专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练） 考点预览 考点一：菱形的性质 考点二：菱形的判定 核心考点 【知识点一：菱形的定义】 1.定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （1）几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，若AB = AD（或AB = BC，BC = CD，CD = DA），则平行四边形ABCD是菱形。 （2）解读： ①菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。 ②“一组邻边相等”是菱形区别于一般平行四边形的特殊条件。 【知识点二：菱形的性质】 菱形除了具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）外，还具有以下特殊性质： 1.边的性质： 菱形的四条边都相等。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA。 2.角的性质： 菱形的对角相等，邻角互补（此为平行四边形共有性质，菱形无额外角的特殊性质，但可由边和对角线性质推出角的关系）。 3.对角线的性质： 菱形的对角线互相垂直。 并且，每条对角线平分一组对角。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC ⊥ BD（对角线互相垂直）； AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC（每条对角线平分一组对角）。 4.对称性： （1）菱形是中心对称图形， 对称中心是两条对角线的交点。 （2）菱形是轴对称图形， 它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。 【知识点三：菱形的判定】 判定一个四边形是菱形，除了根据定义（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）外，还有以下判定方法： 1.判定定理1（定义法）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB = AD， ∴ 四边形ABCD是菱形。 2.判定定理2： 四条边都相等的四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA， ∴ 四边形ABCD是菱形。 3.判定定理3： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC ⊥ BD， ∴ 四边形ABCD是菱形。 4.判定定理4： 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (可由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”推导得出) （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD中，AC ⊥ BD且AC与BD互相平分， ∴ 四边形ABCD是菱形。 【要点归纳与易错提示】 1.菱形与平行四边形的关系： 菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的所有性质菱形都具备，但菱形具有平行四边形不具备的特殊性质（四边相等、对角线垂直、对角线平分一组对角）。 2.性质与判定的区别与联系： （1）性质： 已知图形是菱形，能推出什么结论。 （2）判定： 满足什么条件的图形是菱形。 （3）很多判定方法是性质的逆命题。 3.在运用判定定理时： （1）如果已知是平行四边形，只需再证一组邻边相等或对角线互相垂直即可判定为菱形。 （2）如果已知是一般四边形，通常需要证四条边都相等，或先证它是平行四边形再用上述方法。 4.菱形的面积： （1）除了用一般平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高。 （2）还可以用对角线乘积的一半：若菱形两条对角线长分别为和，则面积 。（此公式在后续学习或习题中会用到，可提前了解） 考点练习 考点一：菱形的性质 1．如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm 2．如图，在菱形中，，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，，则　 　. 4．如图，在菱形中，与为对角线，且，，则长度是　 　． 5．如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 考点二：菱形的判定 1．能判定四边形是菱形的条件是（　　） A．两条对角线相等 B．两条对角线相互垂直 C．两条对角线相互垂直平分 D．两条对角线相等且垂直 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件）. 4．如图， ， ， ， ，那么 　 　时，四边形 是菱形. 5．如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE．求证：平行四边形ABCD是菱形． 专项训练 一、选择题 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 2．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（　　） A． B．5 C．6 D．9 4．问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错 5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（　　） A． B．10cm C．20cm D．12cm 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图．菱形中，，则　 　． 10．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　 　cm2． 11．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为　 　． 12．如图，在菱形中，，点E、F分别是线段上的动点，连接，若，，则图中阴影部分的面积是　 　． 13．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　 　. 三、解答题 14．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积. 15．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，点为垂足，连接，．求证：四边形是菱形． 16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 17．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF． （1）求证：△DEF为等腰三角形． （2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练） 考点预览 考点一：菱形的性质 考点二：菱形的判定 核心考点 【知识点一：菱形的定义】 1.定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （1）几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，若AB = AD（或AB = BC，BC = CD，CD = DA），则平行四边形ABCD是菱形。 （2）解读： ①菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。 ②“一组邻边相等”是菱形区别于一般平行四边形的特殊条件。 【知识点二：菱形的性质】 菱形除了具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）外，还具有以下特殊性质： 1.边的性质： 菱形的四条边都相等。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA。 2.角的性质： 菱形的对角相等，邻角互补（此为平行四边形共有性质，菱形无额外角的特殊性质，但可由边和对角线性质推出角的关系）。 3.对角线的性质： 菱形的对角线互相垂直。 并且，每条对角线平分一组对角。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC ⊥ BD（对角线互相垂直）； AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC（每条对角线平分一组对角）。 4.对称性： （1）菱形是中心对称图形， 对称中心是两条对角线的交点。 （2）菱形是轴对称图形， 它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。 【知识点三：菱形的判定】 判定一个四边形是菱形，除了根据定义（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）外，还有以下判定方法： 1.判定定理1（定义法）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB = AD， ∴ 四边形ABCD是菱形。 2.判定定理2： 四条边都相等的四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA， ∴ 四边形ABCD是菱形。 3.判定定理3： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC ⊥ BD， ∴ 四边形ABCD是菱形。 4.判定定理4： 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (可由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”推导得出) （1）几何语言描述： ∵ 四边形ABCD中，AC ⊥ BD且AC与BD互相平分， ∴ 四边形ABCD是菱形。 【要点归纳与易错提示】 1.菱形与平行四边形的关系： 菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的所有性质菱形都具备，但菱形具有平行四边形不具备的特殊性质（四边相等、对角线垂直、对角线平分一组对角）。 2.性质与判定的区别与联系： （1）性质： 已知图形是菱形，能推出什么结论。 （2）判定： 满足什么条件的图形是菱形。 （3）很多判定方法是性质的逆命题。 3.在运用判定定理时： （1）如果已知是平行四边形，只需再证一组邻边相等或对角线互相垂直即可判定为菱形。 （2）如果已知是一般四边形，通常需要证四条边都相等，或先证它是平行四边形再用上述方法。 4.菱形的面积： （1）除了用一般平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高。 （2）还可以用对角线乘积的一半：若菱形两条对角线长分别为和，则面积 。（此公式在后续学习或习题中会用到，可提前了解） 考点练习 考点一：菱形的性质 1．如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm 【答案】C 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8cm，BD＝6cm， ∴∠AOB＝90°，AO＝4cm，BO＝3cm， 故AB＝＝＝5（cm）， 故菱形的周长为：4×5=20（cm）， 故答案为：C． 【分析】根据菱形的性质得出AO，BO的长，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案. 2．如图，在菱形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】利用菱形的性质可得，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的运算求出即可. 3．如图，在菱形ABCD中，，则　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD=∠ACB=40°，AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=40°， ∴∠B=180°-40°-40°=100°， 故答案为：100° 【分析】先根据菱形的性质得到∠ACD=∠ACB=40°，AB=BC，进而根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACB=40°，从而运用三角形内角和定理即可求解。 4．如图，在菱形中，与为对角线，且，，则长度是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 故答案为：． 【分析】此题考查了菱形的性质．根据菱形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直得出，，进而利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出即可． 5．如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴。 【解析】【分析】根据菱形的性质，可得，，根据，易证，从而可得结论。 考点二：菱形的判定 1．能判定四边形是菱形的条件是（　　） A．两条对角线相等 B．两条对角线相互垂直 C．两条对角线相互垂直平分 D．两条对角线相等且垂直 【答案】C 【解析】【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A、B、D选项错误，C选项正确． 故选C． 【分析】根据菱形的判定方法对各选项进行判断即可． 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A ∵ 平行四边形的邻边相等， ∴ 该四边形为菱形； B ∵ 平行四边形的对角线相互垂直， ∴ 该四边形为菱形； D ∵ 平行四边形的邻边相等， ∴ 该四边形为菱形. 故答案为：C. 【分析】根据菱形的判定定理逐一分析即可判定. 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件）. 【答案】AB=BC（答案不唯一） 【解析】【解答】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下： ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. 故答案为：AB=BC（答案不唯一）. 【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法，在平行四边形的基础上添加一个菱形具有的特殊性质：一组邻边相等或对角线互相垂直即可判断出该平行四边形是菱形。 4．如图， ， ， ， ，那么 　 　时，四边形 是菱形. 【答案】120° 【解析】【解答】解：当 时，四边形 是菱形， 证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴∠ADB=30°， ∵ ， ∴∠ABD=30°=∠ADB， ∴AB=AD， ∴四边形 是菱形. 故答案为：120°. 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形易得四边形ABCD是平行四边形，由邻补角的性质得∠ADB=30°，结合∠A的度数以及三角形内角和定理得∠ABD=30°=∠ADB，则AB=AD，此时四边形ABCD是菱形. 5．如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE．求证：平行四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠ABE=∠ADF，根据题意推得∠BAE=∠DAF，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论． 专项训练 一、选择题 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ 故答案为：D． 【分析】根据菱形的性质求得，∠ACB=60°，于是可判定△ABC为等边三角形，即可求解． 2．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：因为， 所以四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， 所以， 所以， 所以四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 【分析】根据菱形的定义及其判定（在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形）、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 3．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（　　） A． B．5 C．6 D．9 【答案】A 【解析】【解答】解：菱形的周长为36， ∴AB=BC=CD=AD==9，OB=OD， ∴O为中点， ∵H为边的中点， 时的中位线， ， 故答案为：A． 【分析】根据菱形的性质“菱形的四边都相等，对角线互相垂直平分”可得AB=BC=CD=AD，OB=OD，再根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解． 4．问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错 【答案】A 【解析】【解答】解：甲：四边形是菱形， ，， ∵AC是菱形ABCD的对角线， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得：，， ，， ， 四边形是菱形； 乙：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 丙：由甲和乙可知，乙错误． 综上所述，甲对、乙对，丙错， 故答案为：A． 【分析】甲：由题意，用边角边可证△BAF≌△DAF、△BAF≌△BCE、△DCE≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可得，再根据有四条边都相等的四边形是菱形可得四边形是菱形；乙：连接交于，由菱形的性质得，，，结合已知并根据线段的构成OA+AF=OC=CE可得，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得四边形是菱形； 丙：由甲和乙可知，乙错误． 5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（　　） A． B．10cm C．20cm D．12cm 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，BO=DO， ∵AC=12，BD=16， ∴OA=6，BO=8， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：， 故答案为：B． 【分析】过点A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O，先证出四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的面积、 AR＝AS推出BC＝CD，从而证得平行四边形ABCD是菱形，接下来根据菱形的性质、利用勾股定理求出AB的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点D， ∵菱形ABCD， ∴AB∥CO，AO=AB， ∴AB⊥y轴， ∴∠ODA=90°， ∵点A（-3，4）， ∴OD=4，AD=3， ∴， ∴AB=5， ∴BD=AB+DA=5+3=8， ∵点B在第二象限， ∴点B（-8，4）. 故答案为：C. 【分析】延长BA交y轴于点D，利用菱形的性质可证得AB∥CO，AO=AB，利用点A的坐标可得到OD，AD的长；再利用勾股定理求出AO的长，可得到AB的长，然后求出点B的坐标. 7．如图，在菱形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝∠ABC＝40°． ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°−40°）＝70°， ∴∠AED＝∠BAE＋∠ABD＝70°＋40°＝110°， 故答案为：D. 【分析】由菱形的性质得∠ABD＝∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE＝∠BEA＝70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD=16， ∴， ∵BD⊥AC， ∴∠AOE=∠AOD=90°， ∴△AEO，△ADO是直角三角形， ∵DE=AD，设AD=a， ∴DE=DO+OE，则OE=DE-DO=a-8 在Rt△AEO中，， 在Rt△ADO中， ∴ 解得：a1= -2(舍去)，a2= 10， ∴AD =10， ∵四边形ABCD是菱形： ∴BC=AD=10， 故答案为：C. 【分析】根据萎形的性质，得△AEO，△ADO是直角三角形，根据DE=AD，设AD=a，可用含a的式子表示OE，AO的长，根据直角三角形的勾股定理即可求解. 二、填空题 9．如图．菱形中，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 【分析】利用菱形的性质可得，再结合∠1的度数求出即可. 10．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　 　cm2． 【答案】24 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm， ∴菱形的面积是＝24（cm2）， 故答案为：24． 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出已知菱形的面积. 11．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 【分析】根据勾股定理求出菱形的边长，然后利用面积法求出菱形的高即可． 12．如图，在菱形中，，点E、F分别是线段上的动点，连接，若，，则图中阴影部分的面积是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作于， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质.如图，连接，根据菱形，，利用菱形的性质可证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出：，再根据题意，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用三角形的面积公式进行计算可推出：，如图，作于，则，利用直角三角形的性质可得：，利用勾股定理可求出，利用菱形的面积公式可得：，据此可求出阴影部分的面积． 13．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　 　. 【答案】5 【解析】【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即Q在AB上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M为BC中点， ∴Q为AB中点， ∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴NQ=BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CP= AC=3，BP= BD=4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5， 即NQ=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5. 故答案为：5. 【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，BQ∥CD，BQ=CN，推出四边形BQNC是平行四边形，得到NQ=BC，则CP=AC=3，BP=BD=4，然后在Rt△BPC中，由勾股定理求出BC，即NQ=5，最后根据MP+NP=QP+NP进行计算. 三、解答题 14．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积. 【答案】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵在中，，，， ∴ ∴， ∴ 【解析】【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质以及勾股定理可得AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出 菱形的面积. 15．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，点为垂足，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴，=90°． 在和中， ， ∴（ASA）． ∴． 又， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为菱形． 【解析】【分析】由平行四边形性质得AF∥CE，由二直线平行内错角相等得∠FAO=∠ECO，由中垂线的性质得AO=CO，∠AOF=∠COE=90°，从而由ASA判断出△FAO≌△ECO，由全等三角形的对应边相等得AF=CE，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，进而根据对角线互相垂直平行四边形是矩形可得结论. 16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）如图，连接AC，交BD于点H， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积为：． 【解析】【分析】（1）通过全等证明平行四边形ABCD有一组邻边相等，来证明它是菱形； （2）连接AC，交BD于点H，先求出BH，再利用勾股定理求得AH，从而可求得AC，再利用菱形的面积等于两对角线的乘积的一半求解． 17．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF． （1）求证：△DEF为等腰三角形． （2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DE⊥BA，DF⊥CB， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， 在△ADE和△CDF， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）解：∵DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE＝66°， ∴∠BEF＝∠BFE＝90°-66°＝24°， ∴∠B＝180°-24°-24°＝132°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠A＝180°-∠B＝48°． 【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C，由垂直的定义可得∠AED＝∠CFD＝90°，可证 △ADE≌△CDF（AAS），可得DE＝DF，根据等腰三角形的判定即证结论； （2）由DE＝DF，利用等边对等角可得∠DEF＝∠DFE＝66°，从而得出∠BEF＝∠BFE＝90°-66°＝24°，利用三角形内角和求出∠B=132°，由菱形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质即可求解. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$