精品解析：山东省滨州市阳信县第三实验中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期第二次质量检测九年级数学学科试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ） A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10 【答案】C 【解析】 【详解】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100． 故选：C． 点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：， ，即， ， ， 故选． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，有下列结论：① ＝；②＝；③. 其中正确的有(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D. E是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴,即 DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴ 故①正确，②错误，③正确； 故选C. 【点睛】考查三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 4. 在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E B. ＝且∠B＝∠E C. ＝＝ D. ＝且∠A＝∠D 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出△ABC∽△DEF，故此选项符合题意； C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； D、＝，且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 5. 如图，已知点，，点P为线段的中点，且，轴，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，根据得到，根据轴得到，即可得到，结合得到，从而得到，结合坐标及中点即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，点P为线段的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A. 都扩大为原来的3倍 B. 都缩小为原来的 C. 没有变化 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答． 【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍， ∴得到的三角形与原三角形相似， ∴锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦、余弦值不变， 故选：C． 【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化． 7. 小健同学沿着坡度为的山坡向上走了1000m，如图，则他升高了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度为，设，则，由勾股定理求出的长，即可求解， 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：理解坡度的概念，列代数式． 【详解】解：如图所示： ∵坡度为， ∴设，则， ∴， 根据题意得：， 解得：， 故选：A． 8. 在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，则sinB＋tanB等于（ ） A. 1 B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知和三角形内角和定理得出，求出，根据特殊角的三角函数值即可求出答案. 【详解】，， ， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理，注意：，，. 9. tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 本题用到的特殊三角函数：sin 30° = ，sin 45° = ，cos 45° = ，tan 30° = ，tan 45° = 1 【详解】tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30° ＝1×- - 2×× + = 故答案选D 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的综合运算， 运用特殊角三角函数值的值代入，再进行实数计算即可. 10. 已知是斜边上的高，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同角的余角相等，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 先根据题意画出图形，再根据同角的余角相等得到，然后根据勾股定理求得的长，最后根据锐角三角函数的概念即可求得结果． 【详解】∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m． 【答案】8 【解析】 【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解． 【详解】设旗杆高度为米， 由题意得： 解得. 故答案为8． 【点睛】本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形． 12. 如图，要测量，两点间距离，在点打桩，取的中点，的中点，测得米，则_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理．根据“三角形的中位线等于第三边长的一半”求解即可． 【详解】解：∵点C和点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴(米)， ∴A、B两点间的距离是米， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，是的中点，过点的直线交于点．若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似，则的长为_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先由线段中点的定义得到，再分和，两种情况根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵P是的中点，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：3或． 14. 如图，在中，点，分别在，上，，，则与的面积的比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质，即可求解． 【详解】解：点、分别是、边上的点，且， ， ， 与的面积之比为， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 【答案】3＋ 【解析】 【详解】过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°． ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD． ∵∠A＝30°，， ∴， ∴． 由勾股定理得：， ∴． 故答案是：3＋ 16. 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）. 【答案】(15+15) 【解析】 【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE长，继而可得AC长. 【详解】过点B作BE⊥AC，垂足为E， 则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是正方形， ∴BE=CD=15， ∵∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE， ∴CE=BE=15， 在Rt△ABE中，tan∠ABE=， 即， ∴AE=15， ∴AC=AE+CE=15+15， 即教学楼AC的高度是(15+15)米， 故答案为(15+15). 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键. 17. 如图，是的弦，半径，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，作，得到，解求出的长即可得出结果． 【详解】解：作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．19题、20题、各8分，21-25各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距墙，梯上点距墙，长．求梯子的长． 【答案】梯子的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用．因为，所以，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：假设梯子长，由题意得，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：梯子的长为． 20. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE=EC，BD，AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）若△BEF的面积S△BEF=6cm2．求△AFD的面积S△AFD． 【答案】（1）1:3（2）54 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再利用BE＝EC得到BE＝AD，接着证明△BEF∽△DAF，然后利用相似三角形的性质可得到△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）根据相似三角形的性质计算△AFD的面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝EC， ∴BE＝BC， ∴BE＝AD， ∵AD∥BE， ∴△BEF∽△DAF， ∴△BEF的周长：△AFD的周长＝BE：AD＝1：3； （2）∵△BEF∽△DAF， ∴△BEF的面积：△AFD的面积＝12：32； ∴S△AFD＝9S△BEF＝9×6＝54（cm2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 21. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角） 【答案】13.44米 【解析】 【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：根据题意可得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴(米) ∴教学大楼的高度是米． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 22. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：，) 【答案】（1）15°；（2）海监船继续向正东方向航行安全． 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，根据题意可得∠PBH=45°、∠PAB=60°,然后利用三角形外角的性质即可解答； （2）设海里，则海里，然后行程关系求得AB，再利用正切函数求得x，最后与25海里比较即可解答． 【详解】解：（1）作交的延长线于点 ∵， ∴； （2）设海里，则海里，海里 ∵在中， ∴ 解得：． ∴海监船继续向正东方向航行安全． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及运用正切函数解三角形，解答本题的关键在于利用正切函数列方程求出BH的长． 23. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 【答案】2 【解析】 【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC于点D． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=4×=（千米）， ∵△BCD中，∠CBD=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD=BD=（千米）， ∴BC=BD=（千米）． 答：B，C两地的距离是千米． 【点睛】此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解． 24. 如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦的高度，一测量人员在大厦附近处，测得建筑物顶端处的仰角大小为，随后沿直线向前走了60米后到达处，在处测得处的仰角大小为，则大厦的高度约为多少米？ 【答案】大厦的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．设米，由得、，根据可得关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设米， 在中，∵， ∴米， 则米， 在中，∵， ∴，即， 解得：（米）， 即大厦的高度约为米． 25. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 【答案】（1）10m （2）20m 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． （2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 C，A，D三点共线， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次质量检测九年级数学学科试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ） A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，有下列结论：① ＝；②＝；③. 其中正确的有(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E B. ＝且∠B＝∠E C. ＝＝ D. ＝且∠A＝∠D 5. 如图，已知点，，点P为线段的中点，且，轴，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A. 都扩大为原来的3倍 B. 都缩小为原来的 C. 没有变化 D. 不能确定 7. 小健同学沿着坡度为的山坡向上走了1000m，如图，则他升高了（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，则sinB＋tanB等于（ ） A. 1 B. C. D. 不能确定 9. tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°＝（　　） A. B. C. D. 10. 已知是斜边上的高，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m． 12. 如图，要测量，两点间距离，在点打桩，取的中点，的中点，测得米，则_____米． 13. 如图，在中，，，是的中点，过点的直线交于点．若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似，则的长为_____． 14. 如图，在中，点，分别在，上，，，则与的面积的比为______． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 16. 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）. 17. 如图，是的弦，半径，，则弦的长为______． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．19题、20题、各8分，21-25各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距墙，梯上点距墙，长．求梯子的长． 20. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE=EC，BD，AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）若△BEF的面积S△BEF=6cm2．求△AFD的面积S△AFD． 21. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角） 22. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：，) 23. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 24. 如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦的高度，一测量人员在大厦附近处，测得建筑物顶端处的仰角大小为，随后沿直线向前走了60米后到达处，在处测得处的仰角大小为，则大厦的高度约为多少米？ 25. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $