第2章 1 简谐运动及其图像-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案全书PPT（教科版）

该高中物理课件聚焦机械振动，系统讲解简谐运动、描述物理量（振幅、周期等）及表达式与图像。课堂通过观察树梢摇摆等现象、分析弹簧振子运动录像导入，课前自主学习含概念梳理和判断思考，搭建学习支架。 亮点在于以科学思维建构弹簧振子模型，通过“活动-例题-变式”问题链引导科学探究，结合生活实例（如声带振动）深化物理观念。多样化练习助学生夯实基础提升应用，教师可直接使用探究活动与作业设计，提高教学效率。

第二章　机械振动 1.简谐运动及其图像 目录 1 2 3 课前自主学习 课后课时作业 课堂探究评价 1．理解机械振动、弹簧振子、简谐运动。2.掌握振幅、周期、频率、相位的含义，掌握周期与频率之间的关系。3.熟练应用简谐运动的表达式。4.能够根据简谐运动的表达式画出图像，或根据图像写出其表达式。 3 课前自主学习 一　机械振动 物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的______运动，叫作机械振动，通常简称为______。这个位置称为____________。 二　简谐运动 1.弹簧振子：如图所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球， 小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量_______， 可以____________，若不计____________，这样的系统称 为____________，其中小球称为______。 2．振动图像：横轴代表______，纵轴代表小球相对______位置的______，建立坐标系，得到的小球在______位置附近往复运动时的位移—时间图像，即x­t图像，称为弹簧振子的振动图像。 往复 振动 平衡位置 小得多 忽略不计 空气阻力 弹簧振子 振子 时间t 平衡 位移x 平衡 课前自主学习 5 3．简谐运动 (1)定义：如果质点的位移与时间的关系严格遵从__________的规律，即它的振动图像是一条______曲线，这样的运动叫作简谐运动。 (2)做简谐运动的振子称为__________。 (3)简谐运动是最______、最基本的振动。任何复杂的振动都可以看作几个或很多个简谐运动的______。 正弦函数 正弦 谐振子 简单 叠加 课前自主学习 6 三　描述简谐运动的物理量 1．振幅：振子离开平衡位置的_________，叫作振动的振幅。振幅是表示振动______的物理量。 2．周期 (1)定义：振子相邻两次沿相同方向运动经过某点的过程，叫作振子的一次____________。振子每完成一次____________所用的时间是______的，这个时间叫作振动的周期。周期用______表示。 (2)单位：在国际单位制中，单位是______，符号是______。 最大距离 强弱 全振动 全振动 相同 T 秒 s 课前自主学习 7 3．频率 (1)定义：振子完成的全振动的______与____________的比，叫作振动的频率。频率用______表示。 (2)单位：在国际单位制中，单位是______，简称______，符号是______。 (3)周期和频率都是表示振动______的物理量。频率与周期的关系：______。 4．相位：描述做周期性运动的物体在各个时刻所处______的物理量。相位是表示振动______的物理量。 次数 所用时间 f 赫兹 赫 Hz 快慢 状态 步调 课前自主学习 8 四　简谐运动的表达式 x＝______________，或x＝_______________＝________________，式中A表示振动的振幅，T表示物体振动的周期，f表示物体振动的频率，φ0表示物体振动的________，简称________。 Asin(ωt＋φ0) Asin(2πft＋φ0) 初相位 初相 课前自主学习 9 1．判一判 (1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动。(　　) (2)乒乓球在台面上的不断跳动是机械振动。(　　) (3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　　) (4)只要质点的位移随时间按正弦函数的规律变化，这个质点的运动就是简谐运动。( ) (5)简谐运动的平衡位置是速度为零时的位置。(　　) (6)振幅就是振子的最大位移。(　　) (7)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(　　) (8)两个振动物体相位相同，则其振动步调相反。(　　) (9)简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ0)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(　　) 提示 提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×　(7)×　(8)×　(9)√ 课前自主学习 10 提示 2．想一想 (1)弹簧振子是一个理想化模型，以前我们还学过哪些理想化模型？ (2)简谐运动与我们熟悉的匀速直线运动比较，速度有何不同的特点？如何判断一个物体的运动是不是简谐运动？ (3)简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？ (4)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？ 提示：质点、点电荷。 提示：简谐运动与匀速直线运动的区别在于其速度大小、方向都在不断变化。只要物体的位移随时间按正弦函数的规律变化，则这个物体的运动就是简谐运动。 提示：不一定，还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。 提示：两个简谐运动有相位差，说明其振动步调不相同。 课前自主学习 11 课堂探究评价 探究1　机械振动　简谐运动及其图像 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 13 提示 活动1：如图甲，树梢在微风中摇摆，树梢的摇摆、钟摆的运动有什么共同特点？ 活动2：有上述特点的运动叫作振动。如图乙所示，轻弹簧连接的小球可在竖直方向上振动，小球原来静止的位置叫平衡位置，若不计空气阻力，小球和轻弹簧组成的系统称为弹簧振子。为了研究小球的运动规律，我们应记录小球运动的哪些物理量？ 提示：都在某个位置附近做往复运动。 提示：记录小球运动中各时刻的位置及对应时刻。　 课堂探究评价 14 提示 活动3：我们用手机对图乙小球的运动过程进行录像，然后等时间间隔0.02 s截屏，相邻截屏照片依次垂直于小球的运动轨迹向右平移相等距离，利用软件将这些照片拟合在一张照片上，得到图丙。请以小球的平衡位置为位移原点，建立合适的坐标系，用以表示活动2应记录的物理量。 提示：分析可知，可建立坐标系，横轴可表示小球运动的时间t，纵轴可表示小球相对平衡位置的位移x。　 课堂探究评价 15 提示 活动4：请在图丙上，建立上述坐标系并作出小球运动的位移—时间图像。该图像可能是哪种函数曲线？ 提示:建立坐标系，并描点连线，作出小球的位移—时间图像如图。 小球的振动图像大致是一条正弦或余弦曲线。　 课堂探究评价 16 1．机械振动 (1)我们把物体或物体的一部分在某一位置两侧所做的往复运动称为机械振动。这个位置就是物体做机械振动的平衡位置。 (2)弹簧振子的运动是一种典型的机械振动，它是研究一般性振动的基础。 2．弹簧振子 弹簧振子是由小球和弹簧组成的系统，是一个理想化的模型。弹簧振子的运动关于平衡位置对称。 实际物体看作弹簧振子的条件： (1)不计摩擦阻力和空气阻力； (2)不计弹簧的质量； (3)弹簧的形变在弹性限度内。 课堂探究评价 17 3．对振动位移的理解 (1)概念：从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段。 (2)为了研究方便，以小球的平衡位置为坐标原点，一般不能改变。 (3)振子位移是矢量，方向从平衡位置指向振子所在位置，总是背离平衡位置向外，大小为这两位置间的直线距离。 4．简谐运动 (1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 (2)特点：简谐运动是最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种周期性运动。弹簧振子中小球的运动就是简谐运动。 课堂探究评价 18 5．简谐运动的x­t图像 (1)物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。 (2)应用 ①确定位移及其变化 从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大。 课堂探究评价 19 ②确定各时刻速度的大小关系和方向 a．速度的方向结合质点的实际运动方向判断。 b．速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置处，质点速度最大；在最大位移处，质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。 注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹。比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一条直线，而它的振动图像却是正弦曲线。 课堂探究评价 20 6．从数学角度认识简谐运动的x­t图像 简谐运动的x­t图像随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变。任一时刻图线上过该点切线的斜率绝对值代表该时刻振子的速度大小，斜率的正负表示速度的方向，斜率为正表示速度为正向，反之为负向。 课堂探究评价 21 例1　下列运动中不属于机械振动的是(　　) A．树枝在风的作用下运动 B．竖直向上抛出的物体的运动 C．说话时声带的运动 D．爆炸声引起窗扇的运动 答案 课堂探究评价 22 提示 机械振动的定义是什么？ 提示：物体或物体的一部分在某一位置两侧所做的往复运动称为机械振动。　 规范解答 规范解答　物体或物体的一部分在某一位置两侧所做的往复运动称为机械振动。树枝的运动、声带的运动以及窗扇的运动均是物体在某一位置即平衡位置两侧所做的往复运动；竖直向上抛出的物体的运动虽然是往复运动，但不是在某个平衡位置两侧所做的运动，所以不属于机械振动。故选B。 课堂探究评价 23 规律点拨 1．机械振动的要素 (1)运动具有往复性； (2)存在平衡位置。 2．对平衡位置的理解 (1)平衡位置是指做机械振动的物体原来静止时的位置，即物体原来静止时所受合力为零的位置。 (2)物体做机械振动时，在平衡位置所受合力不一定为零，但在运动方向上所受合力一定为零。如钟摆的摆动，在平衡位置存在向心力。 (3)对于弹簧振子，小球在平衡位置处时弹簧不一定处于原长。 课堂探究评价 [变式训练1]　如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是(　　) A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置 C．弹簧处于原长时钢球的位置为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置 答案 解析 解析　平衡位置是钢球不振动时静止的位置，钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹簧弹力大小相等的位置。故D正确。 课堂探究评价 25 例2　(多选)如图表示某质点简谐运动的图像，以下关于该质点的说法正确的是(　　) A．t1、t2时刻的速度相同 B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向 C．从t2到t3这段时间内，速度增大，位移减小 D．t1、t3时刻的速度相同 答案 课堂探究评价 26 提示 (1)位移大小与平衡位置的关系怎样？ (2)简谐运动的速度怎么判断？ 提示：离平衡位置越远位移越大。 提示：可以用两种方法判断：一是根据简谐运动的图像结合实际情景判断；二是根据位移—时间图像的斜率判断，由其斜率的绝对值和正负可以分别判断出速度的大小和方向。 课堂探究评价 27 规范解答 规范解答　t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，A错误；从t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，其速度、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，B正确；从t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，速度大小相等，方向相反，D错误。 课堂探究评价 规律点拨 1．简谐运动中位移与速度的矢量性 (1)位移相同时，物体的速度大小相等，但方向可能相反，也可能相同。 (2)速度相同时，物体的位移大小相等，但方向可能相同，也可能相反。 2．分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来 (1)图像上的一个点对应振动中的一个状态。 (2)图像上的一段图线对应振动中的一个过程。 课堂探究评价 29 [变式训练2－1]　(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x­t图像如图乙所示。则下列说法中正确的是(　　) A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 答案 课堂探究评价 30 解析 解析　振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点时有正向最大位移，在B点时有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点，故A正确，B错误；由图乙可知，在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误。 课堂探究评价 31 [变式训练2－2]　(多选)如图所示为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是(　　) A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置 B．质点在1.5 s时的位移最大 C．1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大 D．1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大 答案 解析 解析　由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，所以质点在0.7 s时正在向平衡位置运动，A错误；质点在1.5 s时的位移最大，B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置，所以其位移在增大，C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正在向平衡位置运动，所以其位移在减小，D错误。 课堂探究评价 32 探究2　描述简谐运动的物理量 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 33 提示 活动1：如图所示，振子在光滑杆上的B点与B′点之间往复运动，振子离开平衡位置的最大距离是多少？ 活动2：从振子向下通过O点的时刻开始计时，振子第2次向下通过O点之前的运动情况是怎样的？之后的运动又是怎样的？ 提示：OB或OB′。　 提示：振子从O点向下运动到B点，然后向上回到O点，又继续向上运动到B′点，之后向下运动通过O点。之后振子重复上述运动。 课堂探究评价 34 提示 活动3：如果从振子向下通过O点开始计时，2 s时它第2次向下通过O点，则100 s时它如何运动？0～100 s内共几次向下通过O点(不计0时刻的那一次)? 活动4：把两个相同的弹簧振子并排放在一起，并且都从平衡位置拉开相同的距离，一个先释放，另一个稍后一点释放，观察两个振子的振动有什么不同。 提示：向下通过O点。共50次。　 提示：振动步调不同，后释放的振子的振动落后于先释放的振子的振动。 课堂探究评价 35 1．振幅、周期、频率和相位 (1)全振动 ①全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置，这样一个完整的振动过程，称为一次全振动。 ②全振动的特征 a．物理量特征：完成一次全振动时，位移(x)、速度(v)同时与初始状态相同。 b．时间特征：历时一个周期T。 c．路程特征：为振幅A的4倍。 课堂探究评价 36 (2)周期和频率 课堂探究评价 37 (3)相位：表示振动步调的物理量。 (4)简谐运动中振幅和位移、路程、周期(频率)的关系 ①振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移的大小相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 课堂探究评价 38 2．简谐运动的对称性和周期性 (1)对称性 ①瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度的大小均相等。 ②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。 课堂探究评价 39 (2)周期性 ①若t2－t1＝nT(n为正整数)，则t1、t2两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。 课堂探究评价 40 例3　如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间做简谐运动，且AB＝20 cm，振子首次由A到B的时间为0.1 s，则： (1)振子振动的振幅为________，周期为________， 频率为________； (2)振子由A到O的时间为________； (3)振子在5 s内通过的路程为________，5 s末相对平衡 位置的位移大小为________。 10 cm 答案 0.2 s 5 Hz 0.05 s 1000 cm 10 cm 课堂探究评价 41 提示 (1)AB间距与振幅有何关系？ (2)“振子首次由A到B的时间”与周期有何关系？ 提示： AB间距等于2个振幅，即A＝10 cm。 提示：振子首次由A到B的时间等于半个周期，即T＝0.2 s。　 课堂探究评价 42 规范解答 (2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子 由O到B的时间相等，均为0.05 s。 (3)弹簧振子的振幅A＝10 cm，振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝25T内通过的路程为s＝40×25 cm＝1000 cm。5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。 课堂探究评价 规律点拨 (1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据 ①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为4nA(n为正整数)； ②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅； (2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。 课堂探究评价 [变式训练3－1]　(多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．振动周期是2×10－2 s B．物体振动的频率为25 Hz C．物体振动的振幅为10 cm D．在6×10－2 s内通过的路程是60 cm 答案 解析 课堂探究评价 45 [变式训练3－2]　如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a、b两点时的速度相同，若它从a经O到b历时0.2 s，然后从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 答案 解析 解析　振子经过a、b两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知a、b两点相对平衡位置O一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0.2 s，由于“从b再回到a的最短时间为0.4 s”，即振子运动到b后第一次回到a点所用时间为0.4 s，且Ob不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c、d点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2 s，同理，振子从a经d到a也历时0.2 s，故该振子的周期T＝0.8 s，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振子的振动频率为1.25 Hz，B正确。 课堂探究评价 46 [名师点拨]　此题利用振动的对称性解题。通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况，对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个振幅或若干个振幅。 课堂探究评价 47 探究3　简谐运动的表达式 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 48 提示 活动1：简谐运动的图像为正弦(或余弦)曲线，如图甲所示，请根据数学知识写出简谐运动位移x与时间t的一般函数表达式。 活动2：上述表达式中，哪个量表示振幅？哪个量表示振动的周期性特征？ 提示：根据正弦型函数的知识，简谐运动位移x与时间t的一般函数表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)。　 课堂探究评价 49 提示 活动3：上述表达式中，哪个量代表简谐运动的运动状态？哪个量表示开始计时时的运动状态？ 活动4：如图乙悬挂一个弹簧振子，把小球向下拉动距离A后由静止放开，振动周期为T，以向上为位移x的正方向。若从小球向上经过O点开始计时，请写出x与t的函数表达式。 提示:当(ωt＋φ0)确定时，sin(ωt＋φ0)的值也就确定了，所以(ωt＋φ0)代表了做简谐运动的质点此时正处于一个运动周期中的哪个状态。φ0表示开始计时时的运动状态。　 课堂探究评价 50 活动5：对于图乙振动，若从释放时开始计时，请写出x与t的函数表达式。 提示 课堂探究评价 51 课堂探究评价 52 2．简谐运动的相位与相位差 (1)相位：x＝Asin(ωt＋φ0)中，“ωt＋φ0”叫作相位，描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于三角函数中的角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。其中φ0表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。 (2)相位差：即两个振动某一时刻的相位之差。它反映出两个简谐运动的步调差异。 课堂探究评价 53 (3)关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解 两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。 ①取值范围：－π≤Δφ≤π。 ②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相； Δφ＝±π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 ③Δφ>0，表示振动1比振动2超前。 Δφ<0，表示振动1比振动2滞后。 课堂探究评价 54 3．简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像即x­t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。 (2)x＝Asin(ωt＋φ0)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。 (3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。 课堂探究评价 55 例4　(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt) m。则(　　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 答案 课堂探究评价 56 提示 (1)由弹簧振子的位移表达式可以得出哪些物理量？ (2)弹簧振子A与B的哪些物理量相同？哪些物理量不同？ 提示：振幅、周期、初相位。　 提示：频率相同，振幅、初相位不同。 课堂探究评价 57 规范解答 课堂探究评价 规律点拨 简谐运动两类典型问题的解题思路 (1)根据表达式画振动图像 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内x的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 课堂探究评价 (2)根据振动图像写表达式 ②根据t＝0时的位移求出初相φ0，即x0＝Asinφ0。根据三角函数的周期性，一般在区间[0，2π)内或(－π，π]内求φ0，而且通常需要根据t＝0前后极短时间内x的变化，排除2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 注：a.有的题目给出振动表达式而不要求画振动图像，但可以通过画振动图像从而更直观地分析问题；b.有的题目给出振动图像而不要求写振动表达式，但可以借助表达式进行定量计算。 课堂探究评价 [变式训练4]　根据如图所示弹簧振子的振动图像： (1)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ0)的形式，并指出振动的初相位。 (2)分别求出t1＝0.5 s时和t2＝1.5 s时振子相对平衡位置的位移。 答案 课堂探究评价 61 解析 课堂探究评价 62 课后课时作业 1．(机械振动的理解)(多选)下列几种运动中属于机械振动的是(　　) A．乒乓球在地面上的上下运动 B．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C．秋千在空中来回运动 D．浮于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动 答案 解析 解析　机械振动是物体在平衡位置附近的往复运动，乒乓球在地面上的上下运动不是在平衡位置附近的往复运动，不属于机械振动，故A错误；根据机械振动的定义，易知B、C、D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 2．(弹簧振子的理解)(多选)下列关于弹簧振子的说法中正确的是(　　) A．任意的弹簧和任意的小球就可以构成弹簧振子 B．弹簧振子中小球的振动范围不能超出弹簧的弹性限度 C．弹簧振子中弹簧的质量不能忽略 D．弹簧振子中的小球如果没有外界干扰，一旦振动起来就停不下来 答案 解析 解析　理想弹簧振子中弹簧的质量可以忽略，不计摩擦阻力，如果没有外界干扰，小球一旦振动起来将不会停下来，而且小球振动时，弹簧不能超出弹性限度，故B、D正确，A、C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 3．(弹簧振子的运动特点)(多选)在图中，当小球由A向平衡位置O运动时，下列说法中正确的是(　　) A．小球的位移在减小 B．小球的运动方向向左 C．小球的位移方向向左 D．小球的位移在增大 答案 解析 解析　小球的位移是相对平衡位置O而言的，由于小球在O点右侧由A向O运动，所以小球的运动方向向左，位移方向向右，位移大小不断减小，故A、B正确，C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 4．(简谐运动的图像)将漂在平静湖面的浮筒竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内浮筒在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则如图所示描述浮筒振动的图像中可能正确的是(　　) 解析 解析　浮筒在竖直方向近似做简谐运动，平衡位置在重力与浮力大小相等的位置。将浮筒向上提起一段距离，然后由静止释放并开始计时，取竖直向上为正方向，则t＝0时刻，浮筒位于偏离平衡位置的正向最大位移处。故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 5．(描述简谐运动的物理量)一质点做简谐运动，振幅是4 cm、频率是2.5 Hz，某时刻该质点从平衡位置向正方向运动，经2.5 s质点的位移和路程分别是(　　) A．4 cm，24 cm B．－4 cm，100 cm C．0，100 cm D．4 cm，100 cm 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 6．(描述简谐运动的物理量)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图所示，则(　　) A．从O→B→O的运动过程，振子做了一次全振动 B．振动周期为2 s，振幅是10 cm C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 7.(简谐运动图像的理解)(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　) A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大 C．由M→N位移先减小后增大 D．由M→N位移始终减小 答案 解析 解析　物体经过平衡位置向正方向运动，先后经过P、Q两点，故由P→Q位移在增大，速度在减小，A正确，B错误；物体从正方向最大位移处向负方向最大位移处运动，先后经过M、N两点，且M、N两点在平衡位置两侧，故从M→N位移先减小后增大，C正确，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 8.(简谐运动图像的理解)如图所示为某质点在0～4 s内的振动图像，则(　　) A．质点在3 s末的位移为2 m B．质点在4 s末的位移为8 m C．质点在0～4 s内的路程为8 m D．质点在0～4 s内的路程为零 解析 解析　振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移，位移是矢量，有大小，也有方向，因此3 s末质点的位移为－2 m，4 s末质点的位移为零，A、B错误。路程是指质点运动轨迹的长度，在0～4 s内质点的路程是从平衡位置到最大位移处这段距离的4倍，即为8 m，故C正确，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 9.(简谐运动图像的理解)某弹簧振子的振动图像如图所示。 根据图像判断，下列说法正确的是(　　) A．第1 s内振子相对平衡位置的位移与速度方向相反 B．第2 s末振子相对平衡位置的位移为－20 cm C．第2 s末和第3 s末振子相对平衡位置的位移不相同，且瞬时速度方向相反 D．第1 s内和第2 s内振子相对平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反 答案 解析 解析　第1 s内振子相对平衡位置的位移方向为正方向，速度方向也为正方向，A错误；第2 s末振子在平衡位置，位移为零，B错误；第3 s末振子相对平衡位置的位移为－20 cm，第2 s末振子恰好经过平衡位置，且正向x轴负方向运动，而第3 s末振子瞬时速度刚好为零，C错误；第1 s内和第2 s内振子相对平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 10.(简谐运动的图像)一个质点做简谐运动，其位移随时间 变化的x­t图像如图所示，以位移的正方向为速度的正方向，该 质点的速度随时间变化的v­t图像为(　　) 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 11．(描述简谐运动的物理量)一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知(　　) 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 13.(简谐运动的相位)(多选)如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　) 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 14．(简谐运动的表达式)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有正方向的最大位移，则它的振动方程是(　　) 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 15．(简谐运动的周期性和对称性)一水平弹簧振子做简谐运动，以相同速度先后经过M、N两点，用时0.1 s，又经0.1 s再次回到N点，已知振子在这0.2 s经过的路程为16 cm，则(　　) A．该弹簧振子的振动频率为5 Hz B．该弹簧振子做简谐运动的振幅为16 cm C．若振子经过正向最大位移处开始计时，则t＝2.1 s时刻的位移为－8 cm D．若振子经过平衡位置开始计时，则在2.5 s内振子经过的路程为2 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 16.(简谐运动的表达式与图像)一半径为10 cm的小球漂浮在水面上时恰好有一半体积浸没在水中。现将小球向下按压5 cm后放手，忽略空气阻力，小球在竖直方向上的运动可视为简谐运动，测得其振动周期为0.4 s。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，其振动图像如图所示，其中A为振幅。请写出小球位移随时间变化的函数表达式。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 17．(简谐运动表达式的应用)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 18．(简谐运动的周期性和对称性)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　) A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 答案 答案　见解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 18 19 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R f＝eq \f(1,T) Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ0)) 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间 物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 物理含义 都是表示物体振动快慢的物理量 联系 T＝eq \f(1,f) ②振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅，eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于振幅。 ③振幅与周期(频率)：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。 ②若t2－t1＝nT＋eq \f(1,2)T(n为自然数)，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x，a，v)均大小相等，方向相反。 ③若t2－t1＝nT＋eq \f(1,4)T(n为自然数)或t2－t1＝nT＋eq \f(3,4)T(n为自然数)，则当t1时刻物体在最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 规范解答 (1)从题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t＝0.1 s＝eq \f(T,2)，所以T＝0.2 s。 由f＝eq \f(1,T)得f＝5 Hz。 ③振动物体在eq \f(T,4)内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，eq \f(T,4)内通过的路程才一定等于振幅。 解析　由题图知周期是4×10－2 s，A错误；又f＝eq \f(1,T)，所以f＝25 Hz，B正确；由题图知物体振动的振幅A＝10 cm，C正确；t＝6×10－2 s＝1eq \f(1,2)T，所以这段时间内物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，D正确。 提示：A表示振幅。在x＝Asin(ωt＋φ0)中，根据正弦函数规律，(ωt＋φ0)在每增加2π的过程中，函数值循环变化一次，这一变化过程所需要的时间就是振子的周期T，则[ω(t＋T)＋φ0]－(ωt＋φ0)＝2π，则有ω＝eq \f(2π,T)，即ω表示振动的周期性特征。 提示：根据x＝Asin(ωt＋φ0)、ω＝eq \f(2π,T)，以及t＝0时x＝0且小球正向x正方向运动，可得x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t))。 提示：根据x＝Asin(ωt＋φ0)、ω＝eq \f(2π,T)，以及t＝0时x＝－A，可得x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t－\f(π,2)))或x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋\f(3π,2)))。 1．对表达式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解 (1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。 (2)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以表达式也可写成： x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ0))或x＝Asin(2πft＋φ0)。 D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(π,4))) m，则振动A滞后振动B的相位为eq \f(π,4) 规范解答　由振动方程为y＝0.1sin(2.5πt) m，可读出振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq \f(π,4)－2.5πt＝eq \f(π,4)，即振动B超前振动A的相位为eq \f(π,4)，或者说振动A滞后振动B的相位为eq \f(π,4)(也可画出两个振动的图像来直观判断)，故D正确。 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝eq \f(2π,ω)。 ①从振动图像中找出振幅A和周期T，ω＝eq \f(2π,T)。 答案　(1)x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t＋\f(π,2))) cm　eq \f(π,2)　(2)5eq \r(2) cm　－5eq \r(2) cm 解析　(1)由题图知，A＝10 cm，T＝4 s，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，φ0＝eq \f(π,2) 则弹簧振子位移随时间的变化规律为 x＝Asin(ωt＋φ0)＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t＋\f(π,2))) cm 振动的初相位是eq \f(π,2)。 (2)振子的振动方程为x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t＋\f(π,2))) cm 则t1＝0.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x1＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t1＋\f(π,2))) cm＝5eq \r(2) cm 则t2＝1.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x2＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t2＋\f(π,2))) cm＝－5eq \r(2) cm。 解析　周期T＝eq \f(1,f)＝eq \f(1,2.5) s＝0.4 s，t＝2.5 s＝6eq \f(1,4)T，质点在2.5 s时到达正向最大位移处，故位移为4 cm，路程为6×4A＋A＝25A＝100 cm，D正确。 解析　从O→B→O的运动过程，振子只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10 cm，B错误；t＝6 s＝1eq \f(1,2)T，所以振子通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，即eq \f(3,4)T，振子处在位置A或B，D错误。 解析　由题图知，在t＝0时刻，质点在正向最大位移处，质点的速度为零；t＝eq \f(T,4)时，质点通过平衡位置，速度为负向最大；t＝eq \f(T,2)时，质点在负向最大位移处，质点的速度为零；t＝eq \f(3,4)T时，质点通过平衡位置，速度为正向最大；t＝T时，质点在正向最大位移处，质点的速度为零；所以该质点的速度随时间变化的v­t图像是A图。 解析　由题图可知，该质点以x＝0为平衡位置，A＝5 cm为振幅做简谐振动，其振动周期为T＝2 s，可知其频率为f＝eq \f(1,T)＝0.5 Hz，A、B错误；由题图可知，t＝0时质点的位移为x0＝－5 cm，设初相位为φ0，则有Asinφ0＝x0，代入可得φ0＝eq \f(3,2)π，故C错误，D正确。 A．频率是2 Hz B．振幅是10 cm C．初相位为eq \f(π,2) D．初相位为eq \f(3,2)π 12．(简谐运动表达式的理解)(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))) cm，x2＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6))) cm，下列说法正确的是(　　) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 解析　对比x＝Asin(ωt＋φ0)，可知它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同，A错误；ω都是100π rad/s，所以周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(T＝\f(2π,ω)))都是0.02 s，B正确；由Δφ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))＝eq \f(π,6)得相位差恒定，C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，D错误。 A．A、B之间的相位差是eq \f(π,6) B．A、B之间的相位差是eq \f(π,3) C．B比A超前eq \f(T,12) D．A比B超前eq \f(T,12) 解析　由题图可知A比B超前eq \f(0.05,0.6)T＝eq \f(T,12)，相位差为Δφ＝eq \f(π,6)，A、D正确。 A．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2))) m B．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(π,2))) m C．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(3π,2))) m D．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t＋\f(π,2))) m 解析　简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)。根据题意知A＝0.8 cm＝ 8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s；初始时刻具有正方向的最大位移，即初相位φ0＝eq \f(π,2)，则振动方程为x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2))) m，A正确。 解析　由题意，根据简谐运动的特点可知M、N两点关于平衡位置O对称，根据对称性可知振子从M到O与从O到N的时间均为t1＝0.05 s，振子从N点到最大位移处所用时间与从最大位移处回到N点所用时间相等，为t2＝eq \f(1,2)×0.1 s＝0.05 s，所以振子从平衡位置到最大位移处所用时间为eq \f(T,4)＝t1＋t2，解得T＝0.4 s，则频率为f＝eq \f(1,T)＝2.5 Hz，同理分析可知振子的振幅A＝eq \f(1,2)×16 cm＝8 cm，故A、B错误；若振子经过正向最大位移处开始计时，则振子的振动方程可写为x＝Acoseq \f(2πt,T)＝8cos(5πt) cm，则t＝2.1 s时刻的位移为x1＝8cos(10.5π) cm＝0，故C错误；若振子经过平衡位置开始计时，由于2.5 s＝6T＋eq \f(T,4)，则振子在2.5 s内经过的路程为s＝6×4A＋A＝2 m，故D正确。 答案　x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5πt－\f(5π,6))) cm 解析　已知T＝0.4 s， 根据ω＝eq \f(2π,T)， 得ω＝5π rad/s 由图可知，t＝0时刻有：x＝－eq \f(A,2)＝Asinφ0 在－π<φ≤π的范围内， 解得φ0＝－eq \f(5π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ0＝－\f(π,6)与图不符，舍去)) 根据题意，A＝5 cm 故小球位移随时间变化的函数表达式为 x＝Asin(ωt＋φ0)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5πt－\f(5π,6))) cm。 解析　从船上升到最高点时计时，游船的振动方程为y＝Acoseq \f(2π,T)t，代入数据得y＝20coseq \f(2π,3)t cm，在前半个周期内，当y＝10 cm时，可得t＝0.5 s，故在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是2t＝1.0 s，故C正确。 B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的整数倍 C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等 D．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等 解析　本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图像进行分析。如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不一定等于T的整数倍，故A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<eq \f(T,2)，故B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，C正确；相隔eq \f(T,2)的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反(平衡位置除外)，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的形变量相等，弹簧的长度并不相等，D错误。 19．(简谐运动的表达式与图像)某一物体做简谐运动的位移随时间变化的关系式为x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,6)))，t的单位为s。已知t＝1 s时，运动位移为－1 cm。请画出其x­t图像，并在图中标出能反映图像特征的坐标值。(须写出主要计算分析过程) 解析　由表达式可知ω＝π rad/s 周期T＝eq \f(2π,ω)＝2 s 将数据t＝1 s和x＝－1 cm代入表达式x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,6))) 可解得振幅A＝2 cm，则x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,6))) cm 将t＝0代入上式，可得x0＝2sineq \f(π,6) cm＝1 cm 再根据x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,6))) cm可知，开始振动的极小一段时间，位移x增大 综上所述，可画出x­t图像如图。 $$