第二章 直线和圆的方程20大高频题型总结（复习讲义）数学人教A版2019选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程（复习讲义）（20大高频题型） 1. 明晰直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算方法，理解直线倾斜角和斜率的关系，能依据条件确定直线的斜率与倾斜角。 2. 熟知直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，理解它们的适用范围，能根据已知条件选择恰当形式求出直线方程，掌握直线一般式方程的特点。 3. 理解两直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判断两直线的位置关系，会求两直线的交点坐标，掌握点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式并能灵活运用。 4. 认识圆的标准方程与一般方程，能根据已知条件求圆的方程，理解圆的方程中参数的几何意义。 5. 掌握直线与圆的位置关系（相交、相切、相离 ）的判断方法，会利用代数法（联立方程，判断判别式 ）和几何法（比较圆心到直线的距离与半径 ）解决直线与圆的位置关系问题，能解决直线与圆相交时的弦长问题、圆的切线问题等。 6. 用坐标法解决平面几何问题，通过坐标系，用代数方法证明几何性质（如垂直、共线、最值等）。 1. 两点间的距离公式 ，， 2. 中点坐标公式 ，，为的中点，则： 3. 三角形重心坐标公式 4. 直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1） 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， （2） 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 （3） 直线的斜率与倾斜角的关系： 不存在 5. 两点间的斜率公式 ，， 6. 直线的斜截式方程 ，其中为斜率，为轴上的截距 7. 直线的点斜式方程 已知点，直线的斜率，则直线方程为： 8. 直线的一般式方程 9. 两条直线的位置关系 （1） 平行的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：，， （2） 重合的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， （3） 垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， 10. 点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 11. 两条平行线间的距离公式 ，， 12. 圆的标准方程 ，其中圆心坐标为，半径为 13. 圆的一般方程 （） 配方可得：， 圆心坐标为，半径为 14. 表示圆的充要条件 15. 点与圆的位置关系 已知点，圆的方程为： 若，点在圆内 若，点在圆上 若，点在圆外 16. 直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，其中为联立方程根的个数， 几何关系，其中为圆心到直线的距离 17. 圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 18. 弦长公式 设，， 则 或： 19. 圆上一点到圆外一点的距离的最值 20. 圆上一点到圆上一点的距离的最值 21. 圆上一点到直线距离的最值 22. 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 23. 圆中切线问题 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为; 3. 已知圆方程为圆:. (1)过圆上的点的切线方程为. (2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为. 4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度 一般方程(标准方程) 24. 常见的圆系方程 1、同心圆圆系 (1)以为圆心的同心圆圆系方程:; (2)与圆同心圆的圆系方程为:; 2、过线圆交点的圆系 过直线与圆交点的圆系方程为: ; 3、过两圆交点的圆系 过两圆 交点的圆系方程为,此圆系不含) (1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: 题型一 直线的倾斜角与斜率及范围 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线，即，即， 所以斜率为，则该直线的倾斜角为. 故选：A 2．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点坐标求出直线斜率，进而求倾斜角即可. 【详解】因为直线经过点和两点， 所以直线斜率存在，斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故选：A 3．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，其中，作出可能的图形，由图形得出与的关系，再由两角和的正切公式求得直线的斜率． 【详解】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：   或   则或，， 当时，， 当时，， 故选：AD． 题型二 两直线平行求参数或直线方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 3．（19-20高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（   ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 【答案】D 【分析】用两直线平行的条件求解，注意去除两直线重合的情形即可得． 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或， 当时，和重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意. 故选：D 6．（18-19高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 二、多选题 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线平行列方程来求得的可能取值. 【详解】考虑直线斜率存在的情况 当且时，直线：，其斜率； 直线：，其斜率. 因为，所以，即：， ，， ，，， 解得或或（舍去）. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 考虑特殊情况 当时，直线：，即； 直线：，即，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线不平行. 综上，或或. 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【分析】设出直线方程为，代入，求出，求出直线方程. 【详解】过点且与直线平行的直线设为， 再将代入得，解得， 故直线方程为. 故答案为： 10．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线方程，再结合定点坐标即可求解. 【详解】设直线方程为， 由在直线上，可得：， 得：， 所以直线方程为， 故答案为： 题型三 两直线垂直求参数或直线方程 一、单选题 1．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 2．（14-15高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 二、多选题 6．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知，直线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用，找到，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可. 【详解】，且， 所以，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立， ，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当，即时等号成立，故D正确． 故选：ABD. 7．（2023·湖北·一模）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，得，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立. 【详解】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则， ，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直直线系方程，代入坐标即可求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将代入即可得， 故直线方程为， 故答案为： 9．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为 ，经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】将直线方程化成斜截式求出斜率，利用直线斜率定义即得其倾斜角；利用两直线互相垂直可求出另一直线的斜率，根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】由化成斜截式为：， 则直线的斜率为：， 设其倾斜角为，由，，可得； 设与直线垂直的直线的斜率为，则由可得， 故经过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故答案为： 10．（24-25高二上·浙江湖州·阶段练习）已知直线：与直线：垂直，则经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由直线与直线垂直求出,求出直线，设所求直线为，代入坐标求出即可. 【详解】解：因为直线：与直线：垂直， 所以，所以. 所以直线：， 设所求直线的方程为， 因为直线过， 所以，即， 所以所求直线的方程为. 故答案为： 题型四 直线的5种方程及其应用 一、单选题 1．（24-25高二上·福建·期中）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据截距的定义求解即可． 【详解】令，代入直线的方程得，则， 故直线在轴上的截距为. 故选：B． 2．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 二、多选题 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】按直线l是否过原点分类，再结合直线的截距方程求出方程. 【详解】直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线l过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，方程为，即； 当直线l不过原点时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 故选：AD 三、填空题 5．（24-25高二上·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 6．（24-25高二上·天津滨海新·期中）（1）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 ；（2）三角形 ABC 的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为 【答案】 或 【分析】（1）先设直线方程，若过原点，设：，若不过原点，设：，再代入点，求出待定系数即得直线的方程. （2）先求出的中点坐标，求出中线的斜率，再用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）若直线过原点，设直线：， ∵过点，∴直线的方程为：； 若直线不过原点，∵直线在两坐标轴上截距相等，设直线方程为：， 又直线过点，∴，解得， 所以直线方程为：. （2）设的中点为,∵，则点的坐标为， ∴的斜率, ∴直线的方程为，即, 故答案为：或；. 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 四、解答题 8．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 9．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 10．（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 【答案】(1)或） (2)； (3)（或）. 【分析】（1）利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程； （2）在菱形中，由，得到，再结合直线的倾斜角与直线的倾斜角关系求解； （3）联立直线和直线的方程，求得点D的坐标，再由的斜率与CD的斜率相等求解. 【详解】（1）， 所以直线的方程为， 即或）； （2）因为在菱形中，， 所以，由（1）知直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为； （3）直线的方程为， 即， 直线的方程为， 即， 联立可得的坐标为， 所以直线的方程为， 即（或）. 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1) 根据截距式即可求解； (2)根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，利用点斜式求解即可； (3)求出分别和的中点，再根据直线的两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； （2）设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； （3）设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 14．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 15．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 题型五 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 5．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（    ） A．－2 B．2 C．9 D．11 【答案】BD 【分析】分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可. 【详解】①若点在的同侧，则直线， 即，解得， ②若在的两侧，则经过线段的中点， 即， 故选：BD. 7．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 三、解答题 8．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 9．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 【答案】(1)； (2)，； 【分析】（1）解方程组求出点的坐标，再利用轴对称的意义列方程组求出点的坐标. （2）利用几何意义，结合两点间距离公式求出最大距离及对应直线方程. 【详解】（1）由，解得，则点， 设点关于直线的对称点，则，解得， 所以点. （2）由（1）知，点，则，直线斜率， 以点为圆心，为半径的圆与直线始终有公共点， 当时，直线与该圆相切，点到直线的距离； 当与直线不垂直时，直线与该圆相交，点到直线的距离， 因此点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为， 方程为，即， 所以点到经过点M的直线l距离的最大值为，此时直线的方程为. 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【答案】(1)或 (2)或 (3)直线：，最大距离为 【分析】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【详解】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 题型六 直线恒过定点问题 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得定点坐标. 【详解】因为，所以， 由，可得，所以， 当时，所以对为任意实数均成立, 故直线过定点. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】求出直线过的定点，即可得答案. 【详解】解：因为线的方程是， 即为， 令，解得， 即直线过定点, 所以直线一定经过第三象限. 故选：C. 4．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得直线恒过点，注意到当时，点到直线的距离最大，然后根据题意列出方程即可求解. 【详解】将直线方程整理为：， 由得：， 直线恒过点， 当时，点到直线的距离最大， 显然，否则不垂直， 从而. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线恒过定点，再结合图象求解即可. 【详解】直线，即， 由，解得，所以直线恒过定点， 又，，    由图可知，要使直线与线段有公共点， 则直线斜率的取值范围为. 故选：D. 6．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 7．（24-25高二上·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解. 【详解】由，可得， 所以直线恒过点， 则， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故的取值范围为. 故选：B 8．（2020高三·全国·专题练习）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线确定定点，求出定点与已知点所成直线的斜率，数形结合得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 二、填空题 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 10．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 题型七 圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 2．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，从而得解. 【详解】依题意，设圆心为， 由可得，解得， 所以圆心为，圆的半径为， 故所求圆的标准方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可. 【详解】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 5．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线恒过点，依题意可得圆C的圆心为，半径，即可求出圆的方程. 【详解】动直线，即， 令，解得， 所以动直线恒过点， 又动直线被定圆C截得的弦长等于， 所以圆C的圆心为，半径， 所以圆C的方程为. 故选：B 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 二、填空题 8．（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的标准方程为， 故答案为：. 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，求得圆心连线的斜率与中点，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 设，由题意可得圆的半径为， 直线的斜率，线段的中点为， 由直线，则其斜率， 可得，解得，则， 圆. 故答案为：. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则圆心在直线上，且过和两点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求直线的方程，再写出的方程得出中垂线，进而得出点，求出半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】直线的方程为，整理得， 直线的方程为，整理得， 故线段的中垂线方程为， 联立，解得， 则，半径为， 故圆的标准方程为． 故答案为： 题型八 圆的一般方程 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解. 【详解】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【详解】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 故选：A 二、填空题 4．（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得 故圆的方程为, 故圆的标准方程为. 故答案为： 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 6．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 三、解答题 7．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求的值； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. （3）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解． 【详解】（1）解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. （2）因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． （3）因为直线的方程为， 边上的中线所在的直线方程为， 所以联立，解得：，所以， 又因为，， 所以的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 同理可得线段的垂直平分线方程为， 由得，，所以的外接圆圆心为， 所以的外接圆半径为， 所以的外接圆方程为． 8．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. 【详解】（1）由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. （2）设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 题型九 直线与圆的位置关系及其参数求解 一、单选题 1．（22-23高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【分析】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论． 【详解】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得的取值范围． 【详解】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，    由此可得圆的半径， 故选：B 6．（24-25高二上·北京房山·期中）已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（    ） A．若圆心在圆内，则圆心在圆内 B．若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C．若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D．若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心的半径，结合点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 对于A，圆心在圆内，则，，圆心在圆内，A正确； 对于B，圆心在圆内，则，点到直线的距离，直线l与圆相离，B正确； 对于CD，直线l与圆相切，则，点到直线的距离， 圆心在直线l上，直线l与圆相交，C错误，D正确. 故选：C 二、多选题 7．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据直线过圆心判断B，根据圆心到直线的距离与半径的比较判断C，求出圆心到动直线的最大距离即可求解判断D. 【详解】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A正确； 选项B：当时，，圆即， 圆心，半径为，因为在直线l上，所以平分圆的周长，故B正确； 选项C：当时，， 圆心到直线的距离为，故与圆不相切，故C错误； 选项D：定点与圆心的距离为，此时为圆心到直线的距离最大值， 所以圆上点到直线距离的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若直线与圆相切，则 . 【答案】9 【分析】利用点到直线距离公式求出值. 【详解】圆，即的圆心，半径， 依题意，，解得. 故答案为：9 10．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出圆心及圆的半径即可得出圆的标准方程； （2）联立直线与圆的方程，根据有两解列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为， 由题意可列方程，解得， 所以圆心坐标为、半径为， 所以圆的标准方程为； （2）联立，并整理得， 因为直线与圆交于、两点， 所以，解得， 所以实数取值范围为. 12．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）结合题意，由两点间距离公式化简即可； （2）由圆心到直线的距离小于等于半径结合点到直线的距离公式计算即可； 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 所以曲线的方程为，该曲线是圆心为，半径的圆． （2）因为直线与曲线有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 解得． 所以当直线与曲线有公共点时，的取值范围是． 题型十 圆与圆的位置关系及其参数求解 一、单选题 1．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆，则圆，的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆心之间的距离判断两圆位置关系. 【详解】圆可化为， 圆心为，半径； 圆可化为， 圆心为，半径， 则两圆心之间的距离， 所以，即两圆相内切， 故选：A. 2．（22-23高二上·河南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断. 【详解】由得圆心坐标为，半径， 由得圆心坐标为，半径， ∴，，，∴，即两圆相交． 故选：B． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确圆的圆心和半径，计算圆心距，根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差的绝对值来判断两圆是否内切. 【详解】圆的圆心为，半径. 对A选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故A选项不满足条件； 对B选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆内切，故B选项满足条件； 对C选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故C选项不满足条件； 对D选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故D选项不满足条件. 故选：B 5．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得. 故选：B. 8．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解. 【详解】由圆：与圆：有两条公切线， 可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差， 则，解得：， 故选：A. 9．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与圆无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确. 故选:C. 二、多选题 10．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（   ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，和内含 D．当时，有且仅有一条直线与和均相切 【答案】BD 【分析】先根据圆的标准方程得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再由两圆的位置关系得到圆心距与半径的和、差的关系得到不等式(或方程)，即可判断. 【详解】由题知，，，，. 对于A，若和外离，则，解得或，故A错误； 对于B，若和外切，则，解得，故B正确； 对于C，当时，，则和相交，故C错误； 对于D，当时，，则和内切，有且只有一条公切线，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若圆，圆，则（    ） A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则 B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则 C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线 D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则 【答案】ACD 【分析】根据公切线的条数，确定两圆的位置关系，根据圆与圆的位置关系，列式求解. 【详解】A，当时，两圆有三条公切线，所以两圆相外切，所以， ，得，故A正确； B，当，若两圆有两条公切线，则两圆相交，所以， 即，解得：或，故B错误； C，当，若两圆无公切线，则两圆内含，所以， 即，解得：，得，故C正确； D，若两圆有三条公切线，则两圆相外切，所以，即， 若存在使两圆有三条公切线，则，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）如图，圆的圆心分别为，半径都为1，写出一个与这三个圆都相切的圆的标准方程： .    【答案】答案不唯一 【分析】先设圆心半径，再列式计算求参即可得出圆的标准方程. 【详解】设圆心,半径, 所以, ， 所以 若所求圆与这三个圆都外切，则，则， 则所求圆的标准方程为. 若所求圆与这三个圆都内切，则，则， 则所求圆的标准方程为. 故答案为：. 题型十一 圆中的弦长问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长． 【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径， 故弦长为， 故选：C． 2．（24-25高二上·北京丰台·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先得到过原点且倾斜角为的直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理进行求解. 【详解】过原点且倾斜角为的直线为，即， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线被圆所截得的弦长为6，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出圆心到直线的距离，再由直径为6即可求解. 【详解】圆的方程可化为，所以其圆心为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以，解得． 故选：C． 4．（24-25高二上·广东广州·期中）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据弦长公式可知圆心到直线距离为1，利用点到直线距离公式可解得直线斜率，可求得倾斜角. 【详解】易知圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线距离为，又弦长为，可得； 又圆心到直线距离为，解得或； 所以直线的倾斜角为或. 故选：D 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解. 【详解】因为可化为， 所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为, 故选：B 6．（24-25高二上·江苏·期中）若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值， 即为定值，所以. 故选：C 二、填空题 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【详解】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【详解】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，圆.过点的直线被两圆截得的弦长相等，则直线的斜率是 . 【答案】 【分析】设直线方程为，由勾股定理求弦长列方程求解． 【详解】过且斜率不存在的直线与圆两都不相交， 设直线方程为，即， 由题意，解得． 故答案为：． 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：可知直线过定点（其中不包含直线），可知圆心到直线的距离为，即可得弦长；法二：因为圆心到直线MN的距离为，可得，即可得弦长. 【详解】法一：直线的方程可化为， 令得， 所以直线过定点（其中不包含直线）， 因为，即点A在圆内， 圆的圆心为原点，半径为， 不妨设圆心到直线的距离为， 当时，恰为直线，不存在，故取不到，即 由，所以弦长的取值范围为； 法二：因为圆的圆心为原点，半径为， 设圆心到直线MN的距离为， 则， 因为，故，可得， 又因为，所以弦长的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. (1)求出圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程； （2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）圆的圆心在y轴上且与切于点， 可设圆心坐标为，则，解得，. 所以圆心，半径， 故圆的方程为. （2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 题型十二 圆上的点到点的最值问题综合 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设存在定点，使得，化简可得，结合，得出，可得的最小值为，即得结果. 【详解】设存在定点，使得点在圆上运动时均有， 设，则有， 化简可得，①， 又因为，即，②， 将②代入①化简可得：， 即，解得，故， 所以， 所以， 当且仅当三点共线且在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径， ， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）实数、满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据几何意义为圆上的点与距离的平方，找出圆上的与的最大值，再平方即可求解. 【详解】解：由题意知：设，， 则为圆上的点， 圆的圆心,半径， 则表示圆上的点与距离的平方， 又因为, 所以； 故的最大值是. 故答案为：. 7．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 【答案】40 【分析】先求出圆心到原点的距离，再结合圆的半径来确定的最大值和最小值. 【详解】圆的方程为，其圆心. 根据两点间距离公式，原点到圆心的距离. 因为在圆上运动，圆的半径. 表示点到原点距离的平方. 的最小值为； 的最大值为. 最大值与最小值的差为. 故答案为：40. 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 【答案】7 【分析】将求的最大值转化为求的最大值问题，利用对称性，结合图形求解即可. 【详解】解析：由点，分别是圆，圆上的动点， 可知：， 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当，，三点共线时，取最大，最大值为， 所以. 故答案为：7    10．（24-25高三上·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据线段比值得到的轨迹，再判断点在轨迹内外，从而得到其范围. 【详解】设，因为，所以， 化简，得，即的轨迹是圆， 因为点在圆的内部，所以， 所以. 故答案为：. 题型十三 圆上的点到直线的最值问题综合 一、单选题 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）圆上的点到直线的距离的最大值为（   ）． A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案 【详解】圆的圆心为，半径，则 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为， 故选：B 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为，此时，. 故选：C. 4．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）点为圆上的一个动点，则点到动直线的距离的最大值为（   ） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】确定直线过定点，由圆心到直线距离的最大值即为圆心与的距离，可求解. 【详解】由化为标准方程：， 圆心为：，半径为， 由可得：， 由，可得，所以直线过定点， 则圆心到直线距离的最大值即为圆心与的距离， 可得圆心到直线距离的最大值为：， 所以点到动直线的距离的最大值为圆心到直线距离的最大值加上半径， 即最大值为. 故选：C 5．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题设有，结合表示曲线上点到直线的距离，数形结合及圆上点到定直线距离最值求法求目标式的最值，即可得答案. 【详解】由题设，大致图象如下， 在各个象限均为一个四分之三圆，且半径均为， 从第一到第四象限圆心依次为， 而表示曲线上点到直线的距离， 要求的最值，只需求的最值， 又过一、三、四象限，且，即直线与曲线无交点， 由图知，，， 所以的最小、最大值分别为，故和为6. 故选：C 6．（24-25高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【详解】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 二、填空题 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，然后减去半径，即可求解. 【详解】因为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知为圆C：上任意一点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用，把问题转化为求直线的斜率的最值，且当直线为圆的切线时，斜率取最值.设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求解最值. 【详解】由可以看成圆上的动点与定点的两点斜率， 从而转化为直线的斜率的最值，且当直线为圆的切线时，斜率取最值. 即可设直线的方程为，即. 由，化标准方程得：， 则圆心，半径为， 所以当直线与圆相切时，圆心到直线的距离. 两边平方，即，解得，或. 所以的最大值和最小值分别为和. 故答案为： 9．（24-25高二上·天津西青·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】设直线：，半圆：，问题转化为原点到直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式得到不等式，求解即可. 【详解】设直线：，半圆：， 则表示半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于， 即，解得， 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将不等式转化为半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于. 10．（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 题型十四 圆中的最长弦与最短弦综合 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，最短， 所以的最小值为 故选：C 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数（    ） A． B．－1 C． D．1 【答案】B 【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求出. 【详解】由题意，直线的方程化为， 由得， ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 故选：B. 4．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解. 【详解】直线可化为，则直线过定点， 点代入圆中：，所以点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，即， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 所以. 故选：A 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 7．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为 ． 【答案】1 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质可知当时，取到最短，即可得结果. 【详解】因为直线：，即，可知直线过定点， 圆：的圆心为，半径， 可知当时，取到最短，此时. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解． 【详解】将直线整理得，， 由得，， 则直线过定点， 由得，，圆心为，半径 因为，所以点在圆内部， 当直线截圆的弦长最短时，， 所以弦长为， 故答案为：． 9．（2023·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】数形结合确定弦和的位置，即可求出四边形的面积. 【详解】圆的方程化为标准方程为：， 则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1， 故， 所以四边形ABCD的面积为． 故答案为： 10．（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）过点作两条互相垂直的直线，分别交圆O：于和，则四边形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆的几何性质求弦长，，再由均值不等式及四边形面积即可求得四边形面积的最大值. 【详解】 记圆心O到直线，的距离分别为，， 则， 因为，， 所以，即， 则四边形的面积，即四边形面积的最大值为97. 故答案为：. 题型十五 过圆上一点的切线问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【详解】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D 4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 5．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【详解】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故选：B． 题型十六 过圆外一点的切线问题 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 3．（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】将圆化为标准方程， 则圆心，， 当切线的斜率不存在时，切线的方程为， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为， 即， 由题意知，.解得. 此时切线的方程为. 综上，切线的方程为或. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出或． 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 易知过点的切线的斜率存在，设的方程为， 即，则圆心到直线的距离， 解得或． 故选：A． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知切线的斜率存在，设出切线的方程，根据直线与圆的位置关系可得出，利用韦达定理得到两条切线的斜率、之间的关系，再由结合同角三角函数的基本关系可求得的值． 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆心为，半径为1， 根据题意及图形可知切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 则有，整理可得， 则， 设两切线的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，， 所以， 所以， 由题意可知，所以， 由，解得． 故选：D． 题型十七 切点弦方程 一、单选题 1．（2023高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 2．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 3．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 题型十八 切线长 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小. 【详解】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故． 故选：B. 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 4．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 5．（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出示意图之后，结合图形可知，与圆相切时，切线长取到最小值. 【详解】圆化成标准形式为， 故圆心为，半径为，直线与坐标轴交于点，点，如图所示：    则当最小时，与圆相切，连接， 可知， 由勾股定理可得. 故选：A 6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 题型十九 圆中的公切线问题（含根轴） 一、单选题 1．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 3．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 4．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 5．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 7．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 三、解答题 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 题型二十 直线与圆的综合问题 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）若方程无实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程解的个数即函数与的图象的交点的个数，作出直线和上半圆，求出相切时的参数值以及直线过点的参数值，由此可得参数范围． 【详解】方程解的个数即为函数与的交点的个数， 对于，可得， 其图象是以为圆心，半径的上半圆， 当直线过点时，； 当直线与半圆相切时，，（舍去负值）； 结合图象可知：原方程无实数解，则或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C． 2．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大值，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为直径作圆，由圆心到直线的距离可知直线与圆相离，则结合两直线夹角公式可得，进而可得最值. 【详解】以为直径作圆，方程为，半径， 则圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，即， 由点在直线上，设， 则，， 所以直线与的夹角满足， 当时，， 当时，， 当时，，此时， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，此时， 当且仅当，即时等号成立； 综上所述，当时，取最大值，即取最大值， 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点. 【详解】圆，则圆心，半径， 点为直线上一动点，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 且圆心为，半径为， 则此圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故选：A. 5．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与圆无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确. 故选:C. 二、多选题 6．（24-25高二上·山东·期中）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以， 则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，， 所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确； 故选：ABD 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知曲线的方程为，则（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 【答案】AB 【分析】作出曲线的图象，数形结合可判断A选项；由题意可得，则有，解此不等式可判断B选项；求出曲线上的点到原点距离的最大值，可得出的最小值，即可判断C选项；利用圆的几何性质求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A，若点在曲线上，， ，， 点、、也都在曲线上， 则曲线关于轴、轴、原点对称， 当，时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线是四个顶点为、、、 的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    所以曲线围成的图形面积是，故A正确； 对于B，点在曲线上，则等价于， 则有，可得，解得，故B正确； 对于C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，故C不正确. 对于D，曲线在第三象限部分的圆弧是以点为圆心，半径长为的半圆， 所以，，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】先化简圆的标准方程，再结合三角换元求范围即可判断A,B,D,设,再联立方程应用判别式即可求出参数范围判断C. 【详解】因为圆，则， 设, ,所以当时，的最大值为，A错误； ,所以当时，的最大值为，B错误； , 所以当时，的最大值为，D正确； 设,则,圆，圆心,半径为， 则圆心到直线的距离小于等于半径，， 所以,计算得，所以的最大值为，C正确. 故选：CD. 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若为圆上一点，则的最小值为 C．若与圆相交于，两点，则 D．过上一点向圆作切线，切点为，则 【答案】ABD 【分析】由两直线平行的定义可求出的值，从而判断A；设，利用直线与圆的位置关系，得到，从而判断B；当时，取最小值，利用勾股定理即可求得的最小值，从而判断C；当时，取得最小值，先求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求得的最小值. 【详解】对于选项A，若，则，得，故选项A正确． 对于选项B，设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，故选项B正确． 对于选项C，因为，化简可得， 令，解得，故过定点， 当时，取最小值，则，故选项C不正确． 对于选项D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而当时，取得最小值为圆心到直线的距离， 故当时，取得最小值为，故选项D正确， 故选：ABD. 10．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 【答案】ABC 【分析】设，，由，再结合可求得即可对A、B判断；由圆关于直线对称且结合A、B中推论，可对C、D判断. 【详解】A：圆心C的坐标为，圆关于轴对称，设，， 则，即，对恒成立， 所以，所以，所以， 即，所以且且且， 令，得，所以A正确； B：因为且且且有无数组解，所以B正确； C、D：由圆关于直线对称及以上推理得，直线上也存在无数对定点A，B（A，B不重合）， 使得的值与M的位置无关，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线恒过点， 由，则，即， 即曲线表示出以为圆心，为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则，解得（舍去）或， 所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 13．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（限制条件写成或也可以） 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，， 由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为， ，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：（限制条件写成或也可以） 四、解答题 14．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）．已知直线，圆. (1)若直线m过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线m的方程； (2)若直线与圆相离，求的取值范围； (3)若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求出即得. （2）利用点到直线的距离公式列式求解. （3）根据给定条件，利用圆的性质求出直线的斜率，再结合（2）的结论即可得解. 【详解】（1）当直线m过原点时，直线的方程是，即； 当直线m不过原点时，设直线m的方程为，则，解得， 直线m的方程是， 所以所求直线m的方程为或. （2）圆的圆心，半径， 由直线与圆相离，得， 化简得，解得或， 所以的取值范围为. （3）若存在过点的直线垂直平分弦，则直线必过圆心， 于是直线的斜率，即直线的斜率， 由直线垂直于弦，得弦所在直线的斜率， 由（2）知，当时，直线与圆相离，与题设矛盾， 所以不存在过点的直线垂直平分弦. 15．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 16．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【详解】（1）设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； （2）设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； （3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 2．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程表示圆的条件，列式计算得解. 【详解】由方程表示圆，得， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再根据平行线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，即，可化为， 所以两平行线的距离为. 故选：B 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 6．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆心和半径，由题意可知：两圆相交，进而可得结果. 【详解】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意可知：两圆相交，且，， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 9．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 10．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 11．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 12．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线过圆内一定点，当（为圆心）时，弦长最短，再由勾股定理得弦长． 【详解】易知直线过定点，圆心为， ，在圆内， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 且最短弦长为， 故选：A． 13．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】先用直接法求出圆N的轨迹方程，再利用圆心距与两圆半径之间关系判断位置关系． 【详解】由已知设，则，化简得， 故圆N的圆心为，半径为2．又圆M的圆心为，半径为7. 两圆心距为，故两圆内切， 故选：D． 14．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案. 【详解】 如图，圆的半径为，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：，则的取值范围为. 故选：D. 15．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心、半径，结合得点到直线的距离为，由此即可列方程求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆心到直线的距离为，又直线为， 所以，解得或． 故选：A． 二、多选题 16．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】AB 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则选项A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则选项B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则选项C可判断；利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，加上半径即点到直线距离的最大值，即选项D可判断． 【详解】对于A，因为圆和圆，圆心距，且,两圆相交，将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故选项A正确； 对于B，因为圆的圆心为，，则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故选项B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以，故选项C错误； 对于D，点为圆上一动点，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以点到直线距离的最大值为，故选项D错误． 故选：AB． 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点，则的最大值为 C．若直线与圆相切于点，则 D．若直线与圆相切，则直线的方程为或 【答案】ACD 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由的最大值为，即可判断B，由勾股定理代入计算，即可判断C，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断D. 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，由，的最大值为，所以B错误； 对于C中，若直线与圆相切于点， 则，，所以C正确； 对于D中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以D正确. 故选：ACD 18．（24-25高二上·湖北·阶段练习）设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．当最大时， C．当最小时， D．当最小时，其余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据直线方程可得A正确，再由圆心与定点之间的位置关系计算可得B正确，易知当取得最小值时，直线与和的连线垂直，可判断C正确，当最小时最小，再利用余弦定理可判断D错误. 【详解】对于选项A，由动直线可得：， 令可得，即直线过定点，即选项A正确； 对于选项B，当取得最大值时，直线过圆心， 则，得，选项B正确； 对于选项C，当取得最小值时，直线与和的连线垂直， 经过和的直线的斜率为1，故直线的斜率为，故，选项C正确； 对于选项D，当最小时，最小，此时直线与和的连线垂直， 则， 由余弦定理可得，即选项D错误； 故选：ABC. 19．（24-25高二上·四川成都·期中）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点 B．圆C与圆：的公切线恰有4条 C．直线l与C可能相切 D．直线l被C截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】确定直线过定点，可判断A的真假；确定圆与圆的圆心和半径，根据圆心距可判断圆与圆的位置关系，确定公切线的条数，判断B的真假；根据点与圆的位置关系，判断C的真假；求出直线被圆截得的最小弦长，确定D的真假. 【详解】对于A，直线：， 由，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：， 所以圆心，半径， 圆：，圆心，半径， 因为，且， 所以圆与圆相交，两圆的公切线有两条，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆内， 所以直线与圆必相交，故C错误； 对于D：当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小. 因为， 所以最短弦长为，故D正确. 故选：AD. 20．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 三、填空题 21．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 22．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 . 【答案】或. 【分析】根据题意确定之间的关系，并得出坐标关系的第一个关系式；将直线与圆的方程联立得到第二个关于坐标关系式；两个关系式联立即可求出的值，进而求出直线的方程. 【详解】设，由，， , ， ,① 由得:（*）,,② 由①②解得，带入（*）式解得， 直线的方程为或. 故答案为：或.. 23．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，圆 C 过原点且原点到直线 的距离为1，则 在直线 上，且与 相切，与 无交点，可解问题. 【详解】设与直线 平行且距离为的直线方程为， 则，解得或， 所以与直线 的距离为1的点都在 直线 和 上， 又圆 过原点 且原点到直线 的距离为， 则 在直线 上，且与 相切， 所以 故答案为： 24．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，写出一条满足上述条件的直线的方程 ． 【答案】（或） 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用圆中几何关系求出直线方程. 【详解】    因为,故点在圆外． 设点到直线的距离． 由，知， 所以，即， 所以，即． 解得． 当直线的斜率不存在时，即：，此时，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则．解得． 故直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 故答案为：（或） 25．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【分析】由直线垂直的充要条件求出，再由圆的性质得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 四、解答题 26．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相切先确定过且垂直于的直线也过圆心，再利用两直线交点的计算求出圆心，结合两点距离公式计算半径即可得圆的标准方程； （2）利用圆的性质将问题转化为两圆有交点，结合圆心距计算参数即可. 【详解】（1）因为圆C与直线相切于， 所以过且垂直于的直线过圆心C. 易求得该直线为， 又圆心C在直线上， 所以，即圆心， 半径； 所以圆C的标准方程为； （2）由于，所以P的轨迹是以为直径的圆（除外）， 所以以为直径的圆O为：， 又因为P在圆C上，所以圆C与以为直径的圆有公共点，                      易知圆心距，所以，解得. 27．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M. (1)求光线从点P到点M经过的路程； (2)求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）设点关于直线的对称点为， 运用“中”“垂”性质构造方程组，求出，进而求出，再求路程即可； （2）设反射光线为，即，利用直线与圆相切条件计算k即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即. 又圆心，所以， 则光线从点P到点M经过的路程为. （2）由题可知反射光线经过点，易知反射光线的斜率存在， 故设反射光线为，即. 又圆心，所以，解得或. 故反射光线所在直线的方程为或. 28．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切线方程为，根据到切线的距离等于计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；（2）设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即，所以是方程的两实根，再根据公式， 求其最小值，代入三角形面积公式求解． 【详解】（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即， 故到直线的距离， 解得或，所以切线方程为和． ，，， 故以为圆心，以为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为：，即． （2）设直线与的直线方程分别为：， 又与圆相切， 所以，即． 所以， ，， ，， ， 所以面积的最小值为． , 29．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)相离，理由见解析. 【分析】（1）设，根据已知得，又在圆上运动，代入求轨迹方程； （2）写出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离并判断其与半径大小，即可判断位置关系. 【详解】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2） 由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 30．（21-22高二上·黑龙江大庆·期中）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】（1）先根据切线与过切点的半径所在直线垂直，得直线的方程，与联立，可得圆心坐标，再求半径，可得圆的标准方程. （2）结合基本不等式可求面积的最大值，并确定圆心到直线的距离.根据点到直线的距离公式可求直线的斜率，可得直线的方程. 【详解】（1）如图： 由题意，过点的直径所在直线方程为， 联立 ，解得. 圆心坐标为，半径 ， 圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为， 则的面积， 由于， 当，即时面积最大为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为； 故直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 由到的距离， 解得或，故此时直线方程为或． 31．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用待定系数法求圆的方程，进而标准化即可； （2）由（1）圆心为，半径，讨论直线的斜率存在性，结合直线与圆相切求直线方程. 【详解】（1）由题意，可设圆的一般方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的一般方程为，标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， ①当过点的直线斜率不存在时， 此时切线的一般式方程为，且圆心到该直线的距离，满足条件； ②当过点的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的一般式方程为， 综上所述：切线的一般式方程为或. 32．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 33．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系. （2）设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，即， 所以圆和圆相交. （2）由，解得，即点， 设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 依题意，点在直线上，得， 化简得：，所以直线的方程为. 34．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 35．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点为，连，CE，分析可得当共线时，有最大值，结合圆的对称性与正弦定理可得，即，转化为圆心到直线的距离即可得的取值范围，即可得所求. 【详解】如图，取中点为，连，CE，    已知，圆心，半径， 则当共线时，有最大值， 因为，则此时， 又由正弦定理得，故， 所以当的时，， 由于点在直线上，所以圆心到直线的距离， 整理解得， 故的最大值为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 4．（24-25高二上·四川广安·期中）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出点坐标，可得，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值. 5．（24-25高二上·重庆·期中）若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，设，分析可知，，则恒成立，则恒成立，利用三角恒等变换求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】先证明，其中、， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，，与、无关， 当且仅当时，等号成立， 设，则 ，为锐角，且， 所以，恒成立，则恒成立， 因为， 为锐角，且， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据原的参数方程所求代数式的几何意义. 二、多选题 6．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 7．（24-25高二上·四川南充·期中）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．直线过定点 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由可得， 即直线AB过定点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可. 8．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（   ） A． B．点M的轨迹方程是 C．的最大值是25 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据两直线方程得到斜率，再根据斜率之间的关系得到两直线之间的关系，即可判断A，根据两条线垂直及求轨迹方法判断B，根据基本不等式判断C，根据三角换元以及辅助角公式判断D. 【详解】对A,,所以，故A正确； 对于B，直线：可化为，所以定点为， 直线：可化为，定点为， 因为，所以，设，则， 所以， 化简可得，故B正确； 对于C，根据选项B可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时的最大值是，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 即的最大值为，故D错误； 故选：AB. 9．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，由题可得四边形的面积，可判断B；当时，四边形为正方形，将问题转化为时，求点的个数，即可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆方程相减可得公共弦的方程，即可判断D. 【详解】由圆，可知圆心，半径. 对于A，由圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）. 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于B，四边形的面积， 由圆的性质可得切线长， 所以当最小时（时）, ， 所以四边形的面积的最小值为1，故B正确； 对于C，若，由，，则四边形为正方形，则， 设，则，解得， 即存在唯一P点，使得，故C正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上. 又，所以以为直径的圆为，即. 与圆联立，相减，即为直线的方程为：. 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是分析得点在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 10．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键. 三、填空题 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围． 【详解】直线恒过点. 由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.    当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ， 根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得， 当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点， 综上得，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】    由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数，所有满足（为动点）的点的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点点是圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据是圆上的点，求出点坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得. 【详解】由题意，设，， 所以， 则， 由于是圆上的点, 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，，根据是圆上的点，求出点坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得. 14．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，为直线在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另外一点.若，则的纵坐标为 . 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，利用倾斜角与斜率的关系求得直线的方程，联立方程组即可求得结果. 【详解】如下图所示： 由可得，设直线的倾斜角为，直线的斜率为， 可得，则， 即直线的方程为， 联立，解得，即， 所以的纵坐标为3. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆的性质得出倾斜角之间的关系，求得直线的斜率得出直线方程，解得交点坐标即可. 15．（24-25高二上·北京平谷·期末）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线上点的横坐标取值范围是 ③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为； ④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用曲线的对称性可判断①；由可解出的取值范围，可判断②；利用二次函数的基本性质可求出曲线上任一点到坐标原点的距离的取值范围，可判断③；作出曲线的图象，数形结合可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，①对； 对于②，由可得，解得或， 所以，曲线上点的横坐标取值范围是，②错； 对于③，在曲线在曲线上任取一点， 则，可得，则， 所以，，故， 所以，曲线上任一点到坐标原点的最小距离为，③对； 对于④，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线也关于轴对称， 当，时，曲线的方程可化为， 化简得，此时，，作出曲线的图象如下图所示： 考查当直线与圆相切，且圆的圆心为，半径为， 则，解得， 由对称性结合图形可知，若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用曲线的对称性，化简曲线方程，再结合对称性作出图形，数形结合来求解. 四、解答题 16．（24-25高二上·贵州·期中）材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程组可得点坐标. （2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解. （3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【详解】（1）由. 所以“共点”的坐标为： （2）圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. （3）由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 【点睛】关键点点睛：根据点到直线的距离公式，把转化成两点、到直线的距离，进而得：直线可能过已知两点的中点，或与过两点的直线平行或重合，再根据实数对存在的唯一性，所以直线就是过、的直线，所以. 17．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.    (1)当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； (2)直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以PC为直径的圆的方程的圆心为PC中点，半径为，据此可得圆的方程，将以PC为直径的圆的方程与圆C方程相减，可得直线方程； （2）由圆幂定理及圆外一点到圆上距离，可将化为只与和圆半径有关的式子，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得圆， 则C，半径为2，. 故以PC为直径的圆，以PC中点，即为圆心，以为半径， 故相应圆的方程为：. 直线AB为以PC为直径的圆和圆C公共弦所在的直线， 则两圆方程相减为直线AB方程， 则AB：    （2）如图，连接PC，设PC与圆C交于点D，延长PC与圆C交于点E. 由圆幂定理，， 由（1）可得，则. 又由题及图可得直线和与相离，则， 故. 当直线与垂直时，最小，为点C到直线距离， 则.又注意到函数在上单调递增， 则. 当且仅当与直线垂直，M，N分别与D，E重合时取等号.    【点睛】关键点睛：本题第一问为常规设问，提供了一种求切点弦的思路；第二问，关键为利用圆幂定理对要求最值的式子化简. 18．（24-25高二上·广东·期末）已知在平面直角坐标系中. (1)若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； (2)若，求的最小值； (3)判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 【答案】(1)答案见解析 (2)10 (3)命题1正确，命题2错误，理由见解析 【分析】（1）利用等面积法求出半径，或者求切线长； （2）利用旁切圆的性质求半径； （3）用内切圆，旁切圆的性质和焦半径公式进行分析. 【详解】（1）圆内切于，所以,可得， 圆旁切于，设圆心，直线，所以， 左右平方化简得出，所以，所以； （2）方法一：设的旁切圆的圆心为，由（1）可知， 因为，所以恒过点，点恒在圆外或圆上，所以， 即，解得或（舍），所以的最小值为10. 方法二：设， 因为，，可设，， 因为 ，则，， ，， ， ，解得或， 由知，，，舍去， 因此，即的最小值为10. （3）命题1正确，命题2错误. 对于命题1涉及三角形面积与内切圆半径联系起来， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， ，，又， 若即， 两圆心均在上，且直线为与的公切线，与相似（此时）， 设，则 得：，， ，代入①得： ，， ，， ，， 同时除得，， （舍）或， ，，因为， 的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的. 对于命题2：点在椭圆上，焦点的周长，面积， 点在椭圆上，焦点的周长，面积，满足， 由焦半径公式计算得到，， ，， 与三边无论如何都不能成比例，所以与不相似. 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 【点睛】方法点睛： 求动点轨迹方程，通常根据已知条件建立动点坐标满足的等式，然后化简得到方程.对于涉及距离比的问题，利用两点间距离公式构建等式是常用方法. 当出现圆的切线和切点时，利用圆的性质（如切线与半径垂直）确定点的位置关系，进而得到相关圆的方程.求两圆公共弦所在直线方程，通过两圆方程相减的方法来实现，这是处理两圆公共弦问题的常见技巧. 求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式求解参数，是解决此类问题的常用方法. 20．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. (1)求证：为定值； (2)当时，求直线的方程和直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）计算特殊情况下的值，当直线斜率存在且不为0时，设，利用弦长公式表示，即可证明结论. （2）利用条件得到，为等腰直角三角形，，根据（1）可求出直线斜率，利用求出直线的斜率，联立直线与圆方程求点坐标即可得到直线方程. 【详解】（1） 如图，当直线斜率不存在时，直线的斜率为0. 在方程中，令得，令得， ∴，∴. 当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，. 当直线斜率存在且不为0时，设，则， 由得，， 设，则， ∴，∴， ∴， ∴， 综上得，为定值，定值为. （2）由圆周角定理得，. 由得，， ∵，∴，为等腰直角三角形， ∴，∴. ∵，∴. 由（1）得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意. 取中点，连接，则，故三点共线， ∵，∴. 易知斜率大于0， 由得， 由得或， ∴. 方程为，即，方程为，即. 综上得，， 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用垂径定理和等腰直角三角形的性质得到，求得直线的斜率，根据（1）中的结论求出直线的斜率，即可得到点的坐标，进而计算出直线方程. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（复习讲义）（20大高频题型） 1. 明晰直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算方法，理解直线倾斜角和斜率的关系，能依据条件确定直线的斜率与倾斜角。 2. 熟知直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，理解它们的适用范围，能根据已知条件选择恰当形式求出直线方程，掌握直线一般式方程的特点。 3. 理解两直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判断两直线的位置关系，会求两直线的交点坐标，掌握点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式并能灵活运用。 4. 认识圆的标准方程与一般方程，能根据已知条件求圆的方程，理解圆的方程中参数的几何意义。 5. 掌握直线与圆的位置关系（相交、相切、相离 ）的判断方法，会利用代数法（联立方程，判断判别式 ）和几何法（比较圆心到直线的距离与半径 ）解决直线与圆的位置关系问题，能解决直线与圆相交时的弦长问题、圆的切线问题等。 6. 用坐标法解决平面几何问题，通过坐标系，用代数方法证明几何性质（如垂直、共线、最值等）。 1. 两点间的距离公式 ，， 2. 中点坐标公式 ，，为的中点，则： 3. 三角形重心坐标公式 4. 直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1） 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， （2） 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 （3） 直线的斜率与倾斜角的关系： 不存在 5. 两点间的斜率公式 ，， 6. 直线的斜截式方程 ，其中为斜率，为轴上的截距 7. 直线的点斜式方程 已知点，直线的斜率，则直线方程为： 8. 直线的一般式方程 9. 两条直线的位置关系 （1） 平行的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：，， （2） 重合的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， （3） 垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， 10. 点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 11. 两条平行线间的距离公式 ，， 12. 圆的标准方程 ，其中圆心坐标为，半径为 13. 圆的一般方程 （） 配方可得：， 圆心坐标为，半径为 14. 表示圆的充要条件 15. 点与圆的位置关系 已知点，圆的方程为： 若，点在圆内 若，点在圆上 若，点在圆外 16. 直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，其中为联立方程根的个数， 几何关系，其中为圆心到直线的距离 17. 圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 18. 弦长公式 设，， 则 或： 19. 圆上一点到圆外一点的距离的最值 20. 圆上一点到圆上一点的距离的最值 21. 圆上一点到直线距离的最值 22. 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 23. 圆中切线问题 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为; 3. 已知圆方程为圆:. (1)过圆上的点的切线方程为. (2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为. 4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度 一般方程(标准方程) 24. 常见的圆系方程 1、同心圆圆系 (1)以为圆心的同心圆圆系方程:; (2)与圆同心圆的圆系方程为:; 2、过线圆交点的圆系 过直线与圆交点的圆系方程为: ; 3、过两圆交点的圆系 过两圆 交点的圆系方程为,此圆系不含) (1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: 题型一 直线的倾斜角与斜率及范围 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 两直线平行求参数或直线方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 3．（19-20高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（   ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 6．（18-19高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 10．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 题型三 两直线垂直求参数或直线方程 一、单选题 1．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（14-15高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 二、多选题 6．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知，直线，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·湖北·一模）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）过点与直线垂直的直线方程为 . 9．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为 ，经过点且与直线垂直的直线方程为 . 10．（24-25高二上·浙江湖州·阶段练习）已知直线：与直线：垂直，则经过点且与直线垂直的直线方程为 . 题型四 直线的5种方程及其应用 一、单选题 1．（24-25高二上·福建·期中）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高二上·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 6．（24-25高二上·天津滨海新·期中）（1）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 ；（2）三角形 ABC 的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 四、解答题 8．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 9．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 10．（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 14．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 15．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 题型五 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 二、多选题 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（    ） A．－2 B．2 C．9 D．11 7．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 三、解答题 8．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 9．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 题型六 直线恒过定点问题 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 4．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 7．（24-25高二上·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2020高三·全国·专题练习）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 10．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 题型七 圆的标准方程 1．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 . 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则圆心在直线上，且过和两点的圆的标准方程为 ． 题型八 圆的一般方程 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 三、解答题 7．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求的值； (3)求的外接圆方程． 8．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知，点P在y轴上，满足． (1)求点P的坐标； (2)若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 题型九 直线与圆的位置关系及其参数求解 一、单选题 1．（22-23高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京房山·期中）已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（    ） A．若圆心在圆内，则圆心在圆内 B．若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C．若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D．若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 二、多选题 7．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线，圆，则（    ） A．经过一个定点 B．当时，平分圆的周长 C．当时，与圆相切 D．圆上点到直线距离的最大值为 三、填空题 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若直线与圆相切，则 . 10．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 四、解答题 11．（24-25高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 12．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线有公共点，求的取值范围． 题型十 圆与圆的位置关系及其参数求解 一、单选题 1．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆，则圆，的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 2．（22-23高二上·河南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 8．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（   ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，和内含 D．当时，有且仅有一条直线与和均相切 11．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若圆，圆，则（    ） A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则 B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则 C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线 D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则 三、填空题 12．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）如图，圆的圆心分别为，半径都为1，写出一个与这三个圆都相切的圆的标准方程： .    题型十一 圆中的弦长问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京丰台·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线被圆所截得的弦长为6，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·期中）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏·期中）若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，圆.过点的直线被两圆截得的弦长相等，则直线的斜率是 . 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 三、解答题 11．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. (1)求出圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 题型十二 圆上的点到点的最值问题综合 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 3．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）实数、满足，则的最大值是 ． 7．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 9．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 10．（24-25高三上·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是 . 题型十三 圆上的点到直线的最值问题综合 一、单选题 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）圆上的点到直线的距离的最大值为（   ）． A．3 B．5 C． D． 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 4．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）点为圆上的一个动点，则点到动直线的距离的最大值为（   ） A． B．6 C． D．7 5．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 8．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知为圆C：上任意一点，则的最大值为 . 9．（24-25高二上·天津西青·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 10．（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 题型十四 圆中的最长弦与最短弦综合 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数（    ） A． B．－1 C． D．1 4．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为 ． 8．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 9．（2023·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 10．（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）过点作两条互相垂直的直线，分别交圆O：于和，则四边形面积的最大值为 . 题型十五 过圆上一点的切线问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 题型十六 过圆外一点的切线问题 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 题型十七 切点弦方程 一、单选题 1．（2023高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 题型十八 切线长 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 题型十九 圆中的公切线问题（含根轴） 一、单选题 1．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 5．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 7．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 三、解答题 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 题型二十 直线与圆的综合问题 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）若方程无实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大值，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·山东·期中）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知曲线的方程为，则（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若为圆上一点，则的最小值为 C．若与圆相交于，两点，则 D．过上一点向圆作切线，切点为，则 10．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 三、填空题 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 13．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 四、解答题 14．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）．已知直线，圆. (1)若直线m过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线m的方程； (2)若直线与圆相离，求的取值范围； (3)若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 16．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 12．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 14．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 二、多选题 16．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点，则的最大值为 C．若直线与圆相切于点，则 D．若直线与圆相切，则直线的方程为或 18．（24-25高二上·湖北·阶段练习）设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．当最大时， C．当最小时， D．当最小时，其余弦值为 19．（24-25高二上·四川成都·期中）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点 B．圆C与圆：的公切线恰有4条 C．直线l与C可能相切 D．直线l被C截得的弦长最小值为 20．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 三、填空题 21．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 22．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线.若定点分弦为，求直线的方程 . 23．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 . 24．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，写出一条满足上述条件的直线的方程 ． 25．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 四、解答题 26．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 27．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M. (1)求光线从点P到点M经过的路程； (2)求反射光线所在直线的方程. 28．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 29．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 30．（21-22高二上·黑龙江大庆·期中）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 31．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 32．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 33．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 34．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 35．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川广安·期中）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期中）若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 二、多选题 6．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 7．（24-25高二上·四川南充·期中）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．直线过定点 8．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（   ） A． B．点M的轨迹方程是 C．的最大值是25 D．的最大值为 9．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 10．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 三、填空题 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 . 12．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 13．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数，所有满足（为动点）的点的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点点是圆上的动点，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，为直线在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另外一点.若，则的纵坐标为 . 15．（24-25高二上·北京平谷·期末）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线上点的横坐标取值范围是 ③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为； ④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 16．（24-25高二上·贵州·期中）材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 17．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.    (1)当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； (2)直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 18．（24-25高二上·广东·期末）已知在平面直角坐标系中. (1)若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； (2)若，求的最小值； (3)判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 20．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. (1)求证：为定值； (2)当时，求直线的方程和直线的方程. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$