2.4.2 商品利润最大问题 课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“商品利润最大问题”，核心内容为应用二次函数性质解决实际销售中的利润最值问题。通过生活中的商品销售实例导入，衔接二次函数顶点与最值的前期知识，以公式梳理（销售额、利润计算公式）和例题分层（基础题到变式训练）搭建学习支架。 其亮点在于以真实情境（日用品、粽子、电子产品销售）为载体，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过建立函数模型（如w=(x-成本)(销量)）和确定自变量范围（销量≥0等）培养数学思维，课堂小结归纳“建模型-定范围-求最值”流程强化模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助清晰例题梯度与规范步骤提高教学效率。

2.4.2 商品利润最大问题 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 知识点：利用二次函数解决利润问题 1. (1)在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的表达式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围； (2)与商品利润有关的计算公式： ①销售额＝销售单价×___________； ②利润＝销售额－___________＝每件利润×__________； ③每件利润＝销售单价－___________单价． 销售量 总成本 销售量 成本 2. (1)某种设备的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数表达式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的( ) A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最小值为7万元 B (2)某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，获得的利润是y元． ①写出y与x之间的函数表达式； ②应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 解：①由题意可得：y＝(x－20)(100－x)＝－x2＋120x－2 000 ②由题意可得：y＝－x2＋120x－2 000＝－(x－60)2＋1 600， 当x＝60时，函数有最大值1 600. 答：当定价为60元/件时，利润最大，最大利润为1 600元 【典例导引】 3. 【例1】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．请你帮助算一下，当售价为多少元时，该商店才能在半月内获得最大利润？ 解：设售价为x元，该商店获得的利润为w元， 则由题意，得w＝(x－20)[400－20×(x－30)]， 整理得w＝－20(x－35)2＋4 500， 当x＝35时，w取得最大值4 500， 即当售价为35元时，该商店才能在半月内获得最大利润4 500元 【变式训练】 4. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？ 解：设每盒售价为x元， 则W＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000， ∵a＝－10＜0， ∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝9 000 5. 【例2】某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的关系． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)y与x的函数关系式为y＝－10x＋300 (2)设该款电子产品每天的销售利润为w元， 由题意得w＝(x－10)y＝(x－10)(－10x＋300)＝－10x2＋400x－3 000＝－10(x－20)2＋1 000， ∵－10＜0， ∴当x＝20时，w有最大值，最大值为1 000元． 答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大利润为1 000元 6. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合如图所示的一次函数关系． (1)根据图象，直接写出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 解：(1)y与x的函数关系式为y＝－2x＋260 (2)设每天获得的利润为w元， 由题意得w＝(x－50)(－2x＋260)＝－2x2＋360x－13 000＝－2(x－90)2＋3 200. ∴当x＝90时，w有最大值，w最大值＝3 200. 答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3 200元 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 当堂练习 15 2.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . (以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 3. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 A 4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（　　） A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 D 5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最 大，为25元； 7 x y 5 16 O 19 （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量的取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. $$