山东省莱西市第一中学2024-2025学年高一强基班上学期阶段检测（二）数学试题

高一强基班阶段性检测（二） 数学试题 本试卷共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟本试卷. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是种，则（ ） A. B. C. 20 D. 2. 已知向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数据的平均数、标准差分别为，数据的平均数、标准差分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则（ ） A. B. C. 互斥但不对立 D. 对立 7. 已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均相等的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的半径与棱长的比值的平方为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的虚部等于 D. 10. 在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，对任意，平面恒成立 B. 当时，的最小值为 C. 当时，与平面所成的最大角的正切值为 D. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ） 甲地：总体平均数，且中位数为； 乙地：总体平均数为，且标准差； 丙地：总体平均数，且极差； 丁地：众数为，且极差． A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则_____________． 13. 某地区年龄超过周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于千克到千克之间，现从该地区年龄超过周岁的男士中随机抽取人组成一个样本进行统计．将这名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第组，第组，第组，第组，第组，其频率分布直方图如图所示． 则：（1）____________；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过周岁的男士体重的平均值为____________（千克）． 14. 如图，一个盛满水的可以转动的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，． （1）求，及，； （2）设，求． 16. 在中，若、、分别是内角、、的对边，已知同时满足下列个条件中的个：①；②；③；④ ． （1）请指出这个条件，并说明理由； （2）求． 17. 如图①，在直角梯形中，，，，E为的中点，将沿折起构成几何体，如图②．在图②所示的几何体中： （1）在棱上找一点F，满足平面，求几何体与几何体的体积比； （2）当几何体的体积最大时， ①求证：平面； ②求二面角的余弦值． 18. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 19. 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 （1）分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； （2）经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 高一强基班阶段性检测（二） 数学试题 本试卷共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟本试卷. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】CD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），；，；（2）. 【16题答案】 【答案】（1）满足①，③，④；理由见解析；（2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）①证明：由题意，当几何体的体积最大时，而底面的面积确定，从而点D到底面的距离最大，此时应有平面平面． 由已知，在图①中，取中点Q，连，在图②中连． 由已知，又，则四边形为正方形， 从而为等腰直角三角形，又，，， 所以，即为直角三角形，得． 在图②中，E为中点，则， 又平面平面且平面平面， 则有平面，得． 又，，则平面． ② 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； （2）（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $