专题05 用空间向量研究距离和夹角（2知识点+11考点+2易错点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《阶梯册》考点训练

专题05 用空间向量研究距离和夹角 知识点一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01利用空间向量求点线距离 1．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 3．已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 4．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 考点02利用空间向量求点面距离、线面距离 5．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 6．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 7．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 8．如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 【答案】/. 【详解】以长方体顶点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，， 设平面的单位法向量，， 所以，即，解得， 设点到平面的距离为， 故. 故答案为：. 9．已知点，，，，则三棱锥的体积是 . 【答案】1 【详解】已知点，，，， 则， 所以， 设平面法向量为， ， 所以，所以， 令，所以，， 所以点P到平面距离为， 则三棱锥的体积是. 故答案为：1. 考点03利用向量方法求两异面直线所成角 10．已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为. 故选：A. 11．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 12．在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系: 设点 ，，，. 则 为 . 因为在正四棱锥中，所以由图形可知. 因为 是 的中点，所以由，. 得到中点坐标： . 所以 所以 设这两条异面直线夹角为 则 故选：A. 13．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 考点04利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围) 14．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,， 设，， 则,,， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则，当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D．    15．已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 因为，所以. 故答案为：. 16．已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则和相似， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系，    因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 所以对角线与所成角的余弦值的取值范围是. 故答案为：. 17．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段上一点．记异面直线与所成角为，求的取值范围． 【答案】 【详解】    过作，因为侧面是正三角形，所以O是CD的中点， 又因为平面底面，且平面，所以底面 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设．则，， ，，故． 令， 令，即，故， 当时，．当时，． 由对勾函数知．即． 18．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’ (1)求证: (2)求三棱锥的体积 (3)求异面直线所成的角的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 连接，因为四边形为正方形，所以， 又因为面，面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 而平面， （2）由（1）得到平面的距离为， ， 三棱锥的体积为12. （3）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，， ， ，， 设异面直线所成的角为， 则 当时，取得最大值， 又， 的最小值为. 考点05已知异面直线所成角求参数 19．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 20．（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 21．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    【答案】点到点的距离是侧棱长的． 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设，    因为， 所以， 所以． 易知，所以， 依题意，得，即， 整理得，亦即， 故点到点的距离是侧棱长的． 22．在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2）取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 考点06利用向量方法求直线与平面所成角 23．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 24．如图，已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面，此时直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，而平面平面， 平面平面，又平面，平面， 则平面，平面，，因此直线两两垂直． 如图，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则，，，，， ，，设平面的法向量， 则，令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的余弦值为．    25．在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.    (1)求证：； (2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，过作，垂足为，过作，垂足为， ∵为等边三角形，N分别为BE的中点，∴ ∵平面平面平面平面平面， ∴平面 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设等边的边长为2， 则 设则 ∵四边形ABCD为平行四边形，M为AD的中点， 所以 .,, ∵， 所以，即.      （2）由（1）知, 设平面的一个法向量为 ，取则， 所以是平面的一个法向量. . 所以直线MN与平面ACE所成角的正弦值为. 26．如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 考点07利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围) 27．如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，，取， 则． 故选：C． 28．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，所以， 又，， 又，，，. 在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取 ，又平面与平面不重合， 平面平面. （2）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 29．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：如图，设线段AB的中点为，连接，， 在中，为的中点，为的中点，所以． 又在矩形中，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为，为AB的中点，所以F为的中点， 又G为的中点，在中有． 所以可得，又平面，平面，所以平面． （2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，，， 设，且，则， 所以， 设平面的法向量为， 因为，， 由，得， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 所以； 令，则， 所以，即，时，有最大值． 30．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. (1)求三棱锥的体积最大值； (2)求直线与平面所成角正弦值的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由于三棱锥的高，所以当底面面积最大时，三棱锥的体积最大. 又是底面圆的一条直径，所以当时，底面的面积最大. 此时. （2）如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系系，则， 设平面的一个法向量为， 记，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当时等号成立. 故直线与平面所成角正弦值的最大值为. 31．直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由直三棱柱得， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 如图所示，以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以设，则， 设平面的一个法向量为， 由，即，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 所以． 考点08已知直线与平面所成角求参数 32．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 33．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【详解】（1）证明：如图1所示，连接与相交于点，连接. 因为底面为矩形，所以为的中点. 又为棱的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证法1：因为，且为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以. 又因为底面为矩形，所以. 又，平面 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面. 证法2：以为原点，因为底面，底面为矩形， 所以分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，. 故，从而，， 所以，即. 又因为，为中点，所以， 又，平面， 所以平面. （3）以为原点，分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 化简得，即， 解得或. 故或. 34．如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：EF平面BDM． (2)当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）四边形、四边形、四边形均为正方形， 两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设， ，， ， ，同理可证，且，平面， 故平面. （2）设平面的法向量，又，， ， 令，解得，，. 假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则， ，解得：， 在棱上，，， 当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为． 35．如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． (1)若分别为线段的中点，求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形， 又为线段的中点，连接，则为与的交点，为棱的中点， 因为为线段的中点，所以， 又平面，平面，所以直线平面． （2）因点为棱上一动点，平面，与总垂直， 所以平面， 以为原点，分别为轴建立坐标系，则轴在内且轴， 又侧面是棱长为2的菱形，且， 则，，，设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以与轴重合，即平面， 所以三棱柱的体积． 考点09利用向量方法求两个平面的夹角 36．点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 37．如图，四棱锥P－ABCD中，，平面ABCD，，M为PB的中点，．    (1)证明：； (2)求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，所以，从而， 又，所以． 因为， 所以， 所以． 因为平面平面ABCD，所以． 又平面平面PAC， 所以平面PAC．又平面PAC， 所以． （2）由（1）知，，又平面平面平面ABCD， 所以，所以AP，AB，AD两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ． 设平面AMN的一个法向量为，则 取，则． 显然是平面ABCD的一个法向量， 所以平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值为． 38．如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形，所以，， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以. 解法2：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形， 所以，，即，， 因为， 所以，即. （2）解法1：分别以射线，，为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角为60°． 解法2：因为，所以， 又因为，， 所以， 设， 则是平面和平面的交线，平面， 因为平面，所以， 又因为，所以即为平面和平面的夹角， 所以， 即平面和平面的夹角为60°． 39．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 40．如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2）因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 考点10利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围） 41．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明：、、、共面； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接、、， 因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点，所以，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为为的中点，所以，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以、、、共面. （2）过点在平面内作，垂足为点， 翻折前，因为，翻折后，则有，， 因为、平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 即是三棱锥的高. 由（1）的图，在中，，， 由余弦定理得， 所以， 所以， 在中，，，，是的中点， 则，， 所以， 所以三棱锥的体积为. （3）在平面中，过点作，交于点， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 设平面的一个法问量，则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 所以平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 42．如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证法一：连接，设，连接． 在中，分别是的中点，所以． 在中，分别是的中点，所以，则． 因为平面，平面，所以平面． 证法二：设的中点分别为，连接,如图所示． 因为， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，且，则． 设，则，即， 则． 设平面的法向量为，则， 所以可取． 易得平面的一个法向量为． ． 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故二面角的余弦值的最大值为． 43．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．      (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，连接，，由已知得四边形是矩形， 故与交于点，且点为中点， 又是的中点，所以． 又平面内，平面， 所以平面； （2）由于在直三棱柱中， 平面底面，且平面平面 故过在平面内作直线， 所以直线平面， 又，平面， 所以，， 由于直线，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系．    由于，设，则， 故，，，，设点， 由于，，， 所以，即，故， 设平面的法向量为，，， 由于，所以 令，则，即， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，则， 由于，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是． 44．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图．连接，，由已知得四边形是矩形， 故与交于点，且点为中点， 又是的中点，所以． 又由于平面，平面， 所以平面； （2）由于在直三棱柱中，平面底面，且平面平面 故过在平面内作直线， 所以直线平面， 又，平面， 所以，， 由于直线，，两两垂直，故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系． 由于， 设，则，故，， 设点， 由于，，， 所以， 即，故， 设平面的法向量为，，，， 由于，所以， 令，则，即， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 由于，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是. 考点11已知平面与平面所成角求参数 45．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 46．如图，直四棱柱的底面为梯形，，，. (1)若，E为的中点，在侧面内是否存在点F，使平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. (2)若点K为的中点，平面与平面所成锐二面角为60°，求的长. 【答案】(1)不存在满足条件的点F，理由见解析 (2)或. 【详解】（1）以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，. 若存在这样的点F，则可设，其中，. ，，， 平面，，， 则，， 即 与，矛盾，所以不存在满足条件的点. （2）设（），则，. ，， 设平面的一个法向量为，则 ， 即 ，取，则， 设平面的一个法向量，则 ， 即 ，取，则. 由题意得， 即，解得或（负值舍去）， 即的长为或. 47．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：平面平面，平面平面， ，平面，平面，而平面， 故，同理，又，，平面， 平面. （2） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，得，，，， ，， 设平面，平面的法向量分别为，， 则，，取， ，解得， 因为平面，所以与底面所成角为， ，得 即与底面所成角为． 48．如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，知 ， 由，结合余弦定理得， 则，所以， 又因为，即，又由平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2） 以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系， 有，设，， 可得， 由，两式消元可得， 再由， 再由， 设面PBC法向量为， 则， 令，则，，则， 而平面BCD法向量为， 由, 整理得：， 代入可得， 再与联立解得：或， 当时，代入 当时，代入，所以此时不成立，则舍去， 综上可得. 49．如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中， 由，，，， 得，， 则，， 又，且，平面， 所以平面． （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 可得，，， 设（），则， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面的法向量为， 由，解得，令，，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 易错01 求线面角的时候与向量角混淆 1．如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    因为，设， 则， 设，可得，， 因为，所以，可得，解得， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得， 可得平面的一个法向量为． 又，设与平面所成的角为， 则． 2．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)AE的长为. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱， 所以，因为D为AB中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面面， 所以面，面， 所以平面面. （2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ，设面的法向量为， ， 则，所以，令，则， 所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为， 所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为， 即，即， 解得：或（舍去）， 所以，AE的长为. 易错02 动点处理问题易忽略参数的范围 1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 2．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 刷基础 1．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 2．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点P，Q分别为平面，平面的中心，则， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 故可取，又， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 3．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 5．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 6．如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知在三棱柱中，，，所以为等边三角形，所以， 又，，故， 可得，因此， 又因为平面，平面，所以，即， 又，所以平面； （2）由（1）可知,由平面，平面， 所以，则为直角三角形， 由平面，平面，所以，即， 所以在中，, 则在中，, 所以的面积为. 连接，因为，，所以， 因为平面，所以，即两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，解得，取, 所以点到平面的距离, 则三棱锥的体积. 7．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，且，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以， 又，， 所以， 在正方形ABCD中，，， 所以， 又， 所以，即， 又，平面，平面，所以平面， 四边形的面积为， 四棱锥的体积为 ； （2）过O作交BC于M，则， 由（1）知平面，又平面， 所以， 以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系， 所以，，，， 故，，设平面BQD的法向量为， 则，故，取，则，， 故平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 所以，所以， 所以平面与平面的夹角的正弦值为 8．如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． （2） 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 9．如图，直四棱柱的顶点都在球的球面上，是球的直径，且.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）为球的直径，是在平面内的射影， 则为四边形外接圆的直径，所以， 因为， 所以，所以. 又平面平面，所以. 又因为，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）方法一：因为为球的直径，又为球的球面上，所以， 又平面平面，所以， 又因为，所以平面， 又平面所以所在直线两两相互垂直. 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    由已知可得，所以为等边三角形. 所以. 所以. 设平面的法向量为， 则即令，得. 设平面的法向量为， 则即令，得. 令平面与平面夹角为 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：设与的交点为，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图.    由已知可得. 所以. 计算可得平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为. 令平面与平面夹角为 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 方法三：（几何法）作，垂足为，连接. 利用三角形全等，或者证明平面，得，所以平面与平面夹角的平面角为（或其补角）. 可证明，所以是直角三角形. 由已知计算可得，又， 所以，同理. 由余弦定理得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．如图，四边形为正方形，平面， (1)证明： (2)若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由正方形ABCD知：⊥， 又由于平面且平面，故， 又由于且平面， 故平面， 因为平面，所以 （2）由于平面且平面， 故，显然两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系： 令AC与BD的交点为O，连接OQ， 由于平面，， 所以平面， 又平面，所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角． ， ∵， ，故，故， ， 设平面的法向量为， 由，， 令得， ， 设平面的法向量为， 由，， 令，则， ， 设平面和平面夹角为， 则， . 刷能力 1．对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中， ；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则，设， 则， 所以，即， 所以； ， 令， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：； 2．如图在四面体中，，，且E，F，G，H分别是，，，的中点. (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若平面⊥平面，且，求与平面的夹角的余弦值； (3)若，，平面内一点P满足，求的取值范围. 【答案】(1)四边形为矩形，证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取的中点，连接， 由，知，⊥，⊥，又， 故⊥平面，又平面，因此⊥． 又E，F，G，H分别是，，，的中点，则，， 故，同理，四边形是平行四边形， 且，又⊥，所以⊥，四边形是矩形. （2）∵平面⊥平面，平面平面， ⊥平面且⊥，平面， ∴⊥平面， 以点D为坐标原点，DA，DC，DO所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 因为，故均为等边三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 则， 由F为OB的中点，则， ∴， 设平面OAC的法向量为， 则， 令得，则有， 设AF与平面OAC夹角为θ， 则 ∴AF与平面OAC夹角的余弦值为． （3），， 故， 可知四面体为棱长为2的正四面体，的中点分别为， 连接相交于点，其中⊥平面，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得， 同理可得， 以O点为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内，与垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. ∴，， 设，由题有，， 故 整理得， 点轨迹为平面内，以为圆心，半径的圆. 记．由几何关系知当且仅当O，P，M共线时，|OP|取得最值. ∴．综上． 3．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 4．如图，在四面体ABCD中，平面，，的面积为2，设二面角的大小为θ，，且． (1)若是直角三角形，证明：； (2)记的面积为S，若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）作于H，设， 由， 则，， 所以 ， 又，所以， 由是直角三角形，，则， 故，则，所以与重合，即， 所以，则， 又平面，平面，所以． 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 所以，， 综上可得． （2）连接DH，因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 由题意，，的面积为S， 则， 而， ， 则， 所以， 则， 由（1）得，所以， 所以， 由（1）知，解得或2， 又，故，即H与A重合． 由（1）可知，平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面ABD的一个法向量， 则，即，取，则， 设平面BCD的一个法向量， 则，即，取，则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为． 5．如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动，点F是棱BC的中点. (1)求证：； (2)当E为AB中点时，求直线EF到平面的距离； (3)当AE等于何值时，平面与平面所成的角最小？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【详解】（1）以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，以1为单位长度建立空间直角坐标系如图，设， 则，，，，， 证明：因为，，所以， 所以，所以； （2）因为E为AB的中点，点F是棱BC的中点， 所以，则易得平面， 所以直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离， 又，从而，，， 设平面的法向量为，则 即所以令，从而， 所以点E到平面的距离为. （3）设平面法向量为，因为，，由，即所以 令，从而， 平面的法向量为， 设平面与平面所成的角为， 依题意有， 所以当时，取最大值，此时，角取到最小值， 即时，平面与平面所成的角最小. 6．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：因为点分别是底边的中点，所以，. 因为平面平面PAB，所以平面， 因为平面和平面的交线为，平面， 所以， 因为平面平面ABC， 所以平面. （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又. 所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以，又， 则， 由（1）可知，因为， 若，又，所以，所以 若，又，所以，所以 因为，设平面PBC的法向量为， 则，不妨取，解得， 设直线与平面所成角为， 当点的坐标为时，. 则；. 当点的坐标为时，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为或. 7．已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点 【详解】（1）因为梯形中，， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为分别为棱､的中点，所以，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 8．如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接． (1)求证：； (2)若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题可知，故四边形为平行四边形， 所以，又平面，故平面． 以菱形中心O为原点，为x轴正向，为y轴负向，z轴垂直于底面， 设，结合四棱台的性质，上底面为边长为的菱形，则 下底面：、、、， 上底面：设高度为h，则，，， 则，，得. 因为，， 故. （2）因为，故,，为直角三角形，二面角是平面与底面的夹角. 设，底面的法向量可取， 设平面法向量，又，，， 则，， 所以，令，则. 所以， 因为，解方程得：. 由长方体的性质可知三棱锥外接球直径就是以为三条棱的长方体的体对角线，故三棱锥外接球直径长为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·河南南阳·期末）已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 故选：B. 2．（2024·25高二下·福建泉州·期末）（多选）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】BCD 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 对于A，假设存在点，使得， 因为，，所以， 解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，当点运动到中点时，，又，， 所以，， 设是平面的法向量， 则，令，则，故C正确； 对于D，方法一   因为，， 所以， ，则 ， 设是平面的法向量，则， 令，则，设， 则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确． 方法二 设，则， 因为， ， 点到平面的距离， 所以，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 3．（2024·25高二下·江苏南京·期中）（多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 4．（2025·26高二上·全国·期末）在长方体中，，，点在棱上，且.点为线段上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点为中点时，平面 B．过点作与直线垂直的截面，且截面与分别交于点，则平面与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】AC 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，，      选项A，当点为中点时，，则， 有，， 设平面的法向量为，则有， 令，则有，，即， 有，， 故平面，选项A正确； 选项B，设，，则，，且， 由题意可得，解得， ，解得， 即，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，则有，，即， 易知平面的一个法向量为， 则平面与平面所成角的余弦值为，选项B错误； 选项C，由于，则点到直线的距离为定值，故为定值， 又由长方体性质可得平面，故点到平面的距离为定值，设为， 故三棱锥的体积为定值，选项C正确； 选项D，，，设，， 则， 故点到直线的距离， ，当且仅当时，等号成立， 故点到直线距离的最小值为，选项D错误. 故选：AC. 5．（2025·26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    6．（2025·26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 7．（2023·24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 8．（2023·24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证: 平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面，平面 所以， 因为四边形是矩形，所以， 又因为、平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，是的中点，所以平面， 所以平面， 又平面，所以， 由已知得，且平面， 所以平面. （2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）知平面，所以为平面的一个法向量， 又，，设为平面的一个法向量， 则由得取， 则， 设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. 十七、单选题 十八、多选题 十九、填空题 二十、解答题 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 用空间向量研究距离和夹角 知识点一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01利用空间向量求点线距离 1．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 4．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 考点02利用空间向量求点面距离、线面距离 5．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 9．已知点，，，，则三棱锥的体积是 . 考点03利用向量方法求两异面直线所成角 10．已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 11．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 12．在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 13．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点04利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围) 14．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 15．已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 16．已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是 . 17．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段上一点．记异面直线与所成角为，求的取值范围． 18．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’ (1)求证: (2)求三棱锥的体积 (3)求异面直线所成的角的最小值. 考点05已知异面直线所成角求参数 19．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 20．（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 21．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    22．在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 考点06利用向量方法求直线与平面所成角 23．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面，此时直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 25．在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.    (1)求证：； (2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值. 26．如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 考点07利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围) 27．如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 29．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值． 30．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. (1)求三棱锥的体积最大值； (2)求直线与平面所成角正弦值的最大值. 31．直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 考点08已知直线与平面所成角求参数 32．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 33．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 34．如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：EF平面BDM． (2)当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 35．如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． (1)若分别为线段的中点，求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 考点09利用向量方法求两个平面的夹角 36．点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 37．如图，四棱锥P－ABCD中，，平面ABCD，，M为PB的中点，．    (1)证明：； (2)求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值． 38．如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 39．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 40．如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 考点10利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围） 41．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明：、、、共面； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 42．如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 43．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．      (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． 44．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 考点11已知平面与平面所成角求参数 45．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 46．如图，直四棱柱的底面为梯形，，，. (1)若，E为的中点，在侧面内是否存在点F，使平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. (2)若点K为的中点，平面与平面所成锐二面角为60°，求的长. 47．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小． 48．如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 49．如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 易错01 求线面角的时候与向量角混淆 1．如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 2．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 易错02 动点处理问题易忽略参数的范围 1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 2．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 刷基础 1．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 3．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 4．已知，，，则点C到直线的距离为 . 5．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 6．如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 7．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，且，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 8．如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 9．如图，直四棱柱的顶点都在球的球面上，是球的直径，且.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 10．如图，四边形为正方形，平面， (1)证明： (2)若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 刷能力 1．对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中， ；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 . 2．如图在四面体中，，，且E，F，G，H分别是，，，的中点. (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若平面⊥平面，且，求与平面的夹角的余弦值； (3)若，，平面内一点P满足，求的取值范围. 3．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 4．如图，在四面体ABCD中，平面，，的面积为2，设二面角的大小为θ，，且． (1)若是直角三角形，证明：； (2)记的面积为S，若，求二面角的正弦值． 5．如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动，点F是棱BC的中点. (1)求证：； (2)当E为AB中点时，求直线EF到平面的距离； (3)当AE等于何值时，平面与平面所成的角最小？ 6．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 7．已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 8．如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接． (1)求证：； (2)若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·河南南阳·期末）已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高二下·福建泉州·期末）（多选）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 3．（2024·25高二下·江苏南京·期中）（多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 4．（2025·26高二上·全国·期末）在长方体中，，，点在棱上，且.点为线段上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点为中点时，平面 B．过点作与直线垂直的截面，且截面与分别交于点，则平面与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 5．（2025·26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    6．（2025·26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 7．（2023·24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 8．（2023·24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证: 平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面，平面 所以， 因为四边形是矩形，所以， 又因为、平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，是的中点，所以平面， 所以平面， 又平面，所以， 由已知得，且平面， 所以平面. （2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）知平面，所以为平面的一个法向量， 又，，设为平面的一个法向量， 则由得取， 则， 设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. 十七、单选题 十八、多选题 十九、填空题 二十、解答题 学科网（北京）股份有限公司 $$