精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三开学考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：B． 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用除法化简计算，然后代入模长公式计算. 【详解】变形得， 所以. 故选：A. 3. 已知，，若，则 A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知，，且， 因为，则，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，取得最小值， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求得数列的，再结合等比中项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列公差为d， 则， 又， 所以， 即， 若，，成等比数列，则， 则， 即 解得： 故选：C 5. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 8. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出、以及的大小，利用余弦定理可得出，再利用平面向量数量积的定义以及余弦定理、诱导公式、三角恒等变换可求得. 【详解】连接，由余弦定理可得， 易知正五边形的每个内角为， 所以， ，则， ， ， ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的方差公式可判断A； x增加1个单位时计算y值与原y值比较可判断B；由线性相关系数|r|的性质可判断C；根据正态曲线关于x=1对称即可判断D. 【详解】对于选项A，由，，则，所以，故正确； 对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确； 对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误； 对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题. 10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时，与垂直 C. 对任意，都有 D. 当时，在方向上的投影的数量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量平行的关系验证可判断；利用同角三角函数求出与的关系，结合向量垂直性质即可判断；通过向量的模的求法求解判断；利用向量的数量积结合同角三角函数的关系可求得，进而利用投影数量的定义即可判断 【详解】对：若，则，即，故不存在这样的使得，故A错误； 对：当时，则， 则，则与垂直成立，故B正确； 对：若，则，得，即， ，此时存在，故C错误； 对：因为，即，结合， 解得，所以， 在方向上的投影的数量为，故D正确． 故选：BD． 11. 在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ） A. 直线EF与所成的角为 B. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 C. 若点P满足其中则三棱锥的体积为定值 D. 以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过即可求解；对于B，通过即可确定截面，求解；对于C，通过P点在线段上即可判断；对于D：由 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧， 是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，进而可求解； 【详解】 解：对于A，连接因为E，F分别是棱BC，的中点，所以 所以直线EF与所成的角为 因为几何体是正方体，所以为等边三角形， 所以，即直线EF与所成的角为，故A错误； 对于B，连接因为平行且相等，故四边形为平行四边形， 所以，所以 所以平面AEF截正方体所得的截面为梯形 因为，，梯形的高为， 所以梯形的面积为故B正确. 对于C，因为其中，所以， 所以 ，所以P点在线段上 ， 又因为与平行平面平面 所以P到平面的距离为定值，三角形的面积为定值， 所以为定值.故C正确； 对于D，因为 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧，其弧长为， 是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为， 是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，其弧长为 所以球面与三棱锥表面的交线长为， 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可. 【详解】由得：, 由得：, 所以，, 所以. 故答案为： 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______. 【答案】 ①. 240 ②. 【解析】 【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字组成的五位五进制数的个数，设构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，根据，将问题化为能被3整除，结合进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率. 【详解】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现， 则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字， 再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列， 最后剩余两个位置排重复数字， 故所求不同的五位五进制数共有个， 数字组成的三位五进制数总共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为， 转化成十进制数后此数为， 此数能被3整除等价于能被3整除， 因为，所以能被3整除的只有三种情况， 若，则的取值有、两种， 若，则的取值有、、、、五种， 若，则的取值有、两种， 故能被3整除的数共有个，则所求概率为. 故答案为：240， 【点睛】关键点点睛：对于构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，将问题化为能被3整除是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若存在，当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数求解函数单调性，即可得到函数相应区间的值域； （2）求导，利用函数单调性，即可得到符合条件的参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增. 因为，，，且， 所以的值域是. 【小问2详解】 因为. ①若，当时，，所以在上递增， 所以，不符合题意. ②若，当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增， 要存在，当，， 则只需，所以. 16. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 17. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 【答案】（1）详见解析； （2）； （3）存在点，此时. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以∥平面； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 18. 足球是一项大众喜爱的运动.卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． ①求（直接写出结果即可）； ②证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小． 附：，． 【答案】（1）认为喜爱足球运动与性别有关 （2）① ；②证明见解析，第次触球者是甲的概率大 【解析】 【分析】（1）计算，对照题目中的表格，得出统计结论； （2）①根据古典概型公式计算即可；②根据等比数列的性质证明数列为等比数列，求得的通项公式，进而求得，，比较大小即可． 【小问1详解】 假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人， 故传给甲的概率为，故． ②第次触球者是甲的概率记为， 则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为， 则，可得， 且，所以是以为首项，公比为的等比数列； 可得，所以， 则，， 所以第次触球者是甲的概率大. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. （1）求Γ的方程； （2）对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 【答案】（1）； （2） （ⅰ）； （ⅱ）因为均存在， 设点，且， 设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设， 令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因此， 而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得. （2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得. 【小问1详解】 因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得， 又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去得：， 由直线与椭圆相切，得，整理得， 于是圆心到直线的距离， 则的面积为， 设，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此当时，取得最大值，此时， 当的斜率不存在时，由（1）知，， 由，得，则. 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以. （ii）略 【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三开学考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则 A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 4. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 8. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时，与垂直 C. 对任意，都有 D. 当时，在方向上的投影的数量为 11. 在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ） A. 直线EF与所成的角为 B. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 C. 若点P满足其中则三棱锥的体积为定值 D. 以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 13. 已知，，则______． 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若存在，当时，，求的取值范围. 16. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 17. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 18. 足球是一项大众喜爱的运动.卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． ①求（直接写出结果即可）； ②证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小． 附：，． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. （1）求Γ的方程； （2）对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $