第12讲 幂函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第12讲 幂函数 知识点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点二：一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． (1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； (2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于的图象； (3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大. 知识点三：一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 1、当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； 2、当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； 3、当m为偶数时，(或)，是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 01判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 02依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： 在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 03求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 04比较幂大小的三种常用方法: 05利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 06利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型01：判断是否为幂函数 1.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数， 即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.故选：B. 2.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数， 对于A，是二次函数； 对于B，是一次函数； 对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数； 对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.故选D. 3.在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数为幂函数； 函数中的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数不是（是常数）的形式，所以它不是幂函数； 函数与不相等，所以不是幂函数． 所以这4个函数中，幂函数只有1个故选：B 4.现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C. 5.下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义即可得解. 【解答过程】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 6.下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可． 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 7.下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义直接得出结果. 【解答过程】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D. 题型02：已知幂函数求参数 1.已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】把给定点的坐标代入幂函数解析式求解即得. 【解答过程】幂函数的图象过点，则，即，解得， 故选：C. 2．已知幂函数 ，且，则 (    ) A． B．2 C．3 D．4 【解题思路】将代入方程，解含的方程即可. 【解答过程】因为，且，即， 解得， 故选：C． 3.已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【解答过程】解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 4． “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 5．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再分析其性质即可得出答案. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为在上单调递增， 故，所以. 故选：B 6．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用幂函数和偶函数定义确定，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不合题意， 所以，， 则，对称轴为直线． ①若函数在上为增函数，则，解得； ②若函数在上为减函数，则，解得． 综上所述，实数a的取值范围是 故选：B． 7．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 8.已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y轴对称来确定的值. 【详解】由已知得，解得或， 当时，，其图象关于y轴对称， 当时，，其图象关于原点对称. 故答案为： 9.若幂函数在区间上是减函数，则整数 ． 【答案】2 【分析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值 【详解】因为幂函数在区间上是减函数， 所以，解得， 因为， 所以， 故答案为：2 题型03：求幂函数的解析式 1.已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，解得，所以.故选：B. 2.已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是幂函数， ，即点在幂函数的图象上， 2，即，故.故选：D. 3.幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（ ） A．（） B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数，将点代入得，所以. 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则， 故函数的解析式为（）.故选：A. 4.已知幂函数的图象过点，则的值为 . 【答案】 【解析】设，代入点可得，所以， 所以，所以. 5．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 【解题思路】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可. 【解答过程】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 6.已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【解答过程】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 7.已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【解题思路】 由幂函数的定义得出结果即可. 【解答过程】由题知，解得，且，解得. 故选：D. 8.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 9.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 10.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 11.已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 12.若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 【答案】AC 【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以设， 又的图像经过点，所以，所以，即， 所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误； 故选：AC. 13.写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数： . 【答案】（答案不唯一，写一个即可） 【分析】由幂函数的性质求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增且为奇函数，所以幂函数可以为， 故答案为：（答案不唯一，写一个即可） 14.幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数满足的性质，即可写出答案. 【详解】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有， 则函数为偶函数； 又函数满足对中任意的，都有， 可知函数为上的单调递减函数， 故满足题目中要求， 故答案为： 15.写出一个同时满足下列条件①②的幂函数的解析式： . ①在上单调递增；②. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的定义及性质求解. 【详解】设，因为在上单调递增，所以； 因为，所以，所以的值可以为2,3,4. 故答案为：（答案不唯一满足即可） 16.请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数．则 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数在单调递增，可得 故答案为：（答案不唯一） 17.已知幂函数（为常数）过点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知可得，代入可得，，平方后根据的取值范围即可求出答案. 【详解】由已知可得，所以，所以. 则，. 因为， 所以，当时，有最大值4. 所以，所以的最大值为2. 故答案为：2. 题型04：求幂函数的值 1．若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设出幂函数的解析式，代入点求得解析式，进而求值即可． 【详解】设幂函数， 由题意得，解得，所以． 所以． 故选：C． 2．已知幂函数，若过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先设出幂函数，根据过点，求出幂函数，进而求出函数值. 【详解】设幂函数，代入点得：，解得：，所以，所以. 故答案为： 3．已知幂函数满足，则 【答案】 【分析】先求得的解析式，然后求得. 【详解】设， 则 故答案为： 4．已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 【答案】/ 【分析】根据幂函数的图象过的点求出，可得函数解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知幂函数的图象经过点, 故，即， 故， 故答案为： 5．已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 【答案】9 【分析】首先，根据幂函数的定义，系数应为，可求出的值.然后根据函数图像关于轴对称确定的具体取值，得到函数表达式，最后将代入函数求值. 【详解】因为是幂函数，所以，即. 解得或. 当时，，，函数是奇函数，其图像关于原点对称，不符合题意. 当时，，，函数是偶函数，其图像关于轴对称，符合题意. 所以，. 将代入，可得. 故答案为：9. 题型05：求幂函数的定义域 1.下列函数中定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误，故选：C. 2.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且， 因此的定义域是．故选：B. 3.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为幂函数的定义域为R，故，解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意．故选：C 4.若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【解析】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 5.下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【解答过程】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 6.给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C. 7.若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【解答过程】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B. 8.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 9.已知幂函数，，若有下列四个判断：①定义域是；②值域是；③该函数是偶函数；④在单调递增，其中恰有三个正确，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义域，值域，奇偶性以及单调性，分析后即可判断和选择. 【详解】幂函数，定义域为，值域为，且为偶函数， 但在上单调递减，其满足①②③，不满足④. 故选：D. 10.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性得解. 【详解】解：设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，即函数，也即， 设， 则函数的定义域为所以排除选项BC. 又， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除选项A. 故选：D 11.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】设，因为的图象经过点， 所以，显然选项A不正确； 因为只有非负实数有算术平方根，所以的定义域为，因此选项B正确； 因为，所以有，因此选项C正确； 由，所以选项D正确， 故选：BCD 12.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 13.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 14.幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 15.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 16.函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 17.函数 的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用具体函数定义域求法可令根号下的式子大于等于0，且分母不为0，解不等式即可求出定义域. 【详解】易知，要使式子有意义则需满足； 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 18.若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 题型06：求幂函数的值域 1.函数在区间[－4，－2]上的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为函数在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，． 2.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 代入点得，， 则，令， 函数的值域是.故选：C. 3.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 4.已知函数（ ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】要使，都有意义，则有，故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且，， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减，则的值域为， 即的值域为，故D正确.故选：ABD. 5.已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【解答过程】幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 6.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【解答过程】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 7.已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 8.（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）（4）将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域． 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以，所以值域为． （2） 由，得，所以定义域为， 由，得，所以值域为． （3） 由，得，所以定义域为， 因为，所以，所以值域为． （4）， 由，得，所以定义域为， 因为，所以，则，所以值域为． 故答案为：，，，，，，， 9.研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】将幂函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图象. 【详解】（1），设，定义域：； 因为，所以值域为，显然，为偶函数，图象关于轴对称； 在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减. （2），设，定义域：； 由，所以值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减. （3），设，定义域：，值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递增. （4），设，由得定义域：，值域：； 因为定义域：，所以非奇非偶函数，图象不具备对称性； 在中，，定义域为，所以在上单调递增. 10.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 11.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 12.（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【答案】（1）作图见解析，定义域为；（2）. 【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域； （2）设，从而有，即可得出的值域. 【详解】解：（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 题型07：幂函数的图象及应用 1.函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域为R，又， 故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.故选：C 2.函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 故选：B. 3.已知幂函数的图象经过第三象限，则 ． 【答案】3 【解析】由题意，得，解得或． 当时，的图象不经过第三象限，不符合题意． 当时，经过第三象限，符合题意． 4.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【解析】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，.故选：B 5.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 6.下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 【答案】A 【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像. 【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①； 幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②； 幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③； 幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④； 故选：A. 7.若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】D 【分析】函数，代入图像经过的点，求得的值，分析函数性质，选择函数图像. 【详解】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D 8.幂函数（）的大致图像是（    ） A．      B．   C．  D．   【答案】B 【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状. 【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增． 只有B选项符合条件. 答案：B． 9.幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解. 【详解】幂函数定义域为，且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 又当时单调递减，则在上单调递增， 故符合题意的只有C. 故选：C 10.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案. 【详解】的定义域为R，又， 故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确. 故选：C 11.在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据幂函数以及一次函数的性质即可求解. 【详解】若，则直线和函数均为上的单调递减函数，故可排除CD； 当，此时，满足图象B, 若，则直线和函数均为上的单调递增函数，比如时，此时A选项中的图象满足， 故选：AB 12.函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 故选：B. 13.已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案． 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 则或， 又因为的图像与坐标轴没有公共点， 所以，则， 故选：C． 14.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数，可列式，计算得m的值，验证后即得答案. 【详解】由题意函数是幂函数， 故，即， 解得或， 当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当时，，其图象经过第二象限，不符合题意； 故， 故答案为：2 15.幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 【答案】或或. 【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可. 【详解】由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当或时，，定义域为， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或时，，即， 设，由， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意. 综上所述，或或. 16.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的单调性可判断选项. 【解答过程】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 故选：A. 17.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可. 【解答过程】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D. 18.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解答过程】由题意结合图象可知. 故选：B. 题型08：由幂函数的图象与性质求参数 1.幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【解答过程】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A. 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的性质分析判断 【解答过程】因为为幂函数，且在上是减函数， 所以，解得， 因为当或时，不一定等于， 而当时，或成立， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B. 3.已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 【解题思路】利用幂函数的定义与性质即可得解. 【解答过程】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是减函数，则，即， 所以，此时，易知其为偶函数，符合题意. 故选：B. 题型09：幂函数过定点问题 1.函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，，所以定点为. 2.已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4.故选：D 3.函数的图象必经过定点 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,解得,当时,， 所以图象恒过，故选D. 4.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称， 因此，函数必过定点.故选：D. 5.幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 6.函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 7.不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 8.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 题型10：幂函数的单调性 1.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即，解得， 所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减， 又，在上递减，所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为，故选：C 2.若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（ ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得或2， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，，在上不单调，不满足题意；故选：D. 3.已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，，解得， 所以，，. 所以，在区间上单调递增， 所以，在处取得最小值.故选：D. 4.已知幂函数，且在区间上单调递减. （1）求的解析式及定义域； （2）设函数，求证：在上单调递减. 【答案】（1），定义域为；（2）证明见解析 【解析】（1）因为幂函数，在区间上单调递减， 所以，解得或， 所以，定义域为. （2）由（1）知函数， 设，则 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. 5.下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，在为增函数，故A错误. 对选项B，在为增函数，故B错误. 对选项C，在为减函数， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C错误. 对选项D，在为减函数， 设，定义域为， ，所以为奇函数，故D正确. 故选：D 6.已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数过点，可得函数解析式，根据解析式即可得其奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】依题意，设，将点代入上式，得到，即， 所以该函数为偶函数，且在上是增函数． 故选: 7.下列说法正确的是（    ） A．函数的单调增区间为 B．函数为奇函数 C．幂函数是减函数 D．图像关于点成中心对称 【答案】ABD 【分析】利用函数性质相关的定义以及复合函数的同增异减性质逐项分析. 【详解】对于A， ， 是减函数， 在 是减函数， 在 是增函数，根据复合函数同增异减的性质，在 时是增函数，正确； 对于B， ，是奇函数，正确； 对于C， ，当 时， 并且是减函数， 所以 是增函数，错误； 对于D， ，相当于函数 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 而 是关于原点对称的，所以 是关于 对称的，正确； 故选：ABD. 8.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 9.已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的性质即得. 【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减， 所以函数满足题意. 故答案为：. 10.设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可. 【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 11.已知，若幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，则f（2）= . 【答案】/ 【分析】根据幂函数的的单调性确定的值，可求出f（2）的值． 【详解】∵幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增， ∴ 故，所以， 故答案为：． 12.已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 13.小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)4； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【详解】（1）函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. （3）由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 题型11：由幂函数的单调性求参数 1.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以即解得或， 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数， 所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件， 故选:C. 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出幂函数为上减函数充要条件，再由充分条件，必要条件概念得解. 【详解】由是幂函数可知，解得或， 由幂函数在上是减函数可知， 所以满足不等式，不满足不等式， 综上知，幂函数在上是减函数的充要条件为， 因为或是的必要不充分条件， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的 必要不充分条件， 故选：C 3.幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 4.幂函数在上递增，则实数（    ） A．-2 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义可得，再由单调性可得，即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上单调递增，则， 满足题意，不合题意舍去. 故选：B. 5.已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 【答案】 【分析】对于函数要满足系数为。再根据幂函数的单调性与指数的关系来确定的值。 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得或。 当时，，此函数在定义域上单调递增。 当时，，此函数在和上单调递减。 此时定义域内不是单调函数.所以. 故答案为：. 6.已知幂函数在区间上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故答案为： 7.已知幂函数在上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】直接由幂函数定义即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得满足题意. 故答案为：. 8.已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 9.已知幂函数是上的增函数，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值． 【详解】由题意，是幂函数， ，解得或， 又是R上的增函数， . 故答案为：3. 10.已知幂函数在区间上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得. 【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或， 当时，在区间上单调递增，不符合题意， 当时，在区间上单调递减，符合题意，所以. 故答案为： 11.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 题型12：利用单调性解不等式 1.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减， 所以需满足，解得. 2.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 3.若＜，则实数m的取值范围 ． 【答案】 【解析】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增， 则原不等式等价于，解得， 所以实数m的取值范围是. 4.不等式的解集为： ． 【答案】 【解析】不等式变形为， 所以， 令，则有， 因为函数在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 则，解得， 故不等式的解集为． 5.若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 6.已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集. 【解答过程】解：因为函数为幂函数，所以，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，此时在R上单调递增， 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：B. 7.已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【解答过程】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 8.已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】先将点代入，解得，再利用幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，，解得，， 故，其定义域为， 所以在上单调递减， 因为， 所以为偶函数， 所以， 所以由，得， 所以，所以或，解得，或． 故的取值范围为． 故选：D． 9.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式. 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和定义域求参数取值范围 【详解】解：幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减， 所以需满足，解得， 故答案为：． 11.若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数所过点得到为偶函数，在第一象限过，从而求出解析式，根据幂函数单调性得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】幂函数的图象过点， ∴为偶函数，在第一象限过； 当，设，则，解得； ∴幂函数， 由于，故在上单调递增， 不等式， 平方得，解得； 所以实数的取值范围是． 故答案为： 12.已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，求出参数，再借助单调性解不等式即得. 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 13.已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可 【详解】因为的图象过点 所以，解得 所以在定义域上递减 故 解得 故答案为： 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意， ，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意， 根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数， 由可知定义域为， 由，可得， 所以， 即，解得或， 故答案为:. 题型13：比较幂值的大小 1.设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，以及函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，可得，所以A不正确； 对于B中，由，因为，则，但符号不确定，所以B错误； 对于C中，例如，可得，所以C错误； 对于D中，由函数为单调递增函数，所以，所以D正确. 故选：D. 2.比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂函数的单调性，比较函数值的大小. 【详解】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 4，若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 5.已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 6.下列大小关系错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，所以，A正确； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，因为在上单调递增，所以， 又因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，， 所以，故D正确.故选：C. 7.若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数，则在上单由幂函数的单调性比较大小 8.已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用指数函数、对数函数、幂函数的单调性及对数运算性质寻找中间值比较大小即可. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∵，∴. ∴， 故选：A. 9.已知实数，若则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质，举特例可判断各个选项. 【详解】对于A，，即，，，，故A错误； 对于B，，即，，，而，故B错误； 对于C，由幂函数在R上是增函数，当时，有，故C正确； 对于D，，即，，，故D错误. 故选：C. 10.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 11.已知，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断A，C；作差法判断B；借助于幂函数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，，因为，所以， 即，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，，根据幂函数在上单调递增， 所以，故D正确， 故选：BD. 调递增， 故，即，又，即.故选：B． 12.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的单调性判定即可． 【解答过程】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 13.已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数单调性及，比较出大小关系. 【解答过程】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 题型14：幂函数的奇偶性 1.（多选）已知，若为偶函数，则满足要求的a有（ ） A． B．1 C．4 D． 【答案】AC 【解析】当时定义域为，且， 所以为偶函数，故A正确； 当时定义域为， 所以为非奇非偶函数，故D错误； 当时定义域为，且为奇函数，故B错误； 当时定义域为，且， 所以为偶函数，故C正确；故选：AC 2.已知幂函数的图像关于轴对称，则 . 【答案】2 【解析】因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图像关于轴对称，符合题意. 当时，为奇函数，图像关于原点对称，不符合题意. 所以的值为， 3.幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 【答案】或 【解析】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数， 且为偶数，解得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或 4.已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数， 所以，即 ，解得：， 因为，所以， 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 当时，，此时为偶函数，符合题意； 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 所以， （2）， 令 当时，，，此时是奇函数， 当时，，此时是偶函数， 当且时，，， ，，此时是非奇非偶函数函数. 题型15：幂函数性质的综合应用 1.若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件得到可取负奇数，进而可得答案. 【详解】幂函数是奇函数，可取为奇数， 在上单调递减，可取为负数， 故可取负奇数. 故答案为：. 2.已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 【答案】ABD 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质及奇偶性一一判断即可. 【详解】由幂函数的图象过点， 则，即，即. 则幂函数定义域为， 又，则函数的值域为，故C错误； 当时，，则函数的图象过原点，故A正确； 由，则，所以函数为偶函数，故B正确； 因为函数在上单调递增， 由偶函数的的对称性可得函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 3.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 4.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【详解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即， 故选：B. 5.已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 【答案】 【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，结合单调性得出答案. 【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或， 则或. 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，不符合题意； 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，且在上单调递增，符合题意， 所以实数的值为. 6.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，求出的值．再根据幂函数的单调性，即可求出满足的的取值范围． 【详解】由题意， ∵函数在上递减， ∴即，又 ∴或， 又函数图象关于轴对称， ∴为偶数，因此， ∴函数在上为增函数， ∴等价于， ∴， 故的取值范围为． 7.已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【答案】，值域为 【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域. 【详解】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足； 故， 当时，， 即函数的值域. 巩固基础 1．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可. 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A．16 B． C．64 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数图象所过点的坐标，求出解析式，再求函数值即可. 【详解】设，则，得，所以. 故选：D. 3．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 4．下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【答案】B 【分析】利用幂函数的简单性质判断即可． 【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 5．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 6．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 【答案】A 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误； 对于B：令，所以，解得， 所以方程的实根为，故C错误； 对于D：因为，所以在上为减函数，故D错误. 故选：A. 7．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用幂函数概念可知系数为1，再检验是否为奇函数即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 8．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质. 【详解】设幂函数，由，解得， 由，A选项错误； 的定义域是，B选项错误； 在上为减函数，C选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误. 故选：C 9．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 10．已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 11．（多选）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【答案】AB 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 12．（多选）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】通过常数分离法找到可平移的反比例函数，结合反比例函数知识可得． 【详解】， 所以的图象可由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 的定义域是，它在和上是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，关于原点对称， 经过平移可知，在和上是增函数，在定义域内不是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，的图象关于点对称， 故选：BD． 13．（多选）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可. 【详解】当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于原点对称，故B正确； 当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于轴对称，故A正确； 当时，，在上单调递增，故D错误； 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于原点对称，与C不符合， 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于轴对称，故C正确. 故选：ABC 14． 已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设出的解析式，根据图象所过点求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义来证得结论成立. （3）根据函数的奇偶性、单调性化简所求不等式，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）设，将代入上式得. （2）任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减. （3）的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得， ，所以不等式 的解集为. 15．已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 能力提升 1．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 2．“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3．“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出幂函数为上减函数充要条件，再由充分条件，必要条件概念得解. 【详解】由是幂函数可知，解得或， 由幂函数在上是减函数可知， 所以满足不等式，不满足不等式， 综上知，幂函数在上是减函数的充要条件为， 因为或是的必要不充分条件， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的 必要不充分条件， 故选：C 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数列出系数的等式，解方程得的两个值，由偶函数，确定的值得到函数，代入得到解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出的范围. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 又因为是偶函数， 所以时，是奇函数，舍去；时，是偶函数， 所以， 所以关于对称， 所以在区间上单调递减， 所以，所以. 故选：A. 5．下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 6．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 7．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 8．有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合给定条件利用幂函数性质判断即可. 【详解】对于，它是定义在上的奇函数， 值域是且，且在上单调递减，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义在上的偶函数， 值域是，且在上单调递增，满足题意． 故选：D. 9．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值. 【详解】由题可知：，则， 所以，且， 则 . 故选：D 10．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 11．（多选）下列判断正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．幂函数的图象都通过点 D．若，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【分析】由全称量词命题真假判断A；求出函数最小值判断B；利用幂函数图象性质判断C；利用充要条件的意义判断D作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，令，函数在上单调递增，则当，即时，，B错误； 对于C，幂函数的图象都通过点，C正确； 对于D，当时，成立，而不成立，因此不能推出，D错误. 故选：AC 12．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项. 【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即. 分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误. 分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确. 分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误. 分析选项D,由，即，解不等式， ， 又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确. 故选：BD. 13．（多选）若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（    ） A．若，则不存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】ABD 【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案. 【详解】对于A：在上为增函数， 在上是增函数， 故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确； 对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，， 由幂函数的性质可知，在上为减函数， 故存在区间使为“弱增函数”，B正确； 对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增， ，因为在单调递减， 则在上单调递增， 故不是上的“弱增函数”，C错误； 对于D：若在区间上是“弱增函数”， 则在上为增函数，所以，解得， 又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确． 故选：ABD． 14．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以． （2）， ， 又， 又，所以，所以， 所以． 15．已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数定义，结合单调性可解； （2）运用单调性定义，且，作差比较大小即可. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递增，可得， 所以． （2）证明：由的图象经过点，得，所以． 则． 对，且，则有 ， 因为，所以，， 所以． 因为，所以，所以， 则， 故函数在上单调递增． 16.已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将式子两边同时平方即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得的解析式，从而可得的解析式，然后换元，结合二次函数的单调性，即可得到函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 两边平方可得，所以 （2）因为， 所以， 令，则，当且仅当时， 即时，等号成立，即， 所以，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 即时，， 所以函数的最小值为. 17.已知点在幂函数的图象上． (1)求的表达式； (2)画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 【答案】(1)； (2)作图见解析，递减区间是，递增区间是，最小值. 【分析】（1）把点的坐标代入求出即可. （2）求出并化成分段函数，借助二次函数图象作出函数的图象，利用图象求出单调区间及最小值. 【详解】（1）由点在幂函数的图象上，得，即，解得， 所以的表达式为. （2）由（1）知，， 因此函数的图象是抛物线在或上的部分 与抛物线在上的部分组成，如图： 观察图象，得函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数取得最小值. 18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数单调性求最值； （2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式； （3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解. 【详解】（1）因为的对称轴为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 因为，所以在上的值域为； （2）因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以 （3）因为，所以，所以， 当时，，因为在上递增，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 当时，， 因为在上递减，在上递增， 此时，因为，，所以， 所以不符合题意， 综上，. 19.中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②16 【分析】（1）设，，且，则，根据及和的对称性，列方程求解； （2）联立方程组，由及即可求解①；由根与系数关系得出，利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】（1）        设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． （2）①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 20.已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. 【答案】(1)的值为，函数的解析式为 (2) （2）由（1），得，令利用换元法得到， ，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，函数是奇函数，符合题意， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 综上所述，的值为，函数的解析式为. （2）由（1）知，， 所以， 令，则， ， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， ，， 所以函数在的值域为. 21. 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解； 已知幂函数为奇函数. (1)求实数m的值； (2)求函数（）的最小值. 【答案】(1)2； (2)1. 【分析】（1）根据给定条件，利用幂函数的定义及性质计算作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，再借助均值不等式求解作答. 【详解】（1）因函数是幂函数，则，解得或，有或 又函数是奇函数，则是奇数，即有， 所以实数m的值是. （2）由（1）知，当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值是1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数 知识点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点二：一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． (1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； (2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于的图象； (3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大. 知识点三：一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 1、当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； 2、当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； 3、当m为偶数时，(或)，是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 01判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 02依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： 在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 03求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 04比较幂大小的三种常用方法: 05利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 06利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型01：判断是否为幂函数 1.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 3.在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 6.下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 7.下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02：已知幂函数求参数 1.已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 2．已知幂函数 ，且，则 (    ) A． B．2 C．3 D．4 3.已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 4． “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 8.已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为 ． 9.若幂函数在区间上是减函数，则整数 ． 题型03：求幂函数的解析式 1.已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 2.已知点在幂函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 3.幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（ ） A．（） B． C． D． 4.已知幂函数的图象过点，则的值为 . 5．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 6.已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 7.已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 8.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 9.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11.已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 12.若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 13.写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数： . 14.幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 15.写出一个同时满足下列条件①②的幂函数的解析式： . ①在上单调递增；②. 16.请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数．则 ． 17.已知幂函数（为常数）过点，则的最大值为 . 题型04：求幂函数的值 1．若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知幂函数，若过点，则 ． 3．已知幂函数满足，则 4．已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 5．已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 题型05：求幂函数的定义域 1.下列函数中定义域为的是（ ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 4.若幂函数的定义域为，求实数的值. 5.下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 6.给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7.若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 8.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 9.已知幂函数，，若有下列四个判断：①定义域是；②值域是；③该函数是偶函数；④在单调递增，其中恰有三个正确，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 11.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 12.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 13.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14.幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 15.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16.函数的定义域为 . 17.函数 的定义域是 ． 18.若幂函数的定义域为，求实数的值. 题型06：求幂函数的值域 1.函数在区间[－4，－2]上的最小值是 ． 2.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 4.已知函数（ ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 5.已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 6.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 7.已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 8.（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 9.研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 10.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 12.（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 题型07：幂函数的图象及应用 1.函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 2.函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ） A． B． C． D． 3.已知幂函数的图象经过第三象限，则 ． 4.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 5.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 6.下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 7.若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．  B．   C．  D．   8.幂函数（）的大致图像是（    ） A．      B．   C．  D．   9.幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   10.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   11.在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（    ） A． B． C． D． 12.函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 13.已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 14.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为 ． 15.幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 16.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 17.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 18.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 题型08：由幂函数的图象与性质求参数 1.幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 题型09：幂函数过定点问题 1.函数的图象过定点 ． 2.已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 3.函数的图象必经过定点 A． B． C． D． 4.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ） A． B． C． D． 5.幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 6.函数的图象过定点 ． 7.不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 8.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 题型10：幂函数的单调性 1.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2.若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（ ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 3.已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 4.已知幂函数，且在区间上单调递减. （1）求的解析式及定义域； （2）设函数，求证：在上单调递减. 5.下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（    ）． A． B． C． D． 6.已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 7.下列说法正确的是（    ） A．函数的单调增区间为 B．函数为奇函数 C．幂函数是减函数 D．图像关于点成中心对称 8.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 9.已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数 ． 10.设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数 . 11.已知，若幂函数f（x）=xα在（0，+∞）上单调递增，则f（2）= . 12.已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 13.小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 题型11：由幂函数的单调性求参数 1.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 4.幂函数在上递增，则实数（    ） A．-2 B． C．2 D．2或 【答案】B 5.已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 6.已知幂函数在区间上单调递增，则 ． 7.已知幂函数在上单调递减，则 ． 8.已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 9.已知幂函数是上的增函数，则的值为 . 10.已知幂函数在区间上单调递减，则 ． 11.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型12：利用单调性解不等式 1.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 2.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 3.若＜，则实数m的取值范围 ． 4.不等式的解集为： ． 5.若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 8.已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C．D． 9.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 11.若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 12.已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 13.已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围 ． 题型13：比较幂值的大小 1.设，且，则（    ） A． B． C． D． 2.比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4，若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6.下列大小关系错误的是（ ） A． B． C． D． 7.若，，，则（ ） A． B． C． D． 8.已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9.已知实数，若则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11.已知，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12.已知，则（    ） A． B． C． D． 13.已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型14：幂函数的奇偶性 1.（多选）已知，若为偶函数，则满足要求的a有（ ） A． B．1 C．4 D． 2.已知幂函数的图像关于轴对称，则 . 3.幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 4.已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 题型15：幂函数性质的综合应用 1.若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可） 2.已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 3.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 4.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 5.已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 6.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 7.已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 巩固基础 1．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A．16 B． C．64 D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 5．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 6．若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 7．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 9．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 12．（多选）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 13．（多选）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   14． 已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 15．已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 能力提升 1．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 2．“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 6．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 8．有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 10．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）下列判断正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．幂函数的图象都通过点 D．若，则“”是“”的充要条件 12．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 13．（多选）若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（    ） A．若，则不存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 14．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的值； (2)若，求的值； 15．已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 16.已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 17.已知点在幂函数的图象上． (1)求的表达式； (2)画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 19.中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 20.已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. 21.已知幂函数为奇函数. (1)求实数m的值； (2)求函数（）的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$