专题21.1 一元二次方程（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题21.1 一元二次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的概念 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03：一元二次方程的解( 根) 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：—元二次方程的定义 3 考点2：化成一元二次方程的一般式 4 考点3：判断是否是一元二次方程 4 考点4：判断是否是一元二次方程的解 5 考点5：由一元二次方程的解求参数 7 考点6：一元二次方程的解的估算 7 考点7：由一元二次方程的定义求參数 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 16 知识点梳理01：一元二次方程的概念 1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 2.一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2 3.对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 知识点梳理03：一元二次方程的解( 根) 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4.方法技巧 利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法 （1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原 方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值， （2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值 考点1：—元二次方程的定义 【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【规范解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程． ∴且，解得∶． 故答案为：． 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，直接识别二次项系数和一次项系数． 【规范解答】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是，1， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·随堂练习）方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【规范解答】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【规范解答】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【规范解答】解：， ， 整理，得， 故选：C． 考点4：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【规范解答】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【规范解答】解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 考点5：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。 【规范解答】解：是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：D. 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【规范解答】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 考点6：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的近似值，由时，；时，，可得时，存在，据此即可求解，理解一元二次方程解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵时，；时，， ∴时，存在， 即必有一个解满足， 故选：． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 考点7：由一元二次方程的定义求參数 【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【思路引导】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【规范解答】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 1．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【规范解答】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【规范解答】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 3．（2023·江苏镇江·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 【答案】5 【思路引导】：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【规范解答】把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2023·贵州安顺·中考真题）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【思路引导】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值． 【规范解答】解：关于的方程的一个根为， ， 解得． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【答案】B 【思路引导】根据题意有，即有，据此即可作答． 【规范解答】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【考点评析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各式中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【规范解答】解：．，整理后，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； ．，当时，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； ．，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； ．，符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，由题意，得，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【规范解答】解：由题意，得， ∴， ∴； 故选D． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求解即可． 【规范解答】把代入，得 ， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程中不含x的一次项，则 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键． 根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【规范解答】解：∵方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元二次方程解的概念，解题的关键是理解一元二次方程的概念，把代入一元二次方程中，解关于m的一元二次方程即可求得m的值． 【规范解答】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 【规范解答】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【思路引导】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【规范解答】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【规范解答】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【规范解答】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 培优拔高 11．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的一般式，常数项的定义，根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案． 【规范解答】解：一元二次方程的常数项为， 故选：C． 12．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：D． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把代入方程得，解出的值即可求解． 【规范解答】解：把代入方程得， 解得：， 故选：C． 14．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【规范解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【规范解答】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 17．（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【规范解答】解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 18．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知a、b、c是的三条边长，若为关于x的一元二次方程的根．是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明． 【答案】是等腰三角形，但不是等边三角形，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解的定义，等边三角形和等腰三角形的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可得到是等腰三角形，但不是等边三角形． 【规范解答】解：是等腰三角形，但不是等边三角形，证明如下： ∵为关于x的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， ∴是等腰三角形，但不是等边三角形． 19．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可； （2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可. 【规范解答】解：化简，得 ． 方程是关于的一元二次方程，得 ，解得， 当时，方程是关于的一元二次方程； 由一次项系数为零，得． 则原方程是，即． 因式分解得， 解得，． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程. 20．如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结． (1)若，求的度数： (2)设． ①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析 【思路引导】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论； （2）①根据线段的和差即可得到结论； ②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论． 【规范解答】解：（1）∵， ， 又， 是等边三角形． ． （2）①∵ 又， ． ②∵ ∴线段的长是方程的一个根． 若与的长同时是方程的根，则， 即， ， ， ∴当时，与的长同时是方程的根． 【考点评析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 一元二次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的概念 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03：一元二次方程的解( 根) 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：—元二次方程的定义 3 考点2：化成一元二次方程的一般式 3 考点3：判断是否是一元二次方程 4 考点4：判断是否是一元二次方程的解 4 考点5：由一元二次方程的解求参数 4 考点6：一元二次方程的解的估算 5 考点7：由一元二次方程的定义求參数 5 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 7 知识点梳理01：一元二次方程的概念 1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 2.一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2 3.对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 知识点梳理03：一元二次方程的解( 根) 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4.方法技巧 利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法 （1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原 方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值， （2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值 考点1：—元二次方程的定义 【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 ． 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 【变式训练】（24-25九年级上·全国·随堂练习）方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 考点4：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 考点5：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 考点6：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 考点7：由一元二次方程的定义求參数 【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 1．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 3．（2023·江苏镇江·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 4．（2023·贵州安顺·中考真题）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各式中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程中不含x的一次项，则 ． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 培优拔高 11．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 12．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 16．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 17．（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 18．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知a、b、c是的三条边长，若为关于x的一元二次方程的根．是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明． 19．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 20．如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结． (1)若，求的度数： (2)设． ①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$