学流程与核心素养培养实例。

3　勾股定理的应用 ◇教学目标◇ 　　1.让学生经历应用勾股定理及直角三角形的判别条件将实际问题抽象成数学问题的过程,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 2.激发学生强烈的求知欲,使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验. ◇教学重难点◇ 教学重点 应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决实际问题. 教学难点 从实际问题中合理抽象出数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图所示,游乐场有一个圆柱形的大型玩具,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点.已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度最少是多少米? 二、合作探究 探究点　勾股定理的应用 典例1　今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? [解析]　设水池的深度OA为x尺,则芦苇的长度OB为(x+1)尺.由于芦苇位于水池中央,所以AC为5尺. 在Rt△OAC中,由勾股定理,可得AC2+OA2=OC2, 即52+x2=(x+1)2,解得x=12. 12+1=13. 因此,水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺. 典例2　如图,南北方向MN为我国领海线,即MN以西是我国领海,以东为公海.由于世界各国都加大了反走私的力度,走私集团度日如年.某日上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私船C的距离是13海里,A,B两艇的距离为5海里,反走私艇B测得距离C船12海里.若走私船C的速度不变,则其最早会在什么时间进入我国领海? [解析]　设MN与AC相交于点E,当MN⊥CE,走私船C进入我国领海的最短路程是CE,则∠BEC=90°. 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°. 由题意,得△ABC的面积=AB·BC=AC·BE, 即5×12=13·BE,解得BE=. 在Rt△BCE中,因为CE2+BE2=BC2, 所以CE2+=122,解得CE=. ÷13≈0.85(h)=51(min). 即走私船最早在10时41分进入我国领海. 典例3　如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,若将△ABC折叠使点B恰好落在斜边AC上与点B'重合,AE为折痕,则EB'=　　　　.  [解析]　根据折叠的性质,可得BE=EB',AB'=AB=3. 设BE=EB'=x,则EC=4-x. 在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理,得AC2=32+42=52,所以AC=5, 所以B'C=5-3=2. 在Rt△B'EC中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2,解得x=1.5. 所以EB'的长为1.5. [答案]　1.5 三、板书设计 勾股定理的应用 1.古代数学中的勾股定理. 2.方位问题. 3.折叠问题. ◇教学反思◇ 　　通过本课时的学习,要求学生进一步理解并掌握勾股定理,能够利用勾股定理解决立体图形表面上两点之间最短距离问题,能够利用勾股定理解决方位与折叠问题,并在解题过程中使学生掌握转化思想,体会数学在现实生活中的应用. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$