第06讲 函数的周期性 讲义-2026届高三数学一轮复习

第06讲 函数的周期性 一、函数周期性的定义 1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） 若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。或（ 若函数满足，则．） 推论 （1）若，则； （2）若， 则； （3）函数满足，则． （4）若函数满足，则． （5）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数 （6）若（），那么是周期函数，其中一个周期 （7）若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期． （8）函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周 （9）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． （10）如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 （11）如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 （12）如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 （13）如果偶函数的图像关于（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 注意：x的系数同为为1，具有周期性 二、函数的对称性 （一）．函数自身的对称性结论 对称轴： 定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。 推论： （1）.若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。 （2）. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。 （3）．函数 y = f (x)的图像关于y轴对称即偶函数的充要条件是f (x) = f (－x) （4）.若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。 （5）.函数是偶函数关于对称。 注意：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程 对称中心：定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），函数的图象关于点对称。 推论: （1）则函数的图象关于点对称 （2）若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。 (3)函数的图象关于点对称。 (4)函数的图象关于原点对称（奇函数）。 (5)函数是奇函数关于点 对称。 (6)函数的图像关于原点对称即奇函数的充要条件是f(x)+f(－x)=0 注意：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 （二）不同函数的对称性结论 对称轴 定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。 推论 （1）.函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 （２）.函数与函数的图象关于直线对称 （３）. 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 中心对称 定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。 推论 （1）. 函数与函数图象关于点对称。 （２）.函数的图象关于点对称的解析式为 （３）. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 （４）.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。　 ３.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 ４、曲线与关于直线对称。 ５、曲线关于直线对称曲线为。 ６、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ７、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 ８、曲线关于点对称曲线为。 三．三角函数图像的对称性 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2 y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无 注：上表中k∈Z 三、函数对称性与周期性的关系 1.若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期． 2.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周 3.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1.如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 2.如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 3.如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 4.如果偶函数的图像关于（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 五、类周期函数 1、类周期函数的定义 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，． 六、周期性的应用 （1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． （2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． （3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． （4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 互为反函数的两个函数关于直线对称。 七、特殊函数对称中心 1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为. 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）. 八．常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1）对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2）对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数 （3）对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4）对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要） （5）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要） （6）对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为或 补充：对于对数函数，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 6、三角函数： 三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例 （7）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： （8）对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （9）对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型 （10）对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式 ①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。 ②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到。 ④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。 抽象函数满足条件 代表函数 1 （） 2 （） 3 （） 4 5 6 7 8 或 九．抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 十、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 十：已知定义在D上的函数，为的导函数 1、若关于对称，则关于对称 【简证】因关于对称，所以， 同时求导得，故关于对称 2、若关于对称，则关于对称（证明同上） 3、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 即： 设：，则 所以，(c为常数)， 所以 即∀ 所以的图象关于点对称． 4、若关于对称，则关于对称 【简证】因为，导函数图象关于点对称，则． 设：，则 所以，(c为常数)，又 所以，的图象关于对称． 注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数 题型01：判断证明函数的周期性 1.定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，定义在上的函数满足， 所以， 所以是周期为的周期函数.故选：B. 2.定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，定义在上的函数满足， 所以， 所以是周期为的周期函数. 故选：D 3.已知是定义域为的偶函数，且满足，则下面给出的等式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是R上的偶函数， 又， 即，所以2是的一个周期， 同时4，6也是的周期 所以选项ACD正确，选项B错误. 故选：B. 4.已知函数，求证：为周期函数. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题得 . 所以是周期的周期函数. 5.已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【解析】因为的周期是3， 所以，令， 则，所以的周期为6， 故选：C． 6.函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为 ． 【答案】4 【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解. 【解析】，，又为奇函数， 是周期为的周期函数. 故答案为：4. 7.已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可. 【解析】因为，所以奇函数的周期为. 所以 故答案为: 8.函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 故选：A 9.已知函数的定义域为为偶函数，，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的对称性，可求出周期，可证得函数为偶函数. 【解析】已知函数的定义域为，为偶函数，则， 函数图像关于直线对称，有， 又，则， 令，有，所以函数周期为2. ，函数为偶函数，A选项正确； ，C选项错误； 已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误； 故选：A 题型02：利用函数周期性求值 1.已知函数对于任意实数x满足，若，则 （    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值. 【详解】由，，可知，函数的周期， . 故选：C 2.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】依题意可得，从而得到是以为周期的周期函数，再根据所给函数解析式及函数的周期性、奇偶性计算可得. 【详解】，，是的一个周期， 又当时，， ． 故答案为： 3.设函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】512． 【分析】根据得，由可依次递推得到. 【详解】，， ，， ， ，， ，， ． 故答案为：512． 4.已知为上的奇函数，满足，且当时，，则（ ） A．-4 B．-3 C．4 D．3 【答案】A 【解析】因为奇函数满足， 所以，即 所以函数的周期为， 所以. 故选：A. 5.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数是偶函数， ∴， 又∵， ， ， ， ∴函数的周期为4， ∴. 故选：D. 6.若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】，则， 所以，即， 为周期函数，最小正周期为4， 则， 令得：，即， 又因为为偶函数，所以， 故，即，因为，所以. 故选：D 7.函数对于任意实数x满足条件，若，则______. 【解析】令，，则. 令，，则； 令，，则. 故答案为: 8.已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（ ） A．0 B． C．2 D．6 【答案】C 【解析】令，则，所以， 则， 故，所以是周期为的周期函数， 所以. 故选：C 9．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合奇函数的定义分析可得是意为周期的周期函数，且，，利用周期性运算求解即可. 【详解】因为，即， 又因为是定义域为的奇函数，则， 可得， 所以是以4为周期的周期函数， 且，，， 可得， 因为， 所以. 故答案为：0. 10．函数的定义域为，且，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答. 【详解】函数的定义域为，由， 得， 因此函数是以3为周期的周期函数，且，即， 由，得，又，，从而， 所以. 11.若偶函数对任意都有，且当时，，则______． 【解析】因为，所以， 所以周期为6，且为偶函数，当时，， ， ，所以， 根据函数为偶函数， 所以， 即. 故答案为：. 12.已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 所以 又当时，，所以 即. 故选：C. 13.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________. 【解析】因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上, 所以，， 又，即，解得， 所以， 故答案为：. 14.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________． 【答案】 【解析】∵是周期为2的函数 ∴， 又∵，即，则 ∴ 故答案为：． 15.已知函数，则__________． 【答案】2 【解析】因为， 所以当时，函数的周期为， 所以， 故答案为：2 16.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】当时，－， 所以 即当时，， 所以， ， 所以f(－2 015)＋f(2 017). 故选：A 17.】已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则______. 【答案】2 【解析】由题得， 所以函数的最小正周期为. 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以， ， 所以， , 所以. 故答案为：2 18.的定义域为，且，，则（ ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】C 【解析】令，则，即， 所以，， 所以， 所以， 所以的周期为6， 令，则，得， 因为， 所以， ， ， ， ， 所以， 所以 故选：C 19.已知是定义在上的函数，且，若，则____________ 【答案】 【解析】，， 是以8为周期的函数， 故 故答案为：． 20．已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为2 C． D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可. 【详解】函数关于点中心对称，因此选项D不正确； 又因为函数为偶函数，所以， 由， 所以函数的周期为，所以选项B不正确； 因为函数是周期为的偶函数， 所以，因此选项A不正确； 在中，令，得， 因为函数的周期为，因此选项C正确， 故选：C 21．函数的定义域为，已知当时，，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可知4为函数的周期，根据函数的周期性运算求解. 【详解】因为，则， 又因为，则，可得， 则， 可知4为函数的周期， 所以. 故选：D. 多选题 1．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．的图象关于对称 C．为偶函数 D．是周期为的函数 【答案】ABD 【分析】依题意得到的对称性，从而得到其周期，再利用特殊值判断A，即可得解. 【详解】， 关于对称， 是将的图象向左平移个单位． 关于对称，故为奇函数，故C错误； 又． 关于对称，故B正确； ， 又， ， 即， ， ， 即，所以是周期为的函数，故D正确； 又，令，则，所以，故A正确； 故选：ABD． 2．已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A． B．4是的一个周期 C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知整理可得，赋值即可判断A项；根据复合函数的求导法则，即可得出，，从而得出的对称性以及周期性，进而判断B、C项；由A得出，赋值分组求和，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知，， 可得，， 整理可得，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 所以， ，故A项错误； 对于B项，由已知可得，， 两边同时求导可得，，， 所以，，. 所以，关于直线对称，关于点对称， 所以，4是的一个周期，故B正确； 对于C项，由B知，. 当时，有，故C项正确； 对于D项，由A知，. 所以有，，，，，. 又时，代入，即可得出， 所以， ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：D项，赋值得出数据，找出规律，然后分组求和. 3．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇偶性定义式可推导证得是以为周期的周期函数且，由此依次推导判断各个选项即可. 【详解】为奇函数，，即， 令，则，解得：； 为偶函数，，即， ，即， ， 是以为周期的周期函数； 对于A，由知：，A正确； 对于B，，的值无法确定，的值无法确定，B错误； 对于C，由A知：，C正确； 对于D，，的值无法确定，的值无法确定，D错误. 故选：AC. 4．已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（    ） A．2是的周期 B．不是图象的对称轴 C． D．是图象的对称中心 【答案】AC 【分析】由周期性、对称性的定义判断． 【详解】时，， 由知2是的一个周期，A正确； 由得是图象的一条对称轴，从而也是图象的一条对称轴，时，，BD错误； ，C正确； 故选：AC． 5．函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（    ） A．一定是周期函数 B．在单调递增 C． D． 【答案】AC 【分析】由抽象函数的性质一一判定即可. 【详解】∵是奇函数，∴， ∴，故C正确； 又， 故， 即是的一个周期，故A正确； 由是奇函数知关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致， 由，则时，，显然此时函数单调递减，即B错误； 由上可知：，故D错误. 故选：AC. 解答题 1．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期； （2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式. 【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，. 2.已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 【解析】(1)∵， ∴. (2)∵对任意的，满足 ∴， ∴函数是以4为周期的周期函数. (3)设，则， ∵当时，， ∴当时，， 又∵， ∴ ∴. 题型03：利用奇偶性与函数周期 1.已知是定义在R上的函数，为偶函数且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的周期为3 C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以，所以， 所以，即函数的周期为，故A B不正确； 又，即，所以， 所以，故C正确； 的值不确定，故D不正确. 故选：C. 2.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】左移个单位得到，与的奇偶性相同， 由于为奇函数，图象关于原点对称， 所以关于对称，即， 左移个单位得到， 由于为偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称，所以， 所以， 所以. 所以的周期为.故选：D 3.已知是定义域为的奇函数，且为偶函数．若，则______． 【答案】1 【解析】 是定义域为的奇函数，且为偶函数， 则有 ，即， ∴， 则函数 是周期为4的周期函数，又， ∴ . 故答案为：1. 4.函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 5.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 6.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得 所以，则. 7.已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论. 【详解】因为为偶函数，所以； 因为是上的奇函数，所以， 且的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于点对称，进一步得的图象关于点中心对称，即. 所以，所以.所以函数是周期函数，且周期为； 又在上单调递增，所以在上，有. 所以函数的草图如下： 由图可知：，故A错；，故B对；，故C错； ，故D对. 8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 【答案】D 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以，故D正确. 9.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由为奇函数得到函数的对称中心，由为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函数的周期，然后将与转化到已知区间求解即可. 【详解】因为函数定义域为，为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，且， 因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称， 又因为，所以函数的周期为， 因为当时，， 所以，， 所以. 10.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且， 又为偶函数，，则关于对称，所以②， 由①②可得，即，所以， 于是可得，所以的周期， 则，所以为偶函数 则，所以，所以 所以，解得，所以当时， 所以. 11.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 12.（多选）已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论. 【详解】因为为偶函数，所以； 因为是上的奇函数，所以， 且的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于点对称，进一步得的图象关于点中心对称，即. 所以，所以.所以函数是周期函数，且周期为； 又在上单调递增，所以在上，有. 所以函数的草图如下： 由图可知：，故A错；，故B对；，故C错； ，故D对. 14.已知奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（    ） A．10 B． C． D．5 【解析】因为为偶函数， 所以，即， 因为函数是奇函数， 所以， 则，即， 所以的周期为4． 因为，，，， 所以， 故． 故选：C 15．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝16x，则f（）+f（1）＝（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．12 D．20 【解题思路】由奇函数和周期函数的定义可得f（1），再由所给区间上的解析式和周期的定义，求得f（），可得所求和． 【解答过程】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数， 可得f（﹣1）＝f（1）＝﹣f（1），则f（1）＝0； 当0＜x＜1时，f（x）＝16x， 则f（）＝f（2）＝f（）＝﹣f（）＝﹣164， 所以f（）+f（1）＝﹣4． 故选：B． 16.若f（x）是R上周期为3的偶函数，且当时，f（x）＝log4x，则（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f（）＝f（），结合函数的解析式分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，f（x）是R上周期为3的偶函数，则f（）＝f（）， 又由当时，f（x）＝log4x，则f（）＝log4； 故； 故选：C． 17.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝2+|x+1| B．f（x）＝3﹣|x+1| C．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝x+4 【解题思路】①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，由题意可得：f（x+4）＝x+4．再根据函数的周期性可得f（x）＝f（x+4）＝x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，由题意可得：f（2﹣x）＝2﹣x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式． 【解答过程】解：①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]， 因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x， 所以f（x+4）＝x+4． 又因为f（x）是周期为2的周期函数， 所以f（x）＝f（x+4）＝x+4． 所以当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝x+4． ②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]， 因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x， 所以f（2﹣x）＝2﹣x． 又因为f（x）是周期为2的周期函数， 所以f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x． 因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数， 所以f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x． 所以由①②可得当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|． 故选：B． 18.已知f（x）为定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（　　） A．e3+e B．﹣e3﹣e C．e3﹣e D．﹣e3+e 【解题思路】由奇函数和周期函数的定义求得f（2）＝0，结合已知区间上的f（x）的解析式求得a的值，即可得到所求值． 【解答过程】解：f（x）为定义在R上的周期为4的奇函数， 可得f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0， 当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a， 若，即f（404）﹣f（4×505+2）＝f（）﹣f（2） ＝e3+a﹣0＝2e3，解得a＝e3， 所以f（）＝f（404）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（e+a）＝﹣e﹣e3， 故选：B． 题型04：对称性与周期性 1.已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的周期为2 D． 【答案】B 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以，即. 用x代换上式中的2x，即可得到， 所以关于直线对称. 函数关于点对称， 所以，即 所以关于点对称. 对于，令x取x+1，可得：. 对于，令x取x+2，可得：. 所以，令x取-x，可得：， 所以，令x取x+2，可得：， 即的最小正周期为4.所以C、D错误； 对于B：对于，令x取x-3，可得：. 因为的最小正周期为4，所以， 所以，即.故B正确. 对于A：由，可得为对称轴， 所以不能确定是否成立.故A错误. 故选：B 2.函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（    ）    A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案. 【解析】由的解析式可知，， 中，令得，令得， 故，，即，． 故的周期．即，解得， 故，则，得，． 因为，所以．则． ，，， ，，， ，，……， 因为，． 所以． 故选：D． 3.（多选）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得函数是奇函数，且的图象关于对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以函数的图象关于对称， 对于A，若是奇函数，则， 故，与题意矛盾，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误； 对于D，由B选项可得，所以函数是以为周期的周期函数， 因为是奇函数，所以，则，， 由，可得， 所以， 则，故D正确. 4.函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点. 【答案】6 【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数. 【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且. 又，即，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以，所以4是函数的一个周期， 所以.易知函数在上单调递增， 且， 所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上. 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点. 因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点. 因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点. 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 5.（多选）定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D错误； 故选：AC. 6.函数的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且 ，进而求解结果. 【详解】由， 可知，， 易得 ，所以 ， 即 ， 又 ，易得 ， 又 ，则 ， 所以 是周期为4的周期函数，且 ， 综上， , ， 所以 . 7.定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：） 【答案】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称， 设，则， 即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为的周期函数， 则，当时，，则，可得， 即当时，，所以，，， ，， 所以， . 故答案为：. 8.已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果. 【详解】，① ， 即，所以， 所以函数的图象关于对称， 令，则，所以， 令，，又，所以， 又，，② 即函数的图象关于直线对称， 且由①和②，得， 所以，则函数的一个周期为4， 则，所以. 9.已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B．50 C．2509 D．2499 【解题思路】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以， 即，从而， 则的图象关于点对称． 由，可得． 令，得，则的图象关于直线对称． ， 则的图象关于点对称，则有， 所以，， 两式相减得，故是以4为周期的函数． 因为，，，， 所以 ． 故选：D. 10.(多选)已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 11.(多选)已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 12..已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对两边求导，得，与联立可得：，这样就知道图象关于对称，再由为奇函数，又知道图象关于点对称，这样由双对称性质可知是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果. 【解析】对两边求导，得， 又由，得， 所以，可得． 由为奇函数，得，则， 令得：， 则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数， 则． 故选：C． 13.定义在上的函数满足下列三个条件： ①； ②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 【解析】先由，得函数周期为6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称，进而得到f（1）=f（5）；最后利用条件（2）得出结论． 因为， 所以； 即函数周期为6，故； 又因为的图象关于y轴对称， 所以的图象关于x=3对称， 所以； 又对任意，都有； 所以． 故选:D． 14.对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________. 【解析】对，函数满足，则关于直线对称，所以①； 函数满足，则关于点对称，所以②； 由①②得：，则是周期函数，周期为 所以 又时，，即在上单调递减 所以，即. 故答案为：或. 15.定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（    ） A． B． C． D． 【解析】，即，，所以，函数是以为周期的周期函数. 又，则函数的图象关于直线对称. ，，则函数的图象关于点对称，易知函数的图象也关于点对称，如下图所示： 函数的图象与函数在上没有交点，并且函数在上的图象关于点对称，且函数在区间上的图象也关于点对称，两个函数在区间上共有个公共点，且这些公共点呈现对关于点对称，因此，方程在上所有根的和为. 故选C. 16.已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 即， 令，可知，即， 又函数的周期为， 则 17.已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（    ） A．202 B．204 C．206 D．208 【答案】C 【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果. 【详解】因为，所以①，即有②， 由①②得到，所以函数的周期为， 又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数， 又由，得到，，， 又，所以，故 18.若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解. 【详解】由，得，则，即函数的周期为4， 由是R上的奇函数，得，即， 于是，，即， 因此，AB错误； 由，取，得，则， 因此，取，得， 于是， 则，C错误，D正确. 19.（多选）已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（    ） A． B． C．是与的等差中项 D． 【答案】ACD 【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【详解】因为， 所以， 两式相减得， 所以的周期为4. 因为是奇函数， 所以，所以， 即， 令，得. 因为， 令，得， 所以，即. 因为， 令，得， 所以， 所以， 所以，故A正确. 因为， 所以，即，所以. 因为，，所以B错误. 因为，， 所以， 所以是与的等差中项，故C正确. 因为， 所以，故D正确. 20.函数的定义域为，且，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答. 【详解】函数的定义域为，由， 得， 因此函数是以3为周期的周期函数，且，即， 由，得，又，，从而， 所以 21.定义在上的函数满足，，若，则 ， . 【答案】 0 -100 【分析】根据得到，，从而得到，即的一个正周期为4，故，用赋值法得到，求出，再求出关于对称，关于对称，结合，求出，，结合函数的正周期，求出的值. 【详解】由可得：， 即，将替换为得： ，两式相减得：， 即的一个正周期为4， 因为，所以， 又中令得：， 所以， 中令得：，故， 故； 由知：关于对称， 因为的最小正周期为4，所以， 故，即关于对称， 因为，所以， ， 由知：， 所以，则， 因为的最小正周期为4， 所以 . 故答案为：0，-100 22.已知函数的定义域为R，且，为奇函数，， 则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案. 【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以. 由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以， 所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则. 令可得，，所以，所以， 所以，有，即有. 令，则有； 令，则. 综上，，，，. 所以， ， 所以，. 23.定义在R上的函数满足，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以，则， 所以是以为周期的周期函数， 所以，又，所以， 又，所以， 即且， 由，所以，，， 所以 题型05：奇偶性对称性与周期性 1.已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（    ） A．0 B．4 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到的一个周期为，进而求得，即可求解. 【解析】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则， 故选：D. 2.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 3.已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为是偶函数，所以， 将换为，得①(即对称轴x=-2)， 又因为，所以， 将换为得②(即对称中心（-1,0））. 由①②得， 令,则,所以, 将换得③, 将换为为得④. 由③④得，将换为得⑤ 所以函数是周期为的周期函数（由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4）， 当时，，则，， 由③得，由④得， 根据周期性⑤得： ，，，， 所以， 又因为，故 . 4.(多选)已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD. 【详解】∵，∴关于对称 ∵为偶函数，∴关于对称 ∴的周期，故A错； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称），故B正确； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称） ，即，故C正确； ∵的周期为12 ∴， ，又，所以， 同理，，， ，又，所以，即， 由，令，得，， ， 所以，所以， ， ，故D正确. 故选：BCD 5.已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值. 【解答过程】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数． 则． 6.(多选)已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD. 【详解】∵，∴关于对称 ∵为偶函数，∴关于对称 ∴的周期，故A错； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称），故B正确； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称） ，即，故C正确； ∵的周期为12 ∴， ，又，所以， 同理，，， ，又，所以，即， 由，令，得，， ， 所以，所以， ， ，故D正确. 故选：BCD 7.已知定义在上的奇函数满足. 当时，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B． C． D． 【解析】因为函数是奇函数，所以，的图象关于原点对称， 又函数满足，所以， 则，即，所以， 所以函数的周期，故AC错误； 又当时，，所以，故B正确 所以.故D正确 故选：BD. 题型06：利用周期性求函数解析式 1.已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 【答案】 【解析】因为当时，,是定义在上周期为的函数 所以，， 故答案为： 2.设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________． 【答案】 【解析】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点， 则点在时函数的图象上， 而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上， 所以， 即在上的解析式. 故答案为：. 3.设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________. 【答案】，. 【解析】根据题意，设，则，则有， 当时，， 则， 又为周期为4的偶函数， 所以，， 则有，； 故答案为：，. 4.设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________ 【答案】 【解析】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，， 设，则， 所以， 设，则，, 故. 综上可得，函数在上的解析式是， 故答案为： 5.设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 6.已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 7.已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式． 【解析】令，则， ∵当时，有， ∴f（x+2）＝2x+2， ∵f（x+2）＝f（x）， ∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，． 故选：C． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题． 8.函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式. 【解析】因为函数的周期为，当时，， 且，当时，则， 故当时，. 故答案为：. 9.已知函数是定义在R上奇函数，且满足,当时，，则当时的最大值为 A． B． C．1 D．0 【答案】C 【解析】根据可以确定函数的周期，根据周期性和配方法进行求解即可. 【解析】由，因此可以得到： ，所以函数的周期为4，当时，， 当时， ，显然当时，函数的最大值为1. 故选：C 【点睛】本题考查了函数周期性的应用，考查了配方法，属于基础题. 10.设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为 . 【答案】，. 【分析】设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果. 【解析】解：根据题意，设，则，则有， 当时，， 则， 又为周期为4的偶函数， 所以，， 则有，； 故答案为：，. 11.（多选）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．时， C． D．函数有对称轴 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C、D. 【详解】因为，所以， 则，所以，故A正确； 又当时，， 则当时，，，故B不正确； 由，可得函数的周期为6， 可得， 又函数是上的奇函数，则， 所以，即， 所以，故C正确； 由A选项知，，又， 则，所以函数有对称轴，故D正确. 故选：ACD. 12.函数的定义域为R，且满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】先求出函数的解析式，再根据图像的交点个数，确定零点个数. 【详解】解：由得，即 当时，，当时，，当时，， 故 函数的零点个数，即可转化为与的图像交点个数，再根据图像可知，函数在区间上的零点个数为4， 故答案为：4. 13.（多选）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（    ） A．为奇函数 B．在上的解析式为 C．的值域为 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】根据题意，时，，因为时，， 所以， 又由，则， 即，， 若，则，， 若，则，， 故在区间上，所以关于原点对称， 又由，则，即函数是周期为的周期函数， 故的图象关于原点对称， 由此分析选项： 对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确； 对于B，当时，则，则， 函数是周期为的周期函数，则，故B正确； 对于C，在区间上，，则，， 所以，故的值域一定不是，故C错误； 对于D，因为时，，所以，， 又，则， 则有，，故， 所以 ，故D正确 14.设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 15.已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式． 【解析】令，则， ∵当时，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x）， ∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，． 16.函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式. 【解析】因为函数的周期为，当时，， 且，当时，则， 故当时，. 故答案为：. 17.设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案. 【详解】当时，，则， 因为当时，，所以． 因为是周期为2的奇函数， 所以， 故答案为： 18.设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 19．若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，再结合条件可求； （2）由题可求当时，，再结合函数的周期性即求. 【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足， ∴，， ∴，即函数是以为周期的周期函数， 又时， ∴， （2）∵当时， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ∴. 20．已知函数是实数集上的函数，且，当时，. (1)求的周期. (2)求时，函数的表达式. (3)若关于的方程在区间上恰有4个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）由已知得，进而根据周期性的概念即可得答案； （2）根据函数的周期性质结合已知条件求解即可； （3）根据题意，恒过定点，进而数形结合，转化为求解直线与，相切时的值，进而得答案. (1) 解：∵是实数集上的函数，且， ∴， ∴，∴的周期为6. (2) 解：∵， ∴，若时，， 又∵时，， ∴， 又∵， ∴ ， 当时，， ∴， 又∵， ∴，∴， ∴时，. (3) 解：，图象如下： 又∵恒过定点，联立，得， ，得，，（舍）， 此时直线与，相切， ∴若方程在区间上恰好有4解，则. ∴实数的取值范围为 21．设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式． 【答案】，. 【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解. 【详解】当，即，所以， 又为偶函数，所以，所以， 又是以为周期的周期函数， 于是当，即时，有， 所以，， ，. 22．已知函数是定义在上的周期函数，周期为5，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值， (1)求的值； (2)求，上的解析式； (3)求在上的解析式，并求函数的最大值与最小值． 【答案】(1)0 (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意得到，又由是奇函数，得到，即可求解； （2）令，结合，求得，即可求解；. （3）根据题意，令，求得时，，结合周期性，求得函数的解析式，进而求得最值. 【详解】（1）解：函数是定义在上的周期函数，且，所以， 而函数在区间上是奇函数，所以， 所以. （2）解：由在上是二次函数，且在时函数取得最小值， 可设， 因为，即，可得， 所以. （3）解：函数是奇函数，又知在上是一次函数， 令， 由（2）得：，可得，所以当时，， 因为函数为奇函数，可得当时，， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以函数， 当或时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值. 23.已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证； （2）当，则，且，即可得解. 【详解】（1）由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； （2）当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 题型07：判断证明抽象函数的周期性 1.定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误. 【解析】由为奇函数，则，即，B错； 所以关于对称， 由，令，则，即， 所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对； 所以，则，故， 则，即的周期为4，则， 综上，是周期为4，关于、对称的偶函数， 将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数， 所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错； 则，A错； 故选：C 2．已知函数，其导函数记为，有以下四个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为偶函数，则为奇函数； ③若为周期函数，则也为周期函数； ④若为周期函数，则也为周期函数. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义和复合函数求导可判断选项A；通过举反例可判断选项B；由周期函数的定义和复合函数求导可判断选项C；通过举反例可判断选项D. 【解析】对于①，若为偶函数，则， 两边取导，得，即， 函数为奇函数，故①为真命题； 对于②，若为偶函数，则不一定为奇函数. 例如，， 此时为偶函数，不是奇函数，故②为假命题； 对于③，若为周期函数， 即，则， 得，故③为真命题； 对于④，若为周期函数，则不一定为周期函数. 比如，但， 显然为周期函数，则不是周期函数， 故④为假命题. 真命题的个数有2个. 故选：B 3.设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，． （1）求证：是周期函数； （2）当，时，求的解析式； （3）计算的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1. 【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可； （2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可； （3）根据函数的周期性进行求解即可. 【解析】（1）证明：，． 是周期为4的周期函数． （2）当，时，，，由已知得， 又是奇函数，，． 又当，时，，，． 又是周期为4的周期函数， ． 从而求得，时，． （3），（2），（1），（3）．又是周期为4的周期函数， （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） ． 而， 所以. 4.已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）分别令，即可得出答案; （2）令可得：，得出，即可得出周期性； （3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可. 【解析】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 题型08：类周期函数和倍增函数 1. 设函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】512． 【分析】根据得，由可依次递推得到. 【详解】，， ，， ， ，， ，， 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值. 【详解】由题设知，当时，，故， 同理：在上，， ∴当时，.函数的图象，如下图示： 在上，，解得或. 由图象知：当时，. 1. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 1. 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    1. 已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下：      由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为 5.设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 6.定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得，，然后利用函数的单调性即得. 【解答过程】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且， 解得，∴实数的取值范围是. 故选：C. 7.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【解答过程】因为函数的定义域为，满足， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或， 结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 8.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 9.定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 又，因此当时，函数， 从而，选C. 10.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为时，， 由可知，即将的图象向右平移2个单位长度， 图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到时图象， 又由可知 ， 当时，将的图象向左平移2个单位长度， 图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍， 如图所示： 当时，， 令，得或， 若时，成立，则， 所以实数的取值范围为,故选:D． 11.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】因，则， 又当时，， 当时，，， 当时，由，解得或， 当时，，， 显然，当时，，如图， 对任意，都有，必有， 所以m的取值范围是. 故答案为： 12.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为时，， 所以， 因为函数满足， 所以， 所以，， 又因为，恒成立， 故， 解不等式可得或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第06讲 函数的周期性 一、函数周期性的定义 1、周期函数:对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称T为这个函数的周期. 2、最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.如果非零常数是函数的周期,那么、()也是函数的周期。 3、函数的周期性的常用结论(是不为0的常数) 若函数 定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数。或( 若函数满足,则.) 推论 (1)若,则; (2)若, 则; (3)函数满足,则. (4)若函数满足,则. (5)若函数满足,则函数是以为周期的周期函数 (6)若(),那么是周期函数,其中一个周期 (7)若函数的图象关于直线,都对称,则为周期函数且是它的一个周期. (8)函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周 (9)函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数. (10)如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期 (11)如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期 (12)如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期 (13)如果偶函数的图像关于()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期 注意:x的系数同为为1,具有周期性 二、函数的对称性 (一).函数自身的对称性结论 对称轴: 定理1. 若函数定义域为,且满足条件:,则函数的图象关于直线对称。 推论: (1).若函数定义域为,且满足条件:,则函数的图像关于直线对称。 (2). 若函数定义域为,且满足条件:),则函数的图像关于直线对称。 (3).函数 y = f (x)的图像关于y轴对称即偶函数的充要条件是f (x) = f (-x) (4).若函数定义域为,且满足条件:, 又若方程有个根,则此个根的和为。 (5).函数是偶函数关于对称。 注意:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程 对称中心:定理2. 若函数定义域为,且满足条件:(为常数),函数的图象关于点对称。 推论: (1)则函数的图象关于点对称 (2)若函数定义域为,且满足条件:成立,则 的图象关于点对称。 (3)函数的图象关于点对称。 (4)函数的图象关于原点对称(奇函数)。 (5)函数是奇函数关于点 对称。 (6)函数的图像关于原点对称即奇函数的充要条件是f(x)+f(-x)=0 注意:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。 (二)不同函数的对称性结论 对称轴 定理3.若函数 定义域为,则函数与两函数的图象关于直线对称(由可得)。 推论 (1).函数与函数的图象关于直线对称。 函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。 (2).函数与函数的图象关于直线对称 (3). 函数与函数的图象关于直线对称。 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 中心对称 定理4.若函数 定义域为,则函数与 的图象关于点对称。 推论 (1). 函数与函数图象关于点对称。 (2).函数的图象关于点对称的解析式为 (3). 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 (4).两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。 3.函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 4、曲线与关于直线对称。 5、曲线关于直线对称曲线为。 6、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 7、曲线关于直线对称曲线为。 函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。 8、曲线关于点对称曲线为。 三.三角函数图像的对称性 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( k , 0 ) x = k + /2 y = cos x ( k + /2 ,0 ) x = k y = tan x (k /2 ,0 ) 无 注:上表中k∈Z 三、函数对称性与周期性的关系 1.若函数的图象关于直线,都对称,则为周期函数且是它的一个周期. 2.函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周 3.函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数. 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1.如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期 2.如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期 3.如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期 4.如果偶函数的图像关于()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期 五、类周期函数 1、类周期函数的定义 若满足:或,则横坐标每增加个单位,则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数. 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或,则横坐标每扩大倍,则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数. 注意当时,构成一系列平行的分段函数,. 六、周期性的应用 (1)求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法,递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a.换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,则f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a. (2)判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (3)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. (4)奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用。 互为反函数的两个函数关于直线对称。 七、特殊函数对称中心 1.三次函数的对称中心为(,),其中,即,. 记忆方法:类比于二次函数的对称轴方程,分母中. 2. 一次分式函数(或称双曲函数)的对称中心为. 记忆方法:横下零,纵系数(即横坐标是使分母为0的值,而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值). 3. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法:横下对,纵半分(即横坐标是使分母取对数的值,但真数为保证有意义,取的是绝对值而已,而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半). 八.常见的抽象函数模型 理论上,有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应,但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应,以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时,就会有同学问了:既然一个抽象函数可能表示多种原函数,那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗?是的,这种这样想是没有错的,但是,有多种原函数的抽象函数题,除了给出抽象函数模型 ,往往还会给出一个限制条件,比如 等等,这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 (1)对于正比例函数 ,与其对应的抽象函数为 . (2)对于一次函数 ,与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数 (3)对于二次函数 ,与其对应的抽象函数为 3、幂函数 (4)对于幂函数 ,与其对应的抽象函数为或 4、指数函数(重要) (5)对于指数函数 ,与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明:由得,判断和1的大小关系 5、对数函数(重要) (6)对于对数函数 , 其对应的抽象函数为或 补充:对于对数函数,其抽象函数还可以是 奇偶性证明:只需构造即可 6、三角函数: 三角函数注意系数的配凑,,,以下均以为例 (7)对于正弦函数,与其对应的抽象函数为 注:此抽象函数对应于正弦平方差公式: (8)对于余弦函数 ,与其对应的抽象函数为 注:此抽象函数对应于余弦和差化积公式: (9)对于余弦函数 ,其抽象函数还可以是 注:余弦积化和差公式: ,2022新高考2卷T8用的就是这个模型 (10)对于正切函数 ,与其对应的抽象函数为 注:此抽象函数对应于正切函数和差角公式: 抽象函数解题思路:主要考法四类题:赋值求值,证明单调性、证明奇偶性、解不等式 ①赋值求值:根据函数特性赋值来求某些函数的值。 ②证明单调性.③证明奇偶性:利用定义和赋值的方法找到。 ④解不等式:利用函数的单调性和奇偶性解不等式。 抽象函数满足条件 代表函数 1 () 2 () 3 () 4 5 6 7 8 或 九.抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种: 1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解; 2、通过的变换判定单调性; 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性; 4、换为确定周期性. 十、判断抽象函数单调性的方法: (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数,判断符号时要变形为: 或; ②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为: 或. 十:已知定义在D上的函数,为的导函数 1、若关于对称,则关于对称 【简证】因关于对称,所以, 同时求导得,故关于对称 2、若关于对称,则关于对称(证明同上) 3、若关于对称,则关于对称 【简证】因为,导函数图象关于点对称,则. 即: 设:,则 所以,(c为常数), 所以 即∀ 所以的图象关于点对称. 4、若关于对称,则关于对称 【简证】因为,导函数图象关于点对称,则. 设:,则 所以,(c为常数),又 所以,的图象关于对称. 注意:若而为奇函数,那么为偶函数,而为偶函数,那么不一定为奇函数 题型01:判断证明函数的周期性 1.定义在上的函数满足,则下列函数中是周期函数的是( ) A. B. C. D. 2.定义在上的函数满足,则下列是周期函数的是( ) A. B. C. D. 3.已知是定义域为的偶函数,且满足,则下面给出的等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 4.已知函数,求证:为周期函数. 5.已知函数的周期是3,则的周期为( ). A. B.3 C.6 D.9 6.函数为定义在上的奇函数,且满足,则的周期为 . 7.已知函数是奇函数,且满足,若当时,,则 . 8.函数和均为上的奇函数,若,则( ) A. B. C.0 D.2 9.已知函数的定义域为为偶函数,,则( ) A.函数为偶函数 B. C. D. 题型02:利用函数周期性求值 1.已知函数对于任意实数x满足,若,则 ( ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 2.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,,则 . 3.设函数的定义域为,且,,则 . 4.已知为上的奇函数,满足,且当时,,则( ) A.-4 B.-3 C.4 D.3 5.若定义在上的偶函数满足,且当时,,则的值等于( ) A. B. C. D. 6.若定义在实数集R上的偶函数满足,,对任意的恒成立,则( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.函数对于任意实数x满足条件,若,则_. 8.已知是R上的偶函数,对任意R, 都有,且,则的值为( ) A.0 B. C.2 D.6 9.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 . 10.函数的定义域为,且,,,则 . 11.若偶函数对任意都有,且当时,,则_. 12.已知函数是定义在上的周期函数,且周期为2,当时,,则( ) A. B. C. D. 13.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值是_. 14.设是定义在R上且周期为2的函数,当时,其中.若,则_. 15.已知函数,则_. 16.已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为( ) A.0 B.2 C.3 D. 17.已知是定义在上的奇函数,且对任意实数,恒有,若,则_. 18.的定义域为,且,,则( ) A.3 B.2 C.0 D.1 19.已知是定义在上的函数,且,若,则_ 20.已知定义在上的偶函数满足,则下列说法正确的是( ) A. B.函数的一个周期为2 C. D.函数的图象关于直线对称 21.函数的定义域为,已知当时,,则( ) A.0 B. C.1 D.2 多选题 1.已知定义在上的函数满足,且,则( ) A. B.的图象关于对称 C.为偶函数 D.是周期为的函数 2.已知定义在R上的函数满足,,则( ) A. B.4是的一个周期 C. D. 3.已知函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则( ) A. B. C. D. 4.已知定义在上的函数,对任意实数满足,且时,,则下列说法中,正确的是( ) A.2是的周期 B.不是图象的对称轴 C. D.是图象的对称中心 5.函数的定义域为,已知是奇函数,,当时,,则有( ) A.一定是周期函数 B.在单调递增 C. D. 解答题 1.周期函数的图象如图. (1)求函数的最小正周期; (2)写出函数的解析式. 2.已知是定义在上的函数,满足. (1)若,求; (2)求证:的周期为4; (3)当时,,求在时的解析式. 题型03:利用奇偶性与函数周期 1.已知是定义在R上的函数,为偶函数且为奇函数,则下列选项正确的是( ) A.函数的周期为2 B.函数的周期为3 C. D. 2.设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,则函数的周期为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知是定义域为的奇函数,且为偶函数.若,则_. 4.函数和均为上的奇函数,若,则( ) A. B. C.0 D.2 5.已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( ) A. B. C. D. 6.设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 7.已知偶函数的定义域为,为奇函数,且在上单调递增,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,,则=( ) A.4036 B.4040 C.4044 D.4048 9.设函数定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,,则( ) A. B.0 C.1 D.2 10.设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 11.设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 12.(多选)已知偶函数的定义域为,为奇函数,且在上单调递增,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 14.已知奇函数的定义域为R,若为偶函数,且,则( ) A.10 B. C. D.5 15.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=16x,则f()+f(1)=( ) A.﹣8 B.﹣4 C.12 D.20 16.若f(x)是R上周期为3的偶函数,且当时,f(x)=log4x,则( ) A.﹣2 B.2 C. D. 17.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则x∈[﹣2,0]时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=2+|x+1| B.f(x)=3﹣|x+1| C.f(x)=2﹣x D.f(x)=x+4 18.已知f(x)为定义在R上的周期为4的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=e5x+a,若,则( ) A.e3+e B.﹣e3﹣e C.e3﹣e D.﹣e3+e 题型04:对称性与周期性 1.已知函数的图象关于直线对称,函数关于点对称,则下列说法正确的是( ) A. B. C.的周期为2 D. 2.函数的图象如图所示,直线经过函数图象的最高点和最低点,则( ) A. B.0 C. D. 3.(多选)已知函数满足:对任意的,都存,且,则( ) A.是奇函数 B. C.的值域为 D. 4.函数是定义域为的奇函数,且,都有.当时,,则函数在区间上有 个零点. 5.(多选)定义在R上的奇函数,满足且在上单调递减,,则( ) A.函数图象关于直线对称 B.函数的周期为4 C. D.设,和的图象所有交点横坐标之和为 6.函数的定义域为 ,且满足 ,若 ,则( ) A. B. C.2 D.1 7.定义在上的函数满足,且关于对称,当时,,则 .(注:) 8.已知定义在上的函数满足:,且.若,则( ) A.506 B.1012 C.2024 D.4048 9.已知定义在R上的函数满足.若的图象关于点对称,且,则( ) A.0 B.50 C.2509 D.2499 10.(多选)已知函数定义域为且不恒为零,若函数的图象关于直线对称,的图象关于点对称,则( ) A. B. C.是图象的一条对称轴 D.是图象的一个对称中心 11.(多选)已知函数定义域为且不恒为零,若函数的图象关于直线对称,的图象关于点对称,则( ) A. B. C.是图象的一条对称轴 D.是图象的一个对称中心 12..已知函数与及其导函数和的定义域都为,且为奇函数,则下列等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 13.定义在上的函数满足下列三个条件: ①; ②对任意,都有;③的图像关于轴对称.则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 14.对,函数满足,.当时,.设,,,则,,的大小关系为_. 15.定义在上的函数满足,,且当时,,则方程在上所有根的和为( ) A. B. C. D. 16.已知是周期为的函数,且都有,则( ) A. B. C. D. 17.已知函数的定义域为,且满足是偶函数,,若,则( ) A.202 B.204 C.206 D.208 18.若定义在R上的函数满足,是奇函数,则( ) A. B. C. D. 19.(多选)已知定义在上的函数满足,且是奇函数.则( ) A. B. C.是与的等差中项 D. 20.函数的定义域为,且,,,则 . 21.定义在上的函数满足,,若,则 , . 22.已知函数的定义域为R,且,为奇函数,, 则( ) A. B. C.0 D. 23.定义在R上的函数满足,,若,则 , . 题型05:奇偶性对称性与周期性 1.已知函数的定义域均为,若是偶函数且,则( ) A.0 B.4 C.2023 D.2024 2.设是定义域为R的奇函数,且.若,则( ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为,为偶函数,,当时,,则( ) A. B. C. D. 4.(多选)已知函数的定义域为,若,且为偶函数,,则( ) A. B. C. D. 5.已知定义在上的函数是奇函数,对任意都有,当时,则等于( ) A.2 B. C.0 D. 6.(多选)已知函数的定义域为,若,且为偶函数,,则( ) A. B. C. D. 7.已知定义在上的奇函数满足. 当时,,则下列结论正确的是( ) A.的图象关于轴对称 B. C. D. 题型06:利用周期性求函数解析式 1.已知是定义在上周期为的函数,当时,,那么当时, _. 2.设是定义在R上以2为周期的奇函数,当时,,则函数在上的解析式_. 3.设是定义在上周期为4的偶函数,且当时,,则函数在上的解析式为_. 4.设是定义在上以2为周期的奇函数,当时,,则函数在[4,6]上的解析式是_ 5.设是定义在上的周期为的偶函数,已知时,,则时,的解析式为( ) A. B. C. D. 6.已知是定义域为的奇函数,且是偶函数,当时,,则当时,的解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知函数满足,当时,有,则当x∈(-3,-2)时,等于( ) A. B. C. D. 8.函数的周期为,且当时,,则,的解析式为 . 9.已知函数是定义在R上奇函数,且满足,当时,,则当时的最大值为 A. B. C.1 D.0 10.设是定义在上周期为4的偶函数,且当时,,则函数在上的解析式为 . 11.(多选)定义在上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是( ) A. B.时, C. D.函数有对称轴 12.函数的定义域为R,且满足,且当时,,则函数在区间上的零点个数为 . 13.(多选)已知是定义在上的函数,且对于任意实数恒有.当时,.则( ) A.为奇函数 B.在上的解析式为 C.的值域为 D. 14.设是定义在上的周期为的偶函数,已知时,,则时,的解析式为( ) A. B. C. D. 15.已知函数满足,当时,有,则当x∈(-3,-2)时,等于( ) A. B. C. D. 16.函数的周期为,且当时,,则,的解析式为 . 17.设是周期为2的奇函数,当时,,则时,= . 18.设是定义在上的周期为的偶函数,已知时,,则时,的解析式为( ) A. B. C. D. 19.若定义在上的奇函数满足,当时,. (1)求的值; (2)当时,求函数的表达式. 20.已知函数是实数集上的函数,且,当时,. (1)求的周期. (2)求时,函数的表达式. (3)若关于的方程在区间上恰有4个解,求实数的取值范围. 21.设是定义在上以为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,.求时,的解析式. 22.已知函数是定义在上的周期函数,周期为5,函数是奇函数,又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值, (1)求的值; (2)求,上的解析式; (3)求在上的解析式,并求函数的最大值与最小值. 23.已知函数是定义在上的偶函数,且的图象关于直线对称. (1)证明:是周期函数. (2)若当时,,求当时,的解析式. 题型07:判断证明抽象函数的周期性 1.定义在上的函数满足:对任意,都有,且为奇函数,则下列选项正确的是( ) A. B. C.为偶函数 D.为奇函数 2.已知函数,其导函数记为,有以下四个命题: ①若为偶函数,则为奇函数; ②若为偶函数,则为奇函数; ③若为周期函数,则也为周期函数; ④若为周期函数,则也为周期函数. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.设是定义在上的奇函数,且对任意实数,恒有.当,时,. (1)求证:是周期函数; (2)当,时,求的解析式; (3)计算的值. 4.已知定义在上的函数满足,都有且当时, (1)求; (2)证明:为周期函数; (3)判断并证明在区间上的单调性. 题型08:类周期函数和倍增函数 1. 设函数的定义域为,且,,则 . 1. 已知函数的定义域为,满足,且当时,,则的值为 . 1. 定义在上的函数满足,且当时,,当时,的值域为( ) A. B. C. D. 1. 已知定义在上的函数,满足,当时,,若方程在区间内有实数解,则实数的取值范围为 . 5.设函数的定义域为R,且,当时,,若对于,都有恒成立,则t的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数,对于给定的非零常数 ,总存在非零常数,使得定义域内的任意实数都有恒成立,此时为的周期. 若是上的级类周期函数,且,当时,,且是上的单调递增函数,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( ) A. B.C. D. 8.已知函数的定义域为,满足,且当时,,则的值为 . 9.定义域为的函数满足,当时,,若当时,函数恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 10.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是_. 12.定义域为的函数满足,当时,,若时,恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$