第07讲 函数的对称性（19题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第07讲 函数的对称性 一．函数的对称性 （一）．函数自身的对称性结论 对称轴： 定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。 推论： （1）.若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。 （2）. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。 （3）．函数 y = f (x)的图像关于y轴对称即偶函数的充要条件是f (x) = f (－x) （4）.若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。 （5）.函数是偶函数关于对称。 注意：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程 对称中心：定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），函数的图象关于点对称。 推论: （1）则函数的图象关于点对称 （2）若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。 (3)函数的图象关于点对称。 (4)函数的图象关于原点对称（奇函数）。 (5)函数是奇函数关于点 对称。 (6)函数的图像关于原点对称即奇函数的充要条件是f(x)+f(－x)=0 注意：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 （二）不同函数的对称性结论 对称轴 定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论 （1）.函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 （２）.函数与函数的图象关于直线对称 （３）. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 中心对称 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论 （1）. 函数与函数图象关于点对称。 （２）.函数的图象关于点对称的解析式为 （３）. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 （４）.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。　 ３.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 ４、曲线与关于直线对称。 ５、曲线关于直线对称曲线为。 ６、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ７、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 ８、曲线关于点对称曲线为。 二．三角函数图像的对称性 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2 y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无 注：上表中k∈Z 三、函数对称性与周期性的关系 1.若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期． 2.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周 3.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1.如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 2.如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 3.如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 4.如果偶函数的图像关于（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 五、特殊函数对称中心 1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为. 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）. 六．常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1）对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2）对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数 （3）对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4）对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要） （5）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要） （6）对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为或 补充：对于对数函数，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 6、三角函数： 三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例 （7）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： （8）对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （9）对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型 （10）对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式 ①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。 ②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到。 ④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。 抽象函数满足条件 代表函数 1 （） 2 （） 3 （） 4 5 6 7 8 或 七．抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 八、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 九：已知定义在D上的函数，为的导函数 1、若关于对称，则关于对称 【简证】因关于对称，所以， 同时求导得，故关于对称 2、若关于对称，则关于对称（证明同上） 3、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 即： 设：，则 所以，(c为常数)， 所以 即∀ 所以的图象关于点对称． 4、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 设：，则 所以，(c为常数)，又 所以，的图象关于对称． 注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数 题型01：对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 1.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型02：判断或证明函数的对称性 1.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．，方程都有两个不等的实根 D．不等式恒成立 2.若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 3.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．有最小值 题型03：由平移前后关系得出原函数对称性 若已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称，是奇函数关于对称 举个例子： 若是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 1.定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型04：由函数对称性求函数值或参数 1.函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ． 2.已知是上的奇函数，当时，，则 ． 3.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4.已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 题型05：对称性求解析式 1．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 2.若函数与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 3.已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 4.下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 5.函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 6.（多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7.设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 8.若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 9.若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 10.已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 11.函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 12.若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 13.已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 14.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 15.已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数满足，且以点为对称中心，写出一个符合条件的函数 ． 17.已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为2 D．当时， 18.已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论不正确的是（    ） A．函数是周期为4的周期函数 B． C．当时， D．不等式的解集为 题型06：由对称性研究函数的单调性 1.已知函数为偶函数，且当时，若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 3.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 题型07：函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题 1.单调性与对称性的结合 1.已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．【多选】若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（    ） A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2) C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3 3．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.单调性、奇偶性与周期性结合 1.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 2.定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，，， 则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3.奇偶性、周期性与对称性结合 1.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．无法确定 2.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） ①函数的图象关于直线对称        ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4                      ④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3.函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4.定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 5.【多选】已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ） A．图象关于直线对称 B． C．的最小正周期为4 D．对任意都有 6.已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2022）＝－1 7．【多选】已知函数， 满足，又的图像关于点对称，且，则（    ） A． B． C．关于点对称 D．关于点对称 4，单调性、奇偶性与对称性结合 1.已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为 A． B． C． D． 2.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的偶函数，为区间上的任意两个不相等的实数，且满足，，则的大小关系为 A． B． C． D． 5.单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合 1.已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则的从小到大的顺序为________. 2.已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的，都有； ②对于任意的，且，都有 ③函数的图象关于y轴对称. 则从小到大的关系是_____ 2.定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心 4.已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 5.（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 6.已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.已知定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，（其中为待定常数），则 . 8.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 9.函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 . 10.设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是 . 11.已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为 12.设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ． 13.已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 14.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 15，已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 16.已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ． 17.我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ． 6.综合利用函数性质比较大小 1.定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 3.定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 4.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 7.利用周期性与对称性解不等式 1．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，满足对任意，都有，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 5．（多）已知函数的定义域为R，是偶函数，函数在上单调递增，则（    ） A． B．在上单调递增 C．若，则 D．若，则 6．（多）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数 C．为的最大值 D． 7．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 8．已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是 . 9．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为 ． 10．已知函数，对于，都有成立，且任取，，若 ，则的取值范围是 . 11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为 12．已知.当时,为增函数.设,试确定a,b,c的大小关系. 8.题型：新定义题（解答题） 1．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 题型08：由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 已知奇函数，，则 （1） （2） 1.已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 2.是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 3.函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 4.已知函数，且，则 ． 5.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 6.设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 8.函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 9.已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 10.已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 11.已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 题型09：由中心对称求出函数中间值 已知奇函数，，则 （1） （2） 1.是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 2.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 3.函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 4.已知函数，且，则 ． 5.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 6.函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 7.已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 8.已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 9.已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 题型10：由对称性求交点坐标的和 一、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 2、 若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 1.定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 2.已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 3.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 4.（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 5.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 6.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 7.已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 8.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 9.定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．6 B．12 C．14 D．10 10.已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11.定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 12.（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 13.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 14.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 15.定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 16.又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 17.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 18.定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 题型11：由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 2、 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 1.已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 2.已知函数的图象关于对称，且对，，当时，成立，若对任意的恒成立，则a的可取值为( ) A． B．-1 C．1 D. 3.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 4.已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型12：由解析式看出对称性 1.已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 2.已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 3.（多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递减 D．若实数a，b满足，则 4.函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 5.已知函数，若，则 ． 6.已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 7.若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 8.己知函数，则 __________. 9.若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 10.函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 12.定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 14.已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 题型13：由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 1.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在R上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是________ 5.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 . 6.已知函数，则不等式的解集为 . 7.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数在R上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是________ 10.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 . 11.已知函数，则不等式的解集为 . 12.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型14：由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 1.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则的解集为 ． 3.已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4.已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 6.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 7.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9.已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 11.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 题型15：与对称性有关的材料题 1.（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 3.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 4.（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 6.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 题型16：由条件不等式构造新函数解不等式 通过构造新函数来解决问题 常见的构造函数模型 （1） （2） （3） 1.若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 6.已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 8.（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（    ） A．8是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 9.定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 . 10.（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型17：两个函数混合型 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 1.（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 2.已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（    ） A．0 B．4 C．2023 D．2024 3.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 5.已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 6.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 8.已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 9.（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 10.(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 11.已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 12.已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 13.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 14.已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 15.(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 题型18：涉及导函数对称性问题 已知定义在D上的函数，为的导函数 1、若关于对称，则关于对称 【简证】因关于对称，所以， 同时求导得，故关于对称 2、若关于对称，则关于对称（证明同上） 3、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 即： 设：，则 所以，(c为常数)， 所以 即∀ 所以的图象关于点对称． 4、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 设：，则 所以，(c为常数)，又 所以，的图象关于对称． 注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数 1.已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，`满足，则 . 2.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ） A．3 B． C．1 D． 3.（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 6.已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．是周期函数 D． 7.已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（    ） A．关于对称 B．关于点对称 C． D． 8.已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 9.已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．（） 10.已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（    ） A．0 B． C．2 D． 11（多选题）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 12.已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 13.(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称． C． D． 14.（多选）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（    ） A．都是的周期 B．曲线关于点对称 C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数 题型19：两个函数混合且涉及导数 找出一个函数的对称性或周期之后，可以从图像平移变换的角度来得出另一个函数的对称性或周期 1.已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 2.（多选）已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称 C． D．是偶函数 3.已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．8是函数的一个周期 C． D． 4.（多选）已知定义在上的函数，其导函数分别为,,，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 5.（多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． 6.（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B． C． D． 7.（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称 C． D． 8.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．函数的图象关于点对称 C．点（其中）是函数的对称中心 D． 9.(多选)已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 10.已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 巩固基础 一、单选题 1．已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 3．已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 4．已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知定义域为R的函数满足：，，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．是奇函数 6．设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 二、多选题 9．已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．是周期4的周期函数 B．图象关于点对称 C． D．图象关于点对称 11．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B． C． D． 三、填空题 12．已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 13．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 . 14．已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为 四、解答题 15．若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． (1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； (2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； (3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 高考函数的周期性与对称性重难点题型精练 一．选择题 1．函数是（　　） A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 2．函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（　　） A．直线x＝﹣e对称 B．点（﹣e，0）对称 C．直线x＝﹣2对称 D．点（﹣2，0）对称 3．已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（　　） A．e3+e B．﹣e3+e C．e3﹣e D．﹣e3﹣e 4．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（　　） A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2 C． D．f（x﹣2）是奇函数 5．已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（　　） A．y＝f（x）是奇函数 B．y＝g（x）是偶函数 C．2是y＝f（x）一个周期 D．y＝g（x）关于直线x＝2对称 6．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足f（﹣x+2）＝f（x+2），则下列结论不正确的是（　　） A．f（4）＝0 B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 C．f（x+8）＝f（x） D．若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝﹣1 7．若对∀x，y∈R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，则函数g（x）f（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和为（　　） A．4 B．8 C．6 D．12 8．设函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个命题： ①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数； ②函数y＝f（x）﹣g（x）的图象是轴对称图形； ③函数y＝f（x）⋅g（x）的图象关于坐标原点对称； ④函数存在最大值． 其中，真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．若函数f（x+1）（x∈R）是奇函数，g（x）＝x•f（x）是奇函数，则下列选项一定正确的是（　　） A．函数f（x）图象关于点（1，0）对称 B．函数f（x）的周期为1 C．f（2021）＝0 D．f（2022）＝0 10．已知函数f（x）＝||cosx|﹣|sinx||，则下列结论中，正确的有（　　） A．函数f（x）的图像关于y轴对称 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）在上单调递增 D．f（x）的值域为[0，1] 11．已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（　　） A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数 C．h（x）的图象关于直线x＝1对称 D．h（x）的图象关于点（1，0）对称 12．已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x），函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，若当x∈（0，1]时，，则（　　） A．f（x）偶函数 B．f（x）为周期函数 C．f（2023）＝﹣1 D．当x∈[3，4）时， 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1，则f（2.5）＝　1　． 14．已知函数f（3x+1）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）+g（﹣x）＝　2　． 【解题思路】利用奇函数的定义可把已知转化为f（t）+f（2﹣t）＝0，从而可得函数f（x）关于（1，0）对称，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）关于（0，1）对称，代入可求． 15．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝　0　． 16．已知函数f（x）＝|sinx|+cosx，现有如下几个命题： ①函数f（x）为偶函数； ②函数f（x）最小正周期为2π； ③函数f（x）值域为； ④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则函数f（x）单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为　①②④　． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．判断下列函数的奇偶性及周期． （1）f（x）＝sinx+tanx；（奇偶性） （2）y＝sinx•cosxcos2x． 18．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）． （1）求f（1）和f（﹣1）的值； （2）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式． 19．已知函数f（x）＝ax+k•bx，其中k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1． （1）若ab＝1，试判断f（x）的奇偶性； （2）若a＝2，b，k＝16，证明f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴． 20．设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x），当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x． （1）判定f（x）的奇偶性； （2）试求出函数f（x）在[﹣1，2]上的表达式． 21．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）＝﹣1． （1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明； （2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集． 22．函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函数，h（x）＝ax+b，a，b为常数． （1）g（x）＝sinx，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，n）”； （3）g（x）＝sinx+cosx，|f（x）|在x∈[0，3π]上的最大值为M，求M的最小值． 高考函数的周期性与对称性的综合灵活应用 1．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A．4040 B．4044 C．4046 D．4048 3．已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 6．（多选题）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 7．（多选题）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 8．（多选题）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 9．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 10．已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 11．已知函数满足：，，，若，则 . 12．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 13．已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则 ． 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 15．已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 16．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 17．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为 . 综合测评 1．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 2．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 3．已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 8．（多选题）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 9．（多选题）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 10．（多选题）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 11．（多选题）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 12．（多选题）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 13．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 14．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（    ） A．4是的一个周期 B．是偶函数 C． D． 16．（多选题）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的一个周期 C． D． 17．（多选题）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 18．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 19．若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则 ． 20．已知，函数，若，则 ． 21．已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 22．已知函数的图象关于点对称，则 ． 23．已知函数，则 . 24．已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 25．已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 26．已知函数的图象关于直线对称，则 . 27．已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 28．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 29．若函数的图象关于点成中心对称，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的对称性 一．函数的对称性 （一）．函数自身的对称性结论 对称轴： 定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。 推论： （1）.若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。 （2）. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。 （3）．函数 y = f (x)的图像关于y轴对称即偶函数的充要条件是f (x) = f (－x) （4）.若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。 （5）.函数是偶函数关于对称。 注意：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程 对称中心：定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），函数的图象关于点对称。 推论: （1）则函数的图象关于点对称 （2）若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。 (3)函数的图象关于点对称。 (4)函数的图象关于原点对称（奇函数）。 (5)函数是奇函数关于点 对称。 (6)函数的图像关于原点对称即奇函数的充要条件是f(x)+f(－x)=0 注意：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 （二）不同函数的对称性结论 对称轴 定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论 （1）.函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 （２）.函数与函数的图象关于直线对称 （３）. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 中心对称 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论 （1）. 函数与函数图象关于点对称。 （２）.函数的图象关于点对称的解析式为 （３）. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 （４）.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。　 ３.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 ４、曲线与关于直线对称。 ５、曲线关于直线对称曲线为。 ６、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ７、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 ８、曲线关于点对称曲线为。 二．三角函数图像的对称性 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2 y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无 注：上表中k∈Z 三、函数对称性与周期性的关系 1.若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期． 2.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周 3.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1.如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 2.如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 3.如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 4.如果偶函数的图像关于（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 五、特殊函数对称中心 1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为. 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）. 六．常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1）对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2）对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数 （3）对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4）对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要） （5）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要） （6）对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为或 补充：对于对数函数，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 6、三角函数： 三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例 （7）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： （8）对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （9）对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型 （10）对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式 ①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。 ②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到。 ④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。 抽象函数满足条件 代表函数 1 （） 2 （） 3 （） 4 5 6 7 8 或 七．抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 八、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 九：已知定义在D上的函数，为的导函数 1、若关于对称，则关于对称 【简证】因关于对称，所以， 同时求导得，故关于对称 2、若关于对称，则关于对称（证明同上） 3、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 即： 设：，则 所以，(c为常数)， 所以 即∀ 所以的图象关于点对称． 4、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 设：，则 所以，(c为常数)，又 所以，的图象关于对称． 注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数 题型01：对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 1.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 而， 故. 2.（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BCD 【解析】由，得． 由是奇函数，得，即， 所以，即，所以，故选项A错误； 由，得，由，得，所以，故选项B正确； 由，，得，即为偶函数，故选项C正确； 由，，得，则， 即为奇函数，故选项D正确． 3.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 题型02：判断或证明函数的对称性 1.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．，方程都有两个不等的实根 D．不等式恒成立 【答案】C 【分析】利用反例可以判断A,B,D，结合函数值域可判断C. 【解析】因为，，所以A不正确； 若函数的图象关于直线对称，则，而， 所以函数的图象不关于直线对称，B不正确； 当时，，此时的值域为； 当时，，此时的值域为； 简图如下： 所以，方程都有两个不等的实根，C正确； ，显然，所以D不正确. 故选：C 2.若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 【答案】C 【解析】 因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C. 3.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D. 【解析】对于BC，由题意可知：， 显然的图象不关于对称，而，故B、C错误； 对于D，若为有理数，则，显然，函数无最小值，故D错误； 对于A，若是有理数，即互质，则也互质，即， 若为无理数，则也为无理数，即， 所以的图象关于对称，故A正确. 下证：互质，则也互质. 反证法：若互质，不互质，不妨设， 则，此时与假设矛盾，所以也互质. 故选：A 【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率. 题型03：由平移前后关系得出原函数对称性 若已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称，是奇函数关于对称 举个例子： 若是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 1.定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可. 【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称， 另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称 2.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即， 由为奇函数，得，即，显然， 因此，即，有， ，，而的值都不确定，ABC错误，D正确 题型04：由函数对称性求函数值或参数 1.函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ． 【答案】4 【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案. 【详解】由于函数图象关于直线对称，， 故，又为偶函数，故， 则， 故答案为：4 2.已知是上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由题目条件得到关于点成中心对称，从而得到，求出，得到. 【详解】因为是上的奇函数，所以的图象关于点成中心对称， 所以，即． 故答案为： 3.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【解析】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C 4.已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析函数，得出最大值与最小值的和，得出函数的表达式，利用对勾函数的对称点即可得出函数的对称点. 【解析】由题意， 在中，， ∴， ∵最大值与最小值分别为和， ∴ 在对勾函数中，对称轴为，对称点为， 在中，， ∴即，对称轴为， 函数为对勾函数向下平移1个单位得到， ∴函数对称点为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性. 5.已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可. 【详解】由题意知，且， 因为函数的图象关于直线对称， 则是方程的根， 故，解得，则. 又由得，,解得. 故，即， 验证：函数的定义域为，且， 且， 故函数的图象关于直线对称，满足题意. 则. 故选：B. 题型05：对称性求解析式 1．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得， 因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A. 2.若函数与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解． 【详解】解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为， 将点代入函数的解析式可得：， 故， 故选：D． 3.已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式． 【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则， 又当时，， 则当时，即，则， 所以的解析式是． 故答案为：． 4.下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的性质进行求解即可. 【详解】函数的图象关于原点对称的是 5.函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解. 【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即， 与对比系数可知，解得， 所以函数与的图象关于对称． 故选：D 6.（多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可. 【详解】若的图象的对称轴方程为，则； 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，，， 即不恒成立，C错误； 对于D，，D正确. 7.设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 【答案】 【分析】设为上任意一点，然后求出点关于点的对称点，再将对称点的坐标代入化简可得答案. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 故答案为： 8.若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【答案】ln （4－x） 【分析】利用对称的定义求解即可. 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即, 故答案为： 9.若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 【答案】C 【解析】 因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C. 10.已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式． 【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则， 又当时，， 则当时，即，则， 所以的解析式是． 11.函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解. 【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即， 与对比系数可知，解得， 所以函数与的图象关于对称． 故选：D 12.若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【答案】ln （4－x） 【分析】利用对称的定义求解即可. 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即, 故答案为： 13.已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 【答案】 【解析】函数为奇函数函数关于(0,1)中心对称 f(1－x)+f(－1+x)=2，又在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， ，∴3x＋4＜x－1，∴. 14.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 15.已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 即，也即， 当时，，当时，， 所以函数在单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，且， 所以由得解得 16．已知函数满足，且以点为对称中心，写出一个符合条件的函数 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称中心为，以及，写出符合条件的函数即可. 【详解】因为函数的对称中心为，不妨设为分式函数，因为，所以，解得，取，即. 故答案为： 17.已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为2 D．当时， 【答案】C 【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断. 【解析】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4. 因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称， 故，因此的图象关于对称， 设，则， 因为函数对任意都有 所以， 所以 所以选项D错误. 作出的图象如图所示： 由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误； 对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确. 故选：C 18.已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论不正确的是（    ） A．函数是周期为4的周期函数 B． C．当时， D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】根据函数为偶函数知函数的对称轴为，进而由对称轴得，结合求得函数是周期为4的函数，由奇函数知求出，然后根据分段函数求解析式即可求出在上的解析式，接下来解不等式即可，最后选项逐个排除即可选出正确结果. 【解析】对于选项A，由函数为偶函数得函数的对称轴为， 故得， 又， 所以， 从而得， 所以函数是周期为4的周期函数，故选项A正确； 对于选项B，又奇函数当时，， 故得，解得， 所以当时，. 所以，故选项B正确； 对于选项C，当时，， 所以，故选项C不正确； 对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可. 当时，由，解得，故得； 当时，由，解得，故得； 因为函数满足，且在上大于等于0，在上大于等于0， 则函数在上小于0， 则当时，无解， 综上可得不等式在一个周期上的解集为， 所以不等式在定义域上的解集为，，故选项D正确. 综上C不正确. 故选：C. 题型06：由对称性研究函数的单调性 1.已知函数为偶函数，且当时，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案. 【解析】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称， 当时，，因为在上单调递增且， 而在上单调递减，故在上单调递减， 则在上单调递增， 故由可得，即， 则，故， 故选：A 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式易判断其在上的单调性，利用奇偶函数的定义判断的奇偶性，从而得到函数在上单调递增，结合函数的奇偶性和在与上的单调性，分别判断各选项即得. 【解析】易知函数的定义域均为．当时，易得函数在上单调递增， 又，所以为奇函数， 易知，所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减． 对于选项A：因为，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B：因为，所以是偶函数，所以B错误； 对于选项C：因为，所以，所以C错误； 对于选项D：因为所以，所以D正确． 故选：D. 3.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 【答案】A 【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可. 【解析】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称， 又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称， 所以有， 即的一个周期为， 令代入②得，即， 令代入①得，所以， 解之得，所以，    如图所示，根据函数的对称性与周期性可知： 关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象， 易知在区间上是增函数， 且有最小值为，故A正确，B错误； 在区间上是减函数， 且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确． 故选：A 题型07：函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题 1.单调性与对称性的结合 1.已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称， 又由对任意，都有， 可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数， 由，所以，所以A不正确； 由，所以，所以B不正确； 由，所以，所以C正确； 由，所以，所以D不正确. 故选：C. 2．【多选】若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（    ） A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2) C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3 【解析】由，，可得图象关于对称， 由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确； 对C，，C正确； 对D，时，距更远，则，解得或，D不正确． 故选：AC. 3．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知 ，. 由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C 4．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】，函数的图象关于直线对称， 该函数图象经过点，则，且有， 对任意，且，恒成立， 可设，则，，即. 所以，函数在上单调递增，由此可得该函数在上单调递减， 当时，符合题意； 当时，即时，则有， 由于函数在上单调递减，由，得，此时； 当时，即时，则有， 由于函数在上单调递增，由，得，此时， 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 2.单调性、奇偶性与周期性结合 1.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【解析】因为函数f（x）满足f（x+1）=， 所以， 所以是以2为周期的周期函数， 又因为是定义域为R的偶函数，且在[-1，0]上是减函数， 所以在[0，1]上是增函数， 那么f（x）在[2，3]上是增函数， 故选：A 2.定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】 ， 即函数的周期是8， 则， ， ， 为奇函数，且在上是增函数， 则在上是增函数， ， 即. 故选：B. 3.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，，， 则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意， 若对任意的，，，当时，都有，则函数在区间，上为增函数， 若，则，即函数的周期为8， 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称， ，，， 又由函数在区间，上为增函数， 则有； 故选：． 3.奇偶性、周期性与对称性结合 1.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．无法确定 【解析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即； 所以，所以，所以， 所以函数的周期， . 故选：B. 2.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） ①函数的图象关于直线对称        ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4                      ④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【解析】因为为偶函数，所以，所以，， 所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，①错误； 因为为奇函数，所以，所以，所以， 所以函数关于点中心对称，故②正确， 由①可知，，由②可知，，故有，令，则有， 所以，解得， 所以函数的周期为4，故③正确； ，故④正确． 故选：C． 3.函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【解析】因为为奇函数，为偶函数， 所以图像关于对称，同时关于直线对称； 所以，，故A选项错误； 所以，，故B选项正确； 所以，即函数为周期函数，周期为. 所以，即函数为偶函数，故C选项正确； 所以，故函数为奇函数，D选项正确； 故选：BCD 4.定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【解析】∵定义在上的奇函数满足恒成立， ∴， ∴，又 ∴，，， ∴. 故选：C. 5.【多选】已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ） A．图象关于直线对称 B． C．的最小正周期为4 D．对任意都有 【解析】由的对称中心为，对称轴为， 则也关于直线对称且，A、D正确， 由A分析知：，故， 所以， 所以的周期为4，则，B正确； 但不能说明最小正周期为4，C错误； 故选：ABD 6.已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2022）＝－1 【解析】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数， 所以，又， 令代入可得，故A正确； 对于B：因为， 所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误； 对于C：因为为奇函数， 所以， 所以，则，故C正确； 对于D：由C选项可得，的周期为8， 所以，故D正确； 故选：B 7．【多选】已知函数， 满足，又的图像关于点对称，且，则（    ） A． B． C．关于点对称 D．关于点对称 【解析】令 ，由 得： ， ，即 的一条对称轴是 ， 又 关于 对称，令 ，即 ， ， 是奇函数； ， 的周期为8； 对于A：正确； 对于B： ，正确； 对于D：令 ，将 代入得 ，即要证明 关于 对称， 显然由 ，故 关于 对称，即 关于 对称，正确； 对于C：同上，将 代入得 ，即 显然不是 的对称点，错误； 故选：ABD. 4，单调性、奇偶性与对称性结合 1.已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为 A． B． C． D． 【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A． 2.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调增函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图象关于直线对称，∴， 又函数在上为单调增函数，∴， 即，∴， 故选：B． 3.已知函数是定义在上的偶函数，为区间上的任意两个不相等的实数，且满足，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【解析】函数是偶函数， 函数的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称， 由得在上为增函数， ，由得， 从而， 即. 故选：D. 5.单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合 1.已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则的从小到大的顺序为________. 【解析】由知函数周期为， 所以，， 而函数图像关于对称， 所以，. 又因为定义在上的奇函数且在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即. 故答案为： 2.已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的，都有； ②对于任意的，且，都有 ③函数的图象关于y轴对称. 则从小到大的关系是_____ 【解析】因为对于任意的，都有， ∴函数的周期是4， ∵任意的，且，都有， ∴函数在区间[0，2]上是增函数， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴，即函数的对称轴为， ∴， 又函数在区间[0，2]上是增函数， ∴，，即. 故答案为：． 2.定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 又，所以，即， 因为，所以函数是周期为4的函数， 所以，，， 因为，且，所以， 所以函数为奇函数， 又因为对任意的，，，都有成立，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 故选：B. 3.已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心 【解析】因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数， 所以，A错误，B正确； 令，即，则，即； 令，即，则，即； 所以， 根据周期性在上的图象与在相同， 4.已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】因为是偶函数，则， 所以， 所以. 当时，， 又，所以，所以1，所以，故A正确； 由，得， 两式相减得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； ，所以是以6为周期的周期函数， 所以，故C正确； ，D不正确. 故选:ABC 5.（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D. 【详解】定义域为的函数对任意实数都有， 令，则，而，因此，A错误； ，令，则，则，B正确； 显然，则函数的图象关于点不对称，C错误； 令，则，同理， 因此，即， 从而，即函数的周期是6， 由，得，则， 显然， 所以，D正确. 故选：BD 6.已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可求的值. 【详解】函数，， ， 所以. 故选：C 7.已知定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，（其中为待定常数），则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出待定系数的值，再利用对称条件求出解析即得. 【详解】由在R上的函数的图象关于点成中心对称，则，而当时，， 于是，即当时，， 当时，，则， 所以. 故答案为： 8.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称； 是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称； 关于直线的对称点为原点， 则关于原点对称，所以是奇函数， 直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误. 所以， 所以是周期为的周期函数，A选项正确. ，C选项正确. 当，，， ， ，解得， 所以，， 令得，， 画出和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确. 故选：ACD    9.函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为，再由奇偶性得到，计算出结果即可. 【详解】因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①， 是奇函数，则②， 联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为的周期函数， 所以， 又当时，，所以. 故答案为：. 10.设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 设，判断其对称性，根据根的个数可得，求出a的取值，验证后可确定答案. 【解析】 由，设， 由于， 故关于对称，若有3个互不相同的实根，则，其余两根关于对称， 由得， 经检验，当时，，解得或或3，符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 故实数的取值范围是， 故答案为： 11.已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为 【答案】. 【分析】由的性质得，，由满足的条件得，，的图象关于点对称，关于直线对称，的一个周期是4，可得的最值点与最值的结果，结合已知分析求解. 【解析】定义在上的增函数，对任意的都有且， 则，得， ，得， 当时，，则在上单调递增，且，， 函数满足，则的图象关于点对称， 得在上单调递增，且，， ，则的图象关于直线对称， 得在和上单调递减，且， 由和，得， 则有，， 故的一个周期是4，且在时取最大值0，在时取最小值-2， 若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，， 有或， ， 当时，有，方程无正整数解； 当时，有，解得； 则有，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 12.设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的对称性，结合对数的运算法则进行求解即可. 【解析】设函数的图象为， 对任意的，令，则在上， 因为的图象既关于点对称，又关于直线轴对称． 所以由在上，可得，，都在上，而， 所以取，此时， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的对称性. 13.已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得. 【解析】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. 14.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【解析】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 15，已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】4 【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和. 【解析】函数是偶函数，图象对称轴为，则函数的图象有对称轴， 所以函数的图象有对称轴， ，时，在上单调递减且， 定义在R上的偶函数满足， 则函数有对称轴，又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 由图象可得，与的图象有4个交点， 又与的图象均有对称轴， 则两函数所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 16.已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由已知，画出函数的简图，结合图形即可判断. 【解析】由题意可作出函数的大致图象如图所示，    数形结合可知的值域是，在上的零点分别为2，4，6，8，共4个，故①正确，②错误； 易知函数与的图象都关于直线对称，故若方程有4个不同的实数根，则这4个实数根之和为12，故③正确； 作出直线，数形结合可知，若方程有4个不相等的实数根，则，得，故④正确． 故所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④. 17.我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】 由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围. 【解析】因为函数的图象关于点成中心对称， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以，则，解得或， 故实数的取值范围是． 故答案为：2；. 6.综合利用函数性质比较大小 1.定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，则 ，可得函数周期 ，， 由于在上单调递增 ，即 故选：D 2.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点对称， 故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数， 由可得， 所以的周期为2， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以. 故选：A. 3.定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 即函数的周期是8， 则， ， ， 为奇函数，且在上是增函数， 则在上是增函数， ，即. 故选：B. 4.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为， 则，，， 因为奇函数在区间上是增函数， 则该函数在区间上也为增函数， 故函数在区间上为增函数， 所以，即. 故选：D. 7.利用周期性与对称性解不等式 1．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 2．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数关于点对称公式可得关于对称，从而判断得在上单调递减，再将不等式变形为，由此利用的单调性及解二次不等式即可得解. 【详解】因为，所以关于对称， 因为在单调递减，所以在上单调递减， 又，则， 所以由可得，即， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为， 故选：. 【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称. 3．已知函数在上单调递增，满足对任意，都有，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知函数图像的对称轴是直线，进而得函数在上单调递减，再根据单调区间求解即可. 【详解】解：由，得函数图像的对称轴是直线， 因为函数在上单调递增 所以，函数在上单调递减， 因为在区间上单调递减，则，解得． 所以，实数a的取值范围为. 故选：C． 4．（多）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】AB 【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得 ，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性. 【详解】令，由是奇函数， 则， 即，图像关于对称. 令，由是偶函数， 则， 即，图像关于直线对称. A选项，令，可得， 又令，可得.故A正确； B选项，令，可得，故B正确； C选项，令，可得， 又因在上单调递减，由图像关于对称，则在上单调递减， 即在上单调递减，故.故C错误. D选项，由在上单调递减，结合图像关于直线对称， 则在上单调递增.故D错误. 故选：AB 【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论. 为定义在R上函数，若为奇函数，则， 图像关于对称；若为偶函数，则， 图像关于对称. 5．（多）已知函数的定义域为R，是偶函数，函数在上单调递增，则（    ） A． B．在上单调递增 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性性质可判断A；判断为奇函数，可得的图像关于点对称，即可判断的单调性，判断B；由题意无法判断的单调性，可判断C；由前面分析推出，结合的单调性，可判断D. 【详解】对于A，是偶函数，故， 而对应的是，即为偶函数，A错误； 对于B，是偶函数，等价于是偶函数，即， 函数，则， 即为奇函数，故的图像关于点对称， 又函数在上单调递增，则在上也单调递增，B正确； 对于C，由以上分析可知的图象关于直线对称，但无法判断的单调性， 故由无法判断的大小关系，则也无法判断的大小关系， 而的图像关于点对称，从而无法判断的大小关系，C错误； 对于D，由于，故， 且由以上分析可知在R上单调递增，故由可得， 即，所以，即，D正确， 故选：BD 6．（多）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数 C．为的最大值 D． 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性结合对称轴，可判断函数的性质，从而可判断A,B的对错；因为定义域内x=-1时的值不确定，故可判断C;根据函数的对称轴以及单调性，可判断D的对错. 【详解】因为为偶函数，且函数在上为增函数, 所以的图象关于直线对称，且在上为减函数, 所以A不正确，B正确； 因为在上为增函数，在上为减函数,但没有明确函数是否连续，不能确定的值，所以C不正确； 因为，， 又在上为增函数， 所以，即，所以D正确． 故选：BD． 7．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析函数的单调性与对称性，由已知可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数的定义域为，且函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为，则， 因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 当时，由可得； 当时，由可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 8．已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数和反比例函数的单调性得到当时，单调递增，再结合关于中心对称得到，且在上单调递增，然后将原不等式整理为，最后利用单调性和定义域列不等式求解即可. 【详解】因为函数，在上单调递增，所以当时，单调递增， 因为关于中心对称，所以，且在上单调递增， 不等式可整理为，即，则，解得. 故答案为：. 9．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为函数对任意的均有， 所以可得函数的图象关于对称， 又由在上单调递减，则在上单调递增， 因为，可得， 则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．已知函数，对于，都有成立，且任取，，若 ，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得对称性、单调性，然后利用这两个性质解不等式． 【详解】，都有成立，则函数图象关于直线对称， 任取，，则在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以由得或． 故答案为：． 11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为 【答案】 【分析】通过分析得到函数的图象，解不等式组或即得解. 【详解】 因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称． 由在上单调递减，得在上单调递增，且， 所以当或时，，当时，． 函数的图象如图所示， 等价于或 即或, 解得或. 故答案为： 12．已知.当时,为增函数.设,试确定a,b,c的大小关系. 【答案】 【解析】由可得的图像关于直线对称,从而可得，然后利用时的单调性判断时,为减函数,利用单调性即可比较出大小. 【详解】解:由得的图像关于直线对称,所以. 又当时,为增函数,故当时,为减函数, 所以, 即,所以. 【点睛】本题考查了函数的对称性以及利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 8.题型：新定义题（解答题） 1．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 【答案】(1)， (2)存在，， 【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式； （2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为为、的“函数”， 所以①，所以． 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②得，，． （2）解：假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”． 则． ①因为是偶函数﹐所以． 即， 则， 整理得． 因为对恒成立，所以． ②． 因为，当且仅当取等号， 所以， 由于的值域为，所以，则， 又，所以． 综上，存在，满足要求． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型08：由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 已知奇函数，，则 （1） （2） 1.已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数的性质以及函数的最值性质即可求解. 【详解】记，显然的定义域关于原点对称，且， 所以是区间上的奇函数， 设的最大值为，则的最小值为， 所以. 2.是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】A 【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则 . ∴. 3.函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 答案 2 解析 ，显然关于对称，所以 4.已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 5.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【答案】 【详解】的定义域为且为奇函数， 所以， ， 所以，， 设， 则，所以是奇函数， 依题意可知，在的最大值为， 所以在的最小值为， 所以在的最小值为 6.设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整理为，令，由奇偶性定义可证得为奇函数，则，由此可求得的值. 【详解】， 可令，则， 为定义在上的奇函数，， 则，. 故选：D. 7.已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 8.函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】1 【解析】， 设，则， 记， 因为， 所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 又因为，所以 9.已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】4048 【解析】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令， 则， 即为奇函数，所以． 而， 所以． 10.已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 【答案】 【解析】将函数配成关于的形式 设 则 故为奇函数，其图象关于坐标原点对称 又，所以其图象关于点（1，－1）对称 所以在[0，2]上的最大值为M，最小值为m的和 M + m= 11.已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案 【详解】由题意可得， 令，则， 因为 所以为奇函数， 所以在最大值与最小值之和为0， 所以. 题型09：由中心对称求出函数中间值 已知奇函数，，则 （1） （2） 1.是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】A 【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则 . ∴. 2.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【答案】 【详解】的定义域为且为奇函数， 所以， ， 所以，， 设， 则，所以是奇函数， 依题意可知，在的最大值为， 所以在的最小值为， 所以在的最小值为 3.函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 答案 2 解析 ，显然关于对称，所以 4.已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 5.设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【答案】 【解析】的定义域为且为奇函数， 所以， ， 所以，， 设， 则，所以是奇函数， 依题意可知，在的最大值为， 所以在的最小值为， 所以在的最小值为. 6.函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】1 【解析】， 设，则， 记， 因为， 所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 又因为，所以 7.已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】4048 【解析】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令， 则， 即为奇函数，所以． 而， 所以． 8.已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 【答案】 【解析】将函数配成关于的形式 设 则 故为奇函数，其图象关于坐标原点对称 又，所以其图象关于点（1，－1）对称 所以在[0，2]上的最大值为M，最小值为m的和 M + m= 9.已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案 【详解】由题意可得， 令，则， 因为 所以为奇函数， 所以在最大值与最小值之和为0， 所以. 题型10：由对称性求交点坐标的和 一、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 2、 若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 1.定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知函数的图象和函数的图象都关于对称，可知它们的交点也关于点对称，由此可求得结果. 【详解】因为是奇函数，所以关于点对称， 又函数的图象关于点对称， 所以两个函数图象的交点也关于点对称， 所以两个图象的横坐标之和. 2.已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】求出的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案. 【详解】，且， 由于 ， 故的图象关于中心对称， 又关于中心对称，且， 不妨设， 与的交点关于点中心对称， 即， 故. 3.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【答案】48 【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值. 【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称， 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称， 与的图象的8个交点，也两两关于点对称， 则. 4.（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【分析】 借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. 存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 5.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称； 是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称； 关于直线的对称点为原点， 则关于原点对称，所以是奇函数， 直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误. 所以， 所以是周期为的周期函数，A选项正确. ，C选项正确. 当，，， ， ，解得， 所以，， 令得，， 画出和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确. 故选：ACD    6.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 【答案】24 【解析】由为偶函数，则，故， 又是定义在上的奇函数，则， 所以，故，即有， 综上，的周期为8，且关于对称的奇函数， 由在上单调递减，结合上述思路点拨知：在上递增，上递减，上递增， 所以在的大致草图如下： 要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点， 所以，必有两对交点分别关于对称，则. 7.已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 【答案】B 【解析】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称， 所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为. 8.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【答案】 【解析】为奇函数，则有， 即，可得， ，所以函数的图象关于点对称. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 即直线关于点对称. 直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则有，，. 9.定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．6 B．12 C．14 D．10 【答案】D 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵，∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中，由，∴所有实根之和为 10.已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】首先根据题干条件确定抽象函数的对称性和周期性，然后根据的性质及的解析式画出与在的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和. 【详解】由，可知函数的图像关于直线对称， 又为偶函数，，故函数是周期函数，且周期， ，的图像也关于直线对称， 当时，，设， 则，即函数在为减函数， 又，即，即函数，的图像在无交点， 则函数，在上的图像如图所示， 可知两个图像有3个交点，一个在直线上，另外两个关于直线对称，则三个交点的横坐标之和为3 11.定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【思路点拨】根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图思路点拨与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可. 【详解】由可得为奇函数，且关于对称. 又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4. 又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像. 又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为 12.（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【分析】 借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 13.已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点对称 C． D．函数有8个不同零点 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称； 是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称； 关于直线的对称点为原点， 则关于原点对称，所以是奇函数， 直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误. 所以， 所以是周期为的周期函数，A选项正确. ，C选项正确. 当，，， ， ，解得， 所以，， 令得，， 画出和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确. 故选：ACD    14.已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【答案】 【解析】为奇函数，则有， 即，可得， ，所以函数的图象关于点对称. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 即直线关于点对称. 直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则有，，. 15.定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【思路点拨】根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图思路点拨与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可. 【详解】由可得为奇函数，且关于对称. 又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4. 又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像. 16.又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出. 【详解】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 17.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 所以 ，所以函数为奇函数，关于原点中心对称， 而函数是函数向右平移两个单位得到的函数， 因而关于中心对称， 函数满足，所以， 即，所以函数关于中心对称，且， 且， 所以由函数零点定义可知， 即， 由于函数和函数都关于中心对称， 所以两个函数的交点也关于中心对称， 又因为恰有个零点， 即函数和函数的交点恰有个， 且其中一个为，其余的个交点关于对称分布， 所以个零点的和满足 18.定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】首先得到是以为周期的周期函数，关于对称，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，即， 所以是以为周期的周期函数， 又，则， 所以关于对称，又， 又， 又当时，函数，所以，则， 令，即， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 由图可得与有个交点，交点横坐标分别为， 且与关于对称，与关于对称， 所以，， 所以方程的所有实数根之和为. 故选：D    19.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，令，，分析可知，函数、的图象都关于点对称，数形结合可得出结果. 【详解】由可得， 令，， 则函数的定义域为，其最小正周期为， ， 所以，函数的图象关于点对称， 函数的定义域为， 对任意的，， 所以，函数的图象也关于点对称， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上也为增函数，如下图所示： 由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称， 因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为. 共7个交点，其根之和为 题型11：由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 2、 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 1.已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 【答案】 【解析】 函数为奇函数函数关于(0,1)中心对称f(1－x)+f(－1+x)=2 又在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， ， ∴3x＋4＜x－1，∴. 2.已知函数的图象关于对称，且对，，当时，成立，若对任意的恒成立，则a的可取值为( ) A． B．-1 C．1 D. 【答案】 B C 【解析】∵，∴的图象关于对称，是偶函数， 易证在上递减，则在上递增， 则， 即，对恒成立， 由，得 由，得 综上，，故BC成立. 3.已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 4.已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 即，也即， 当时，，当时，， 所以函数在单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，且， 所以由得解得 题型12：由解析式看出对称性 1.已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 2.已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由的图像可以得出的性质，即可判断选项. 【详解】因为的图像如下图所示，由图像可知，的值域为，故A正确； 在区间上单调递减，在区间上单调递减，故B错误； 所以当时，，故D正确； 由图像可知，的图像关于点对称，所以，故C正确. 3.（多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递减 D．若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ，所以，故A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 4.函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将解析式变形为，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可. 【详解】 ， 令，， 因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即． 又，， 所以 ，当且仅当，，即，，等号成立． 5.已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据得到，然后求即可. 【详解】因为，所以，则， . 6.已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 7.若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【详解】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 8.己知函数，则 __________. 【答案】 8082 【详解】到2020关于原点对称，显然部分的和刚好为0 令，则 ∴ 9.若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小． 【详解】因为， 所以 所以关于对称， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 又关于对称，故在上单调递增，且， 因为， 又， 且， ， 所以，故. 故选：A. 10.函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出. 【详解】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 11.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 所以 ，所以函数为奇函数，关于原点中心对称， 而函数是函数向右平移两个单位得到的函数， 因而关于中心对称， 函数满足，所以， 即，所以函数关于中心对称，且， 且， 所以由函数零点定义可知， 即， 由于函数和函数都关于中心对称， 所以两个函数的交点也关于中心对称， 又因为恰有个零点， 即函数和函数的交点恰有个， 且其中一个为，其余的个交点关于对称分布， 所以个零点的和满足 12.定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】首先得到是以为周期的周期函数，关于对称，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，即， 所以是以为周期的周期函数， 又，则， 所以关于对称，又， 又， 又当时，函数，所以，则， 令，即， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 由图可得与有个交点，交点横坐标分别为， 且与关于对称，与关于对称， 所以，， 所以方程的所有实数根之和为. 故选：D    13.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，令，，分析可知，函数、的图象都关于点对称，数形结合可得出结果. 【详解】由可得， 令，， 则函数的定义域为，其最小正周期为， ， 所以，函数的图象关于点对称， 函数的定义域为， 对任意的，， 所以，函数的图象也关于点对称， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上也为增函数，如下图所示： 由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称， 因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为. 14.已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 题型13：由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 1.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 2.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案. 【详解】，设， 因为，所以为奇函数， 则．即 又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由得，即 所以，解得或． 3.已知函数在R上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先求出的表达式，得出，进而推得.将不等式转化为.求导得出，结合基本不等式得出恒成立，得出函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 所以，. 所以，， 即，所以. 则由不等式可得， . 又在R上单调递增. 则由可得，，解得. 所以，满足的的取值范围是. 4.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 5.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可. 【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数， 由函数为上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 6.已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 7.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 8.已知函数在R上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先求出的表达式，得出，进而推得.将不等式转化为.求导得出，结合基本不等式得出恒成立，得出函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 所以，. 所以，， 即，所以. 则由不等式可得， . 又在R上单调递增. 则由可得，，解得. 所以，满足的的取值范围是. 9.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 10.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可. 【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数， 由函数为上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 11.已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 12.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 题型14：由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 1.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 2.已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 3.已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】函数的定义域为，且， 所以， 所以关于直线成轴对称， 因为，当且仅当，时取等号， 令，， 则，， 当时，，，单调递增，单调递增， 所以，，所以， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 又当时，，所以， 当或时，，所以，且， 所以要使得成立，则，解得， 故不等式的取值范围为． 故选：B． 4.已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为 5.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】易证为偶函数，且在上递增，则 所以任意恒成立， 由，得 由，得 综上， 6.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 当x≥0时，在上递减， 则有，当x≠0时，有恒成立，则 当x=0时，满足条件 综上， 7.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 8.已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】函数的定义域为，且， 所以， 所以关于直线成轴对称， 因为，当且仅当，时取等号， 令，， 则，， 当时，，，单调递增，单调递增， 所以，，所以， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 又当时，，所以， 当或时，，所以，且， 所以要使得成立，则，解得， 故不等式的取值范围为． 故选：B． 9.】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为 10.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】易证为偶函数，且在上递增，则 所以任意恒成立， 由，得 由，得 综上， 11.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 当x≥0时，在上递减， 则有，当x≠0时，有恒成立，则 当x=0时，满足条件 综上， 题型15：与对称性有关的材料题 1.（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项 【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为， 所以的图象关于原点对称， 则， 所以，故错误,正确； 所以对任意，都有，故正确； 在中令得 ，且， 所以，故正确 2.（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确. B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确. C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误. D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误 3.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 【答案】 【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标. （2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值. 【详解】（1）设点为函数图象的对称中心， 令，则为奇函数， 所以，即， 可得，， 所以，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为： （2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为， 因为， ， 所以， 即对称中心为， 因为函数的图像是恒过点的直线， 所以交点，的中点为， 所以，，即 4.（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项 【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为， 所以的图象关于原点对称， 则， 所以，故错误,正确； 所以对任意，都有，故正确； 在中令得 ，且， 所以，故正确 5.（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确. B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确. C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误. D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误 6.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 【答案】 【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标. （2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值. 【详解】（1）设点为函数图象的对称中心， 令，则为奇函数， 所以，即， 可得，， 所以，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为： （2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为， 因为， ， 所以， 即对称中心为， 因为函数的图像是恒过点的直线， 所以交点，的中点为， 所以，，即 题型16：由条件不等式构造新函数解不等式 通过构造新函数来解决问题 常见的构造函数模型 （1） （2） （3） 1.若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 2.已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集. 【详解】不妨设， ， 故在上单调递增， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 故为偶函数， 因为，所以， ， 所以，解得或. 3.已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 4.已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则有，即. 令，则在上单调递减. 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的偶函数，故在上单调递增. 又， 则不等式可转化为 所以，解得. 又当时，，不合题意. 所以的解集为. 5.已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是偶函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，，则， 所以在上单调递增，则在上单调递减. 对于，且， 若，可得，即，可得； 若,可得，即，可得； 所以不等式的解集为. 6.已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 7.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集. 【详解】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意；故不等式的解集为. 8.（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（    ） A．8是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】CD 【详解】对A：由题设条件得， 令，有，则的图象关于直线对称， 因为，有， 即，则的图象关于对称． 所以，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以8为的一个周期，即， 则，A不正确； 对B：由上知图象关于对称，对称， 则令符合题意，而．B不正确； 对C：因为关于对称，有， 则的图象关于对称．C符合题意； 对D：因为图象关于对称，所以， 故，有．D符合题意． 9.定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 . 【答案】 【分析】构建函数，根据题意分析可得函数为偶函数，在上单调递增，则函数在上单调递减，将不等式整理可得，结合函数的单调性和奇偶性运算求解. 【详解】∵，则， 故函数为偶函数， 对于上的，不妨设，则， 由可得，即， 故函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 对，则，即， 则，即，解得，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 10.（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集. 【详解】AB选项，当时，， 即，故在上单调递增， 偶函数的定义域为，故在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，A正确，B错误； CD选项，中， 令得， 设，则， 所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且， 所以为偶函数， 因为，所以， 则等价于， 故，解得或，C正确，D错误. 题型17：两个函数混合型 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 1.（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，， ，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，， ，故D错误； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确； 故选：BC. 2.已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（    ） A．0 B．4 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到的一个周期为，进而求得，即可求解. 【解析】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则 3.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据函数奇偶性可得的图象关于点中心对称、的图象关于点中心对称，进而可知是以4为周期的周期函数．求出，，，，结合周期即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，的图象关于点中心对称，． 因为为偶函数，所以，的图象关于直线对称． 由，得，则， 所以，所以的图象关于点中心对称． 因为的图象关于轴对称，所以，， 所以，即是以4为周期的周期函数． 因为，，所以，，，， 所以． 4.已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【分析】 利用是奇函数，，，逐项判断选项. 【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确； 由，，令，则，故不是奇函数，故B错误； 由，令，则， 故，所以， 而，则， 故， 所以是偶函数，故C正确； 由，得，则，故，得到， 由，可得，推出，又，所以，故，即 ，故D错误. 5.已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件可得的图像关于对称，结合是奇函数，可得的图象关于点中心对称，继而可得是以4为周期的周期函数，通过赋值，进一步计算即可. 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②，①-②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 取，，所以． 因为，所以， 所以． 取，所以， 所以， 所以 6.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以 . 7.已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解答过程】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 8.已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据为奇函数，为偶函数可得函数为周期为4的周期函数，进而可得，利用周期性即可求解. 【详解】为奇函数，为偶函数， ，即， 即为周期函数，且周期为4， ，， ，，， ． 故答案为：0 9.（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称； 所以 所以①， 而②，将两式相加得：， 则③，所以， 所以是的一个周期，故A正确； 对B、C、D：由A项知令，由③得，由①， 得，由②得， 则，所以，所以， 故D正确； 由①令，得，， 由，，得， 两式相减得， 即，且关于对称，， 所以④，所以， 所以是周期为的周期函数，所以，故B正确； 由④令，得，所以，所以，故C错误； 故选：ABD. 10.(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 11.已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【分析】 利用是奇函数，，，逐项判断选项. 【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确； 由，，令，则，故不是奇函数，故B错误； 由，令，则， 故，所以， 而，则， 故， 所以是偶函数，故C正确； 由，得，则，故，得到， 由，可得，推出，又，所以，故，即 ，故D错误. 12.已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件可得的图像关于对称，结合是奇函数，可得的图象关于点中心对称，继而可得是以4为周期的周期函数，通过赋值，进一步计算即可. 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②，①-②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 取，，所以． 因为，所以， 所以． 取，所以， 所以， 所以 13.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 14.已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解答过程】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 15.(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 题型18：涉及导函数对称性问题 已知定义在D上的函数，为的导函数 1、若关于对称，则关于对称 【简证】因关于对称，所以， 同时求导得，故关于对称 2、若关于对称，则关于对称（证明同上） 3、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 即： 设：，则 所以，(c为常数)， 所以 即∀ 所以的图象关于点对称． 4、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 设：，则 所以，(c为常数)，又 所以，的图象关于对称． 注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数 1.已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，`满足，则 . 【答案】 【分析】求导得到，赋值累加即可. 【详解】对两边同时求导得 ， 即， 则，， 则. 2.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，则函数的图象关于点中心对称，且．由，，得，所以函数的图象关于对称，．根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称，得的图象关于点中心对称，，则的周期为，，故．故选A． 3.（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 4.已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析. 【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即，所以3是的一个周期. 因为，故C正确； 取符合题意的函数，则 所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确； 因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称， 所以，故A不正确； 因为，故D不正确 5.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果. 【详解】因为为奇函数，则， 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知8为的周期， 可知， 所以. 6.已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以的图象关于直线对称.故A正确； 因为为奇函数，则其图象关于对称， 向左平移一个单位后得到的图象， 则的图象关于对称，故B错误； 因为为奇函数，则， 则有， 所以①, 又， 则②, 由①②， 则， 则，， 则， 所以8是函数的一个周期.， 是周期函数，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以， 故D正确 7.已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（    ） A．关于对称 B．关于点对称 C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知得出关于对称.假设关于对称，求导即可得出矛盾；根据偶函数的性质，得出，两边同时除以，即可判断B；根据已知，结合导函数得出关于对称，也关于对称，即可得出，，进而推得，即可得出C项；根据已知，无法确定. 【详解】对于A项，因为为偶函数， 所以关于对称. 若关于对称，则导函数关于点对称， 这与关于对称矛盾，所以A错误； 对于B项，因为为偶函数， 所以，即， 所以，所以B正确； 对于C项，因为为偶函数， 所以为奇函数， 所以关于对称，关于对称，所以. 又关于对称，所以. 所以，， 所以，故C正确； 对于D项，由A知，关于点对称，. 但无法确定.故D错误. 8.已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项. 【详解】对于D，由，所以，即， 所以的周期为4， 且， 所以，故D正确； 对于A，由为奇函数知关于对称，所以， 由得0，即， 故的周期为4且，可得，故A正确； 对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称， 则有，即，所以， 令，得，故，所以关于对称， 又，所以，故B错误； 又，所以，故C正确. 9.已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．（） 【答案】ABD 【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】因为， 所以，即， 令，得，故A正确； 因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 10.已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据的性质结合导数运算分析可知的图象关于对称，结合奇函数分析可知的周期为4，根据周期性运算求解. 【详解】因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数，则， 可得，可知的周期为4， 所以. 11（多选题）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为是奇函数，所以， 则有，的图象关于点对称，故A错误； 对于B，是奇函数，其图象关于原点对称， 向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以①， 因为，所以②， 由①②可得：，所以， 所以，， 所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确； 对于D，因为，所以， ，，， 所以， 而，故D错误. 故选：BC. 12.已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 13.(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于中心对称，故A错误； 对于B，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于D，由，，知， 又，，所以， 所以，即， 所以为周期是的函数，即，故D正确. 对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且， 不妨设，所以，周期均为且， 所以，所以C错误； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以. 14.（多选）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（    ） A．都是的周期 B．曲线关于点对称 C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数 【答案】BC 【分析】 结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得. 【详解】由是奇函数，故有，即有， 故，则，即，故关于对称， 由，则，即， 故关于中心对称， 由，则，又， 故，即有， 则，故， 即，故，故周期为. 对A：当时，，故A错误； 对B：由周期为，故， 又，故，故， 故曲线关于点对称，故B正确； 对C：由周期为，故， 又，故， 故曲线关于直线对称，故C正确； 对D：由B得，故，又周期为， 故有，故，又， 即都是奇函数，故D错误. 题型19：两个函数混合且涉及导数 找出一个函数的对称性或周期之后，可以从图像平移变换的角度来得出另一个函数的对称性或周期 1.已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 【答案】ACD 【分析】 由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 2.（多选）已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称 C． D．是偶函数 【答案】AD 【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D． 【详解】选项A：在中取为，得， 所以，取为，得， 因为函数是偶函数，所以， 取为，得，所以， 所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确； 选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误； 选项C：设， 则， 两式相加，得 2022， 所以，即，所以C错误； 选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确 3.已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．8是函数的一个周期 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先由条件以及函数的对称中心可得函数的周期，即可判断AB，再赋值计算，结合函数的周期性以及对称性，即可判断CD 【详解】因为，令，则， 即，所以， 用替换可得，即， 又，则，， 所以，令，可得， 所以， 再由，令，则， 所以，即， 用替换，可得， 且，即， 将代入，可得， 所以函数关于直线对称，故A正确； 又函数的图像关于点对称，即， 所以是函数的一个周期，故B正确； 由，令，则， 因为函数关于直线对称，则， 且函数的图像关于点对称，所以， 则，故C错误； 由，令可得， 令可得， 则， 又8是函数的一个周期，且函数关于直线对称， 则，， 又函数的图像关于点对称，即， 令，则，所以， 则，故D正确 4.（多选）已知定义在上的函数，其导函数分别为,,，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以的图象关于点中心对称，A错误； 由②，②式两边对求导可得，可知是偶函数， 以替换①中的可得， 可得，所以是周期为4的周期函数，B正确； 因为，可知也是周期为4的周期函数，即， 两边求导可得，所以，C正确； 因为，令，则，即， 又因为是偶函数，所以， 又因为是周期为4的周期函数，则， 由可得， 所以，D正确. 5.（多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． 【答案】BCD 【解析】对A：由，故为奇函数， 若为偶函数，则，与条件不符，故A错误； 对B：由，则， 又，即， 即，又定义在上， 故为奇函数，故B正确； 对C：由，，， 所以，则， 所以，， 所以，所以， 则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确； 对D：由是周期函数的周期函数， 由，令，则，即， 令，则，即， 由，， 则，则关于对称，则关于对称， 又为奇函数，即关于中心对称， 故关于对称，则， 则，故D正确. 故选：BCD. 6.（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于选项A：因为，则， 可得， 又因为，可得. 令，可得，解得， 可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确； 对于选项C：因为为奇函数， 可知的图象关于点对称，且， 令，可得，即； 令，可得； 令，可得； 由函数的图象关于直线对称，可得； 所以， 又因为，则， 可知函数的周期， 所以，故C正确； 对于选项B：由AC可知， 可得，， 所以，故B错误； 对于选项D：可得，故D错误. 故选：AC. 7.（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称 C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以． 又因为，所以． 于是可得，令，则，所以． 所以，即函数的图像关于直线对称，即． 因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数． 因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确． 将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确． 因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确． 因为，所以，，，，， 则有， 可得，所以D选项正确． 故选：ACD． 8.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．函数的图象关于点对称 C．点（其中）是函数的对称中心 D． 【答案】C 【分析】对于A，由为奇函数，可得的图象关于中心对称，由，可得，再求得，即可判断；对于B，对两边求导，即可判断；对于C，结合的对称性及，可得的一个对称中心为及的图象关于对称，即可判断；对于D，由已知可得的周期为，再由求解即可判断. 【详解】解：对于A，因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称； 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 令，得， 所以， 所以， 所以， 所以关于对称， 所以， 所以一定不是奇函数，故A错误； 对于B，因为， 两边求导得， 即， 所以的图象关于对称，故错误； 对于C，由A可知，关于对称， 又因为为奇函数，， 所以的一个对称中心为， 又因为， 所以， 所以的图象关于对称， 则点（其中）是函数的对称中心，故正确； 对于D，因为，关于对称， 所以， 又因为的图象关于中心对称， 所以的周期为， 所以， 故， 所以 而的值不确定，故错误. 9.(多选)已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以的图象关于点成中心对称，故A错误； 由②，②式两边对求导可得， 可知是偶函数，以替换①中的可得， 可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确； 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 因为，令，则，即， 又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，D正确. 故选：BCD. 10.已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案. 【详解】由于，则， 两式相加得， 故， 所以， 故，即， 其中两边求导得，， 故， 故， 将替换为得， 又， 故， 将替换为得， 则， 故是的一个周期， 其中， 故， 故. 故选：D 巩固基础 一、单选题 1．已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对两边求导，得，与联立可得：，这样就知道图象关于对称，再由为奇函数，又知道图象关于点对称，这样由双对称性质可知是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果. 【解析】对两边求导，得， 又由，得， 所以，可得． 由为奇函数，得，则， 令得：， 则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数， 则． 故选：C． 2．若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用赋值法，先后求出，，再令，得到，即可求解. 【解析】令，则有， 又，∴.令，. 则有，∴. 令，则有. ∵，∴，∴， ∴ . 故选：D. 3．已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解析】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题. 解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：①和②，再由利用消元思想，转化为关于的关系式是最关键之处，其次是利用的关系式求得的周期是第二关键，之后赋值求得即可得解. 4．已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解． 【解析】因为的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有． 因为，都有，所以， 所以，又函数的图象在x轴上方， 所以，所以，即函数的周期为4． 当，可得，所以， 当，可得，所以，所以， 所以. 故选：C． 5．已知定义域为R的函数满足：，，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．是奇函数 【答案】D 【分析】B选项，根据得到，故为奇函数；A选项，由B可知，赋值得到，故；D选项，由得到，D正确；C选项，化简得到，结合，求出，得到. 【解析】B选项，由得， 所以，故是奇函数，故B正确； A选项，由是奇函数得，令， 由可得， 又，得，故A正确； D选项，由得，所以，故是偶函数，所以D错误； C选项，由题意得 ， 令得， 当时，， 故，，依次求出， ，所以C正确． 故选：D 【点睛】赋值法处理抽象函数，是解决抽象函数问题的关键，需要赋值法求出一些关键函数值，并结合函数单调性和奇偶性定义进行求解. 6．设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用轴对称求得函数，利用三角函数平移变换得到函数，再利用函数的对称中心计算得到结果. 【解析】由题意得，则. 函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到. 由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点. 所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为 故选：C. 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点中心对称；通过求导判断导函数为正得在上单调递增；再利用对称性将进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得. 【解析】因为， 所以， 所以，即的图像关于点中心对称． （当且仅当时等号成立）． 因为，所以，所以在上单调递增． 由，得． 由可得，即， 所以，解得． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据函数式判断出函数图象的中心对称特点，利用导数判断函数的单调性；此外，还得会利用对称性将不等式进行简化. 8．已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 【答案】C 【分析】可以分别说明的对称中心为，从而两个函数的图象交点关于对称，即应为6的倍数，由此即可逐一判断. 【解析】因为函数满足，所以的对称中心为， 注意到 ， 所以的对称中心也是， 故两个函数的图象交点关于对称， 故应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意. 故选：C. 二、多选题 9．已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数图象的平移变换即可判断AB；令，即可判断C；根据即可判断D. 【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然， 故此函数不是关于直线对称的，故D错误. 故选：ABC. 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．是周期4的周期函数 B．图象关于点对称 C． D．图象关于点对称 【答案】AB 【分析】由周期函数的定义即可求解A，根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D. 【解析】对于A、B，因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，又为偶函数， 所以，两边求导得， 所以，即，即，关于对称， 所以，即，所以是周期为4的函数； 故A、B正确； 对于C，由，令，得，令，得， 因为，所以，即， 又周期为4，所以，故C错误； 对于D，又因为周期为4，故，即， 所以，因此， 又，则， 所以，所以，即得， 所以函数的图象关于直线对称，结合A、B结论，选项D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性以及合理赋值确定函数的对称性及周期性. 11．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：由可设，根据题意分析可得，，即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数的周期，结合周期性分析求解；对于B：分析可知，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解. 【解析】对于选项A：因为，则， 可得， 又因为，可得. 令，可得，解得， 可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确； 对于选项C：因为为奇函数， 可知的图象关于点对称，且， 令，可得，即； 令，可得； 令，可得； 由函数的图象关于直线对称，可得； 所以， 又因为，则， 可知函数的周期， 所以，故C正确； 对于选项B：由AC可知， 可得，， 所以，故B错误； 对于选项D：可得，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题 12．已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可. 【解析】由已知可得，所以， 所以，即是函数的一个周期， 所以. 故答案为： 13．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 . 【答案】2 【分析】根据奇偶性推出周期，再利用周期性可求出结果. 【解析】∵，∴，即4为函数的周期， ∴. 故答案为：2 14．已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为 【答案】. 【分析】由的性质得，，由满足的条件得，，的图象关于点对称，关于直线对称，的一个周期是4，可得的最值点与最值的结果，结合已知分析求解. 【解析】定义在上的增函数，对任意的都有且， 则，得， ，得， 当时，，则在上单调递增，且，， 函数满足，则的图象关于点对称， 得在上单调递增，且，， ，则的图象关于直线对称， 得在和上单调递减，且， 由和，得， 则有，， 故的一个周期是4，且在时取最大值0，在时取最小值-2， 若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，， 有或， ， 当时，有，方程无正整数解； 当时，有，解得； 则有，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． (1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； (2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； (3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）根据所给定义计算可得； （2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点； （3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解. 【解析】（1） 不具有“性质”．理由是：，，； 具有“性质”．理由是：，． （2） 法一：，则， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 由，可得， 所以， 即， 所以，所以且，所以且且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． （3） 令，因为具有“”性质 ， ， （为常数）， 法一： ① 若，是以为周期的周期函数； ②若，由， 当时，，这与矛盾，舍去； ③若，由， 当时，，这与矛盾，舍去． 综上，．，所以是周期函数． 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）， 若存在，这． 这与矛盾． 若存在，这． 这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去． 综上，．，所以是周期函数． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 高考函数的周期性与对称性重难点题型精练 一．选择题 1．函数是（　　） A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 【解题思路】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶性的定义可得结论． 【解答过程】解：函数的最小正周期为T2π， 定义域为{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，关于原点对称， f（﹣x）＝tan（x）＝﹣tanf（x）， 则f（x）为奇函数． 故选：B． 2．函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（　　） A．直线x＝﹣e对称 B．点（﹣e，0）对称 C．直线x＝﹣2对称 D．点（﹣2，0）对称 【解题思路】计算f（x﹣4），f（﹣x）可得f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，可得f（x）的图象的对称性． 【解答过程】解：由f（x）＝ex+4﹣e﹣x，可得f（x﹣4）＝ex﹣e﹣x+4， f（﹣x）＝e﹣x+4﹣ex， 所以f（x﹣4）+f（﹣x）＝0， 则f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称． 故选：D． 3．已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（　　） A．e3+e B．﹣e3+e C．e3﹣e D．﹣e3﹣e 【解题思路】由周期性和奇偶性求得f（2）＝0，结合，可求得a＝e3，进而得到所求答案． 【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数， ∴f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0， 又， ∴，即e3+a＝2e3， ∴a＝e3， ∴， 故选：D． 4．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（　　） A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2 C． D．f（x﹣2）是奇函数 【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D． 【解答过程】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0， 即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误； 由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1）， 即为f（﹣x）＝f（x+2）， 所以f（x+2）＝﹣f（x）， 则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 所以f（x）的周期为4，故B错误； 由f（）＝f（4）＝f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣1，故C错误； 由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确． 故选：D． 5．已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（　　） A．y＝f（x）是奇函数 B．y＝g（x）是偶函数 C．2是y＝f（x）一个周期 D．y＝g（x）关于直线x＝2对称 【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，则y＝g（x）关于x＝﹣1对称， y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则y＝f（x）关于x＝1对称， 又由y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，则y＝f（x）关于原点中心对称，故y＝f（x）是奇函数，故A正确． 对于B，y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，故y＝g（x）也是奇函数，故B错误． 对于C，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则f（2+x）＝﹣f（2﹣x）， y＝f（x）关于x＝1对称，故f（﹣x+1）＝f（x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x）， 联立可得：f（﹣x）＝﹣f（﹣x+2），变形可得f（x）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，故C错误． 对于D，因为4是函数f（x）的周期，y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，所以（﹣2，0）−是y＝f（x）的中心对称，（﹣2，0）关于y轴对称为（2，0），为y＝g（x）的对称中心，故D错误． 故选：A． 6．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足f（﹣x+2）＝f（x+2），则下列结论不正确的是（　　） A．f（4）＝0 B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 C．f（x+8）＝f（x） D．若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝﹣1 【解题思路】由已知结合函数的奇偶性，对称性及周期性分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：由f（2﹣x）＝f（2+x）可得f（4﹣x）＝f（x）．函数图象关于x＝2对称，B错误； 因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（4+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（8+x）＝f（x），C正确； 因为f（4）＝f（0）＝0，A正确； 若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝f（5）＝f（﹣3）＝﹣1，D正确． 故选：B． 7．若对∀x，y∈R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，则函数g（x）f（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和为（　　） A．4 B．8 C．6 D．12 【解题思路】求出g（x）＝φ（x）+h（x）+4，根据函数的奇偶性得到y＝φ（x）+h（x）为奇函数，求出答案即可． 【解答过程】解：∀x，y∈R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4， 取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）﹣4，故f（0）＝4， 取y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣4，故f（x）+f（﹣x）＝8， 令h（x）＝f（x）﹣4，则h（x）+h（﹣x）＝0， 故h（x）为奇函数， ∵g（x）f（x），设φ（x）， 则g（x）＝φ（x）+h（x）+4， ∵φ（﹣x）φ（x），故φ（x）为奇函数， 故y＝φ（x）+h（x）为奇函数， 故函数g（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 8．设函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个命题： ①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数； ②函数y＝f（x）﹣g（x）的图象是轴对称图形； ③函数y＝f（x）⋅g（x）的图象关于坐标原点对称； ④函数存在最大值． 其中，真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】对于①，利用反证法可得①不正确； 对于②，通过证明f（1﹣x）+g（1﹣x）＝f（x）+g（x）恒成立可得②正确； 对于③，根据f（）g（）≠﹣f（）g（），可得③不正确； 对于④，根据f（x）＝sinπx≤1，以及不等式的性质可得④正确． 【解答过程】解：对于①，假设函数y＝f（x）+g（x）是周期函数，周期为T（T≠0），则f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T）恒成立， 即sinπx+x2﹣x+1＝sin[π（x+T）]+（x+T）2﹣（x+T）+1恒成立， 即sinπx﹣sin[π（x+T）]＝2Tx+T2﹣T恒成立， 当x＝0时，得﹣sinπT＝T2﹣T， 当x＝1时，得﹣sin（π+πT）＝T2+T，即sinπT＝T2+T， 所以T2﹣T＝﹣T2﹣T，即T＝0，不合题意， 所以所以y＝f（x）+g（x）不是周期函数，故①不正确； 对于②，因为f（1﹣x）+g（1﹣x）＝sin[π（1﹣x）]+（1﹣x）2﹣（1﹣x）+1＝sinπx+x2﹣x+1＝f（x）+g（x）， 所以函数y＝f（x）﹣g（x）的图象关于直线x对称，故②正确； 对于③，因为f（）g（）＝sin（）[（）2﹣（）+1]， f（）g（）＝sin[（）21]， 所以f（）g（）≠﹣f（）g（）， 所以函数y＝f（x）⋅g（x）不是奇函数，所以函数y＝f（x）⋅g（x）的图象不关于坐标原点对称，故③不正确； 对于④，因为f（x）＝sinπx≤1，当且仅当x＝2k（k∈Z）时，等号成立， g（x）＝x2﹣x+1＝（x）2，当且仅当x时，等号成立， 所以， 所以1，当且仅当x时，等号成立， 所以函数存在最大值，最大值为，故④正确． 故选：B． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．若函数f（x+1）（x∈R）是奇函数，g（x）＝x•f（x）是奇函数，则下列选项一定正确的是（　　） A．函数f（x）图象关于点（1，0）对称 B．函数f（x）的周期为1 C．f（2021）＝0 D．f（2022）＝0 【解题思路】由g（x）＝x•f（x）是奇函数可得，f（x）为偶函数，再结合f（x+1）是奇函数，得出f（x）是周期函数，最小正周期为4． 【解答过程】解：因为g（x）＝x•f（x）是奇函数， 所以g（﹣x）＝﹣g（x），即﹣x•f（﹣x）＝﹣x•f（x）， 所以f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数， 因为f（x+1）是奇函数，所以函数f（x+1）图像关于点（0，0）对称，所以函数f（x）图像关于点（1，0）对称，因此选项A正确， f（x+4）＝f[（x+3）+1]＝﹣f[﹣（x+3）+1]＝﹣f（﹣x﹣2）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）， 所以，f（x）是周期函数，最小正周期为4，故选项B错误 因此f（2021）＝f（1）＝0，故选项C正确，f（2022）＝f（2）不一定为0，故选项D错误， 故选：AC． 10．已知函数f（x）＝||cosx|﹣|sinx||，则下列结论中，正确的有（　　） A．函数f（x）的图像关于y轴对称 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）在上单调递增 D．f（x）的值域为[0，1] 【解题思路】利用三角函数的性质及绝对值的定义对四个选项依次判断即可． 【解答过程】解：∵f（﹣x）＝||cos（﹣x）|﹣|sin（﹣x）|| ＝||cosx|﹣|sinx||＝f（x）， ∴函数f（x）的图像关于y轴对称， 故选项A正确； ∵f（x）＝||cos（x）|﹣|sin（x）|| ＝||sinx|﹣|cosx||＝f（x）， ∴是函数f（x）的周期， 故选项B错误； 当x∈时， f（x）＝||cosx|﹣|sinx||＝|cosx﹣sinx|＝sinx﹣cosxsin（x）， 故f（x）在上单调递增， 故选项C正确； ∵0≤|cosx|≤1，0≤|sinx|≤1， ∴﹣1≤|cosx|﹣|sinx|≤1， ∴0≤||cosx|﹣|sinx||≤1，即0≤f（x）≤1， 又∵f（）＝0，f（0）＝1， ∴f（x）的值域为[0，1]， 故选项D正确； 故选：ACD． 11．已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（　　） A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数 C．h（x）的图象关于直线x＝1对称 D．h（x）的图象关于点（1，0）对称 【解题思路】由已知结合函数的奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x）， 所以g（﹣x）＝f（2+x）﹣f（2﹣x）＝﹣g（x），即g（x）为奇函数，A正确，B错误； 因为h（x）＝f（2﹣x）+f（x）， 所以h（2﹣x）＝f（x）+f（2﹣x）＝h（x），即h（x）的图象关于x＝1对称，C正确，D错误． 故选：AC． 12．已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x），函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，若当x∈（0，1]时，，则（　　） A．f（x）偶函数 B．f（x）为周期函数 C．f（2023）＝﹣1 D．当x∈[3，4）时， 【解题思路】根据条件分别判断函数的奇偶性，周期性，利用奇偶性和周期性进行转化求解即可． 【解答过程】解：∵f（x+4）＝﹣f（x）， ∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，故B正确， ∵函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称， ∴将f（x+1）的图象向右平移一个单位得到f（x），即f（x）关于x＝0对称，即关于y轴对称，则f（x）是偶函数，故A正确， f（2023）＝f（253×8﹣1）＝f（﹣1）＝f（1）1，故C错误， 当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（﹣x），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）f（x），即当x∈[﹣1，0）时，f（x）， 当x∈[3，4）时，当x﹣4∈[﹣1，0）， 则由f（x+4）＝﹣f（x），得f（x）＝﹣f（x﹣4），故D正确， 故选：ABD． 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1，则f（2.5）＝　1　． 【解题思路】由奇函数和周期函数的定义可得所求值． 【解答过程】解：函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1， 则f（2.5）＝f（2+0.5）＝f（0.5）＝﹣f（﹣0.5）＝1， 故答案为：1． 14．已知函数f（3x+1）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）+g（﹣x）＝　2　． 【解题思路】利用奇函数的定义可把已知转化为f（t）+f（2﹣t）＝0，从而可得函数f（x）关于（1，0）对称，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）关于（0，1）对称，代入可求． 【解答过程】解：∵函数y＝f（3x+1）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣3x+1）＝﹣f（3x+1）， 令t＝1﹣3x代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0， 函数f（x）关于（1，0）对称， 由函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称， 函数g（x）关于（0，1）对称，从而有g（x）+g（﹣x）＝2， 故答案为：2． 15．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝　0　． 【解题思路】根据f（x）的图象关于直线x＝1对称，以及f（x）是奇函数，可推得f（x）是以4周期的周期函数，分别求出 f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，由于f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0，即可求解． 【解答过程】解：∵f（x）的图象关于直线x＝1对称， ∴f（2﹣x）＝f（x）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x） ∴f（2+x）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x）， ∴f（x）是以4周期的周期函数， ∵f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0． 故答案为：0． 16．已知函数f（x）＝|sinx|+cosx，现有如下几个命题： ①函数f（x）为偶函数； ②函数f（x）最小正周期为2π； ③函数f（x）值域为； ④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则函数f（x）单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为　①②④　． 【解题思路】根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，作出函数的草图，据此分析4个命题，综合即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝|sinx|+cosx，其图象如图： 依次分析选项： 对于①，f（x）＝|sin（﹣x）|+cos（﹣x）＝|sinx|+cosx＝f（x），即函数f（x）为偶函数，正确； 对于②，f（x）＝|sinx|+cosx，其最小正周期为2π，正确； 对于③，函数f（x）值域为[﹣1，]，错误； 对于④，函数f（x）单调递增区间长度的最大值为，正确； 则其中正确的为①②④； 故答案为：①②④． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．判断下列函数的奇偶性及周期． （1）f（x）＝sinx+tanx；（奇偶性） （2）y＝sinx•cosxcos2x． 【解题思路】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义判断即可． （2）先化简，再求定义域，根据周期公式求周期，根据奇偶性的定义判断奇偶性． 【解答过程】解：（1）由题干可知，x∈{x|x}，关于原点对称． 则f（﹣x）＝sin（﹣x）+tan（﹣x）＝﹣sinx﹣tanx＝﹣（sinx+tanx）＝﹣f（x）． 所以为奇函数． （2）y＝sinx•cosxcos2x cos2x ＝sin2xcoscos2xsin ＝sin（2x）． Tπ． 定义域为R，关于原点对称． 则f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x）． 很显然不具有奇偶性． 18．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）． （1）求f（1）和f（﹣1）的值； （2）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式． 【解题思路】（1）由已知中在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，可得f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1），进而求出f（1）和f（﹣1）的值； （2）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）．由f（x）是奇函数，可得f（x）＝﹣f（﹣x），结合已知及（1）中结论，可得答案． 【解答过程】解：（1）∵f（x）是周期为2的奇函数， ∴f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）， ∴f（1）＝0，f（﹣1）＝0．…（4分） （2）由题意知，f（0）＝0． 当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）． 由f（x）是奇函数， ∴f（x）＝﹣f（﹣x）， 综上，f（x）（12分） 19．已知函数f（x）＝ax+k•bx，其中k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1． （1）若ab＝1，试判断f（x）的奇偶性； （2）若a＝2，b，k＝16，证明f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴． 【解题思路】（1）由ab＝1得出，从而得出f（x）＝ax+k•a﹣x，容易得出k＝1时，f（x）为偶函数，k＝﹣1时，f（x）为奇函数，从而得出f（x）的奇偶性； （2）先得出f（x）＝2x+16•2﹣x，若f（x）的图象是轴对称图形，并设对称轴为x＝m，从而得出f（x+m）为偶函数，从而得出f（m﹣x）＝f（m+x），即得到2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m，化简即得到（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0，从而得出2m﹣16•2﹣m＝0，求出m即可． 【解答过程】解：（1）ab＝1，a＞0，b＞0； ∴； ∴f（x）＝ax+k•a﹣x，则f（﹣x）＝a﹣x+k•ax； ①若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即：a﹣x+k•ax＝ax+k•a﹣x； ∴（k﹣1）（ax﹣a﹣x）＝0对任意实数x恒成立； ∴k＝1； ②若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即：a﹣x+k•ax＝﹣ax﹣k•a﹣x； ∴（k+1）（ax+a﹣x）＝0； ∴k＝﹣1； 综上，k＝﹣1时，f（x）是奇函数，k＝1时，f（x）是偶函数，k≠±1时，f（x）是非奇非偶函数； （2）证明：f（x）＝2x+16•2﹣x； 若f（x）的图象是轴对称图形，对称轴设为x＝m，则函数f（x+m）为偶函数； ∴f（m﹣x）＝f（m+x）； 即2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m； 化简得，（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0； ∵上式对任意的x∈R都成立； ∴2m﹣16•2﹣m＝0； ∴m＝2； ∴f（x）的图象是轴对称图形，对称轴为x＝2． 20．设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x），当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x． （1）判定f（x）的奇偶性； （2）试求出函数f（x）在[﹣1，2]上的表达式． 【解题思路】（1）由f（x）是最小正周期为 2的函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），知f（1+x）＝f（﹣（1+x）），得f（x）是偶函数； （2）由﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，得0≤x≤1时，f（x）；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）； 【解答过程】解：（1）∵f（x）是R上的周期函数，最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x）， ∴对于任意x∈R，都有f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（1﹣x﹣2）＝f（﹣1﹣x）＝f（﹣（1+x））， 即f（﹣x）＝f（x）；所以，f（x）是R上的偶函数； （2）∵当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x， ∴当0≤x≤1时，有﹣1≤﹣x≤0， ∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝x，又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x； 当1≤x≤2时，有﹣1≤x﹣2≤0，且f（x）是最小正周期为 2的函数， ∴f（x）＝f（x﹣2）＝﹣（x﹣2）＝﹣x+2； ∴f（x）在[﹣1，2]上的表达式为：f（x）； 21．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）＝﹣1． （1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明； （2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集． 【解题思路】（1）先求f（﹣1）的值，令y＝﹣1，推出f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），f（﹣x）＝f（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性． （2）根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【解答过程】解：（1）令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），得f（1）＝0； 再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）＝0． 对于条件f（x•y）＝f（x）+f（y），令y＝﹣1， 则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x）． 又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数． （2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则有1． 又∵当x＞1时，f（x）＜0， ∴f（）＜0 而f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）＜f（x1） 即f（x2）＜f（x1）， 所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数． ∵f（2）＝﹣1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣1﹣1＝﹣2， f（16）＝f（4）+f（4）＝﹣2﹣2＝﹣4； 则由f（3x﹣2）+f（x）+4≥0得f（3x﹣2）+f（x）≥﹣4， 即f[x（3x﹣2）]≥f（16）， ∵函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴或， 得或． 得﹣2≤x＜0或x或0＜x， 即不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或0＜x或x}． 22．函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函数，h（x）＝ax+b，a，b为常数． （1）g（x）＝sinx，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，n）”； （3）g（x）＝sinx+cosx，|f（x）|在x∈[0，3π]上的最大值为M，求M的最小值． 【解题思路】（1）求出f（x）的解析式，通过讨论b的值，判断函数的奇偶性即可； （2）根据充分必要条件的定义以及函数的对称性证明即可； （3）求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出M的最小值即可． 【解答过程】解：（1）f（x）＝g（x）+h（x）＝sinx+ax+b， 若f（x）为奇函数，则，故b＝0，a∈R， 若f（x）为偶函数， 则f（x）＝f（﹣x）⇒2sinx+2ax＝0对x∈R恒成立⇒不存在，a，b满足条件， ⇒若b＝0，则f（x）为奇函数，若b≠0，则f（x）为非奇非偶函数； （2）证明：若f（x）为奇函数，则f（0）＝0⇒g（0）＝﹣b， 且f（x）+f（﹣x）＝0，则g（x）+g（﹣x）＝﹣2b， 设g（x）的周期是T，则f（x+T）+f（﹣x+T）＝2aT， 故f（x）的图象有异于原点的对称中心（T，aT），必要性得证， 取g（x）＝sinx，h（x）＝1，则f（x）＝sinx+1关于（π，1）对称， 但f（0）＝1≠0，则f（x）不是奇函数，非充分性得证； （3）f（x）＝sinx+cosx+ax+bsin（x）+ax+b， 取a＝b＝0，则M，若存在更小的M， 则当x和时，ax+b≤0， 当x时，ax+b≥0， 故不存在最大值，最小值是Mmin． 高考函数的周期性与对称性的综合灵活应用 1．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A．4040 B．4044 C．4046 D．4048 【答案】D 【解析】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，则，即，即， 则，即，于是， 因此，函数是周期为4的函数， 由，，得， 所以. 故选：D 3．已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则且，可得，A错； 令，则，可得，即，B错； 由上分析，，，则， 所以，C对； 当且时，，所以，D错. 故选：C 4．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，，设，， 则，，，，， 所以函数的周期为6， 故，，，． 由，则，即， 由，则，即， 所以，可得无法确定． 所以，无法判断． 综上所述，． 故选：B. 5．（多选题）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，令，得，故A正确；对于B，由，得的图象关于直线对称，故B错误； 对于C，把中的替换为（关键：对任意实数成立，则对任意也成立），得，故C正确； 对于D，因为是上的奇函数，所以，，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 所以，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 法二：由，得函数的图象关于直线对称， 由为上的奇函数，得，，，，所以是以4为周期的函数， 不妨设，，由对称性得，又， 所以，且，解得，，所以，； 当时，，由得. 对于A，，故A正确； 对于B，，从而的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，等价于的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 则结合解析式得， 从而，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选题）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【解析】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 7．（多选题）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 8．（多选题）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 9．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以，则为奇函数，故A错误； 对于B，令，，即， 所以4是的一个周期，8也是的一个周期，故B正确； 对于C，令，， 所以，所以关于对称，且， 又周期为4，所以，故C正确； 对于D，令，得，即， 令，，得，所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC． 10．已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 【答案】1 【解析】令，得， 令，得，所以． 将代入，可得． 令，得， 又因为恒成立，且不恒为， 所以，从而为奇函数， 又由，可得， 所以，所以为的周期， 于是， 故答案为：. 11．已知函数满足：，，，若，则 . 【答案】2024 【解析】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故答案为：2024. 12．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【解析】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案为： 13．已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则 ． 【答案】2 【解析】因为函数为奇函数，为偶函数， 所以，， 则，所以为周期函数，且周期为4， 因为，所以为周期函数，且周期为4， 所以． 故答案为：2 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 【答案】 【解析】令，可知， 又因为，可得，所以； 令，可得， 所以， 因为是奇函数，可知为偶函数， 因此； 由两式相减可得； 即， 可得； 所以，即函数的周期为3，所以的周期也为3； 可得 . 故答案为： 15．已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 令可得， 令可得，， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：. 16．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 【答案】2 【解析】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 17．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为 . 【答案】/0.5 【解析】因为， 当时，，， ，则， 所以， 所以是等比数列，公比为，， 所以， ，则， 所以，即是周期函数，且周期为4， ，则， ， 上述展开式中，从第二项开始每一项都是8的倍数，也是4的倍数， 所以， 故答案为：． 综合测评 1．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【答案】B 【解析】由，得，又因为， 所以，故，， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，得，所以， 所以也是以4为周期的周期函数， 因为当时，，所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 又因为，所以，所以. 故选：B. 2．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 【答案】D 【解析】由得，且函数关于点对称； 由得. 又由得， 所以，得函数是周期为2的函数， 当时，，故. 故选：D 3．已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以函数是以4为周期的周期函数. 因为当时，，所以函数在上单调递增. 函数的草图如下： 根据图象可知，若，则，， 解得，. 所以实数的取值范围是：，. 故选：D 4．函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，令，得； 令，得），所以； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数.令，得， 所以； 用替换，可得， 所以，所以， 所以， 即.所以， 故是以6为周期的周期函数，又， 所以. 故选：C. 5．设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由， 令则； 所以可得：， 也即， 令，有， 即， 所以， 两式相加得到：，即 所以， 所以的周期为， 令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾， 所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 所以， 故选：A 6．已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 7．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 8．（多选题）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确； 对两边求导得，令，得，故B错误； 对于，当时，因为在上单调递减，所以，不符合题意； 当2时，因为在上单调递增，所以，且； 当时，因为，所以，所以，所以，由，可得， 因为，所以，又在上单调递增，所以，所以，故C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 当时，，且，所以，，所以对，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 10．（多选题）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 【答案】ABC 【解析】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【解析】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 12．（多选题）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，令，， 因为，所以，故A正确； 设，则 显然满足条件，但是，故B错误； 对于C，令， ， 所以， 又，所以为偶函数， 即，故C正确； 对于D，设，类似A中推导，可知满足题设条件， 但最小正周期是，故D错误， 故选：AC 13．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称， 将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象， 则的图象关于点中心对称，即①，故选项A正确； 选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误； ①②两式相加可得，，则 ，， 则 ，故选项C正确； 对①②两式分别求导得，③，④， ③④两式联立可得，⑤，再将替换为， 得⑥，⑤⑥两式联立可得，， 则的周期为4，故， 在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确. 故选：ACD. 14．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，令，则， 即，即， 又是奇函数，即，即， 则， 故A错误； 又，由，令，则， 由，令，则， 令，则，故B正确； 由，两边求导可得，即，故C正确； 由A可知，，两边求导可得， 即，所以是周期为的函数， 又，两边求导可得， 即，令，则，又， 则，令，则，又， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：BCD 15．（多选题）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（    ） A．4是的一个周期 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 用代换上式中的可得，所以关于点对称， 因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即， 又， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数的周期为，故正确； 因为，所以， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以，所以是偶函数，故正确； 因为，所以， 即，故正确； 因为关于点对称，， 因为，令可得， 又关于直线对称，所以， 所以， 所以，故不正确. 故选：. 16．（多选题）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的一个周期 C． D． 【答案】ABD 【解析】在中用代替， 得，即， 所以，则的图象关于点对称，A正确； 又，且为上的偶函数， 所以，用代替得，2）， 所以，所以为周期函数，且4为其一个周期，B正确； 由得，，， 所以， 所以C错误； 由得，，且， 所以，D正确. 故选：ABD. 17．（多选题）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【解析】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 18．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 【答案】3 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 19．若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数定义域为，为偶函数， 所以， 用替换可得， 因为的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于原点成中心对称， 所以， 所以， 又，， 所以，故， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 由，可得，，， 又，故， 所以， 所以，， ，， 所以. 故答案为：. 20．已知，函数，若，则 ． 【答案】1 【解析】令，可得，所以， 所以，又， 所以，则，即， 因为，所以，，经验证满足题设， 所以． 故答案为：1 21．已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】5 【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与的图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 故答案为：5 22．已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 23．已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 故， 故答案为： 24．已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意，函数的定义域为， 由函数关于直线对称，得， 令，则，即， 令，则，即， 联立，解得， 则， 令，解得， 所以函数的所有零点之和为； ， 令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，有最小值，最小值为，则， 所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由，得，解得， 所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小， 即的最小值为. 故答案为：；. 25．已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 【答案】 0 16 【解析】， 而， ，故的对称中心为， 在平面直角坐标系中，画出和在上的图像， 由图象可得的图象在上共有4个不同的交点， 它们的横坐标的和为， 故答案为：. 26．已知函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】3 【解析】由知，即， 所以函数的定义域为 由函数的图象关于直线对称， 所以，且恒成立， 即， 所以，整理得， 所以，故 故答案为：3 27．已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 28．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】关于对称，则 ∴，则关于对称， ， ∴，则． 故答案为：；． 29．若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 又的图象关于点成中心对称， 所以在函数的图象上取两点，， 则它们关于点对称的点，也在函数的图象上， 所以，即， 解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$