第14讲 探索三角形相似的条件（知识清单+3易错+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

第14讲 探索三角形相似的条件 题型梳理 易错分析 易错点一 未讨论相似三角形的对应关系而致错 易错点二 错用判定定理2致错 易错点三 因考虑问题不全面而致错 题型方法 题型一 相似三角形的概念 题型二 两角分别相等的两个三角形相似 题型三 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 题型四 相似三角形的判定与性质的综合 题型五 三边成比例的两个三角形相似 题型六 黄金分割的定义 题型七 黄金分割的应用 知识清单 知识点1.相似三角形的概念（重点） 定义 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 如图：在ABC和DEF中， 相似三角形的“三性”：对应性、顺序性、传递性 知识点2.相似三角形的判定方法1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 常见模型如下： 知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 知识点4.相似三角形的判定方法3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 知识点5.黄金分割的有关概念 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点6.相似三角形判定定理的证明（重点） 1．判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；　 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点7.证明相似三角形的一般思路（重点） 有平行截线——用平行线的性质，找“等角”  有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”  有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”  直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”  等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例” 易错分析 【易错点一】未讨论相似三角形的对应关系而致错 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若与相似，且，则 ． 【变式2】（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则      ．   这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论． 【解决问题】 (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)请将另一种情况画出相应图形并解答． 【变式3】在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：    （1）写出正确的比例式及后续解答； （2）指出另一个错误，并给予正确解答． 【易错点二】错用判定定理2致错 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，问△AOB与△COD是否相似？有一位同学解答下： ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO． ∴△AOD∽△BOC． ∴ ． 又∵∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△COD． 请判断这位同学的解答是否正确并说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【易错点三】因考虑问题不全面而致错 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则（　　） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（20-21九年级上·江西九江·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三边长分别为3，4和x，那么x的值是 ． 【变式3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 题型方法 【题型一】相似三角形的概念 【例1】（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的度数为 ． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 【题型二】两角分别相等的两个三角形相似 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【题型三】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例3】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 【题型四】相似三角形的判定与性质的综合 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如下图，在中，，于D，若，，则为（   ） A．4 B．6 C．16 D．64 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，是边上一点，且，延长到点，使，过点作，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积之比为 ． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在梯形中，，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，则 ． 【题型五】三边成比例的两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【变式3】（24-25九年级下·上海）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【题型六】黄金分割的定义 【例6】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【题型七】黄金分割的应用 【例7】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，D是边上的点，，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，，，则 ． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，且，若与四边形的面积的比为，则 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 9．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 探索三角形相似的条件 题型梳理 易错分析 易错点一 未讨论相似三角形的对应关系而致错 易错点二 错用判定定理2致错 易错点三 因考虑问题不全面而致错 题型方法 题型一 相似三角形的概念 题型二 两角分别相等的两个三角形相似 题型三 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 题型四 相似三角形的判定与性质的综合 题型五 三边成比例的两个三角形相似 题型六 黄金分割的定义 题型七 黄金分割的应用 知识清单 知识点1.相似三角形的概念（重点） 定义 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 如图：在ABC和DEF中， 相似三角形的“三性”：对应性、顺序性、传递性 知识点2.相似三角形的判定方法1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 常见模型如下： 知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 知识点4.相似三角形的判定方法3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 知识点5.黄金分割的有关概念 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点6.相似三角形判定定理的证明（重点） 1．判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；　 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点7.证明相似三角形的一般思路（重点） 有平行截线——用平行线的性质，找“等角”  有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”  有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”  直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”  等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例” 易错分析 【易错点一】未讨论相似三角形的对应关系而致错 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴当时，， 又，， ∴， ∴； 当时， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 综上， 或， 故选∶C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若与相似，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据与相似进行分类讨论，即可解答，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：与相似，， 故可分两种情况， 当时， 可得，即， ； 当时， 可得，即， 故答案为：或． 【变式2】（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则      ．   这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论． 【解决问题】 (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)请将另一种情况画出相应图形并解答． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论； （2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点作，则，可得出结论． 【详解】（1）正确比例式为：， ， （2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点作，   ，则， ， ， 综上可得：DE为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 【变式3】在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：    （1）写出正确的比例式及后续解答； （2）指出另一个错误，并给予正确解答． 【答案】（1），解答解析；（2）另一个错在没有进行分类讨论，正确解答见解析． 【分析】(1)根据相似三角形的性质可得出结论； (2)有一个没有进行分类讨论，过点D作∠ADE=∠ACB，则△ADE∽△ACB，可得出结论． 【详解】(1)， ∴ (2)另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE=∠ACB，    则△ADE∽△ACB， ∴， ∴ 综合以上可得，DE=或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论． 【易错点二】错用判定定理2致错 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确； D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 【变式2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，问△AOB与△COD是否相似？有一位同学解答下： ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO． ∴△AOD∽△BOC． ∴ ． 又∵∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△COD． 请判断这位同学的解答是否正确并说明理由． 【答案】不正确，理由详见解析. 【分析】仔细检查会发现这们同学的做法是错误的，这也是在做题中常会出现的情况．即错在由△AOD∽△BOC推出上，而应该是：∵△AOD∽△BOC，∴这样，就不能进一步推出△AOB∽△COD了，因此做题时一定要细心，避免相同或相似错误的出现． 【详解】解：不正确，错误的原因是由△AOD∽△BOC得出， 正解是：∵△AOD∽△COB， ∴，而就不能进一步推出△AOB∽△COD了． 【点睛】考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，要求学生不但要理解更要掌握． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【易错点三】因考虑问题不全面而致错 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】∵线段，C是线段的黄金分割点， 当时， 解得； 当时， 解得； 解得． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，根据对应边成比例求出的长度，再证，利用面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】如图：∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：， 经检验，都是原方程的根， ∵，即，且， ∴， ∴， 当时，， ； 当时，， ； 故选：A． 【变式2】（20-21九年级上·江西九江·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三边长分别为3，4和x，那么x的值是 ． 【答案】5或 【分析】由于两三角形相似，可以分为两种情况分析：6和8都是直角边；6是直角边，8是斜边，从而分别计算即可． 【详解】解： 如果6和8都是直角边，那么斜边是10， 由对应边成比例可知与它相似的直角三角形的斜边长为x，则， 即x=5， 如果6是直角边，8是斜边，那么另一条边是， 则， 即， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 【变式3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【答案】或 【分析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分三种情况： 当点在线段上，如图： ， 点是的黄金分割点， ； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 原方程没有实数根； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键． 题型方法 【题型一】相似三角形的概念 【例1】（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 利用相似三角形的对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， 对应角相等，即，，． 在中，根据三角形内角和定理： ． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角， 根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【题型二】两角分别相等的两个三角形相似 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 【题型三】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例3】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 【题型四】相似三角形的判定与性质的综合 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如下图，在中，，于D，若，，则为（   ） A．4 B．6 C．16 D．64 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在中，，，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，是边上一点，且，延长到点，使，过点作，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似： 证明，利用相似比即可得出点C是的中点；再证明，列出比例式进行计算即可得的长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C是的中点； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线．根据已知把向两边延长，交 于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答． 【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点， ∵， ，， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， 的面积与阴影部分的面积比为：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在梯形中，，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． （1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段比例得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】三边成比例的两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 【变式3】（24-25九年级下·上海）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【题型六】黄金分割的定义 【例6】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念．黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整个线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为． 根据题意，说明点靠近，此时为较长部分，然后运用黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：由线段，点是黄金分割点且，则为较长部分． 根据黄金分割的定义，代入，得：． 故选B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法进行解一元二次方程，黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，即 ，利用已知条件，结合线段关系 ，建立方程求解，即可作答． 【详解】解：设， 则， 依题意，， 即 ∴， 整理为 ， ∴， 解得， 得（舍去负根）， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可． 【详解】， ，则， 又∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解∶设，则 ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【题型七】黄金分割的应用 【例7】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．直接利用黄金分割的定义计算出的长即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 【答案】3.8 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据黄金分割的比例关系为是解决本题的关键 ． 设出他的位置离点，再根据黄金比例关系求解即可 ． 【详解】解：设他的位置离点， ∵学校报告厅舞台的宽为， 由题意可得， 解得， ∴他选择的位置离点至少． 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，D是边上的点，，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】∵，是公共角， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，，，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得出，进而利用三角形内角和为180度可求出答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：30． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据“两边对应成比例，夹角相等”证明可以得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，且，若与四边形的面积的比为，则 ． 【答案】 【分析】根据与四边形的面积的比为，得到, 根据，得，，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据与四边形的面积的比为， 得到, 根据，得， 故， 故， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 9．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据矩形的性质，证明，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$