第01讲 相似形与比例线段（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

第01讲 相似形与比例线段（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.相似形的概念 2.相似多边形的性质 3.比例的性质 4.比例线段 5.三角形一边的平行线性质定理 6.三角形一边的平行线判定定理及推论 7.平行线分线段成比例定理 题型巩固 一、相似多边形 二、相似多边形的性质 三、相似图形 四、比例的性质 五、比例线段 六、成比例线段 七、黄金分割 八、由平行判断成比例的线段 九、由平行截线求相关线段的长或比值 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（9） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1） 相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2） 在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 知识点2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 知识点3.比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点4.比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点5.三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点6.三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 知识点7.平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 题型巩固 题型一、相似多边形 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 2．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 3．已知四根木棒的长度分别为12cm，14cm，9cm，6cm，它们顺次拼成了四边形甲；另外有四根木棒的长度分别为6cm，7cm，4.5cm，3cm，它们顺次拼成了四边形乙．请问：四边形甲与四边形乙一定相似吗？为什么？如果是甲乙都是梯形呢？如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰呢？ 题型二、相似多边形的性质 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 题型三、相似图形 7．（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 8．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 9．（1）四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ （2）所有的等边三角形都一定相似吗？所有菱形呢？为什么？ 题型四、比例的性质 10．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 12．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 题型五、比例线段 13．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 14．（2025·上海虹口·一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 题型六、成比例线段 16．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 17．（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 18．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 题型七、黄金分割 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 21．（2023九年级上·全国·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 题型八、由平行判断成比例的线段 22．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 24．（22-23九年级·上海·假期作业）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 题型九、由平行截线求相关线段的长或比值 25．（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，点D、E分别在边和上，且，那么 ． 27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 分层强化 一、单选题 1．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 4．已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 6．已知：，那么 ． 7．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 8．线段厘米，厘米，线段和的比例中项 厘米． 9．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 10．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 11．在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． 12．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是 . 13．将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 三、解答题 15．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 16．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 17．如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 18．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 19．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 20．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 21．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 22．如图，正方形的边长为5，点E是边上的一点． (1)当时，求点B到直线的距离； (2)将正方形沿直线翻折后，点D的对应点是点，连接交正方形的一边于点F，如果，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相似形与比例线段（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.相似形的概念 2.相似多边形的性质 3.比例的性质 4.比例线段 5.三角形一边的平行线性质定理 6.三角形一边的平行线判定定理及推论 7.平行线分线段成比例定理 题型巩固 一、相似多边形 二、相似多边形的性质 三、相似图形 四、比例的性质 五、比例线段 六、成比例线段 七、黄金分割 八、由平行判断成比例的线段 九、由平行截线求相关线段的长或比值 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（9） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1） 相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2） 在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 知识点2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 知识点3.比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点4.比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点5.三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点6.三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 知识点7.平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 题型巩固 题型一、相似多边形 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵两个等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵两个直角三角形，菱形的对应角不一定相等，两个矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 2．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 【答案】36 【知识点】相似多边形 【详解】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36． 3．已知四根木棒的长度分别为12cm，14cm，9cm，6cm，它们顺次拼成了四边形甲；另外有四根木棒的长度分别为6cm，7cm，4.5cm，3cm，它们顺次拼成了四边形乙．请问：四边形甲与四边形乙一定相似吗？为什么？如果是甲乙都是梯形呢？如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰呢？ 【答案】不一定相似；因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等，梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形甲与四边形乙不一定相似，理由如下： 因为四边形没有“稳定性”，即使四条边对应成比例，对应角也不一定相等，所以不一定相似； （2）甲、乙都是梯形可能相似，理由如下： 对于长为12cm，14cm，9cm，6cm的木棒依次连接，不能构成两底为9cm和12cm的梯形，因为14，12－9＝3，6不能构成三角形； 但是两底是14cm和6cm时可以构成梯形，如图边长为9cm，8cm，12cm的三角形是确定的，所以梯形是确定的，大小两个梯形，边成比例对应角相等，是相似的，所以甲、乙都是梯形可能相似； （3）如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰不可能相似，因为上底12cm、一腰14cm、下底9cm、另一腰6cm不能构成两底为9cm和12cm的梯形，因为14，12－9＝3，6不能构成三角形． 【点睛】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键． 题型二、相似多边形的性质 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 题型三、相似图形 7．（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 8．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 【答案】1.6． 【知识点】相似图形 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴CD：C′D′＝BC：B′C′， ∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2， ∴C′D′＝1.6， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 9．（1）四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ （2）所有的等边三角形都一定相似吗？所有菱形呢？为什么？ 【答案】（1）不一定,因为对应边不一定成比例；（2）一定相似，因为等边三角形形状相同，只是大小不同；不一定相似，因为对应角不一定对应相等. 【知识点】相似图形 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等且对应边成比例判断即可； （2）根据相似三角形、相似多边形的对应角相等且对应边成比例判断即可． 【详解】（1）四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，如两个矩形，虽然四个内角都相等，但不相似，因为对应边不一定成比例； （2）等边三角形形状相同，只是大小不同，所以所有的等边三角形都相似；所有的菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，所以不一定相似． 【点睛】本题考查相似形的识别，解题的关键是熟悉相似图形的对应角相等且对应边成比例． 题型四、比例的性质 10．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质．设，代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴可设 ∴． 故答案为：． 12．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 题型五、比例线段 13．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 14．（2025·上海虹口·一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得，代入数值求解即可． 【详解】解：线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为：． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【知识点】比例线段 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 题型六、成比例线段 16．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 17．（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 18．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】成比例线段 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 题型七、黄金分割 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可． 【详解】， ，则， 又∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 故答案为：． 21．（2023九年级上·全国·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）厘米；（2）或． 【知识点】黄金分割 【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可； （2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解． 【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 题型八、由平行判断成比例的线段 22．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 23．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 24．（22-23九年级·上海·假期作业）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行分线段成比例定理及其逆定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 首先已知得到，根据平行线分线段成比例定理得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行． 【详解】 证明：，， ， ， ∴． ． 题型九、由平行截线求相关线段的长或比值 25．（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，点D、E分别在边和上，且，那么 ． 【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：6． 27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 分层强化 一、单选题 1．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，理解并掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，两内项积等于两外项积进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、，正确，符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：A ． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，则或，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意； B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意； C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意； D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 4．已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了图形的相似；根据图形相似的性质，分两种情况考虑：与，即可求得x的值． 【详解】解：由于两个矩形相似， 则有或， 解得：或； 故选：B． 5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 二、填空题 6．已知：，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段的比，交叉相乘求出a和b的关系是解题关键．根据题意可求出，从而即得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】40 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 8．线段厘米，厘米，线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段．根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可． 【详解】∵线段和的比例中项为， ， 即， ， 故答案为． 9．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键 ． 【详解】解：当时，， 则， ∴， 故答案为：4 ． 12．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是 . 【答案】 【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得： ， 解得：x= ， 则这个黄金矩形较短的边长是cm． 故答案为 【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 13．将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 【答案】①③④ 【分析】根据真命题的定义，结合相似多边形的判定方法逐条分析即可. 【详解】①∵正方形的角都等于90° ∴正方形的角都相等； ∵正方形的四条边相等， ∴正方形的对应边成比例， ∴所有的正方形都相似正确； ②矩形的角都相等，但边不一定成比例，如： 矩形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=2;矩形A′B′C′D′中，A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1， 则AB: A′B′≠CD: C′D′, ∴所有的矩形都相似错误； ③∵两个菱形都有一个角都是150°， ∴两个菱形各有两个150°的角和两个30°的角， ∴两个菱形的对应角相等； ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的对应边成比例， ∴有一个角都是150°的两个菱形相似正确； ④∵正六边形的角都等于60° ∴正六边形的角都相等； ∵正六边形的四条边相等， ∴正六边形的对应边成比例， ∴所有的正六边形都相似正确． 故答案为①③④. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备． 三、解答题 15．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 16．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【答案】3 【分析】设,则可得出，的面积之比，再将的值代入，即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 17．如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)是 【分析】（1）根据已知，代入求和的值即可； （2）根据计算，得，可以判定线段、、、是成比例线段． 本题考查了比的计算，成比例线段的判定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴线段、、、是成比例线段． 18．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)2.5 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，代入所求式子计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 19．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 21．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 22．如图，正方形的边长为5，点E是边上的一点． (1)当时，求点B到直线的距离； (2)将正方形沿直线翻折后，点D的对应点是点，连接交正方形的一边于点F，如果，求的长． 【答案】(1) (2)的值为：或 【分析】（1）连接，过点E作于N，过点B作于M，根据正方形的边长为5，，可得，，再根据，即可求解； （2）分类讨论：当点在上时，连接，先证明四边形是平行四边形，即有，，，进而有，，即有，即可得；当点在上时，设、交于点，连接，过点作于N点，根据翻折的性质依次证明，，，可得，，即有，，，即可得，则有，再结合勾股定理，平行线分线段成比例即可求出，则问题随之得解． 【详解】（1）解：连接，过点E作于N，过点B作于M， ∵正方形的边长为5，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点B到直线的距离为； （2）解：如图：当点在上时，连接， 由翻折得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴， ∴． 当点在上时，设、交于点，连接，过点作于N点，如图， 根据翻折的性质有：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 有∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 综上所述：的值为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及翻折的性质等知识，得出是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$