专题1.6空间向量的应用：距离、夹角问题重难点题型专训（2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册重难点专题提升精讲精练

专题1.6空间向量的应用：距离、夹角问题重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 异面直线夹角的向量求法 题型二 已知线线角求其他量 题型三 线面角的向量求法 题型四 已知线面角求其他量 题型五 面面角的向量求法 题型六 已知面面角求其他量 题型七 共面直线夹角的向量求法 题型八 点到平面距离的向量求法 题型九 平行平面距离的向量求法 题型十 点到直线距离的向量求法 题型十一 异面直线距离的向量求法 拓展训练一 向量法求异面直线所成的角 拓展训练二 向量法求线面角 拓展训练三 向量法求二面角 拓展训练四 利用空间向量研究存在性问题 知识点一：用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 知识点二：用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【即时训练】 1．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）在正方体中，点，满足，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为 . 【经典例题一 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 4．（24-25高二下·全国·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．用向量法求： (1)异面直线，所成角的余弦值； (2)的长． 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西萍乡·二模）在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【经典例题二 已知线线角求其他量】 【例1】（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 2．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 【经典例题三 线面角的向量求法】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东菏泽·一模）如图，在三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值. 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【经典例题四 已知线面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏·模拟预测）在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 1．（22-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 4．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥． (1)证明：． (2)若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值． 【经典例题五 面面角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏南京·三模）如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，，则侧面与底面所成角的正弦值为 ．    4．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 【经典例题六 已知面面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【例1】（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体中，，点E在棱上移动． (1)证明：； (2)当为何值时，使得二面角的大小为 1．（23-24高二下·安徽宣城·期末）若的二面角的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，，且，则CD的长等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·天津河西·期末）如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 4．（22-23高三下·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点． (1)求证：平面平面POC； (2)已知二面角的平面角为，求． 【经典例题七 共面直线夹角的向量求法】 【例1】（23-24高二·全国·单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）. A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·贵州黔东南·期中）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 1．（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为 . 4．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求证：平面； (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值． 【经典例题八 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 4．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【经典例题九 平行平面距离的向量求法】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 4． （23-24高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【经典例题十 点到直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点．如何利用这些条件求点到直线的距离？ 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 4．（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【经典例题十一 异面直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知异面直线、，为、的公垂线段，、分别为、上的任意一点，为线段上的向量，求证：．    1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 4．（22-23高一·全国·课后作业）正方体中，边长为2，求异面直线与的距离． 【拓展训练一 向量法求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若异面直线与所成的角的余弦值为，求． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【拓展训练二 向量法求线面角】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 1．（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．（24-25高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线平面所成角的正弦值. 【拓展训练三 向量法求二面角】 【例1】（25-26高二·全国·假期作业）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正方体，如图，延长至P使，O为的中点，设交平面于K，则下列说法正确的是（   ） A．与异面 B． C．的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 3．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 4．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【拓展训练四 利用空间向量研究存在性问题】 【例1】（23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为 . 2．（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 9．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 12．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 14．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 15．（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 16．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，点在上，且，.    (1)若为线段的中点，求证：直线平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 18．（24-25高二下·河南新乡·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 19．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点．    (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的大小． 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6空间向量的应用：距离、夹角问题重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 异面直线夹角的向量求法 题型二 已知线线角求其他量 题型三 线面角的向量求法 题型四 已知线面角求其他量 题型五 面面角的向量求法 题型六 已知面面角求其他量 题型七 共面直线夹角的向量求法 题型八 点到平面距离的向量求法 题型九 平行平面距离的向量求法 题型十 点到直线距离的向量求法 题型十一 异面直线距离的向量求法 拓展训练一 向量法求异面直线所成的角 拓展训练二 向量法求线面角 拓展训练三 向量法求二面角 拓展训练四 利用空间向量研究存在性问题 知识点一：用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 知识点二：用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【即时训练】 1．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）在正方体中，点，满足，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线所成的角的余弦值，再根据同角的三角函数的基本关系式可求其正弦值. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4， 则，，，， 故，， 故， 则与所成角的正弦值为， 故选：A 2．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以N为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴，过点N与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为等边三角形，所以面积为，所以，， 则，，，所以， 则，， 则直线，所成角的余弦值为. 故答案为：. 【经典例题一 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据菱形的几何性质，求得相关线段的长度，结合空间直角坐标系，可得答案； （2）求得两异面直线的方向向量，利用线线夹角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）在菱形中，，则， 易知与为等边三角形，则， 在等边中，为的中点，则，， 在中，， 所以，. （2）由，，，， 则，， 所以，，， 设异面直线与的夹角为， . 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写坐标，代入余弦公式即可求得. 【详解】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，.设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 2．（2025·江西萍乡·二模）在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可. 【详解】 由条件可如图建系，设， 则, 则, 设直线与所成角为， 所以， 所以， 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】设，分解向量，然后由数量积的运算律、向量夹角公式即可求解. 【详解】设， 棱长为1，则． 因为底面边长和侧棱长都相等，且， 所以，所以， ，． 设异面直线的夹角为， 所以． 故答案为：. 4．（24-25高二下·全国·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．用向量法求： (1)异面直线，所成角的余弦值； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定一组基底，根据三角形的性质求得内角的余弦值，利用向量数量积的运算律以及夹角公式，可得答案； （2）由（1）选择的基底，表示出所求向量，根据向量的模长公式以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】（1）以，，为基底，因为，分别是，的中点， 所以，，． 由题意，得， 在中，因为，，所以， 由余弦定理得． 所以， ， 则； ， 则． 因为 ， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为． （2）， 所以 ． 由（1）知，，， 所以， 所以，即． 【经典例题二 已知线线角求其他量】 【例1】（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，根据所成角的正切值求得，再求所成角的余弦值即可. 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成角之间相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 2．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标，设，，表示出，，依题意，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，， 设，， 则，， 因为，所以，解得. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，由求出，求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， ， 故， 解得， 故. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）写出向量坐标，利用夹角公式可得答案； （3）利用钝角可得数量积小于零且不等于，求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， ，，，; ，， 因为，所以， 所以， 因为，所以. （2），； 因为直线与所成角为， 所以； 解得，因为动点在对角线上，所以. （3），， 因为为钝角，所以，解得. 又因为在上恒成立，所以.    【经典例题三 线面角的向量求法】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得. 【详解】由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 【例2】（2025·山东菏泽·一模）如图，在三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，进而得到四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明平面. （2）因为侧面底面，得到底面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 因为为的中点，所以. 又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以. 又平面平面，所以平面. （2）如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形， 所以. 因为侧面是菱形，且， 所以. 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2， 则，， 故，. 设侧面的法向量为， 则即 令，得，所以侧面的一个法向量为. 设直线与侧面所成的角为， 则 ， 故直线与侧面所成角的正弦值为. 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， , 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求线面角即可. 【详解】，，，， 故， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 故， 设与平面所成角为， 则. 故选：C 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据线面角的向量求法计算. 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 【经典例题四 已知线面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 【例2】（2024·江苏·模拟预测）在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：延长交于点 四边形为矩形， 平面平面，平面平面 平面平面，即. （2）如图建系，    设平面的一个法向量， . 1．（22-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系求得，以及平面的一个法向量，根据线面夹角的坐标运算即可得P点坐标满足的等式关系. 【详解】解：由正三棱柱，且，根据坐标系可得： ，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以， 又平面，所以是平面的一个法向量， 因为直线和底面所成角为， 所以， 整理得，又，所以. 故选：A. 2．（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 4．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥． (1)证明：． (2)若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，． 因为是菱形，，所以，为等边三角形， 所以，． 又平面，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为平面平面，且平面平面，， 所以平面 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，． 设，则． 设平面的法向量为， 则取，则，， 所以． ． 又，所以，则． 【经典例题五 面面角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【例2】（2025·江苏南京·三模）如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线线垂直证明平面，再由线面垂直得，证明，即得； （2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）根据题意，沿将折起后，， 平面，则平面， 因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证. （2）由（1）平面，平面，则， 故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图). 则， 因，分别是棱，的中点，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取； 因， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面和平面的夹角为， 则. 即平面和平面的夹角的余弦值为. 1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的向量求解公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设平面与平面的夹角为，则. 故选：D 2．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 3．（24-25高一下·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，，则侧面与底面所成角的正弦值为 ．    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，然后分别计算两个平面的法向量，根据夹角公式计算即可. 【详解】由题可知：底面为正方形，所以，又，平面，所以平面. 以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图：    设，， 所以，设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 平面的一个法向量为， 所以侧面与底面所成角的余弦值为， 则侧面与底面所成角的正弦值为. 故答案为： 4．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 故答案为：. 【经典例题六 已知面面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 【例2】（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体中，，点E在棱上移动． (1)证明：； (2)当为何值时，使得二面角的大小为 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判定即可； （2）建立空间直角坐标系，设坐标，利用空间向量研究面面角即可. 【详解】（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，设，则， 即，显然， 所以； （2）由上，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，即， 易知底面的一个法向量为， 则， 由点E在棱上移动，所以. 1．（23-24高二下·安徽宣城·期末）若的二面角的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，，且，则CD的长等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可画出几何示意图，根据空间向量的线性关系，得到，利用向量的模长和数量积的关系，结合已知，即可求解. 【详解】由题意可得如下示意图， 由二面角为，棱l上有A，B两点且，， 且,, ,. 故选：B.    【点睛】本题考查了利用二面角求线段的长度，转化为求向量的模长是解题的关键，属于基础题. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出点在线段上的投影，利用空间向量运算求出长的函数关系，进而求出最小值. 【详解】在正方形内过作于，则，，， 在矩形内过作于，则，，， ，由二面角的大小为， 得，又， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当的长度最小值时，. 故选：A 3．（23-24高一下·天津河西·期末）如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 【答案】 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，进而得到答案. 【详解】因为,所以， 由题意，，则， 所以， 因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且二面角大小为60°，所以， 而，，于是, 所以. 故答案为：. 4．（22-23高三下·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点． (1)求证：平面平面POC； (2)已知二面角的平面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，H为DC中点， ∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，平面POC，平面POC， ∴平面POC， 又∵平面DPO， ∴平面平面POC． （2）以O为原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，作x轴平面APB，如图所示． 设，则，， ，， ，． 由（1）知，为平面POC的一个法向量， 设为平面PBC的法向量， 则即 取，可得， 则． 解得， 又∵，∴， ∴． 【经典例题七 共面直线夹角的向量求法】 【例1】（23-24高二·全国·单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解. 【详解】因为是正方形中心，所以， 为二面角的平面角， 又正方形沿对角线折起成直二面角， 即二面角是直二面角，所以， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 又， 所以. 因为 所以， 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题. 【例2】（22-23高二上·贵州黔东南·期中）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 1．（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 2．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，，可得，利用线线角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，，，，， 设，，即，， ； 对于A，不是定值，A错误； 对于B，不是定值，B错误； 对于C，， 直线与所成角为定值，C正确； 对于D，不是定值，D错误. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用基底表示，结合向量夹角公式求得的余弦值. 【详解】连接，，连，设， 不妨设棱长为1，则，易知平面，E是的中心， 又与相似，∴， ∴，又，有， ∴，， ， ， ，， ∴， . 所以. 故答案为： 4．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求证：平面； (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面角，利用向量法求余弦即可, 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， 因为，平面 所以MN//平面BCE.·     · （2）； 当时，最小，最小值为；此时，为中点时，最短， 则，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是二面角的平面角． ，， ． 二面角的余弦值是． 【经典例题八 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 【例2】（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为，则有， 取，得， 所以点点平面的距离，即四棱锥的高为. 故选：D 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 3．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 【经典例题九 平行平面距离的向量求法】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      3．（23-24高二·全国·课后作业）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 故答案为： 【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题. 4．（23-24高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 【经典例题十 点到直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点．如何利用这些条件求点到直线的距离？ 【答案】答案见解析 【分析】根据空间点到直线的距离的知识进行求解. 【详解】向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形． 因为，都是定点，所以，与的夹角都是确定的， 于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离， 所以点到直线的距离为. 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 4．（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 【经典例题十一 异面直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知异面直线、，为、的公垂线段，、分别为、上的任意一点，为线段上的向量，求证：．    【答案】证明见解析. 【分析】由已知，得，可得，则，即可证出. 【详解】∵， ∴， 由，，为线段上的向量，得，， ∴， ∴，∴． 得证. 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 3．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 4．（22-23高一·全国·课后作业）正方体中，边长为2，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算求解异面直线的距离. 【详解】 在正方体中，建系如图， 则， 所以， 设， 则有令， 所以， 所以异面直线与的距离为. 【拓展训练一 向量法求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若异面直线与所成的角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面即可证. （2）根据题意建立空间直角坐标，设，利用空间向量坐标法求异面直线与所成的角的余弦值，解出即可求. 【详解】（1）由得平面平面． 由平面平面且得平面， 所以． （2）不妨设， 以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故，， 则， 解得或， 所以或． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选取空间的一组基底，将，用基底表示，结合夹角公式求解. 【详解】，设正四面体的棱长为， 则， 故，又， 直线与直线夹角的余弦值为， 故选：D． 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. （2）因为，，所以点坐标为. 那么，，.   设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以.   已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得.   【拓展训练二 向量法求线面角】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 故选：B. 【例2】（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1) 根据三棱柱的性质，得四边形为平行四边形, 所以，再由线面平行的判定定理即可证明； (2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量为，,由向量法求解线面角即可. 【详解】（1）在三棱柱中，因为分别是的中点， 根据三棱柱的性质，且，所以四边形为平行四边形, 所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）由题意，底面是边长为的正三角形，侧棱，则． 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 1．（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 3．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 4．（24-25高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知证明，，可得，可证平面； （2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面法向量，由向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为P，D分别是，的中点，则， 在三棱柱中，则，可得， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意知三棱柱中，侧棱与底面垂直， 且，， 故，∴， 以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故， 则，， 可得， 所以直线平面夹角的正弦值为. 【拓展训练三 向量法求二面角】 【例1】（25-26高二·全国·假期作业）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 【例2】（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即得为平面的一个法向量，根据条件建系，求出相关点和相关向量的坐标，由证得即可； （2）利用（1）的相关结论，运用空间向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1） 因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 因为棱的中点，则得， 因，，由，可得， 又平面，所以平面； （2）由（1）易得，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又平面的法向量， 因， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正方体，如图，延长至P使，O为的中点，设交平面于K，则下列说法正确的是（   ） A．与异面 B． C．的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 【答案】D 【分析】连接，可得四边形为直角梯形，可判断A；令正方体的棱长为3，计算可得判断B；以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求得判断C；求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而利用向量法可求得二面角的夹角的余弦值，进而可求得正切值判断D. 【详解】连接，易知，，所以四边形为直角梯形，与相交，故A错误； 令正方体的棱长为3，由知，， ，所以，，故B错误； 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，， ，∴，故C错误； 由，，，，， 易知平面的法向量， 设平面的法向量， 则， 则，可得， 取，得，，则， ∴，，， ∴，， ∴，D正确. 故选：D. 3．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【拓展训练四 利用空间向量研究存在性问题】 【例1】（23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为 . 【答案】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 2．（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 【答案】 【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值. 【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且 则，设平面的法向量为，又 则，令，则 因为平面，所以，即， 则，所以 则， 由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 4．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用中位线的性质证得线线平行，从而证得线面平行，再证得面面平行，利用面面平行的性质定理证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示求出点坐标，再利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）    取的中点，连接. 三点分别为的中点 在平面中，， 又平面平面平面 同理，，平面平面，所以平面， 又平面平面， 平面平面， 平面平面. （2）    因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面. 过作的平行线，过作交于点. 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 梯形中，，， 所以，则. 所以. 假设在上存在点使得，设， 设，则，解得. 因为， 所以，解得. ， 因为平面平面，故取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为. 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题意得，点到平面的距离． 故选：B． 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 4．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 5．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用点到线的距离公式，即可计算得出结果. 【详解】由题意得，， 利用点到线的距离公式得 故选：C 6．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图，    以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则． 从而. 设平面的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以点E到平面的距离为． 故选：A. 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 8．（24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 9．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面与的夹角的余弦值与法向量的关系求解即可. 【详解】设，，则， 所以平面与的夹角的余弦值为. 故选：D. 10．（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】， 设所成角为，则，故 故所成角为， 故选：C 11．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 15．（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角的正弦值即可. 【详解】取 的中点 ，连接 ，因为是正三角形，所以 . 又因为正三棱柱中，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 已知正三棱柱各棱长均为 ，则 ，，，。 所以，. 则 . 设直线 与 所成角为 ， 所以 . 故答案为： 16．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，点在上，且，.    (1)若为线段的中点，求证：直线平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，在平面中，过点作，连接，先证明四边形是平行四边形，再根据线面平行判定定理证明； （2）过点作交于点，根据条件证明两两互相垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算平面与平面的夹角. 【详解】（1）取中点，在平面中，过点作，连接， 因为为线段的中点，所以， 又因为，，，所以， 由上可得，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以直线平面    （2）过点作交于点， 因为平面，所以平面 因为，所以 因为，所以两两互相垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 根据题意，. 所以 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 所以平面与平面的夹角为.    17．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 18．（24-25高二下·河南新乡·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在和中，利用中位线平行得出∥，即可证明结论； （2）作出空间直角坐标系并表达出点和的坐标，设，，利用几何知识得出，，求出平面和平面DCF的法向量，即可得出二面角的余弦值的表达式，利用换元法结合基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意证明如下， 连接，，，设，连接． 在中，，分别是，的中点，所以∥， 在中，，分别是，的中点，所以∥， ∴∥． ∵平面，平面， ∴∥平面． （2）由题意及（1）得， 过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设， 则，． 设， 则，， 即， 则，． 设平面的法向量为， 则所以 可取． 由几何知识得，平面DCF的一个法向量为， ． 令， 则， 当且仅当，即，，等号成立， 所以． ∴二面角的余弦值的最大值为． 19．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点．    (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后利用等腰三角形的性质得，进而利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量为，由（1）可知，为平面PAC的法向量，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面，所以， 又底面ABCD为正方形，，，平面，平面，所以平面，平面，所以， 平面ABCD，平面，所以， 在中，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则,即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角的夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2）点B到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$