第01讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第01讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强） 目录 知识梳理 1：算术平方根 2：算术平方根性质 3：平方根 4：平方根的性质 5：立方根 6：立方根的性质 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、平方根概念理解 三、求一个数的平方根 四、已知一个数的平方根，求这个数 五、利用平方根解方程 六、与算术平方根有关的规律探索题 七、立方根概念理解 八、求一个数的立方根 九、已知一个数的立方根，求这个数 十、与立方根有关的规律探索 十一、立方根的实际应用 十二、算术平方根和立方根的综合应用 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点2：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点4：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点5：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点6：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 2．的算术平方根为 ． 3．计算： (1) (2) 题型二、平方根概念理解 4．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 5．若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 题型三、求一个数的平方根 6．25的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 7．的平方根是 ． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 题型四、已知一个数的平方根，求这个数 9．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 10．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； 题型五、利用平方根解方程 11．（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 12．解方程 (1) (2) (3) 题型六、与算术平方根有关的规律探索题 13．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 14．观察下表， ． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 15．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 题型七、立方根概念理解 16．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 17．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 题型八、求一个数的立方根 18．计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型九、已知一个数的立方根，求这个数 20．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 21．解方程： (1)； (2)． 题型十、与立方根有关的规律探索 22．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 23．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 题型十一、立方根的实际应用 24．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 25．计算： (1)； (2)． 题型十二、算术平方根和立方根的综合应用 26．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 27．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 2．16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 3．的平方根是（   ） A． B． C． D． 4．当时，的值为（   ） A． B． C．8 D．4 5．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 6．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 姓名：×××得分：________ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④．⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A．16分 B．12分 C．8分 D．4分 二、填空题 7．实数立方根是 ． 8．16的平方根是 ． 9．化简： ． 10．一个数的平方为4，这个数是 ． 11．已知，则的值为 ． 12．用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 14．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 15．若与互为相反数，则 ． 16．已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 17．小明在作业本上做了4道题①；②；④；④，他做对的题有 ． 18．的立方根是 ；的立方根是 ；的平方根是 ． 三、解答题 19．利用平方根、立方根来解下列方程． (1) (2) 20． 若，的平方根是，求的算术平方根． 21．已知正数x的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求正数x的值； (2)求的算术平方根． 22．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 23．小波现有一块面积为的正方形布料． (1)正方形布料的边长为___________； (2)小波准备从中裁剪出一块面积为的长方形布料（长方形的边与正方形的边平行），他能裁下长、宽之比为的长方形吗？为什么？ 24．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 25．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，若点C的坐标为连接交于点E，求点E的坐标（用含m的代数式表示）； (3)如图2，点F，G分别在，的延长线上，连接，的角平分线与的角平分线交于点H，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强） 目录 知识梳理 1：算术平方根 2：算术平方根性质 3：平方根 4：平方根的性质 5：立方根 6：立方根的性质 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、平方根概念理解 三、求一个数的平方根 四、已知一个数的平方根，求这个数 五、利用平方根解方程 六、与算术平方根有关的规律探索题 七、立方根概念理解 八、求一个数的立方根 九、已知一个数的立方根，求这个数 十、与立方根有关的规律探索 十一、立方根的实际应用 十二、算术平方根和立方根的综合应用 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1：算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点2：算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3：平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点4：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点5：立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点6：立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根为， 故选：B． 2．的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2)8 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加法即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，再去括号，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型二、平方根概念理解 4．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 5．若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决本题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得到，求出的值即可求解． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴这个正数的值为， 故答案为：． 题型三、求一个数的平方根 6．25的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根定义，是解题的关键，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：25的平方根是． 故选：B． 7．的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， 的平方根为． 题型四、已知一个数的平方根，求这个数 9．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．本题先依据平方根的性质求得的值，然后再进行计算即可． 【详解】解: ∵是的一个平方根， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴ 当，时，， 当，时，． 故选：D． 10．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得和互为相反数，从而可得，解方程可得，再根据立方根的性质可得，然后代入计算算术平方根即可得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为． 题型五、利用平方根解方程 11．（1）立方根等于本身的数为 ； （2）已知，则 ． 【答案】 0，1和 【分析】本题考查的是立方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）立方根等于本身的数为0，1和； 故答案为：0，1和； （2）∵， ∴； 故答案为：． 12．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质． （1）整理后，利用平方根的定义即可求解； （2）整理后，利用立方根的定义首先求出，然后即可求解； （3）整理后，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：或； （2）解： ∴ ∴ 解得： （3）解： ∴ ∴ 解得：或 题型六、与算术平方根有关的规律探索题 13．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 14．观察下表， ． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查求算术平方根，涉及二次根式除法运算，由表中数据可知，当时，，从而，由算术平方根定义及二次根式除法运算求解即可得到．熟记算术平方根求法及二次根式除法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由表中数据可知，当时，， ， 则， 故答案为：． 15．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 题型七、立方根概念理解 16．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 17．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 题型八、求一个数的立方根 18．计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查的是实数的混合运算，先求立方根，然后加减解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用立方根解方程； （1）利用立方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ， ， ． 题型九、已知一个数的立方根，求这个数 20．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，乘方，根据立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴． 故选：C． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义解方程，熟记平方根、立方根定义及算法是解决问题的关键． （1）直接开平方得到，解一元一次方程即可得到答案； （2）先将方程化为，再计算立方根即可得到答案． 【详解】（1）解：， 直接开平方得， 即或， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 题型十、与立方根有关的规律探索 22．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 23．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【知识点】平方根的应用、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 题型十一、立方根的实际应用 24．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，理解平方根和立方根的定义是解题关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， 解得：． 题型十二、算术平方根和立方根的综合应用 26．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 27．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出的值，即可求出的平方根．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据立方根的定义，找出满足的实数，从而得到的结果．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 2．16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的平方根是：， 故选：C． 3．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根． 【详解】解：， 又， 的平方根是， 故选：D． 4．当时，的值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查立方根和乘方运算，解题的关键是熟练运用立方根的定义．先计算乘方，再计算立方根即可． 【详解】解：当时， ， ∴当时，的值为． 故选：D． 5．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 6．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 姓名：×××得分：________ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④．⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A．16分 B．12分 C．8分 D．4分 【答案】C 【分析】本题考查倒数、绝对值、算术平方根、立方根及平方根与立方根相等的数的概念，需逐一判断各小题的正误，统计正确题数后计算得分即可． 【详解】解：①的倒数是，而非，故错误； ②的绝对值是，故正确； ③表示4的算术平方根，结果为，而非，故错误； ④，故正确； ⑤平方根与立方根相等的数只有（的平方根和立方根均为），而的平方根为，立方根为，不相等，故错误； 综上，正确题数为②和④，共2题，得分为分， 故选：C． 二、填空题 7．实数立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题关键． 【详解】解：实数的立方根是， 故答案为：． 8．16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：16的平方根是， 故答案为：． 9．化简： ． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2． 10．一个数的平方为4，这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平方根. 一个数的平方为4，则这个数是4的平方根，据此计算即可. 【详解】解：一个数的平方为4，这个数是 故答案为： 11．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9 ． 12．用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【答案】30 【分析】本题考查了算术平方根的应用． 先求出每块地砖的面积，在计算算术平方根即可． 【详解】解：∵用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满， ∴每块地砖的面积为（平方米）， 则每块地砖的边长是（米）（厘米）， 故答案为：30． 13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 14．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值，进而确定这个正数的两个平方根，再根据平方根的定义进行计算即可． 本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 解得， 当时，， 这个数为． 故答案为：． 15．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，以及二元一次方程组的解法，根据几个非负数的和等于0，则每一个数都等于0列式是解题的关键． 先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次方程组求出、的值，然后代入求解即可． 【详解】与互为相反数， ， ， 解得 ∴． 故答案为：． 16．已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 17．小明在作业本上做了4道题①；②；④；④，他做对的题有 ． 【答案】① 【分析】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 利用平方根、算术平方根，立方根性质判断即可， 【详解】解：①，原式计算正确； ②，原式计算错误； ③，所以，原式计算错误； ④，原式计算错误； 综上所述：他做对的题有①； 故答案为：①． 18．的立方根是 ；的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根，掌握相关定义是解题关键．根据算术平方根、立方根和平方根的定义求解即可． 【详解】解：的立方根是； ，的立方根是； ，的平方根是； 故答案为：；2；． 三、解答题 19．利用平方根、立方根来解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了运用平方根，立方根解方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）移项，开平方，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）去分母，开立方，再根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， ∴， 解得，或； （2）解：， 去分母得，， ∴， ∴， 解得，． 20．若，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根的定义．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，根据平方根的定义求得，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为2． 21．已知正数x的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求正数x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，． （1）正数有两个互为相反数的平方根，可得，可求得a的值，进而求出x的值； （2）由的立方根为可求得b的值，根据a的值，得的值，进而得的算术平方根． 【详解】（1）解：∵正数x的两个不同的平方根是和， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为． 22．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可； （2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 23．小波现有一块面积为的正方形布料． (1)正方形布料的边长为___________； (2)小波准备从中裁剪出一块面积为的长方形布料（长方形的边与正方形的边平行），他能裁下长、宽之比为的长方形吗？为什么？ 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）根据工料的面积，利用算术平方根定义求出边长即可； （2）工人师傅不能直接裁下长宽之比为的长方形，设长方形的长与宽分别为，，根据布料的面积求出x的值，判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则正方形工料的边长为； 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 设长方形长为，则宽为， 由题意得：， ， 由边长的实际意义，得， 长方形布料的长为， ， ． 即， 长方形布料的长应大于 正方形的边长为， 长方形布料的长将大于正方形布料的边长． 不能裁下长、宽之比为的长方形． 24．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 25．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，若点C的坐标为连接交于点E，求点E的坐标（用含m的代数式表示）； (3)如图2，点F，G分别在，的延长线上，连接，的角平分线与的角平分线交于点H，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得解； （2）设，由平移的性质可得，作轴于，则，，，，根据计算即可得解； （3）设与交于点，过、分别作的平行线、，设，，由平移的性质可得，，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， （2）解：设， ∵线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上，点C的坐标为， ∴， 如图：作轴于， ， 则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：，理由如下： 如图，设与交于点，过、分别作的平行线、， ， ∵平分，平分， ∴设，， 由平移的性质可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、平移的性质、坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$