第11讲 对数与对数函数（18题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第11讲 对数和对数函数 对数 知识点一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 知识点二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 知识点三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 对数函数 知识点一．对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 二．对数函数的图象及其性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，取相同的函数值时，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大． ①上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴． ②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 知识点三．对数型函数的性质及应用 （1）y＝logaf(x)型函数性质的研究 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． （2）logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 ①讨论a与1的关系，确定单调性． ②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 对数型函数的定义域的求解： （1）对数函数的定义域为，。 （2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于，底数大于，且不等于。若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义。 一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证。解得的取值范围，即为函数的定义域。 （3）求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集。 对数型函数的值域的求解： （1）充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法。 （2）对于函数，且，利用换元法，设，则函数的值域就是函数的值域。 （3）对于形如，且的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成，这两个函数； ②求的定义域； ③求的取值范围； ④利用的单调性求解。 知识点五 反函数 一般地，指数函数，且与对数函数，且互为反函数。它们的定义域与值域正好互换。 一般地，对于函数，设它的值域为。我们根据这个函数中的的关系，用把表示出来，得到。如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和他对应，那么就表示是自变量的函数。 这样的函数叫做的反函数，记作。 反函数的性质： ①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。 ③若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上。 求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由解出，即用表示出； ②把替换为，替换为； ③根据的值域，写出其反函数的定义域。 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 对数函数知识点理解 1、判断一个函数是对数函数的方法 注：对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出．　 2、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 3、求函数定义域的步骤 ①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．　 4、对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 5、对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 6、解决有关对数型函数图象问题的技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 7、比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量 (3)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (4)底数和真数都不同，找中间量．常借助中间量-1,0,1来进行比较 (5)若底数为同一参数（字母），则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 注：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 8、对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (4)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 注：解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则． 9、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 10、(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 1、型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； 2、型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可。 11、求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解． 12、与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便 13、解简单对数不等式的方法 1、形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； 2、形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式：可利用图象求解。 14、不同函数的增长差异： 综上所述，虽然函数与在区间［，上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度。尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有。 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似。即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度。 虽然对数函数与一次函数在区间，上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢。不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有。 15、几种不同增长的函数模型： ①一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 ②指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。 ③对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 ④幂函数模型：当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长速度就越快。 对数及对数函数解题策略 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、对数的性质和运算法则： (1)；；其中且； (2)(其中且，)； (3)对数换底公式：； (4)； (5)； (6)，； (7)和； (8)； 4、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 5、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 7、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 8、对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1). (4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ） 9、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称. 10、判断一个函数是对数函数的方法 11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 12、对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想； (2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解． 14、比较对数式大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 15、对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 17、对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 18、对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 对数及运算 题型01 对数概念 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 5．方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 6．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 8．在中，x的取值范围是 9．若，则x的值为 ． 10．方程log2(5－x)＝2，则x＝ ． 11．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 12．下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 13．求下列各式中的的值： (1)； (2). 14．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．若，则 . 16．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 题型02：指数对数的互化 1．把写成对数式 . 2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 5．将下列指数式改写成对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 6．将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). 7．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 8．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)； (2)； (3)； (4). 9．求下列各式中x的值． (1)； (2) ； (3) 10．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03：利用指数式与对数式的关系求值 1已知，则 . 2.已知，，计算= 3.已知，则的值为 ． 4.求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 5.已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04：对数的性质及对数恒等式 1.，则 . 2.若，则 ． 3.已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 5.若，则 ． 6.已知，，试用m，n表示． 题型05：对数的求值 1．若，则 2．在logx16＝4中，x的取值为 . 3．若正实数a满足，则a的值为 ． 4．设，则 ． 5．若，则 . 6．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．求下列各式中的值： (1)； (2). 8．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型06： 对数的运算 1.．求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 2．求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算：（1）； （2）. 5．计算： (1)； (2)． 6．利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： . 11．若，是方程的两个根，则 ． 12．（    ） A．6 B．8 C．9 D．7 13．设，，则（    ） A． B． C． D． 14． 15．已知，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（1）计算； （2）计算. 17.设函数，则的值等于( ) A. B. C. D. 18.已知，，用、表示，则________. 19.计算_________. 20.已知，则__________. 21.已知，且，则实数的值为_________. 22.若，，则___________(用、表示). 23.计算下列各式的值： (1)； (2). 24.(1)计算的值； (2)已知，，计算的值. 练1．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4). 2.计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 3.计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 4.计算： (1); (2) 题型07：换底公式 1．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 2．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 3．已知，，请用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 4.计算下列各式的值： (1)； (2)． 5.若且，则（ ） A． B． C． D． 6.设，求证：. 7.设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 8.若，，则 ． 9.计算： (1)； (2). 10.已知，，求.（用表示） 11．若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 12． ． 13．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 14．设，若，则（    ） A． B．6 C． D． 15．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 16．若，，，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 17．设，则 ． 18．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 19．已知且，则a的值为 . 20．化简式子的值为 . 21．正数 满足，则的值为 ． 题型08：对数运算的综合与实际应用 1.17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 2.已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 4.要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 5.．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 6．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 7．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 8．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若李响同学和肖济同学基础相同，从现在开始，李响同学每天“进步”，而肖济同学每天“退步” ，经过230天后，李响同学的水平大约是肖济同学的（    ）．（参考数据：，） A．50倍 B．70倍 C．90倍 D．100倍 9．下棋可以锻炼脑部，促进脑细胞新陈代谢，锻炼脑力发育，开发智力.围棋拥有的超大棋盘，成为状态空间复杂度最高的棋类运动，其状态空间复杂度上限约为，而中国象棋的状态空间复杂度上限为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （    ） （参考数据：，） A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07 ·巩固基础 一、单选题 1．计算（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2．若实数满足，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（    ）（参考数据：，） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 二、多选题 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．方程的解为 ． 6．在对数式中，实数的取值范围是 ． 7．已知函数则 ． 8．计算： 9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在技术中发挥着举足轻重的作用，当时，最大数据传输速率记为；当时，最大数据传输速率记为，则为 . 10．已知，且，则的值为 ． 11．已知为正实数，且，则的值为 . 四、解答题 12．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 13．已知，（且）． (1)求的值； (2)若，解关于x的不等式：（其中）． 14．（1）求值：； （2）已知，求的值． 综合测评 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 4．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 6．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 7．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 10．已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（    ） A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍 12． 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 13．地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 14．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 15．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 17．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 18． 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，，设，则N所在的区间为（    ） A． B． C． D． 19．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，） A．9 B．15 C．25 D．35 20．已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 二、多选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 24．已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 25．计算： ； . 26．若，则x的值为 ． 27．计算：   . 28． 的值是 ． 29．若，，用a，b表示 30．已知，，若用、表示，则 ． 31．计算： . 32．化简： ． 33．已知，则的值为 . 34．已知，，则的值为 ． 35．已知，则 . 36．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 37．已知实数a，b满足且，则m＝ . 38．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为 . 39．幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab= . 40．定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 41．已知，，且，则ab的最小值为 ． 四、解答题 42．计算下列各式的值（或的值）： (1) (2) (3) (4) 43．（1）已知，计算； （2）． 44．计算下列各式的值： (1)； (2). 45．求下列各式中x的值． (1) (2) 46．求值： (1)； (2)的值． 47．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 对数函数 题型01：对数函数的概念 （一）判断函数是否为对数函数 1．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 3．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．D． 4．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 5.【多选】（下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 6.【多选】下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 7.已知x满足式子，求x. 8.若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 （二）根据对数函数的概念求参数 1.若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 2.已知对数函数，则 ． 3.函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 （三）求对数函数解析式 1、函数是对数函数，则实数a＝ . 2、已知函数是对数函数，则 ． 3、若函数是对数函数，求的值. 4、若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 5、已知对数函数的图象过点，则 ． 6.若函数是对数函数，则a的值是（ ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 7.函数为对数函数，则 ． 8.已知对数函数过点，则的解析式为 . 9.若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 10.若对数函数的图象过点，则 ． 11.已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 12.已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 题型02：对数函数定义域及根据定义域求参 1.函数的定义域是 . 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.函数的定义域为（    ） A． B． C．D． 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，则的定义域为 ． 6.已知函数的定义域为 ． 7.函数的定义域为 8.已知x满足式子，求x. 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 10.若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 11.下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.， B.， C.， D.， 12.设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 14.设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.求函数的定义域． 16..已知函数的定义域为，求实数的取值范围． 17．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 18．已知函数，则的定义域为 ． 题型03：对数型函数的值域 1.已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2.函数的值域是 ． 3.函数f(x)＝的最大值为 . 4.函数的最小值为 ． 5．若函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 6.函数的值域为________． 7.设，则值域是_______ 8.已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数． (1)求的定义域; (2)求的值域． 10.设函数，且，． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 11.若定义运算，则函数的值域是 . 12.已知，，求的最大值及相应的． 13..函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 13.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 14.设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值. 15已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 16.已知函数，， （1）求的取值范围； （2）求的值域. 17..已知函数. （1）求方程的根； （2）求在上的值域. 题型04：根据对数函数的值域求参数值或范围 1.已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 3.若函数的值域为，则的取值范围是 ． 4.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________． 5.函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知的值域为，则实数__________. 7.若函数的值域为，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 9.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10.已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 11.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 12.设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 13.已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 . 14.已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15.已知函数，则( )（多选） A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.的图象关于直线对称 D.的值域为 16.（湖湘联盟）下列说法正确的是( )（多选） A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递增 C.函数的图象与轴有两个交点D.函数的值域为 17.已知函数的值域是，则实数的最大值是___________. 18．已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；若的值域为R，则实数a的取值范围是 . 19.已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21.已知集合，，. (1)计算； (2)若，求实数的取值范围. 22.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求实数a的值. 23．已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 24. (1)已知，求的取值范围； (2)以第(1)问求出的的取值范围为定义域，求函数的值域. 25.已知函数的最大值与最小值分别为和. 求的取值范围； 26.已知函数(且). (1)若，求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 27.已知函数. (1)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围； (2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过，求实数的取值范围. 28.已知函数 （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数的值域为，求的取值范围. 题型05：对数函数的图像 （1） 判断对数函数图象的形状 （1）单函数图象识别 1.函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2.函数的图象可能是（    ）． A．B． C．D． 3.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 5.函数的图象可能是（    ）． A．B． C．D． 6.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 9.函数满足（2），那么函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 10.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11.函数的大致图象是　　 A. B. C. D. （2）多函数图象识别 1.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2.函数与的大致图像是（    ） A．B．C．D． 3.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 4.已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   5.已知，函数与的图像可能是（    ） A．   B．     C．   D．   6.函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   7.当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A．B． C．D． 8.在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9.在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11.已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 12.已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 13.函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 14.在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ） A． B． C． D． 15.（多选）已知，且，则函数与的图象可能是（ ） A． B． C． D． （二）利用对数函数图象变换识别图象 1.若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3.函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 4.函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 5.函数的图像的大致形状是（    ） A． B． C． D． （三）对数函数的恒过定点问题 1.函数（且）的图象恒过点 ． 2.函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 3.函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）下列函数的图象过定点的有（ ） A． B． C． D． 5.已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 6.已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ． 7.函数（且）的图象必经过点 . 8.已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A． B． C．3 D． 9.一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为 . 10.函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 11.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 13.已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________. 14.已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________. 15.已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． （四）根据对数型函数图象判断参数的范围 1.已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 2.已知，，函数的图象如图，则，的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4.已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． （五）对数函数图象应用 1.如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    2.已知，，则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（多选）函数的图象一定过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 5.已知函数(，且)的图象如图所示，则，满足的关系是( ) A. B. C. D. 6.已知函数的图象经过点，若，则下列性质正确的有（ ）（多选） A. B. C. D. 7.若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 8.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9.设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.已知函数，若且，则的取值范围为 . 12.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13.已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 14.已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________． 15.已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 题型06：对数函数的单调性 （一）判断函数的单调性 1.下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3.数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．. 5.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________． 6.下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 （二）求对数型函数的单调区间 1.函数的单调增区间为 . 2.函数的严格增区间为 . 3.函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4.函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 5.若幂函数过点，则函数的单调减区间是 . 6.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 7.函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 8.函数的单调递减区间为 ． 9.已知函数的单调递增区间是,则（ ） A． B． C． D． 10.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 11.讨论函数的单调性． 12.求下列函数的单调区间： （1）． （2）． 13.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 （三）比较对数式的大小 1.已知，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.若，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.设，，，则（    ） A． B． C． D． 7.已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 8.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，（，且）． 9.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10.，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12.已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 13.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15.设，，，则（    ） A． B． C． D． 16.已知，则（    ） A． B． C． D． 17.设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18.已知函数，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 20.已知，，，则下列关系式中正确的（ ）． A． B． C． D． 21.已知，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 22.已知，则（ ） A． B． C． D． 23.比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），. 24.若，，，则（ ） A． B． C． D． 25.设，则（ ） A． B． C． D． 26.（多选）已知，，，则下列不等式可能成立的为（ ） A． B． C． D． 27．设，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，则（   ） A． B． C． D． 29．已知函数，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．已知，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 31.比较的大小 32.已知，，.则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 33.已知，，，则，，的大小为( ) A. B. C. D. 34.若，则下列结论中正确的是（ ）（多选） A. B. C. D. 35.设，，则( )（多选） A. B. C. D. 36.已知函数. (1)证明：. (2)比较，，的大小，并说明理由. （四）解不等式 1.若集合，则（    ） A． B． C． D． 2.“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，则不等式的解集为______. 4.已知函数则不等式的解集为______． 5.已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6.已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.若.如何求x的取值范围. 8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 . 9.不等式的解集为 . 10.不等式的解集为 ． 11.已知对数函数，且，则关于的不等式的解集为______． 12.不等式的解集 . 13.不等式的解集为 . 14.已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15.若函数，则不等式的解集为 . 16.已知，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．若，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 18．设，则不等式的解集为 . 19.（1）求满足不等式log3x<1的x的取值集合； （2）若 (a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围． 20.解关于a的不等式：． 21.已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 22.已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． （五）由函数的单调性求参数 1.已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______. 2.设函数且在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________. 3.已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．（－2，4] B．[－2，4） C． D． 5.设函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________． 8.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________． 9.已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 10.若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 12.已知是，上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.若函数在上单调递增，则求实数的取值范围． 14若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 15.若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 17.已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.已知是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（    ） A．4 B． C． D．8 题型07：对数函数的奇偶性 （一）判断函数的奇偶性 1、已知，则的奇偶性为 . 2.函数的单调性为 ；奇偶性为 ． 3.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 4.已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性. 5.已知函数（且）的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由. 6.已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. （二）已知函数奇偶性求值 1．函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______． 2.设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______. 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________． 4.已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________. 5.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 （三）由函数的奇偶性求解析式 1.已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________． 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________. 3.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________. （四）已知函数的奇偶性求参数 1.若函数是R上的奇函数，则a的值为_____． 2.已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______. 3.已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________. 4.若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5.已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________ 6.若函数是偶函数，则_______，____. 7.已知函数是奇函数，则实数的值为 . 8.若为奇函数，则实数 ． 9.已知函数为偶函数，则 . 10.“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 ． 12.函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 . 13.已知函数为奇函数，，若当时，，则 ． 14.函数为偶函数，当时，，则时， ． （五）函数的奇偶性与单调性的综合 1.已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若，则实数的取值范围为______． 4.若函数为奇函数，则不等式的解集为___________. 5.设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________. 题型08：反函数 1．的反函数是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数与函数互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 3．下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．函数的反函数过点，则 . 5．若函数是函数的反函数，则的值为 . 6．已知函数为的反函数，则 ． 7．写出下列对数函数的反函数（用x表示自变量，用y表示函数）： (1)； (2)； (3)． 8.函数的反函数为，则___________. 9.若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________． 10.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________. 11.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.函数的反函数过点，则 . 13．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 . 题型09：对数函数综合 1.已知函数，则（    ） A．在单调递减，在单调递增 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最小值，但无最大值 2.已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 3.函数，则（    ） A．f(x)的定义域为R B．值域为 C．为偶函数 D．在区间上是增函数 4.已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______. 5.已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．2023 6.已知函数的最大值为，最小值为，则 . 7.已知函数(，且). （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间. 8．已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 9.已知函数. (1)求函数的值域； (2)若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合； (3)若，且，求实数m的取值范围. 10.已知（，且）. (1)求函数的定义域； (2)当（其中，且为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由； (3)当时，求满足不等式的实数的取值范围. 11.已知函数，则（    ） A．图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递减 D．的最小值为 12.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．的值域为 13.已知函数（，且）的图象过定点. (1)求的坐标； (2)若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围. 14.已知函数（且）． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 15.已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 16.已知函数的定义域为R，为偶函数，对任意当时，单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 17.已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ． 18.已知函数，且. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若，求函数在区间上的最大值 19.已知函数是奇函数． (1)求的值． (2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围． 20.已知函数是奇函数． (1)求的值． 21.已知函数（且）在上的 最大值为.(1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 22.已知函数，其中. (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若函数的最小值为，求的值. 23.已知函数是偶函数，且当时，(，且). (1)求当时的的解析式； (2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围. (注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 24.已知函数是奇函数. (1)求的值，判断的单调性并用定义证明之； (2)解不等式：. 25.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围. 题型10：对数函数的实际应用 1.首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，） A．存款金额的首位数字是1的概率约为 B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7% C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率 D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7% 2.在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（    ） A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到. B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002. D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍. 3.我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（    ） A．100 B．115 C．230 D．345 4.某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（    ） A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h 5.2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 7.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) 8.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 9.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2023年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2023年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ． 10.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 11.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 . 12.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过___________小时才能驾驶.(注：不足小时，按小时计算，如计算结果为，就答小时.) 参考数据：取，，，. 13.省环保研究所对市中心每天污水污染指数情况进行调查研究后，发现每一天中污水污染指数与时刻(时)的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且. (1)若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； (2)省政府规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 14.年月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界的耕地，养活了全世界的人口.目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在千克以上，远高于国际公认的千克粮食安全线.雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究.根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①(其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人).根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为万和万.该小组同学根据这两个数据，以年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型. (1)请求出该小组同学①式的人口增长模型； (2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国年末至年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为(其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨).表示从年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人. (i)求满足的正整数的最小值； (ii)按此模型，我国年人均粮食占有量能达到千克吗？试说明理由. 参考数据：，，，. 15.国家质量监督检验检疫局于年月日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阙值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升、小于毫克/百毫升的行为为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下，该函数模型如下，. 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算) (参考数据：，，) 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 对数和对数函数 对数 知识点一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 知识点二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 知识点三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 对数函数 知识点一．对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 二．对数函数的图象及其性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，取相同的函数值时，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大． ①上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴． ②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 知识点三．对数型函数的性质及应用 （1）y＝logaf(x)型函数性质的研究 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． （2）logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 ①讨论a与1的关系，确定单调性． ②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 对数型函数的定义域的求解： （1）对数函数的定义域为，。 （2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于，底数大于，且不等于。若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义。 一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证。解得的取值范围，即为函数的定义域。 （3）求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集。 对数型函数的值域的求解： （1）充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法。 （2）对于函数，且，利用换元法，设，则函数的值域就是函数的值域。 （3）对于形如，且的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成，这两个函数； ②求的定义域； ③求的取值范围； ④利用的单调性求解。 知识点五 反函数 一般地，指数函数，且与对数函数，且互为反函数。它们的定义域与值域正好互换。 一般地，对于函数，设它的值域为。我们根据这个函数中的的关系，用把表示出来，得到。如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和他对应，那么就表示是自变量的函数。 这样的函数叫做的反函数，记作。 反函数的性质： ①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。 ③若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上。 求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由解出，即用表示出； ②把替换为，替换为； ③根据的值域，写出其反函数的定义域。 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 对数函数知识点理解 1、判断一个函数是对数函数的方法 注：对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出．　 2、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 3、求函数定义域的步骤 ①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．　 4、对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 5、对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 6、解决有关对数型函数图象问题的技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 7、比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量 (3)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (4)底数和真数都不同，找中间量．常借助中间量-1,0,1来进行比较 (5)若底数为同一参数（字母），则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 注：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 8、对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (4)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 注：解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则． 9、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 10、(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 1、型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； 2、型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可。 11、求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解． 12、与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便 13、解简单对数不等式的方法 1、形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； 2、形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式：可利用图象求解。 14、不同函数的增长差异： 综上所述，虽然函数与在区间［，上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度。尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有。 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似。即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度。 虽然对数函数与一次函数在区间，上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢。不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有。 15、几种不同增长的函数模型： ①一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 ②指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。 ③对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 ④幂函数模型：当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长速度就越快。 对数及对数函数解题策略 1、指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2、对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3、对数的性质和运算法则： (1)；；其中且； (2)(其中且，)； (3)对数换底公式：； (4)； (5)； (6)，； (7)和； (8)； 4、利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 5、对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 7、利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 8、对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1). (4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ） 9、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称. 10、判断一个函数是对数函数的方法 11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 12、对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想； (2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解． 14、比较对数式大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 15、对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 17、对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 18、对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 对数及运算 题型01 对数概念 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 2．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】∵，则. 故选：D. 3．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 4．设，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案. 【详解】由，则，，. 故选：B. 5．方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【详解】∵，∴，∴. 故选：D. 6．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】指数式化为对数式，得出结果. 【详解】因为，所以. 故选：D 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【详解】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 8．在中，x的取值范围是 【答案】 【分析】根据底数和真数的范围，列出不等式，求解即可. 【详解】要使得有意义，则，且，解得. 故答案为：. 9．若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 10．方程log2(5－x)＝2，则x＝ ． 【答案】1 【分析】由对数的定义求解． 【详解】解：5－x＝22＝4，∴x＝1． 故答案为：1． 11．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【详解】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 12．下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 13．求下列各式中的的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据对数的概念即可求解； (2)根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解. (1) 由得， ，解得x＝－2； (2) 由可得， 故， ∴x＝＝64. 14．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 故答案为：4. 15．若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 16．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型02：指数对数的互化 1．把写成对数式 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系直接求解. 【详解】写成对数式为. 故答案为： 2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 3．将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 4．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （2）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （3）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （4）根据对数的定义化对数式为指数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 5．将下列指数式改写成对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互化，即可得答案. 【详解】（1）由得； （2）由得； （3）由得； （4）由得； 6．将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据指数式和对数式之间的互化关系，即可得答案. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. 7．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】根据对数式和指数式的概念进行转换. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. （5），可得. （6），可得. （7），可得. （8），可得. （9） （10） （11） （12） 8．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）根据指数式与对数式的关系化简可得； （2）根据指数式与对数式的关系化简可得； （3）根据对数式与指数式的关系化简可得； （4）根据对数式与指数式的关系化简可得. 【详解】（1）由，可得； （2）由，可得； （3）由，可得； （4）由，可得. 9．求下列各式中x的值． (1)； (2) ； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据对数式与指数式的关系可得，由此可求； （2）根据对数式与指数式的关系可得，化简可得结论； （3）根据对数式与指数式的关系可得，解指数方程可得. 【详解】（1）由，可得， ∴. （2）由，可得. ∴. （3）由，可得， ∴， ∴. 10．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，然后化简可得 【详解】 ， ， ， . 故选：D. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 故选：B. 12.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 题型03：利用指数式与对数式的关系求值 1已知，则 . 【答案】 【解析】利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得的值. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 2.已知，，计算= 【答案】 【分析】根据对数式与指数式的互化结合指数幂的运算进行计算即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴. 故答案为：. 3.已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】根据指对数互化及指数幂的运算即得. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：9. 4.求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可； （2）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可； （3）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可. 【详解】（1）∵， ∴，∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）由可得，， 故，所以. 5.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 故选：B. 题型04：对数的性质及对数恒等式 1.，则 . 【答案】或 【分析】设，解一元二次方程求，再求. 【详解】设，原方程可化为， 所以或， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 2.若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质得到，直接代入即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 3.已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可得，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，，由，可得， 所以，“”“”；但“”“”. 所以，已知，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4.若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 5.若，则 ． 【答案】4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 6.已知，，试用m，n表示． 【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【详解】∵，， ∴ ． 题型05：对数的求值 1．若，则 【答案】 【分析】将对数方程化为指数方程，解指数方程即可． 【详解】解： 且 解得：， 故答案为： 2．在logx16＝4中，x的取值为 . 【答案】2 【分析】根据对数与指数的运算求解即可. 【详解】由题意，，且，解得. 故答案为：2 3．若正实数a满足，则a的值为 ． 【答案】1000 【分析】由题意可得，再根据对数的运算性质即可得出答案. 【详解】解：因为正数a满足， 所以， 即， 所以，解得. 故答案为：1000. 4．设，则 ． 【答案】16 【分析】根据指数式和对数式的互化即可求解. 【详解】由得 . 故答案为：16 5．若，则 . 【答案】/ 【分析】将对数式化为指数式，由此求得的值. 【详解】依题意，所以. 故答案为： 6．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)125 (2) (3) (4) 【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案. 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以，解得 （3）解：因为， 所以，所以； （4）解：因为， 所以，所以. 7．求下列各式中的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案. 【详解】（1）由题意，. （2）由题意，. 8．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】根据对数的定义，进而进行指对数式的互化即可求得答案. (1) 由题意，. (2) 由题意，，而且，所以. (3) 由题意，. (4) 由题意，. 题型06： 对数的运算 1.．求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)4 (5)2 (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义，以及对数运算公式，即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 2．求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)0 (4)2 (5)3 (6)5 【分析】根据对数运算法则即可得到答案. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数的运算性质求解即可 【详解】（1） （2） 4．计算：（1）； （2）. 【答案】（1）4；（2）2 【解析】（1）利用根式和指数幂的运算求解. （2）利用对数的运算法则求解. 【详解】（1）， ， . （2）, , . 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解， （2）根据对数的运算法则和性质即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 6．利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） ； （2） . 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】利用换底公式，以及对数运算法则，即可求解. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)10 (2)5 (3)18 (4)1 (5) (6)2 【分析】根据对数运算法则与性质即可得到答案. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解， （2）根据对数的运算法则和性质即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 10．计算： . 【答案】5 【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 11．若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果. 【详解】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 12．（    ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】A 【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值. 【详解】解： . 故选：A. 13．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数式改为对数式，然后由对数的运算法则求解． 【详解】，则， 所以， 故选：D． 14． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 15．已知，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用对数的运算法则，不等式的性质和基本不等式逐项判断. 【详解】由题知，，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，，所以，所以，C正确； ，D错误． 故选：AC. 16．（1）计算； （2）计算. 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）利用指数幂与根式的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则即可得解. 【详解】（1） . （2） 17.设函数，则的值等于( ) A. B. C. D. 【详解】根据题意，函数，，， 则；故选：C. 18.已知，，用、表示，则________. 【详解】解：∵，∴，所以 ． 3.(师大附中)________. 【解答】解：原式． 19.计算_________. 【详解】 ，故答案为：. 20.已知，则__________. 【详解】答案为：1. 6.21已知，且，则实数的值为_________. 【详解】，，，又，即， 解得，故答案为：. 22.若，，则___________(用、表示). 【详解】因为，所以 因此.故答案为：. 23.计算下列各式的值： (1)； (2). 【解析】(1)原； (2)原式. 24.(1)计算的值； (2)已知，，计算的值. 【解析】(1) . (2)，原式. 练1．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数的运算性质计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3） （4） 2.计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)3 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案. 【详解】（1）解法一： 原式. 解法二：原式. （2）原式 . （3）原式 （4）原式 （5） ． 3.计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11)， (12)， 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) (9) (10)-2 (11) (12)3 【分析】利用指数运算和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4）； （5） ； （6） ； （7）； （8） ； （9） ； （10）； （11） ； （12） 4.计算： (1); (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则，注意利用； （2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式＝. （2）原式 . 题型07：换底公式 1．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 3．已知，，请用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数运算公式和换底公式计算. 【详解】（1）. （2）. （3）. 4.计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)13 【分析】（1）根据对数的运算性质结合对数的定义运算求解； （2）方法一：以2和5为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案；方法二：以10为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 5.若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值. 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 6.设，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，则表示出，然后利用对数的运算性质计算和，即可得结论. 【详解】证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 7.设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算整理得，再根据对数的概念求取值范围. 【详解】由题意可得：， 且所以. 故选：D. 8.若，，则 ． 【答案】1 【分析】将转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得. 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：1 9.计算： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】 （1）利用换底公式和对数的运算性质求解即可； （2）利用换底公式的逆应用，结合对数运算的相关公式求解即可. 【详解】（1）由换底公式可得，； （2） 原式 . 10.已知，，求.（用表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算律，整理条件，利用换底公式，可得答案. 【详解】∵，所以，又 ∴， ； ∴． 故答案为：． 11．若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，， ∴. 故选：B. 12． ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】 . 故答案为： 13．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 14．设，若，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由题，将指数式化成对数式，求出，，代入，根据对数运算性质可计算得答案. 【详解】由，知，且，，， 所以，． 故选：C． 15．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 16．若，，，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意求出、和，再根据对数的运算性质判断选项中的命题是否正确． 【详解】若，，， 则，，， 所以，选项A正确； ，选项B错误； 由，当且仅当时取等号，又，， 所以等号不成立，即，选项C错误； 由，选项D正确． 故选：AD 17．设，则 ． 【答案】1 【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，则，由，得， 所以. 故答案为：1 18．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 【答案】2 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 19．已知且，则a的值为 . 【答案】 【分析】设，可得，代入已知等式，结合对数的运算即可求得k，进而求得a的值. 【详解】由题意，则设， 故， 故，即，即， 故，所以， 故答案为： 20．化简式子的值为 . 【答案】/1.25 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 21．正数 满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】令， 则，，， 所以， 故答案为：． 题型08：对数运算的综合与实际应用 1.17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由已知可得. 故选：D 2.已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】根据题干列式，再应用对数运算律计算即可. 【详解】，则， 所以，∴. 故选：D. 3.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 【答案】A 【分析】设，然后根据对数的运算解出即可. 【详解】万年用掉个二维码，大约能用万年，设， 则 即万年， 故选：A 4.要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 【答案】B 【分析】根据题意列出方程解出未知量即可. 【详解】设原始量为，每年衰变率为， ， ， ， ， . 故选：B. 5.．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得:,解得, 所以, 当时,得,即, 两边取对数得, 所以, 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年. 故选:B. 6．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【答案】A 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【详解】由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 故选：A 7．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 【答案】BD 【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案. 【详解】由题意，，则， 所以， 当时，，故A错误； 当时，即，则，当时，即，则， 故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确； 将声强为对应的声强级作商为，故C错误； 将，对应声强作商为，故D正确. 故选：BD. 8．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若李响同学和肖济同学基础相同，从现在开始，李响同学每天“进步”，而肖济同学每天“退步” ，经过230天后，李响同学的水平大约是肖济同学的（    ）．（参考数据：，） A．50倍 B．70倍 C．90倍 D．100倍 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】设两人现在的水平为1，经过230天后，李响同学的水平大约是肖济同学的t倍． 则. 故选：D 9．下棋可以锻炼脑部，促进脑细胞新陈代谢，锻炼脑力发育，开发智力.围棋拥有的超大棋盘，成为状态空间复杂度最高的棋类运动，其状态空间复杂度上限约为，而中国象棋的状态空间复杂度上限为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算法则，结合题意，即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 可得，所以. 故选：B. 10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （    ） （参考数据：，） A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07 【答案】C 【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果. 【详解】由题可得，， ， . 故选：C． 巩固基础 一、单选题 1．计算（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．若实数满足，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值，再逐个代入验证 【详解】因为，所以， 所以， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于CD：，所以CD错误， 故选：B 3．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（    ）（参考数据：，） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解,进而可求解. 【详解】由题意可设，则，解得， 所以，所以， 所以当时，焦耳. 故选:D. 二、多选题 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AC：根据指数幂运算求解；对于B：利用基本不等式运算求解；对于D：根据对数运算结合选项B中结论分析求解. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：因为，则，即， 可得，即，所以，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 又因为，则，解得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：设，则，所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 5．方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】由对数运算性质可得答案. 【详解】由题，. 故答案为：. 6．在对数式中，实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【详解】解：由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 7．已知函数则 ． 【答案】 【分析】根据的值代入相应的解析式即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．计算： 【答案】/ 【分析】根据对数的运算法则及性质化简即可得解. 【详解】, 故答案为： 9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在技术中发挥着举足轻重的作用，当时，最大数据传输速率记为；当时，最大数据传输速率记为，则为 . 【答案】 【分析】将相应数值代入,再利用对数运算公式计算即可. 【详解】因为当时，最大数据传输速率记为， 所以， 因为当时，最大数据传输速率记为， 所以， 所以， 故答案为: . 10．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】用含的式子表达，代入已知方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：. 11．已知为正实数，且，则的值为 . 【答案】 【分析】利用对数运算法则得到，变形得到，换元后求出答案. 【详解】， 故，即， 方程同除以得，即， 设，则，故， 解得， 故. 故答案为： 四、解答题 12．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 13．已知，（且）． (1)求的值； (2)若，解关于x的不等式：（其中）． 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解； （2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解. 【详解】（1）由，，得，, 所以； （2）因为，， 又，所以，解得， 不等式， ①当时，不等式为，解得，不等式的解集为； ②当时，变形为， 令， 当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为； 当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为； 当时，二次函数开口向上，不等式的解集为； 当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为； 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 14．（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据对数的运算性质将原式化简即可. （2）由，运用完全平方公式可以求出，运用立方和公式，求出，然后代入求值即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为， 所以， 所以 综合测评 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】解：对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数． 故选：A． 2．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据换底公式的结论运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 3．已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可. 【详解】由， . 故选：A. 4．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 5．已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算的知识求得，进而求得. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故选：C 6．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 7．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案. 【详解】因为，所以A不对； 因为，所以B不对； 因为，所以C不对； 因为，D正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题. 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：C 9．已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由，得到，然后由求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：C 10．已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：D. 11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（    ） A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍 【答案】B 【分析】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，由题意可推得，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案. 【详解】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为， 由题意可知，， 即，所以. 故选：B. 12． 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：） A．308 B．309 C．1023 D．1024 【答案】B 【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案. 【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态. 两边取以10为底的对数得， 所以. 由于，故是一个309位的数，即. 故选：B. 13．地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（    ）倍． A．1000 B．100 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用，求得，代入，从而求得结果. 【详解】解：依题意，，则，即 则,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 故选：B. 14．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：） A．187% B．230% C．530% D．430% 【答案】D 【分析】根据题干定义分别求提升前和提升后的信息传送速度，最后再计算信息传递速度增加律. 【详解】提升前的信息传送速度， 提升后的信息传送速度， 所以信息传递速度大约增加了． 故选：D. 15．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解. 【详解】， ， ， ，即或（舍去） 故选：C 16．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求得x的值，再利用对数运算性质即可求得的值. 【详解】由，可得， 则 故选：B 17．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据对数的运算得，再利用基本不等式求解． 【详解】由正数，满足，得， 所以，，结合，，得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 18． 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，，设，则N所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需计算的值即可解决. 【详解】计算，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值，可知B正确. 故选：B 19．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，） A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， ∴， 故选：D． 20．已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合可求得结果. 【详解】令，则， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 因为，所以或， 所以或， 所以或， 故选：D 二、多选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数运算法则和换底公式进行计算. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 22．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由对数式的运算规则，检验各选项的运算结果. 【详解】，故选项A正确； ，故选项B错误； 根据对数恒等式可知，，选项C正确； 根据换底公式可得：，故选项D错误． 故选：AC 23．下列正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，则，所以，，C对； 对于D选项，因为，则，所以，，D对. 故选：BCD. 24．已知，则正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先把指数式化为对数式可得，，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC． 【详解】，，，，，故正确， ，故D不正确， ，当且仅当时取等号，，，故B正确， （因为，故等号不成立），，故C正确. 故选： 三、填空题 25．计算： ； . 【答案】 8 【分析】直接利用对数与指数的运算性质求解即可. 【详解】 , 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数与指数的运算性质，属于基础题. 26．若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 27．计算：   . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则，即可求解. 【详解】根据对数的运算法则，可得. 故答案为：. 28． 的值是 ． 【答案】/0.2 【分析】由对数的概念直接计算即可. 【详解】由对数的概念可得， 故答案为： 29．若，，用a，b表示 【答案】 【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 30．已知，，若用、表示，则 ． 【答案】/ 【分析】将指数式化为对数式，在利用换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故答案为： 31．计算： . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：. 32．化简： ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质即可化简求值. 【详解】 ． 故答案为： 33．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求出，又，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 34．已知，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由对数的定义先求出，再进行对数化简求值. 【详解】因为，，所以，， 所以． 故答案为：2 35．已知，则 . 【答案】2 【分析】先根据对数的定义求出，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得，，则，， 故. 故答案为：2. 36．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则 ． 【答案】0 【分析】根据条件求出和，再求的值. 【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，， 由题意，，， . 故答案为：0. 37．已知实数a，b满足且，则m＝ . 【答案】100 【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解 【详解】由可得， 又，即， 所以，即 故答案为： 38．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为 . 【答案】2567 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故答案为：2567. 39．幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab= . 【答案】 【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得. 【详解】依题意，，所以是线段的三等分点， 而，所以， 所以， . 故答案为： 40．定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【答案】4107 【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案. 【详解】 根据已知可得： ， ， ， ，共4个， ，共8个（由之间含多少个奇数决定）， ，共16个， ，共32个， ，共64个， ，共128个， ，共256个， ， 则， 故答案为：4107. 41．已知，，且，则ab的最小值为 ． 【答案】16 【分析】根据给定条件，利用换底公式变形，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因为，，则，由，得， 则有，当且仅当，即时取等号， 于是，， 所以当时，ab取得最小值16. 故答案为：16 四、解答题 42．计算下列各式的值（或的值）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把对数式先化成指数式，再进一步运算求得结果； （2）根据对数恒等式或者两边取以10为底对数，进一步化简求得结果； （3）先由外层对数值求解真数，再以此类推求得结果； （4）由对数运算法则、对数恒等式、换底公式求得结果. 【详解】（1）由，得，所以； （2）由两边取以10为底对数，得，即，解得； （3）由，得， 所以，即； （4）. 43．（1）已知，计算； （2）． 【答案】4，10 【分析】（1）根据指数幂的运算平方即可求解， （2）根据对数的运算性质即可化简求解. 【详解】（1）由可得，将其平方得，将平方可得，所以， （2） 44．计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数和对数运算法则直接化简求解即可. 【详解】（1）. （2）. 45．求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可； （2）利用对数式与指数式的关系化简即可. 【详解】（1）由可得，， 则， 所以. （2）由可得，， 故，所以. 46．求值： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】根据对数的概念及运算性质求解. 【详解】（1）由题意可得 . （2）由题意可得： ， 因为， 所以. 47．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 对数函数 题型01：对数函数的概念 （一）判断函数是否为对数函数 1．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数的概念分析可得答案. 【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 2．给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据对数函数的定义判断． 【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x． 故答案为：（1）（2）（3）． 3．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 4．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 5.【多选】（下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 6.【多选】下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 7.已知x满足式子，求x. 【答案】或 【分析】根据对数函数真数大于0，底数大于0且不等式1，列出方程组，求出答案. 【详解】因为x满足式子. 故，解得. 8.若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． （二）根据对数函数的概念求参数 1.若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 2.已知对数函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用对数函数的解析式，求出，然后求解函数值即可． 【详解】由对数函数的定义， 可得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查对数函数的定义，是基础题． 3.函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. （三）求对数函数解析式 1、函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【解析】由题意得，解得或1， 又且，所以故答案为：1 2、已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是对数函数， 则，解得．故答案为：1. 3、若函数是对数函数，求的值. 【答案】 【解析】解：因为函数是对数函数， 则，解得． 4、若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 【答案】 【解析】设对数函数为，， 因为对数函数的图象过点，所以，即，解得， 所以. 5、已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 6.若函数是对数函数，则a的值是（ ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】∵函数是对数函数， ∴，且，解得或，∴，故选：C． 7.函数为对数函数，则 ． 【答案】4 【解析】由题意知，，故答案为：4. 8.已知对数函数过点，则的解析式为 . 【答案】 【解析】设，结合已知有， ∴，又且， ∴，则，故答案为：. 9.若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 【答案】 【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以. 故答案为： 10.若对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设对数函数（，且），因为函数图象过点， 所以，得， 所以. 故答案为： 11.已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】(1)，解得，故函数的解析式 (2) 即，解得或 故实数m的取值范围是 12.已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点. ，所以，即； （2）因为单调递增，所以， 即不等式的解集是． 题型02：对数函数定义域及根据定义域求参 1.函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是. 故答案为： 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解. 【详解】的定义域需满足， 解得且， 故定义域为 故选：C 3.函数的定义域为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 5.已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 6.已知函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根根号里的数大于等于零，分母不等于零，即可得解. 【详解】， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7.函数的定义域为 【答案】 【分析】由对数及分式的性质列不等式组求定义域即可. 【详解】由解析式知：或， 所以函数定义域为. 故答案为： 8.已知x满足式子，求x. 【答案】或 【详解】因为x满足式子. 故，解得. 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 10.若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【答案】(-2,2) 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. 11.下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.， B.， C.， D.， 【详解】对于A：函数，的定义域都是R，，两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数，A错误；对于B：函数的定义域为，函数的定义域是R，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，B错误；对于C：函数，的定义域都是， 函数，两函数的对应关系相同，值域相同，故是同一函数，C正确；对于D：函数的定义域为R，函数的定义域是，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，D错误.故选：C. 12.设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】由题意，，或，所以或 故“”能推出“”，充分性成立； 但“” 不能推出“”，必要性不成立； 则“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 13.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解答】解：B. 14.设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】由题意，，或，所以或 故“”能推出“”，充分性成立； 但“” 不能推出“”，必要性不成立； 则“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 15.求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由函数，可知， 解，即得或，解得； 综上可得. 所以函数的定义域为：. 16..已知函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，恒成立，由可求得实数的取值范围. 【详解】由题知对任意恒成立，从而． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 17．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【答案】(-2,2) 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. 18．已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式和对数式的限制条件可得答案. 【详解】因为，所以， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 题型03：对数型函数的值域 1.已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 故选：D 2.函数的值域是 ． 【答案】 【详解】令，则， 因为， 所以的值域为， 因为在是减函数， 所以， 所以的值域为， 故答案为： 3.函数f(x)＝的最大值为 . 【答案】0 【详解】解：令， 对称轴为，， 当时，， 当时，， 函数的最大值为：. 故答案为：0. 4.函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．若函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性求出每一段的值域，进而可得整个函数的值域. 【详解】当时， 在上单调递减，故； 当时， 在上单调递增，故； 得的值域为. 故选：C. 6.函数的值域为________． 【答案】 【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可. 【详解】因为当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 7.设，则值域是_______ 【答案】 【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解. 【详解】设，则，于是. 设，根据二次函数性质，时，关于单调递减； 根据对数函数性质，在定义域上递增. 于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减， 而，于是值域是：. 故答案为： 8.已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故的值域为． 故选：B． 9.已知函数． (1)求的定义域; (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为, 所以,解得, 所以的定义域为． （2）因为 , 由(1)知的定义域为, 所以,,， 因为是增函数，所以， 故的值域为． 10.设函数，且，． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得 所以即解得：． 所以的解析式为： （2）由（1）知. 设，因为，所以. 令，所以当时，， 则，故的值域为． 11.若定义运算，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答. 【详解】依题意，由，得，即，解得， 由解得，因此， 显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是， 所以函数的值域为. 故答案为： 12.已知，，求的最大值及相应的． 【答案】时，最大值为 【解析】，， 函数的定义域满足，即 设，， 由在区间上是增函数，． 从而要求在区间上的最大值， 只需求在区间上的最大值即可． 在上是增函数， 所以当，即时，． 综上可知，当时，的最大值为. 21.函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 13.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 设，则， 故函数的值域为.故选：C 14.设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)2，； (2)2. 【详解】（1）∵，∴，∴. 由，解得， ∴函数的定义域为. （2）， ∴当时，是增函数；当时，是减函数， 函数在上的最大值是. 15已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）， 【详解】（1），，， 在，上是减函数， 时有最大值； 时有最小值． （2）， 在，单调递减， （即，取得最大值，． （即，取得最小值，． 所以函数的值域，． 16.已知函数，， （1）求的取值范围； （2）求的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为在上是增函数，所以； （2） 令，则， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以 ，即的值域为. 26.已知函数. （1）求方程的根； （2）求在上的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），故，，所以，解得； （2）令，当时，， 故，由于在上单调递增， 故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故 题型04：根据对数函数的值域求参数值或范围 1.已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意； 若，则在上单调递增，则， 又因为的值域为，所以，解得． 故选：A． 2.已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 【答案】2（写出中的任意一个实数即可） 【详解】当时，，因为函数的定义域为，值域为，所以，解得.取. 故答案为：. 3.若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： 的值域为， ∴， 解得或， 故答案为： ． 4.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果. 【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意； ②当时，令，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递减， ，即，解得：（舍）； ③当时，令，其对称轴为； ⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增， ，即，解得：； ⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减， ，即，解得：（舍）； ⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 5.函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的值域为， 可得真数部分取到所有的正数， 即函数取到所有的正数， 所以是函数的值域的子集， 所以解得：或， 所以实数的取值范围是：. 故选：A. 6.已知的值域为，则实数__________. 【答案】1 【分析】根据值域为可得，且， ，因此为的实数解，从而可求. 【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取. 若，则， 若，则， 故为的实数解， 故，整理得到：， 故即，解得. 当时，， 当时，， 对于任意给定的正数，当， 有，故， 而当时，， 综上，时，的值域为. 故答案为：1. 7.若函数的值域为，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 时， 当 时， 要使 的值域为 则 ， 故选：C 8.若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，则对于恒成立， 故，解得，即； 若函数的值域为，即能取到所有正数， 故，解得或，即， 故答案为：； 9.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以，即； 若函数的值域是，则需当时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得，又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B 10.已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解. 【详解】函数最小值为0， 设， 所以只要满足恒成立， 函数对称轴为，且， ①，即时，满足题意； ②，即时， 需满足， 即，得， 此时实数的取值范围是. 综上，实数的取值范围是 故答案为：. 11.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合对数函数值域可确定的值域包含，通过讨论对称轴的位置可求得的最大值，由包含关系可构造不等式求得结果. 【详解】当时，的值域为； 记，的值域为， 的值域为，； 当，即时，在上单调递增， ，解得：，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ，解得：或，或； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 12.设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 【答案】2 【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得 当时，函数在区间上单调递减， 所以，无解 故答案为：2 13.已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解 【详解】当时，函数不存在最大值，故， 当时，在区间上单调递增， 所以此时； 当时，在区间上单调递减，所以此时， 若函数存在最大值，则，解得，又， 所以的取值范围为 14.已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. 15.已知函数，则( )（多选） A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.的图象关于直线对称 D.的值域为 【详解】对于函数，有，可得， 即函数的定义域为，且， 令，则，D对； 函数在上单调递增，在上单调递减， 而外层函数为增函数，所以，函数在上单调递增，在上单调递增，A对，B错； 因为，即的图象关于直线对称，C对.故选：ACD. 16.（湖湘联盟）下列说法正确的是( )（多选） A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递增 C.函数的图象与轴有两个交点D.函数的值域为 【详解】在上单调递增，在上单调递增，故在区间上单调递增，A正确；定义域满足：，解得或，B错误； ，即，解得或，C正确； ，故，D正确.故选：ACD. 17.已知函数的值域是，则实数的最大值是___________. 【详解】当时，．因为的值域为，则当时，． 当时，，故在，上单调递增，，即， 解得，即的最大值为8．故答案为：8． 18．已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；若的值域为R，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】若的定义域为R则恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若的值域为R，则可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解. 【详解】因为的定义域为R，所以恒成立， ①若，则，解得，不满足题意； ②若，则. 综上所述，a的取值范围是. 若的值域为R，则可取遍所有正数， ①若，可取遍所有正数，满足题意； ②若，则. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】本题考查对数函数的定义域与值域、二次不等式恒成立问题、二次函数的图象与性质，属于中档题. 19.已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，要使已知函数的值域为， 需值域包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解. 【详解】解：∵函数的值域为， 令， 当时，，不合题意； 当时，，此时，满足题意； 当时，要使函数的值域为， 则函数的值域 包含， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：要使函数的值域为，需要作为真数的函数值域必须包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解. 20.已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果. 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. 21.已知集合，，. (1)计算； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】(1)由得，又函数在上单调递增， 则即，由，得，即， 则. (2)因为，当时，，即； 当时，由有即，综上，的取值范围是. 故答案为： 22.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域； （2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，结合可求得实数的值. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. （2）因为且， 则，因为，则函数为上的增函数， 故，可得，又，解得. 23．已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 24. (1)已知，求的取值范围； (2)以第(1)问求出的的取值范围为定义域，求函数的值域. 解析】(1)∵.∴，由于指数函数在上单调递增， ∴.因此，的取值范围是. (2)，由(1)得， ∴，令，则，其中， ∵函数的图象开口向下，且对称轴为直线，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴当时，取得最大值；当时，取得最小值.故函数的值域为. 25.已知函数的最大值与最小值分别为和. 求的取值范围； 【解析】， 令，则可以化为：，∵函数的最大值与最小值分别为和，而或时，；时，，又，∴，当时，，∴，解得：，∴的取值范围为； 26.已知函数(且). (1)若，求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的取值范围. .【解析】(1)由，解得或，故的定义域为. 令，该函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上为减函数，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，要使在上单调递增，则在上单调递增， 得解得. ②当时，要使在上单调递增，则在上单调递减，不成立. 综上，的取值范围为. 27.已知函数. (1)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围； (2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过，求实数的取值范围. 【解析】(1)由题意有：.所以.① 可得，即. 当时，方程的解为，代入①式，成立.当时，方程的解为，代入①式，成立. 当且时，方程的解为，.若为方程①的解，则，即； 若为方程①的解，则，即，要使方程①有且只有一个解，则. 综上所述，的取值范围为或. (2)在上单调递减，依题意有，.即， 所以，即，令，则，当时，， 当时，；综上，. 28.已知函数 （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数的值域为，求的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据定义域得出，对任意的都成立，由得出的取值范围； （2）函数的值域为，则函数的值域包含，利用，即可得出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为 ，对任意的都成立 则，解得 （2）若函数的值域为，则函数的值域包含 则，解得或 【点睛】本题主要考查了由函数的定义域和值域求参数的范围，涉及了一元二次不等式的应用，属于中档题. 题型05：对数函数的图像 （1） 判断对数函数图象的形状 （1）单函数图象识别 1.函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可. 【详解】的定义域为且， 因为，所以为奇函数，排除A，D， 当时，，B错误， 故选：C. 2.函数的图象可能是（    ）． A．B． C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质. 【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项； 函数有意义满足解得或， 当时函数无意义，排除B、C选项； 对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合， 又∵当与及时，函数单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D； 故选：D 3.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由已知得函数的定义域为， ∵    ， ∴为奇函数， 令，则， 其中   ， 故，排除, 令，， 其中，故，排除, 故选：. 4.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小． 【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 5.函数的图象可能是（    ）． A．B． C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质. 【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项； 函数有意义满足解得或， 当时函数无意义，排除B、C选项； 对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合， 又∵当与及时，函数单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D； 故选：D 6.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D. 【详解】函数定义域为， 则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C； 又，排除选项AB； 故选：D 7.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A. 【详解】由，可得，则定义域为， 则， ， 则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD； 又，则排除选项B，正确选项为A. 故选：A 8.已知函数则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数， 则函数为偶函数，故排除选项B，C； 因为， 当时，恒成立，所以恒成立， 且当时，， 所以当时，，故选项A正确，选项D错误， 故选：A． 9.函数满足（2），那么函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【解答】解：函数满足（2），可得． 函数关于对称，所以函数的图象为： 故选：． 10.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【解答】解：选：D． 11.函数的大致图象是　　 A. B. C. D. 【解答】解：函数的定义域为，，； 当时，，，当时，，故选：． （2）多函数图象识别 1.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为， （3）是，（4）是，又与关于轴对称， （1）是． 故选：B． 2.函数与的大致图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：因为在定义域上单调递减， 又，所以在定义域上单调递减， 故符合条件的只有A； 故选：A 3.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数， 故选：C. 4.已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合． 故选：AC 5.已知，函数与的图像可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】AB 【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案． 【详解】因为，即， 所以， 当时，则， 指数函数在上单调递减，且过点； 对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像， 则在上单调递减且过点，故A符合题意； 当时，， 同理可得，指数函数在上单调递增，且过点， 在上单调递增且过点，故B符合题意； 故选：AB． 6.函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案. 【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 7.当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】由定义域和，使用排除法可得. 【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确. 故选：B 8.在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可． 【详解】当时，函数在上单调递减； 函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误； 当时，函数在上单调递增； 函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误． 故选：A． 9.在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减， 又时，，A正确，B错误； 对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误. 故选：A. 10.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可. 【详解】，为定义域上的单调递增函数 ，故不成立； ，为定义域上的单调递增函数， ，故C和D不成立. 故选：B. 11.已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数与指数函数的图象和性质即可判断求解. 【详解】由得，，且，即， 进而得，或，． 当，时，两个函数都为增函数； 当，时，两个函数都为减函数， 故选：． 12.已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由（且，且）， 可得，则，则 则，又，则与互为反函数， 则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称 故选：B 13.函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案. 【详解】过原点，排除AC； 当时，单调递减，开口向下，排除D. 故选：B 14.在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于AB，若图象正确，则，单调递减， 又时，，A正确，B错误； 对于CD，若图象正确，则， 单调递增，CD错误.故选：A. 15.（多选）已知，且，则函数与的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合．故选：AC （二）利用对数函数图象变换识别图象 1.若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且的值域为，∴， 当时，在上是增函数． 又函数，所以为偶函数，图象关于y轴对称， 所以的大致图象应为选项A． 故选：A． 2.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案. 【详解】的定义域为， 因为，所以是偶函数， 当时，单调递增， 由此可判断出选A 故选：A 3.函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先做出的函数图像，经过逐步变换即可求解. 【详解】先画出的函数图像， 再向左平移1个单位长度， 再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像， 故选：B. 4.函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 5.函数的图像的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可 【详解】求可得或，解得或，排除BCD； 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题 （三）对数函数的恒过定点问题 1.函数（且）的图象恒过点 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 可得，所以函数恒过定点. 故答案为：. 2.函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的性质即可得解． 【详解】由于（且）， 则函数（且）恒过定点． 故选：D． 3.函数（且）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标. 【详解】当时，恒等于0，恒等于1， 故恒等于，所以的图象恒过的定点是. 故选：B 4.（多选）下列函数的图象过定点的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意，在每个选项中令， 选项A中，，故函数图象过点，A正确. 选项B中，，故函数图象不过定点，B错误. 选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误. 选项D中，，故函数图象过点，D正确.故选：AD. 5.已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 【答案】 【解析】由题意，函数恒过定点， 可得，解得，，所以． 6.已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，即，得，故， 由在直线上，得，即， 因为且，，所以且，， 所以. 当且仅当，即，即，时，等号成立. 故的最小值为. 7.函数（且）的图象必经过点 . 【答案】 【解析】对于函数（且）， 令且，则，， 故函数（且）的图象必经过点. 8.已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 则， 当且仅当，时，的最小值为，故选:A． 9.一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】对于函数，令，则该函数图象过定点， 将代入，得， 故， 当且仅当且，即时取等号. 10.函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以， , ,当且仅当，即等号成立 故选：B. 11.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即， 函数且的定点为， 即. 故选：D 12已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 则，（且）， 因为（且）过定点，所以的图象过定点. 故选：C 13.已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________. 【答案】1 【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案. 【详解】函数的图象经过定点 所以的图象也过定点， 即 则，所以 故答案为：1 14.已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为函数，恒过点， 所以， 代入直线的方程得，其中，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为: 15.已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】因为当时，，所以过定点， 由三角函数的定义可得，，， 所以， 故选：D （四）根据对数型函数图象判断参数的范围 1.已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得． 【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此． 故选：D． 2.已知，，函数的图象如图，则，的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1． 又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0． 故选：C． 3.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 4.已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小． 由图易得，；取特殊点， ，．选A． （五）对数函数图象应用 1.如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质判断 【详解】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 2.已知，，则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，，函数的定义域为， 而在上递增，又在上递增， 因此在上递增， 当时，有，，函数的图象在第三象限， 当时，有，，函数的图象在第二象限， 当时，有，，函数的图象在第一象限， 所以函数的图象不经过第四象限.故选：D 3.（多选）函数的图象一定过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 所以对数函数经过点，经过第一、四象限， 函数的图象就是把函数的图象向左平移2个单位， 所以函数的图象经过一二三象限.故选： ABC. 4.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 5.已知函数(，且)的图象如图所示，则，满足的关系是( ) A. B. C. D. 【详解】试题分析：函数是随着的增大而增大，也是随着的增大而增大，故选. 6.已知函数的图象经过点，若，则下列性质正确的有（ ）（多选） A. B. C. D. 【详解】因为的图象经过点，所以，即，解得， 所以，因为，，所以不成立，故A错误；因为，， 所以，故B正确；因为，所以，故C错误； 因为，， 而，所以由对数函数为减函数知，故D正确.故选：BD. 7.若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解. 【详解】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 8.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 9.设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证. 【详解】画出函数图象，如图，    因为，且，. 所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确. 故选：ABD 10.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 11.已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 12.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集． 【详解】由题意，不等式，即， 等价于在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式的解集为， 故选：B 13.已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点， 作出的图象与的图象，如下： 则当时，与有2个交点， 当时，与有且只有1个交点， 故BCD符合条件 故选：BCD 14.已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将看做整体，先求出对应的，再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解. 【详解】令，得或， 画出的大致图象． 设，由图可知， 当或时，有且仅有1个实根； 当或时，有2个实根； 当时，有3个实根． 则恰有4个不同的零点等价于 或或或 解得或． 故答案为： 15.已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围. 【详解】由得．根据函数的图象及， 得，，所以． 令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增， 所以．故， 故选：C. 16.已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 题型06：对数函数的单调性 （一）判断函数的单调性 1.下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案. 【详解】由且，故为偶函数，在上递减，A符合； 由的定义域为，故为非奇非偶函数，B不符合； 由定义域为，又，故为偶函数，在上递增，C不符合； 由的定义域为，，故为偶函数，在上递增，D不符合. 故选：A 2.已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间. 【详解】由得：，即的定义域为； ， 当时，；当时，； 的单调递增区间为. 故选：A. 3.数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得：，故函数的定义域是， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域内是单调递减函数， 根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是. 故选：D 4.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【详解】由有：，解得或， 根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有： 函数的单调递增区间为：，故A，B，D错误. 故选：C. 5.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】先由对数函数的性质求得其定义域，再由推得，从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为， ，得， 令，则， 根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间， 由二次函数的性质，的增区间为， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 6.下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案. 【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误； 对于B，在区间上是减函数，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在区间上是增函数，故D错误； 故选：B. 7.已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 【答案】A 【详解】由得：或，的定义域为； ，是奇函数； ， 在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可知：在上是增函数. 故选：A. （二）求对数型函数的单调区间 1.函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】函数， 所以定义域为，解得或 ， 令（或），则， 因为在上单调递增，而在定义域内为增函数， 所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为故答案为： 2.函数的严格增区间为 . 【答案】 【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解. 【详解】设，， 函数的定义域需满足，得， 根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数， 要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即， 综上可知，，即函数的严格增区间为. 故答案为： 3.函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，再由复合函数单调性求出单调递减区间即得. 【详解】在函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减. 故选：A 4.函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域和复合函数的单调性求单调区间即可. 【详解】由题意得，解得， 设，即求函数在中的减区间，即． 故选：C． 5.若幂函数过点，则函数的单调减区间是 . 【答案】 【分析】由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间. 【详解】解：∵幂函数过点，∴，即. 则函数. 由，解得：或. ∴函数的定义域为， 函数在上为减函数，而外函数为定义域内的增函数， ∴函数的单调减区间为. 故答案为：. 6.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为， 又函数， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 又函数在定义域上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和. 故选：C 7.函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数， 令，即，解得，即函数的定义域为， 令， 根据二次函数的性质，可得在单调递增，在上单调递减， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 即的递减区间为.故选：C. 8.函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由解析式，则，即定义域为， 又， 而在上递增，在上递减；在定义域上递增； 所以在上递增，上递减. 9.已知函数的单调递增区间是,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为函数在定义域内单调递减，函数的单调递增区间是, 所以由复合函数单调性的定义可得，解得， 所以， 所以，故选：C 10.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题设，令，而为增函数， ∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零， ，可得， ∴的取值范围是. 11.讨论函数的单调性． 【答案】递增区间为，递减区间为. 【解析】由函数， 设且，可得， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 又由函数在定义域内单调递减， 所以当，即上函数单调递增； 当，即上函数单调递减， 即函数的递增区间为，递减区间为. 12.求下列函数的单调区间： （1）． （2）． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再利用对数函数复合函数的单调性即可求解. （2）令，，再利用对数函数复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）令，则在上单调递减． 由得或， 而在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的单调增区间为，单调减区间为． （2）令，则它在上单调递减． 在上单调递增，在上单调递减． 由得，由得， 故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【点睛】本题考查了对数函数复合函数的单调性，注意在函数的定义域内求单调区间，属于基础题. 13.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为， 又函数， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 又函数在定义域上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和. 故选：C （三）比较对数式的大小 1.已知，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对互化，表示，再结合对数函数的单调性，和中间值比较大小，即可判断选项. 【详解】 ，由，即，故 ，可得，即 综上：. 故选：D. 2.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解. 【详解】 ， 对于指数函数 ，当 时， ， ， ； 故选：A. 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，用作商法比较的大小，由换底公式可得，从而得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 则； ， 因为，所以， 则有． 故选：C． 4.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且， ， 故. 故选：B. 5.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， ，， 又， 由于， 故， 综合可得， 故选：A 6.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答. 【详解】因为在上单调递增，于是，即， 令，则，所以在上单调递减， 所以，即， 取，则，所以，即， 所以. 故选：A 7.已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D. 【详解】令，则，，， 所以，B错误； （注意等号不成立），故，A正确； （注意等号不成立），则，C正确， 由，令且， 则， 由， 因为，故， 综上，，即在上单调递减， 所以，故恒成立，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可. 8.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，（，且）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，；当时，. 【分析】（1）（2）（3）构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小得解. 【详解】（1）函数在上单调递增，而，所以. （2）函数在上单调递减，而，所以. （3）函数（，且）， 当时，在上单调递减，而，所以； 当时，在上单调递增，而，所以. 9.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 10.，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据指数函数的性质，可得，， 由对数函数的性质，可得，所以. 故选：B. 11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得. 【详解】依题意，，，而， 所以. 故选：D 12.已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系. 【详解】， 故选：D 13.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性得，由指数函数的性质得，即可比较. 【详解】，， 又，所以，即. 故选：A. 14.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小. 【详解】，，， 且， 故. 故选：A 15.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性比较的大小关系，并判断c的范围，即可得答案. 【详解】由于， 且， 故， 故选：C 16.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 故选：A. 17.设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】又，故， 而，故，故， 故选：D. 18.已知函数，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小. 【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数， 而， 因为，所以，即， 因为在上为增函数，且，所以， ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A. 19.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，则，， 而，则.故选：D． 20.已知，，，则下列关系式中正确的（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,所以，，所以， ，所以，故，故选：A 21.已知，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以.故选：B 22.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意显然均大于0， 所以， 又因为在上单调递增，所以有， 所以，所以， 同理可得， 又因为在上单调递增，所以有， 所以，所以， 综上所述：.故选：A. 23.比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），. 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析 【解析】（1）因为函数在上为增函数，且，所以，. （2）因为函数在上为减函数，且，所以，. （3）当时，函数在上为减函数， 因为，所以，； 当时，函数在上为增函数， 因为，所以，. 综上所述，当时，；当时，. 24.若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，且， 所以，所以，故选：C. 25.设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，所以， 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以.故选：A. 26.（多选）已知，，，则下列不等式可能成立的为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项，若，则，，， 则，A正确； B选项，若，则，，， 则，B正确； CD选项，由定义域可知，，故成立时， 则必有， 此时， 由于，故在上单调递增，故， 又在R上单调递减，故， 故，即，所以，D错误， 下面比较与的大小， 不妨设，此时， 因为，所以，故， 故， 27．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将这三个数化为同底的对数，再根据单调性比较大小. 【详解】，， ， 因为是增函数，， 所以. 故选：D 28．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质判断三个数的范围即可得出它们的大小关系. 【详解】因为， 由对数函数的图象与性质知， ∴； ∵由对数函数的图象与性质知， ∴； ∵由指数函数的图象与性质知， ∴； ∴． 故选：A. 29．已知函数，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小. 【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，且在上为增函数， 而， 因为，所以，即， 因为在上为增函数，且，所以， ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A. 30．已知，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性、对数函数单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以有， 所以大小关系是. 故选：C. 31.比较的大小 【答案】 【分析】作差法结合对数运算法则、基本不等式放缩即可得解. 【详解】 ， ； ； . 32.已知，，.则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数、指数函数性质结合中间值0和1比较可得． 【详解】，，，所以． 故选：A． 33.已知，，，则，，的大小为( ) A. B. C. D. 【详解】解： ，因为，故选：B. 34.若，则下列结论中正确的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【详解】对于A，由，两边同乘以正数即可得到，故正确； 对于B，由知，故由对数函数的调性可得，故错误； 对于C，由知，所以，故正确； 对于D，取，此时，故错误.故选：AC. 35.设，，则( )（多选） A. B. C. D. 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：.，，， ,即，又，即，故选B. 36.已知函数. (1)证明：. (2)比较，，的大小，并说明理由. 【详解】（1）证明：由已知得，因为 （显然成立），当且仅当时取得等号.所以. （2）由（1）知，，不妨令，且，则 故可得：，因为当时，，且故由基本不等式可得： 综上所述，故可得： 即，两边平方得： 由换底公式可得：.所以. 又，因为，所以， 满足，则成立，C正确；故选：ABC （四）解不等式 1.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解. 【详解】解：由题意得， ， 故选：D. 2.“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件. 故选：C. 3.已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 4.已知函数则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分、和，依次解不等式，再取并集即可. 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，易知，解得； 当时，不等式为，解得； 综上，解集为：. 故答案为：. 5.已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵在时，有，，∴． 于是由，得得， ∴原不等式的集为．故选：D． 6.已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上递减，， 所以，解得，即的取值范围是．故选：A． 7.若.如何求x的取值范围. 【答案】 【解析】不等式可化为，， 又在上是增函数， 故解得 故x的取值范围是 8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 . 【答案】 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以当时，， 所以， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 9.不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题设， 则，即，可得. 10.不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得， 即原不等式的解集为. 11.已知对数函数，且，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【详解】因为， 当时，则有，无解；当时，则有，解得：， 所以，则对数函数在上单调递增， 又关于x的不等式，所以，解得：， 所以关于x的不等式的解集为， 故答案为：. 12.不等式的解集 . 【答案】 【分析】根据对数不等式的解法求得正确答案. 【详解】， 故原不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可. 【详解】由题设， 则，即，可得. 故答案为： 14.已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域可得，将代入，结合对数函数单调性运算求解. 【详解】令，解得，可知的定义域为， 可得，解得， 关于不等式，即， 整理得，且在定义域内单调递增， 则，结合，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 15.若函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解. 【详解】因为，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 16.已知，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，即，即， 又，即，故，即， 当时，由，无解， 综上，实数a的取值范围是． 故选:A． 17．若，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】取特殊值结合对数函数的单调性判定充分性及必要性即可. 【详解】对于充分性：取，，则，， 所以“”不是“”的充分条件； 对于必要性：当时，，所以，即， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 18．设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数图象，由指数函数与对数函数的性质求解． 【详解】作出函数图象如图所示， 令得：；令得：， 由图可得：不等式的解集为， 故答案为：. 19.（1）求满足不等式log3x<1的x的取值集合； （2）若 (a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|0<x<3}；（2）． 【解析】（1）根据对数函数单调性求得不等式的解集. （2）对分成和两种情况进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）因为log3x<1＝log33， 所以x满足的条件为，即0<x<3. 所以x的取值集合为{x|0<x<3}． （2），即. 当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数， 所以总成立； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数， 由，得. 所以实数a的取值范围为． 【点睛】本小题主要考查对数函数的单调性，考查对数不等式的解法. 20.解关于a的不等式：． 【答案】 【分析】讨论和两种情况，由对数函数的定义域及单调性计算即可得解. 【详解】, 或， 或， 所以不等式的解集为：. 21.已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可； （2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件． 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点. ，所以，即； （2）因为单调递增，所以， 即不等式的解集是． 22.已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式； (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围． 【详解】(1)，解得，故函数的解析式 (2) 即，解得或 故实数m的取值范围是 （五）由函数的单调性求参数 1.已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围. 【详解】已知在上是严格减函数， 由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有， 又函数在上最小值，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 2.设函数且在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为且，所以的定义域为， 当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数， 因为当时，由对勾函数可得的单调递增区间为，所以，解得； 当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 因为当时，由对勾函数可得的单调递减区间为，所以，解得，与相矛盾，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 3.已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性及定义域可求解. 【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知： 函数在上单调递增且在上恒成立， 则有，解得，则a的取值范围为. 故选：D 4.已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．（－2，4] B．[－2，4） C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】函数在区间上单调递减，要使得函数在区间上单调递 减，则在区间上单调递增，对称轴为，则 . 故选：A 5.设函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，得，即函数的定义域为， 令， 由函数的对称轴为：，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以当函数在上单调递增时， 所以根据复合函数的单调性可知：，解得，故选：D. 6.若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，解得或. 所以函数的定义域为. 令，函数的对称轴为，且开口向上， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由外层函数是其定义域内单调递增， 所以要使函数在上单调， 则或，解得或， 则实数的取值范围是.故选：D． 7.已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：令，因为在定义域上单调递减， 又在区间上是减函数， 所以在上单调递增且恒大于零， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 8.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性求出的单调递增区间，然后由集合的包含关系列不等式组即可求解. 【详解】由可得，解得， 函数是由和复合而成， 又对称轴为，开口向下， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 因为为减函数， 所以的单调增区间为， 因为在区间内单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 9.已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数， 都满足不等式，所以在区间上单调递增. 在上递减； 的开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 10.若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解不等式组可求得答案 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得， 故选：B 11.已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】∵函数在R上单调递增， ∴， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 12.已知是，上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用复合函数的单调性，根据是，上的减函数求解. 【详解】令， 因为， 所以在R上是减函数， 在，上是减函数， 则在上是增函数， 所以，解得， 故选：B 13.若函数在上单调递增，则求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性结合二次函数、对数函数的性质，分类讨论即可求出结果. 【详解】函数是由和复合而成， 当时单调递增， 若函数在上单调递增， 则在上单调递增，且对于恒成立， 的对称轴为 所以， 解得：， 当时单调递减， 若函数在上单调递增， 则在上单调递减，且对于恒成立， 的对称轴为 所以， 解得：， 综上所述：a的取值范围是， 14若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围． 【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 要使函数在上单调， ，或，解得，或，即， 故选：． 15.若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】由得，在R上是减函数， 则有，解得. 故选：D. 16.“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得答案. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 17.已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，为增函数，当时，若单调递减，则，解方程即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增， ，所以在上单调递增， 而，即，解得， 所以当时，在上为增函数， 当时，， 若单调递减，则，无解. 故. 故选：A. 18.已知是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】AC 【详解】解：因为是R上的单调递增函数， 所以，解得，即， 故选项A正确，选项D错误； 因为，且， 所以选项B错误，选项C正确. 故选：AC 题型07：对数函数的奇偶性 （一）判断函数的奇偶性 1、已知，则的奇偶性为 . 【答案】奇函数 【解析】函数的定义域为， 则， 所以函数是奇函数. 2.函数的单调性为 ；奇偶性为 ． 【答案】 严格增 奇函数 【解析】在时严格单调递增， 在时，严格单调递增，且，而在是严格单调递增， 所以在时严格单调递增， 又时，，所以函数在上是严格增函数， 易知， 时，，， 时，，， 所以对定义域内任意的都有，因此是奇函数， 3.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）偶函数；（5）奇函数 【解析】（1）由对数函数定义可知需满足，解得； 即函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数； （2）由对数函数定义可知需满足，解得，所以， 即函数的定义域为， 显然定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数； （3）由对数函数定义可知需满足，解得， 即函数的定义域为，显然关于原点对称， 且易知，满足； 所以函数为奇函数. （4）对于函数可得对于恒成立， 即函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足； 所以函数为偶函数； （5）对于函数可知对于恒成立， 即函数的定义域为，关于原点对称， 且 ， 满足； 所以函数为奇函数. 4.已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性. 【答案】（1）；（2）偶函数 【解析】（1）要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域为. （2）由（1）可知，函数的定义域为，关于原点对称. 对任意，则. 因为， 所以由函数奇偶性可知，函数为偶函数. 5.已知函数（且）的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）,；（2）奇函数 【解析】（1）已知函数（且）的图象过点，∴，即. 又，即,解得. ∴的定义域为. （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知：， 的定义域为，定义域关于原点对称， 又，即，∴为奇函数. 6.已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 【答案】(1) ，是奇函数 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可； （2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案. 【详解】（1）解：令，解得，所以. 对任意，， 所以函数是奇函数. （2）解：设，且，则. 因为，，， 所以，得. 又，于是，即， 所以函数在上是严格增函数. （3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数. 因为时，的值域是， 所以且在上的值域是， 因为在上单调递减， 所以，且， 所以，由，得，解得或（舍去）， 所以，. （二）已知函数奇偶性求值 1．函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数， 所以， 又，且当时，， 所以， 故答案为：. 2.设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______. 【答案】 【分析】根据题意推得，结合题意和，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以. 故答案为： 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而， 于是，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 4.已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】16 【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】由函数， 设，则的定义域为， ， 则，所以是奇函数， 则， 又因为正实数满足， 所以， ， 当且仅当时取到等号. 故答案为：16. 5.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和. 【详解】已知， ， 则，函数在定义域内为非奇非偶函数， 令，则 则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为， 则的最大值为，最小值为 所以， 故选：C. （三）由函数的奇偶性求解析式 1.已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________． 【答案】1 【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式，通过求导求出的单调性即可求出答案. 【详解】，，所以， 又因为是奇函数，所以， 所以当，，， 令，所以， 则在上单调递减，在上单调递增，所以. 所以当时，的最小值为1. 故答案为：1. 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________. 【答案】 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以当时，， 所以， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 3.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________. 【答案】 【分析】由已知求得时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案. 【详解】解：设，则， 又为奇函数，∴， 则，∴， 又， ∴曲线在点处的切线方程是， 即切线方程是. 故答案为：. （四）已知函数的奇偶性求参数 1.若函数是R上的奇函数，则a的值为_____． 【答案】． 【解析】由奇函数的定义求解． 【详解】∵是奇函数，∴， 恒成立，∴， 时，的定义域均为，满足题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键． 2.已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值. 【详解】对于函数，，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，即， 即，解得. 故答案为：. 3.已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________. 【答案】 【分析】根据对数运算法则化简解析式，确定函数定义域，求解，根据奇函数得，即可求得的值. 【详解】解：函数的定义域满足，解得或，即定义域为， 所以， 因为是奇函数，所以，则， 则； 故答案为：. 4.若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解. 【详解】若是奇函数，可得， 则 ， 可得，解得，所以. 故选：A. 5.已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答. 【详解】因为函数（a，且）是偶函数， 则函数对定义域内任意实数恒有成立， 即，整理得， ，显然不恒为0，因此恒成立， 而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，， 此时，其定义域为且， ，即函数是偶函数，所以，. 故答案为：； 6.若函数是偶函数，则_______，____. 【答案】 【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性，即可得出.求出并化简可得，根据偶函数的性质，即可得出恒等式，即可得出. 【详解】由可得. 当，即时，该不等式解集为. 因为函数是偶函数， 则由偶函数的性质，可得定义域关于原点对称，所以，所以， 定义域为； 当，即时，该不等式解集为，不满足题意，舍去； 当，即时，该不等式解集为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，舍去. 综上所述，. 所以. 又， 由可知，， 所以有. 因为，所以，所以. 故答案为：；. 7.已知函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】1或 【分析】由题意可得，求出，检验即可. 【详解】由题意知，定义域为， 函数是奇函数，则， 即，化解得，解得或， 经检验，或都符合要求. 故答案为：1或. 8.若为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，由奇函数的性质得出可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数即可. 【详解】因为， 当时，则，则函数的定义域为， 此时函数为非奇非偶函数，不合乎题意，所以，， 由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，所以，，解得， 则， 由奇函数的性质可得，解得， 此时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 合乎题意，故. 故答案为：. 9.已知函数为偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用偶函数定义即可求出的值. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则有，即， 变形可得， 必有； 故答案为：. 10.“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】为奇函数， 此式子对于定义域内的任意皆成立，必有 则 故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确. 故选： 11.已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义求出a，再根据给定的单调性确定作答. 【详解】因为函数为R上的奇函数，则，， 即有恒成立， 因此对任意实数x恒成立，于是，解得， 当时，，函数与在上单调递增， 则函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，于是奇函数在上单调递增，即在R上单调递增，不符合题意， 当时，，因此函数在R上单调递减，符合题意， 所以实数a的值为1. 故答案为：1 12.函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 . 【答案】1 【分析】根据函数的奇偶性判断周期性，带入解析式计算求函数值即可. 【详解】由题意可得， 故的一个正周期为4，即， 故答案为：1 13.已知函数为奇函数，，若当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案. 【详解】所以， 所以是周期为的周期函数， 又函数为奇函数，当时，， 所以，即，可得， 则． 故答案为： 14.函数为偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义求解． 【详解】时，，是偶函数， ∴， 故答案为：． （五）函数的奇偶性与单调性的综合 1.已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义域为的偶函数，则， ， 函数在区间上单调递增，于是得：，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 2.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解. 【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称， 由得，故 为偶函数， 当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得, 故选：C 3.已知函数，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，利用偶函数的性质以及可得出，利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，对任意的，， 所以，函数为偶函数， 当时，，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，，则，所以，，解得. 故答案为：. 4.若函数为奇函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】由题意，求出的值，根据函数单调性的性质判断的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数， 所以，易知为R上的增函数， 所以不等式等价于， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 5.设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于， 等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围. 【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称， 由题设，因为在上单调递减， 所以等价于， 因此不等式等价于， 即 ，即 且 ， 解得取值范围为. 故答案为： 题型08：反函数 1．的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为. 故选：B. 2．已知函数与函数互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数的定义得出，即可计算得出. 【详解】因为，所以其反函数为，即， 所以， 故选：D. 3．下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据反函数的定义即可判断各选项. 【详解】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x. 对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错； 对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错； 对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错； 对于D，满足反函数的定义，D对. 故选：D 4．函数的反函数过点，则 . 【答案】3 【分析】代入计算求出，根据指数函数对数的关系则得到，则求出的值. 【详解】∵过点，∴， ∴（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知. ∴. 故答案为：3. 5．若函数是函数的反函数，则的值为 . 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得结果. 【详解】因为函数是函数的反函数，则， 所以. 故答案为：. 6．已知函数为的反函数，则 ． 【答案】16 【分析】利用反函数的定义写出即可求解 【详解】因为函数为的反函数，所以 所以 故答案为：16 7．写出下列对数函数的反函数（用x表示自变量，用y表示函数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据函数的反函数的定义及求法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为； （2）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为； （3）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为； 8.函数的反函数为，则___________. 【答案】 【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解. 【详解】设，则点在函数的图象上， 所以，，解得，因此，. 故答案为：. 9.若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________． 【答案】1 【分析】由题意可知函数图像过的点，把点代入函数解析式，可求实数m的值. 【详解】函数的反函数的图像过点，所以函数图像过点，则，解得． 故答案为：1 10.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________. 【答案】 【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间. 【详解】因为与互为反函数， 所以在定义域上为增函数， 又，在上递减，上递增， 综上，在上为减函数. 故答案为：. 11.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，所以. 故选：A. 12.函数的反函数过点，则 . 【答案】3 【分析】代入计算求出，根据指数函数对数的关系则得到，则求出的值. 【详解】∵过点，∴， ∴（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知. ∴. 故答案为：3. 13．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解. 【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则， 定义域为，且在上单调递减， 令，由，得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故答案为：（也正确）. 题型09：对数函数综合 1.已知函数，则（    ） A．在单调递减，在单调递增 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最小值，但无最大值 【答案】C 【解析】由题意可得函数的定义域为， 则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误； 由于，故的图像关于直线对称，C正确； 因为在时取得最大值，且在上单调递增， 故有最大值，但无最小值，D错误， 故选：C 2.已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。 【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确； ，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误； 因为在上单调递减，所以D错误． 故选：AB. 3.函数，则（    ） A．f(x)的定义域为R B．值域为 C．为偶函数 D．在区间上是增函数 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于函数， 由于恒成立，所以的定义域为，A选项正确. ， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，B选项错误. 由于，所以为偶函数，C选项正确. 对于函数， 任取， ， 由于，所以， 所以在区间上递增. 当时，令，则在区间上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D选项正确. 故选：ACD 4.已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______. 【答案】2 【分析】设数列公比为q，由题有，后由对数运算性质及等比数列通项公式可得答案. 【详解】设数列公比为q，则，则 . 故答案为：2 5.已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．2023 【答案】A 【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案. 【详解】因为，即. 当时，，即； 当时，， 所以， 所以. 又， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 6.已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】-10 【分析】令，根据奇函数的定义判断为奇函数，则关于中心对称，即关于中心对称，根据对称性得出结果. 【详解】解：令，则，所以为奇函数，则关于中心对称，所以关于中心对称，则. 故答案为： 7.已知函数(，且). （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间. 【答案】（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数. 【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由求解. （2）利用函数奇偶性的定义判断，设，则在和上均为减函数，再分，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】（1）∵(且)， ∴，即， 解得或， 故函数的定义域， （2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称， ∵， ∴函数为奇函数， 设，则， 因为函数u在和上均为减函数， 当时，函数在为增函数， 所以函数在，上为减函数， 当时，函数在为减函数， 故函数在，上为增函数. 【点睛】方法点睛：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数． 8．已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或 【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性； （2），则，利用复合函数的单调性判断； （3）利用函数单调性解不等式即可． 【详解】解：（1）由得，或， 又， 故函数是奇函数； （2）令，其在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增， 又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增， 所以函数的单调增区间为，； （3），且函数在上单调递增得， 解得或． 9.已知函数. (1)求函数的值域； (2)若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合； (3)若，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，换元后结合二次函数知识可得值域； （2）先求出的解（用换元法），，这样问题转化为或恰有三个解，结合二次函数性质得方程有两个等根．由此可得的值； （3）设，转化为方程的两根满足，根据韦达定理得到关于的关系式，即可求得的范围. 【详解】（1）易知的定义域为，设， 则， 所以的值域为； （2）设，由（1）可知，， 令，解得， 所以或，解得或， 因为恰有三个解，所以或恰有三个解， 即恰有一解，所以，解得， 所以的取值集合为； （3）设，，因为，所以，即， 则的两根为， 整理得， ， 所以，， 若，则成立； 若，则； 又，所以，即； 则， 所以 综上可得， 【点睛】本题考察了函数中常用的换元法，转化法与化归思想，属于难题. 10.已知（，且）. (1)求函数的定义域； (2)当（其中，且为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由； (3)当时，求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析 (3) 【详解】（1）由可得或， 解得，即函数的定义域为. （2）设，则， ∵，∴，，∴， ①当时，则在上是减函数，又， ∴时，有最小值，且最小值为； ②当时，，则在上是增函数，又， ∴时，无最小值. （3）由于的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. 由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于， 即有，解得， 所以x的取值范围是. 11.已知函数，则（    ） A．图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递减 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】函数的定义域为：， ， 内层函数为二次函数，其对称轴为直线， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 当时，为增函数，当时，为减函数， 所以当时，有最大值，故B正确. 故选：AB. 12.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．的值域为 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可. 【详解】对于选项,函数的定义域为，解得， 即的定义域为，所以正确； 对于选项,，即为奇函数，所以正确； 对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数， 所以不正确； 对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确； 故选：. 13.已知函数（，且）的图象过定点. (1)求的坐标； (2)若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，则，所以的坐标为. （2）当时，，当时，. 当时，在上单调递增，则，得. 当时，在上单调递减，恒成立. 故的取值范围为. 14.已知函数（且）． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由对数函数性质转化不等式，再进行分离参数，转化为利用单调性求函数的最值，从而得参数范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立． 即， 则，即． 又因为，所以，故． （2）因为，所以． 由，得到， 又，故只需要，即对任意恒成立． 因为，所以，故对任意的恒成立． 因为在为减函数，所以，故． 综上所述，． 15.已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数得定义与性质求解即可； （2）先判断出函数的单调性，由函数为奇函数可得不等式，即为不等式，再根据函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数为偶函数，不合题意， 当时，，函数为奇函数，符合题意， 由上知； （2）由（1）得为上的增函数，且是奇函数， 由，得，即， 所以，即，所以， 即实数的取值范围. 16.已知函数的定义域为R，为偶函数，对任意当时，单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据为偶函数确定函数的对称轴，结合单调性解抽象不等式即可. 【详解】由函数的定义域为R，为偶函数， 所以，所以关于对称， 又当时，单调递增，， 所以，即， 当时，即时，，即，解集为空集， 当时，即，，即，解得，解得， 综上所述，不等式的解集为：， 故答案为: . 17.已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数性质可知在上单调递增，并化简不等式为，由单调性可得，解对数不等式即可求得结果. 【详解】因为为上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在上单调递增； 因为， 所以， 即， 所以，即或， 解得：或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 18.已知函数，且. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若，求函数在区间上的最大值 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 由题得，解得， 故函数的定义域为，关于原点对称； ， 所以函数为奇函数. （2）由，函数为增函数，所以： 函数为增函数，函数为减函数（同增异减）， 所以函数为增函数，函数在区间上单调递增， 最大值为. 19.已知函数是奇函数． (1)求的值． (2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是奇函数． （2）若时，即时， 是奇函数又是增函数， 且，可得， ，即 的取值范围是. 20.已知函数是奇函数． (1)求的值． (2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是奇函数． （2）若时，即时， 是奇函数又是增函数， 且，可得， ，即 的取值范围是. 21.已知函数（且）在上的 最大值为.(1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 22.已知函数，其中. (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若函数的最小值为，求的值. 【详解】（1）∵且，∴函数的定义域为， ，所以为偶函数. （2），（），∵，∴取得最大时取得最小值. 时，取得最大值，∴，∴. 23.已知函数是偶函数，且当时，(，且). (1)求当时的的解析式； (2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围. (注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 【解答】解：(1)当时，，又是偶函数，即， 即，； (2)，此时的取值范围是， 选条件②的解析：若，则，显然不合要求， 当时，，而与都是偶函数，则只需考虑即可， 此时是单调递减的，而是单调递增的，则， 此时的取值范围是. 24.已知函数是奇函数. (1)求的值，判断的单调性并用定义证明之； (2)解不等式：. 【解答】解：(1)显然函数的定义域是，据题意有，得，即 此时满足题意 ，由此可判断出是上的递增函数 以下用定义证明：，且，则 所以 即，故是上的递增函数. (2)由得或 即：或或或 即解集为 25.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围. 【详解】（1），解得， 的定义域为，其定义域关于原点对称. 又， 故为定义域内的奇函数. （2）函数都是上的减函数， 是定义域内的减函数. ，且为定义在的奇函数， 且， 原问题等价于不等式在有解， 而， 令，则， 令，可知，则， 构造函数 根据对勾函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增， 由，可得，所以， 所以在上有解， 注意到当时，，因此在有解. 取，则，从而. 因此在上有解. 根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增， 所以， 所以，即. 题型10：对数函数的实际应用 1.首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，） A．存款金额的首位数字是1的概率约为 B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7% C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率 D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7% 【答案】D 【详解】因此存款金额用十进制计算，故， 对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误. 对于B，存款金额的首位数字是5的概率为 ， 故不约为9.7%，故B错误. 对于C，存款金额的首位数字是6的概率为， 存款金额的首位数字是7的概率为， 因为，故，故C错误. 对于D，存款金额的首位数字是8的概率为， 存款金额的首位数字是9的概率为， 故存款金额的首位数字是8或9的概率为， 故D正确. 故选：D. 2.在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（    ） A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到. B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002. D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍. 【答案】D 【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断. 【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误； 对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误； 对于C，240对应的听觉下限阈值为20，， 令，此时，故C错误； 对于D，1000的听觉下限阈值为0， 令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确. 故选：D. 3.我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（    ） A．100 B．115 C．230 D．345 【答案】B 【分析】根据指数与对数的联系计算即可. 【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即． 故选：B 4.某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（    ） A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h 【答案】D 【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】依题意，，则， 设过滤的污染物需要的时间为，则，因此， 所以. 故选：D 5.2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 【答案】B 【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为， 当时，，代入得，，解得， 由学习率衰减到以下（不含），得 ， ， ， ， 因为， 所以，故G取74， 故选：B． 6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】C 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍， 故选：C． 7.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) 【答案】6 【详解】设为第n次操作去掉的区间长度和，，第1次操作后剩下两个长度为的闭区间， 则第2次操作去掉的区间长度和，第2次操作后剩下4个长度为的闭区间， 则第3次操作去掉的区间长度和，如此下去， 第次操作后剩下个长度为的闭区间，则第n次操作去掉的区间长度和， 显然，数列是等比数列，首项，公式，其前n项和， 由得：，，而，则， 所以需要操作的次数n的最小值为6. 故答案为：6 8.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得. 【详解】根据题意，将，代入可得； 将，代入可得； 所以可知. 故选：D 9.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2023年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2023年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ． 【答案】4.3/ 【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案. 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则. 由已知可得. 所以，. 故答案为：． 10.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可. 【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则， 而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为， 于是，，两式相减得，解得， 所以火箭发射时的声压约为. 故选：D 11.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 . 【答案】 【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案. 【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米， 乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米， 则，， 两式相减得， 甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米． 故答案为：. 12.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过___________小时才能驾驶.(注：不足小时，按小时计算，如计算结果为，就答小时.) 参考数据：取，，，. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即，由于在定义域上单调递减，∴，∴他至少经过小时才能驾驶. 13.省环保研究所对市中心每天污水污染指数情况进行调查研究后，发现每一天中污水污染指数与时刻(时)的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且. (1)若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； (2)省政府规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 【解析】(1)因为，则. 当时，，得，即. 所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低. (2)设，则当时，.设，， 则，显然在上是减函数，在上是增函数， 则，因为，，则有， 解得，又，故调节参数应控制在内. 14.年月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界的耕地，养活了全世界的人口.目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在千克以上，远高于国际公认的千克粮食安全线.雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究.根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①(其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人).根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为万和万.该小组同学根据这两个数据，以年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型. (1)请求出该小组同学①式的人口增长模型； (2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国年末至年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为(其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨).表示从年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人. (i)求满足的正整数的最小值； (ii)按此模型，我国年人均粮食占有量能达到千克吗？试说明理由. 参考数据：，，，. 【详解】（1）由题意可得，则，， 所以，所以， 所以． （2）①由，得，所以， 化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24， ②由①当时，，所以当时，最大， ，即， 所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克． 15.国家质量监督检验检疫局于年月日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阙值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升、小于毫克/百毫升的行为为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下，该函数模型如下，. 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算) (参考数据：，，) 【解析】(1)由图可知，当函数取得最大值时，，此时. 当时，即时，函数取得最大值为， 故喝一瓶啤酒后小时血液中的酒精达到最大值，最大值是毫克/百毫升； (2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于毫克/百毫升可以驾车，此时， 由，得，两边取自然对数得， 即，∴，故喝一瓶啤酒后小时才可以驾车. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$