13．2　与三角形有关的线段 导学案 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13．2　与三角形有关的线段 13．2.1　三角形的边 【学习目标】 1．掌握三角形三条边之间的关系． 2．通过观察和实际操作得知三角形具有稳定性． 3．稳定性在生产、生活中广泛应用． 【预习导学】 阅读教材P5－7，完成练习． 【合作探究1】 活动1　三角形的三边关系 1．三角形两边的和__大于__第三边． 2．推论：由于a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b<a，即三角形两边的差__小于__第三边． 3．利用三角形三边关系，可以确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形． 活动2　跟踪训练 1．下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8(　不能　)；　(2)2，5，6(　能　)； (3)5，6，10(　能　); (4)5，6，11(　不能　)． 2．判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据刚才的解题经验，有没有更简便的判断方法？ 解：用较短的两条线段的和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能． 活动3　典例精析 【例1】 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长． 解：设第三边的长为x，根据两边的和大于第三边得x＜2＋7即x＜9.根据两边的差小于第三边得x>7－2即x>5.∴x的值大于5且小于9，又∵x是奇数，∴x只能取7. 【例2】用一根长为18 cm的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？ 解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm. 则x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6. ∴三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. (2)①当4 cm长为底边，设腰长为x cm， 则4＋2x＝18.解得x＝7. ∴等腰三角形的三边长为7 cm，7 cm，4 cm； ②当4 cm长为腰长，设底边长为x cm，可得 4×2＋x＝18.解得x＝10. ∵4＋4<10， ∴此时不能构成三角形． 综上所述，可围成等腰三角形，且三边长分别为7 cm，7 cm和4 cm. 活动4　跟踪训练 1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(　B　) A．10 cm的木棒　　　　 B．20 cm的木棒 C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒 2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为(　C　) A．9　　　　　 B．12　　　　　 C．15　　　　　 D．12或15 3．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12 cm，则它的最短边长为(　B　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4．若五条线段的长分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，则以其中三条线段为边可构成__3__个三角形． 5．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为__17__；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为__10或11__. 【自学反馈】 1．下列图中具有稳定性的有(　C　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 2．下列设备中，没有利用三角形的稳定性的是(　A　) A．活动的四边形衣架 B．起重机 C．屋顶三角形钢架 D．索道支架 3．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了　__三角形的稳定性__． 【合作探究2】 活动1　思考 1．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？__防止窗框变形．__ 2．观察下面的图片，有什么共同点？__都具有三角形的形状． 活动2　动手操作探究三角形的稳定性 观察下列三个图形，并回答问题． (1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (4)从上面实验过程你能得出什么结论？ (5)还有什么发现？ 解：(1)三角形木架形状不会改变． (2)四边形木架形状会改变． (3)四边形木架形状不会改变． (4)这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性． (5)还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．原因是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变． 活动3　理解三角形的稳定性 只要三角形三条边的__长度__固定，这个三角形的__形状__和__大小也就完全确定，三角形的这种性质叫作三角形的稳定性． 活动4　跟踪训练 1．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了(　C　) A．节省材料，节约成本　　B．保持对称 C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(　D　) A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 3．下列图形中哪些具有稳定性？请在图号后分别画“√”或“×”表示“有稳定性”或“没有稳定性”． 13．2.2　三角形的中线、角平分线、高 【学习目标】 1．三角形的中线、角平分线、高的概念． 2．三角形的中线、角平分线、高的画法． 【预习导学】 阅读教材P7—8，回答下列问题： (1)在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作这个三角形的__中线__； (2)在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作__三角形的角平分线__； (3)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作__三角形的高__． 【自学反馈】 1.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的__中线__．如图①，AD是△ABC的中线，则BD＝__CD__. 　①　　　　　　②　　　　　　　③　 2．∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的__角平分线__．如图②，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝__∠CAD__. 3．三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的__高__．如图③，AD是△ABC的高，则AD⊥__BC__. 4．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？ 解：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线；高是线段，垂线是直线． 5．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？ 解：一个三角形有3条高，3条中线，3条角平分线． 【合作探究】 活动1　三角形的中线 1．三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它对边__中点__的线段，叫作这个三角形的中线．如图，__AD__是△ABC中BC边上的中线． 2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条中线相交于__一__点； (2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__； (3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__； (4)直角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__． 3．三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的__重心__． 活动2　三角形的角平分线 1．以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线吗？ 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的__平分线__与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的__线段__叫作三角形的角平分线． 如图，__AD__是△ABC的角平分线，图中∠BAD＝∠__CAD__. 2.分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条角平分线相交于__一__点； (2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__； (3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__； (4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__． 活动3　三角形的高 1．用画图工具准确画出三角形的高． 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作__垂线，顶点和__垂足__之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高． 如图，线段__AD__是BC边上的高． 注意：画三角形的高时要标明垂直的记号和垂足的字母． 2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条高线相交于__一__点； (2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的__内部__； (3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的__外部__； (4)直角三角形的三条高线相交于三角形的__直角顶点__． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13．2　与三角形有关的线段 13．2.1　三角形的边 【学习目标】 1．掌握三角形三条边之间的关系． 2．通过观察和实际操作得知三角形具有稳定性． 3．稳定性在生产、生活中广泛应用． 【预习导学】 阅读教材P5－7，完成练习． 【合作探究1】 活动1　三角形的三边关系 1．三角形两边的和 第三边． 2．推论：由于a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b<a，即三角形两边的差 第三边． 3．利用三角形三边关系，可以确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形． 活动2　跟踪训练 1．下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8(　 　)；　(2)2，5，6(　 　)； (3)5，6，10(　 　); (4)5，6，11(　 　)． 2．判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据刚才的解题经验，有没有更简便的判断方法？ 活动3　典例精析 【例1】 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长． 【例2】用一根长为18 cm的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？ 活动4　跟踪训练 1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(　 　) A．10 cm的木棒　　　　 B．20 cm的木棒 C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒 2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为(　 　) A．9　　　　　 B．12　　　　　 C．15　　　　　 D．12或15 3．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12 cm，则它的最短边长为(　 　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4．若五条线段的长分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，则以其中三条线段为边可构成 个三角形． 5．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为 ；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为 . 【自学反馈】 1．下列图中具有稳定性的有(　 　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 2．下列设备中，没有利用三角形的稳定性的是(　 　) A．活动的四边形衣架 B．起重机 C．屋顶三角形钢架 D．索道支架 3．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了　 ． 【合作探究2】 活动1　思考 1．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ ．__ 2．观察下面的图片，有什么共同点？ ． 活动2　动手操作探究三角形的稳定性 观察下列三个图形，并回答问题． (1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (4)从上面实验过程你能得出什么结论？ (5)还有什么发现？ 活动3　理解三角形的稳定性 只要三角形三条边的 固定，这个三角形的 和 也就完全确定，三角形的这种性质叫作三角形的稳定性． 活动4　跟踪训练 1．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了(　 　) A．节省材料，节约成本　　B．保持对称 C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(　 　) A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 3．下列图形中哪些具有稳定性？请在图号后分别画“√”或“×”表示“有稳定性”或“没有稳定性”． 13．2.2　三角形的中线、角平分线、高 【学习目标】 1．三角形的中线、角平分线、高的概念． 2．三角形的中线、角平分线、高的画法． 【预习导学】 阅读教材P7—8，回答下列问题： (1)在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作这个三角形的 ； (2)在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作 ； (3)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作 ． 【自学反馈】 1.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 ．如图①，AD是△ABC的中线，则BD＝ . 　①　　　　　　②　　　　　　　③　 2．∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的 ．如图②，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝ . 3．三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 ．如图③，AD是△ABC的高，则AD⊥ . 4．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？ 5．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？ 【合作探究】 活动1　三角形的中线 1．三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它对边 的线段，叫作这个三角形的中线．如图， 是△ABC中BC边上的中线． 2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条中线相交于 点； (2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ； (3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ； (4)直角三角形的三条中线相交于三角形的 ． 3．三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的 ． 活动2　三角形的角平分线 1．以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线吗？ 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫作三角形的角平分线． 如图， 是△ABC的角平分线，图中∠BAD＝∠ . 2.分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条角平分线相交于 点； (2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ； (3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ； (4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ． 活动3　三角形的高 1．用画图工具准确画出三角形的高． 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ，顶点和 之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高． 如图，线段 是BC边上的高． 注意：画三角形的高时要标明垂直的记号和垂足的字母． 2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系． 由作图可得出如下结论： (1)三角形的三条高线相交于 点； (2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的 ； (3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的 ； (4)直角三角形的三条高线相交于三角形的 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$