专题3.3 导数与函数的极值、最值 讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题3.3 导数与函数的极值、最值 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·一模）在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 4．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设，则函数的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．已知函数的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有三个极值点 B．为函数的极大值 C．为的极小值 D．有两个极小值 12．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值点为2 C．的极大值为－2 D．有2个零点 13．（2025·浙江杭州·二模）设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 14．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 三、填空题 15．（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 16．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 17．（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为 . 18．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题 19．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)讨论函数的极值． 20．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 21．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 22．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． (1)求函数的解析式； (2)若（且），求的极大值. 23．已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 24．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 25．已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 能力提升 26．已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．2 B．0 C．-3 D．-1 27．（2024�江苏南通�二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 28．（2023�山东烟台�二模）若函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 29．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（   ） A．的取值范围是 B．是极小值点 C．当时， D． 31．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 32．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 33．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 34．（24-25高三上�北京�期中）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若对于恒成立，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】运用导数正负研究单调性，再得到极值点即可. 【详解】， 令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增. 所以的极小值点为. 故选：B. 2．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点. 【详解】因为定义域为， 所以，令得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值． 故选：D 3．（2025·陕西汉中·一模）在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，根据极值点及根与系数关系得，再由等比数列的性质有，，即可得. 【详解】由，则， 因为在等比数列中，是函数的极值点， 所以，故，且， 故，故. 故选：D 4．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】计算，再将问题转化为在有2个不同的两侧异号的实数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解. 【详解】因为有两个不同的极值点， 所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号， 所以在有2个不同的实数根，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号， 所以，解得. 故选：C. 6．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据极值求参数 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 7．设，则函数的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意，令，求导可得，即可得到在单调递减，从而得到结果. 【详解】因为，令，则，由可得，    当时，，则单调递减， 所以时，有最小值为. 故选：D 8．已知函数的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据极值求参数 【解析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x，xz，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，的3个根为0,1,2， ， 解得， 又由图可知，为函数f (x)的两个极值点， 的两个根为， ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法. 9．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 10．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据极值求参数 【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可. 【详解】， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值， 只需，显然四个选项中，只有能推出， 但是推不出， 故选：A 二、多选题 11．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有三个极值点 B．为函数的极大值 C．为的极小值 D．有两个极小值 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】根据函数的图象，得出的符号，进而求得函数的单调区间，以及函数的极值点，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当和时，函数取得个极小值点， 当时，函数取得个极大值点. 故选：ABD. 12．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值点为2 C．的极大值为－2 D．有2个零点 【答案】BD 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求函数的零点 【分析】求导分析的单调性可判断ABC，再求解可判断D 【详解】，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 对A，因为时，单调递增，故A错误； 对B，的极大值点为2正确，故B正确； 对C，的极大值为，故C错误； 对D，即，解得或，故D正确； 故选：BD 13．（2025·浙江杭州·二模）设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 【答案】BD 【知识点】函数极值点的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 14．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、简单复合函数的导数 【分析】求出函数的导数，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为： 16．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 17．（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为 . 【答案】/ 【知识点】简单复合函数的导数、求已知函数的极值点 【分析】先将函数进行变形得到，再利用复合函数的求导法则进行求导，然后判断函数的单调性即可. 【详解】因，则， 令，则， 则 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值点为. 故答案为： 18．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解. 【详解】由题意，得， 若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去， 若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为.， 故答案为： 四、解答题 19．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解； （2）求得，分和，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，解得. （2） 解：由函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，所以在R上单调递增，无极值； 当时，令，解得， 令的解集为；令的解集为， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以 ，无极大值. 综上所述，当时，无极值； 当时， 无极大值. 20．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为. 令， 解得，所以的取值范围为. 21．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）通过求导判断导数正负来确定函数的单调区间； （2）函数有两个极值点意味着导数对应的方程在给定区间有两个不同的根，通过构造函数并分析其性质来求解参数范围. 【详解】（1）依题意，当时，，此时函数的定义域为， ， 令，即，解得； 令，即，解得； 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）依题意，，则， 令，得， 令，故问题转化为在区间内有两个不等根， 故，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 22．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． (1)求函数的解析式； (2)若（且），求的极大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）先求出导函数，再根据题目条件列出等式求解出，，，得出；最后利用导数求出函数极值进行验证. （2）先根据（1）中结论和题目条件得出，求出导函数；再根据和分两种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性求出极大值即可. 【详解】（1）因为， 所以. 由函数的图象经过点，可得：， 由函数在处有极值，可得：且， 由，可得：， 以上式子联立，解得：，，， 故，， 令，解得：或；令，解得：， 则函数在内单调递增；在内单调递减；在内单调递增， 故在处取极小值，符合题意， 所以． （2）因为，， 所以，，， 则. 令，解得：，. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 综上可得：当时，的极大值为； 当时，的极大值为． 23．已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；最大值为；（2）存在，. 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值. 【详解】解：.（1）∵，， ∴，由，得.∴， ∴，，，， ∴的单调增区间是，单调减区间是； 的极大值为；也即的最大值为. （2）解：∵，∴， ①当时，在单调递增， 得的最大值是，解得，舍去； ②时，由，即， 当，即时， ∴时，；时，； ∴的单调增区间是，单调减区间是， 又在上的最大值为，∴，∴； 当，即时，在单调递增， ∴的最大值是，解得，舍去； 综上：存在符合题意，此时. 【点睛】本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性及求解函数的最值中的应用，还考查了函数的最值求解与分类讨论的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件. 24．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 25．已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)的极大值为，极小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】 （1）求导，得到函数单调性，进而得到极值情况； （2）求导，得到导函数的两个零点，分和两种情况，求出函数的最大值. 【详解】（1）当时，，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 综上，的极大值为，极小值为； （2），， 故，， 令得或， 因为，当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以，所以； 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以； 综上： 能力提升 26．已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值 【分析】利用导数法求得和的极大值，然后根据与有相同的极大值建立方程求解即可. 【详解】，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 又，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 依据题意，和有相同的极大值， 故，所以，所以. 故选：B. 27．（2024�江苏南通�二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 28．（2023�山东烟台�二模）若函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围. 【详解】因为函数有两个极值点， 又函数的定义域为，导函数为， 所以方程由两个不同的正根，且为其根， 所以，，， 所以， 则 ， 又，即，可得， 所以或（舍去）， 故选：C. 29．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】对函数求导，讨论参数a的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可得范围. 【详解】由题意，函数，可得， 若时，当时在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，令，即， 画出函数与的图象，如图所示，    结合图象，存在，使得， 当时单调递减； 当时单调递增， 此时函数在上有最小值，符合题意． 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：A 30．已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（   ） A．的取值范围是 B．是极小值点 C．当时， D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由题意得方程在上有两根，构造函数，求导得出的单调性，由此即可进一步得出的最值，的范围，由此即可判断A，对于BC，由A选项分析可得，由此即可进一步得出的单调性即可判断；对于D，由变形即可判断. 【详解】令， 由题意方程在上有两根， 设，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，故A符合题意； 由A选项分析可知， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极小值点，故BC不符合题意； 对于D，因为，所以，故D不符合题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键是得出，当时，，当时，，由此即可顺利得解. 31．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 32．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数 【分析】由题可得既有极大值又有极小值，求导确定导函数的根列不等式组即可得的取值范围，再根据函数的单调性确定函数在区间上单调递减或在区间上单调递增时，列不等关系即可求得的取值范围. 【详解】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 33．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】令得，令，将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，利用导数判断出的单调性，结合图象可得答案. 【详解】的定义域为， 因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点， 令，则， 即，所以，令， 所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题， 求导得， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， ，则恒成立， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，又因为， 则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点， 由图象知，即，所以的取值范围为． 34．（24-25高三上�北京�期中）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若对于恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)函数的极小值为，无极大值 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程； （2）利用导函数求出函数的单调性，进而得出极值； （3）将不等式恒成立转化成函数的最小值恒成立问题，化简整理可得，构造函数并求得其最大值即可. 【详解】（1）当时，，. 即曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，则； 令，则，即在上单调递增； 又易知，所以当时，，当时，； 即函数在上单调递减，在上单调递增； 即函数的极小值为，无极大值. （3）对于恒成立，可得在恒成立； 令，则，又， 由可解得， 易知当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值， 也是最小值为； 易知，即， 可得， 令，则， 因此当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即. 故的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，一般情况下将不等式化简变形并通过构造函数求得函数在定义域内的最值，再根据题意求解即可得出结论. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 题型1 函数图像与极值（极值点）关系 6 题型2 求已知函数的极值 9 题型3 由已知极值（点）求参数的值 12 题型4 由已知极值（点）求参数的取值范围 15 题型5 由导数求不含参函数的最值 19 题型6 由导数求含参函数的最值 23 题型7 已知函数最值求参数 25 知识点一 函数极值的概念 1．极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. ①特征：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，并且. ②符号：在点附近的左侧，右侧. ③结论：叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 2．极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. ①特征：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，并且. ②符号：在点附近的左侧，右侧 ③结论：叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 知识点二 函数极值与导数的关系 1．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 (1)必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是. (2)充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在附近两侧异号. 注：(1)“是函数的一个极值点”是“”的既不充分也不必要条件.如函数，则是函数的一个极小值点，而不存在；，则，但却不是函数的极值点. (2)“是可导函数的一个极值点”是“”的充分不必要条件，反之“”是“是可导函数的一个极值点”的必要不充分条件. 2．导数值为0的点不一定是函数的极值点 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号。 3．函数极值的求解步骤 一般地，求函数的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数. (2)解方程，得方程的根(可能不止一个). (3)用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将，，在每个区间内的变化情况列在同一个表格中. (4)由在各个开区间内的符号，判断在的各个根处的极值情况： 如果根的附近左正右负，那么函数在这个根处取得极大值； 如果根的附近左负右正，那么函数在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根附近左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 知识点三 函数在闭区间上的最大(小)值 1．最大值与最小值的定义 对于函数，是函数定义域内的一个子区间，若对任意的，存在使得，则称为函数在区间上的最小值；若对任意的，存在，使得，则称为函数在区间上的最大值。 2．函数的最值与极值的联系 观察图中一个定义在闭区间上的函数的图像。图中与是极小值，是极大值。函数在上的最大值是，最小值是。 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 知识点四 函数的最大(小)值的求解 对于在闭区间上图像连续不断的函数，要求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值，然后将所有极大(小)值与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即函数的最大(小)值。 所以，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求在内的极值; (2)将的各极值与，比较。其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 拓展1 函数的极值与零点的关系 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： (1)三次函数有且只有一个零点的条件。分如下两种情况讨论： ①函数在上是单调的，相当于恒大于等于零或恒小于等于零，令则即。 ②函数在上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，则，即，它们对应的函数值为极大值或极小值， 需满足或，即。 因此，三次函数有且只有一个零点的条件是或 (2)三次函数有且只有两个零点的条件。 由有两个零点知函数在：上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足或。 因此，三次函数有且只有两个零点的条件是或 (3)三次函数有三个零点的条件。 由有三个零点知函数在上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足 因此，三次函数有三个零点的条件是 拓展2 恒成立与存在性问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型1 函数图像与极值（极值点）关系 1．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【知识点】函数极值点的辨析、函数最值与极值的关系辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 2．（多选题）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】AD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点. 【详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 故选：AD 3．（多选题）（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【知识点】函数极值点的辨析、由导数求函数的最值（不含参）、函数（导函数）图象与极值的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 4．（多选题）已知函数，，则的图象可能是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】BD 【知识点】函数图像的识别、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】求导，令，可得，可得有两个变号零点，可得有两个极值点，可得结论. 【详解】，则， 所以有两个极值点，，且． 故选：BD. 题型2 求已知函数的极值 5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）写出函数的一个极值点 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求导函数，令即可求极值点. 【详解】由题意，函数， 导函数， 令，则或， 所以或. 令，则可取，且在其左右两侧导函数变号. 故答案为：.（答案不唯一） 6．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）关于函数 ，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的一个极大值为1 【答案】AC 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】首先求函数的导数，利用导数与函数单调性，极值的关系，即可判断ACD，利用特殊值，即可判断B. 【详解】，得或， 的变化情况如下表， 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当时取极小值，也是最小值，无极大值， ，，，所以函数也不关于对称， 所以正确的只有AC. 故选：AC 7．（多选题）（24-25高三上�辽宁�开学考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是函数的极大值点 C．的单调递减区间是 D．函数的最小值为 【答案】ACD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导，确定函数的单调性、极值与最值，逐项判断即可得结论． 【详解】，， ， 令，则， 令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A、C正确，B错误； 又，故D正确． 故选：ACD. 8．（多选题）（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，则（    ） A．， B．在上单调递增 C．的极大值为1 D．的极小值为 【答案】AC 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】对A，根据函数的解析式结合分析判断；对B，C，D，利用导数判断单调性和极值判断. 【详解】由，得的定义域为， 对于A，由.当时，，，所以，故A正确； 对于B，C，D，由，得. 由，得或，由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以B，D错误，C正确. 故选：AC. 题型3 由已知极值（点）求参数的值 9．已知函数在处有极值0，则的值为 ． 【答案】11 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解． 【详解】因为，所以， 由题意可知，，即，解得或， 当时，， 函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上递增，在上递减， 所以在时取得极大值，符合题意，所以， 故答案为：11． 10．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案. 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 12．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 因此是的极值点，所以. 故选：B 13．（多选题）（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可和得有两个根，令，可导可得在单调递增，在单调递减，进而可得. 【详解】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 题型4 由已知极值（点）求参数的取值范围 14．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得. 【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根. 即存在唯一变号根，设，， 函数在上单减；在上单增，在上单减； 当时，；当时，；则实数a的取值范围为. 故答案为：. 15．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 16．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案. 【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 17．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，分离参数后借助数形结合的方法可得结果． 【详解】∵， ∴． ∵函数在区间上有且仅有一个极值点， ∴在区间上只有一个变号零点． 令，得． 令， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴， 又． 结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点． ∴实数的范围为． 故选B． 【点睛】本题具有综合性，解答本题时注意以下几点：（1）将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公共点的问题处理；（2）解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到． 18．（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【详解】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 题型5 由导数求不含参函数的最值 19．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求得，得到函数的单调性和极小值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，函数取得极小值，也是最小值. 故选：D. 20．函数在区间上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数分析函数在上的单调性，进而可得结果. 【详解】因为，， 则，令得，所以， 当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，当时，有最大值. 故选：D. 21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 22．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 23．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果； （2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果. 【详解】（1）由函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点为， 则所求切线方程为． （2）由（1）得，当时，可得． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 而， 所以函数的值域为． 24．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数的值； （2）在时，对求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得的最大值. 【详解】（1）的定义域为，则． ，则． 所以曲线在点处的切线方程为． 依题意，将点代入切线方程，解得． （2）当时，，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 故存在，使得，即，所以，即， 当时，故在上单调递增， 当时，故在上单调递减， 所以， 故的最大值为4． 题型6 由导数求含参函数的最值 25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 26．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 题型7 已知函数最值求参数 27．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 28．已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得. 【详解】由，得， 当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意， 当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 时，函数有最小值， 解得. 故选：D. 29．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由已知结合偶函数性质函数在上的最小值为4，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求． 【详解】因为是定义域为的偶函数， 且函数在上的最小值为4， 所以函数在上的最小值为4， 当时，，此时， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，函数取得最小值，解得，符合题意， 当时，，，函数单调递减； ，，函数单调递增， 时，函数取得最小值，解得，不符合题意， 综上，． 故选：B． 30．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 31．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，从而求出参数的值. 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 32．（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，结合区间讨论函数的单调性，进而即可. 【详解】（1）当时，， 则，则，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，函数在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时，函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，． 一、单选题 1．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 2．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】已知函数最值求参数、求某点处的导数值 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 二、多选题 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 9．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【知识点】求函数值、导数的运算法则、根据极值点求参数 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 10．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四、解答题 11．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 14．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 题型1 函数图像与极值（极值点）关系 6 题型2 求已知函数的极值 9 题型3 由已知极值（点）求参数的值 12 题型4 由已知极值（点）求参数的取值范围 15 题型5 由导数求不含参函数的最值 19 题型6 由导数求含参函数的最值 23 题型7 已知函数最值求参数 25 知识点一 函数极值的概念 1．极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. ①特征：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，并且. ②符号：在点附近的左侧，右侧. ③结论：叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 2．极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. ①特征：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，并且. ②符号：在点附近的左侧，右侧 ③结论：叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 知识点二 函数极值与导数的关系 1．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 (1)必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是. (2)充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在附近两侧异号. 注：(1)“是函数的一个极值点”是“”的既不充分也不必要条件.如函数，则是函数的一个极小值点，而不存在；，则，但却不是函数的极值点. (2)“是可导函数的一个极值点”是“”的充分不必要条件，反之“”是“是可导函数的一个极值点”的必要不充分条件. 2．导数值为0的点不一定是函数的极值点 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号。 3．函数极值的求解步骤 一般地，求函数的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数. (2)解方程，得方程的根(可能不止一个). (3)用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将，，在每个区间内的变化情况列在同一个表格中. (4)由在各个开区间内的符号，判断在的各个根处的极值情况： 如果根的附近左正右负，那么函数在这个根处取得极大值； 如果根的附近左负右正，那么函数在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根附近左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 知识点三 函数在闭区间上的最大(小)值 1．最大值与最小值的定义 对于函数，是函数定义域内的一个子区间，若对任意的，存在使得，则称为函数在区间上的最小值；若对任意的，存在，使得，则称为函数在区间上的最大值。 2．函数的最值与极值的联系 观察图中一个定义在闭区间上的函数的图像。图中与是极小值，是极大值。函数在上的最大值是，最小值是。 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 知识点四 函数的最大(小)值的求解 对于在闭区间上图像连续不断的函数，要求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值，然后将所有极大(小)值与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即函数的最大(小)值。 所以，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求在内的极值; (2)将的各极值与，比较。其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 拓展1 函数的极值与零点的关系 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： (1)三次函数有且只有一个零点的条件。分如下两种情况讨论： ①函数在上是单调的，相当于恒大于等于零或恒小于等于零，令则即。 ②函数在上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，则，即，它们对应的函数值为极大值或极小值， 需满足或，即。 因此，三次函数有且只有一个零点的条件是或 (2)三次函数有且只有两个零点的条件。 由有两个零点知函数在：上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足或。 因此，三次函数有且只有两个零点的条件是或 (3)三次函数有三个零点的条件。 由有三个零点知函数在上不是单调的，设方程，即有两个不相等的实数根，此时，即，它们对应的函数值是极大值或极小值，需满足 因此，三次函数有三个零点的条件是 拓展2 恒成立与存在性问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型1 函数图像与极值（极值点）关系 1．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 2．（多选题）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 3．（多选题）（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 4．（多选题）已知函数，，则的图象可能是（   ） A．  B．  C．   D．   题型2 求已知函数的极值 5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）写出函数的一个极值点 . 6．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）关于函数 ，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的一个极大值为1 7．（多选题）（24-25高三上�辽宁�开学考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是函数的极大值点 C．的单调递减区间是 D．函数的最小值为 8．（多选题）（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，则（    ） A．， B．在上单调递增 C．的极大值为1 D．的极小值为 题型3 由已知极值（点）求参数的值 9．已知函数在处有极值0，则的值为 ． 10．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 12．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 13．（多选题）（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 题型4 由已知极值（点）求参数的取值范围 14．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 15．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 18．（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 题型5 由导数求不含参函数的最值 19．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．函数在区间上的最大值是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 23．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 24．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 题型6 由导数求含参函数的最值 25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 26．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 题型7 已知函数最值求参数 27．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 28．已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 29．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 30．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 31．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 32．（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 一、单选题 1．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D．   二、多选题 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 9．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 10．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是 ． 四、解答题 11．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 14．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$