专题21.2 解一元二次方程（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题21.2 解一元二次方程 （知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：解—元二次方程-直接开平方法 4 考点2：解—元二次方程-配方法 5 考点3：配方法的应用 5 考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 考点5：根据一元二次方程根的情况求参数 7 考点6：公式法解一元二次方程 7 考点7：因式分解法解一元二次方程 8 考点8：换元法解一元二次方程 8 考点9：一元二次方程的根与系数的关系 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 12 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点1：解—元二次方程-直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程： (1) (2)（配方法） 考点2：解—元二次方程-配方法 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)． (3) 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 考点5：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 考点6：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 考点7：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算： (1) 解方程：． (2)化简：． 考点8：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1) ； (2)． 考点9：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南·期末）一元二次方程 配方后化为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算题 (1)； (2)． (3) 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列一元二次方程． (1)（公式法）． (2)（配方法）． (3)． (4)． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 培优拔高 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 12．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，P为y轴上一点，连接，，当，则P点坐标为 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根记为，．若，则 ． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1) (2) 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们给出定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，该方程的衍生点为________． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有请求出的值，若没有说明理由． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 20．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 解一元二次方程 （知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：解—元二次方程-直接开平方法 4 考点2：解—元二次方程-配方法 5 考点3：配方法的应用 9 考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 11 考点5：根据一元二次方程根的情况求参数 12 考点6：公式法解一元二次方程 13 考点7：因式分解法解一元二次方程 15 考点8：换元法解一元二次方程 16 考点9：一元二次方程的根与系数的关系 18 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 28 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点1：解—元二次方程-直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【规范解答】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或 ，   解得：． 考点2：解—元二次方程-配方法 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【规范解答】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由可得，可得可得出， 即对所有成立．将代入得：可得， 再判断即可． 【规范解答】解：由可得， ， ， ， 即对所有成立． 将代入得： ， ， ， 即对所有成立． 故选：． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【思路引导】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【规范解答】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3） ，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个实数根 【答案】D 【思路引导】本题考查了根的判别式，当时，找出；当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而可得出结论． 【规范解答】解：A、当时，原方程为，解得，故选项A不符合题意； B、当时，， 当时，， 所以，方程有两个相等的实数根，故选项B不符合题意； C、当时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意； D、当时，，方程有两个实数根，故选项D正确； 故选：D． 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 考点5：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． （1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可； （2）证明即可． 【规范解答】（1）解：∵方程：的一个根为2， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 【答案】(1) (2)时，此方程有两个不相等的实数根 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得 ，即可求解； 【规范解答】（1）解：由题意得, 解得：． （2）∵，，， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴时，此方程有两个不相等的实数根 考点6：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 整理后得：， 配方得：， 开方得：或， 所以，； （2）解：， ，，， ， ， 即，． 【变式训练】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)0，2， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握与一元二次方程的解的关系是解题的关键． （1）先求出，再判断即可； （2）根据求根公式求出方程的解，根据为大于1的奇数，再解答即可． 【规范解答】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 原方程整理，得， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）解：0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或， 当时，； 当时，； 当时，， ∴p的值可以为0，2，，原方程有整数解． 考点7：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了提取公因式的方法进行因式分解，熟练掌握是解题的关键． （1）先移项，提取公因式，再计算即可； （2）先移项，利用平方差公式分解因式，再计算即可． 【规范解答】（1） 解：移项，得， 分解因式，得， 或， 所以，． （2） 解：移项，得， 分解因式，得， 即， 所以或． 所以，． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算： (1)解方程：． (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】此题考查解一元二次方程，分式的混合运算，熟记计算法则是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）先计算括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法． 【规范解答】（1）解： ∴； （2）解： ． 考点8：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 考点9：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【规范解答】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 3．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【规范解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【规范解答】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·海南·期末）一元二次方程 配方后化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，得，再配方，即，整理得，即可作答． 【规范解答】解：∵ ∴移项，得， 则配方，得， 即， 故选：A 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据题意得到一元二次方程根的判别式，然后解不等式即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【规范解答】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【思路引导】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，则，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，然后把化简为然后整体代入即可． 【规范解答】解：∵方程的两根分别为， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)，方程另一个根为 (2)且 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于k的一元一次不等式，求出，然后根据一元二次方程的定义得到，进而可求解． 【规范解答】（1）解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算题 (1)； (2)． (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 ∴，． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列一元二次方程． (1)（公式法）． (2)（配方法）． (3)． (4)． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． (4)，． 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解： 原方程可化为， ，，， ， ． ∴，； （2）解： 原方程可化为， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即． 两边开平方，得， ∴，； （3）解： 方程整理，得， 移项，得， ∴， ∴或． ∴，； （4）解： 方程整理，得，即， 配方，得， 即，， ∴，． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【规范解答】（1）证明：∵方程， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：∵ ∴， ∴或， ，， ∵该方程的两个实数根都是正数， ． 培优拔高 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键．先根据该方程有实数根，可知，且，求出解集即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且． 故选：D． 12．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【规范解答】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【规范解答】A、中，，不符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、中，，符合题意． 故选：D． 14．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，P为y轴上一点，连接，，当，则P点坐标为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查坐标与图形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程，设点P的坐标为，若点P在y轴的正半轴，画出相应图形，利用勾股定理和等腰直角三角形，结合一元二次方程的解法求得y值即可；若点P在y轴的负半轴，同理求解即可． 【规范解答】解：设点P的坐标为， 若点P在y轴的正半轴，过交延长线于Q，如图，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，即， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由得， 解得， 解得或（舍去）， 则或（舍去）， 同理，若点P在y轴的负半轴，， 综上，P点坐标为或． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根记为，．若，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算即可求出m值． 【规范解答】解：∵，是方程的两根，， ∴， 解得：， 当时，方程， ∴， 当时，方程， ， ∴方程无实数解， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系成为解题的关键． 直接根据根的判别式列不等式求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即，解得：且． 故答案为：且． 17．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们给出定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，该方程的衍生点为________． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有请求出的值，若没有说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【思路引导】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查了新定义，一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程得，该方程的衍生点． （2）解关于的一元二次方程得，则或，由过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，得或，求出的值即可解答． （3）根据直线，可得直线过定点，结合题意可知点的坐标为，故方程的两个根为，再根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【规范解答】（1）解：解方程得， 故该方程的衍生点． 故答案为：． （2）解：解关于的一元二次方程， 得， 则或， 由过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， 得或， 解得或． （3）解：直线， 当时，， ∴直线过定点， ∵关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， ∴点的坐标为， 故方程的两个根为， 根据一元二次方程根与系数关系，得，， ∴，． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【规范解答】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)不存在；理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【思路引导】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【考点评析】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$