卷3 第2章 实数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（北师大版2024）

数 学 八年级上册 北师大版 1 2 3 卷3 第二章基础诊断卷（A卷） 考查内容：实数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025浙江杭州月考］下列数中是无理数的是( ) C A.0 B.1.414 C. D. 【解析】0，，是有理数，故A、B、D选项不符合题意； 是无理数，故 C选项符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分归纳 无理数的三种常见形式 （1）开方开不尽的数，如,等；（2） 及化简后含 的数，如 ， 等； （3）有规律但不循环的无限小数，如 （每两个1之间依次多一 个0）等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025河南信阳平桥区期末］若 ，则下列说法正确的是( ) B A.是6的算术平方根 B. 是6的平方根 C.6是的平方根 D. 【解析】当时，不是6的算术平方根，故A错误.根据平方根的定义知 是6的 平方根，故B正确，C错误.由，得 ，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025河北邯郸月考］下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不 符合题意；B选项， ，被开方数含有开得尽方的因数，不是最 简二次根式，不符合题意；C选项， 是最简二次根式，符合题意；D选项， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分归纳 最简二次根式必须满足的两个条件 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.［2025广东揭阳月考］若，则 的立方根是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2025重庆渝北区月考］已知实数，满足 ，则 的值是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】根据题意得,，则， ， 解得，，所以 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.新考法［2025浙江嘉兴月考］若为实数，在“”的“ ”中添上一种运算符号 （在“，， ， ”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 不可能是( ) A A.4 B. C. D. 【解析】A选项，为无理数，为无理数， 为无理数， 为无理数，故A符合题意；B选项， ，运算的结果为有理 数，故B不符合题意；C选项， ，运算的结果为有理数，故C不符 合题意；D选项， ，运算的结果为有理数，故D不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025黑龙江齐齐哈尔建华区期末］已知，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】.因为， ，所以原式 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［2025宁夏银川月考，中］如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格 点，，则线段 的长度在数轴上对应的点位于数轴（不完整）上的( ) D A.段① B.段② C.段③ D.段④ 【解析】.因为，所以 ，故线 段 的长度在数轴上对应的点位于数轴（不完整）上的段④，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2025山东济南月考，中］若和都是正整数，且，和 是可以合并 的二次根式. 结论Ⅰ：存在两组和的值使得 ； 结论Ⅱ：不存在和的值使得 . 针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ) A A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 【解析】因为和是可以合并的二次根式，所以和 各自化简后的被开方 数相同，当时，；当时， ，所以 存在两组和的值使得，故结论Ⅰ正确 ,当 时，.因为，所以不存在和的值使得 ，故结 论Ⅱ正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.［2025辽宁沈阳月考，偏难］课堂上老师提出一个问题：“一个数是 ，它 的立方根是多少？”小明脱口而出：“42.”老师十分惊奇，忙问计算的奥妙.小明给 出以下方法： ①由，，能确定 是两位数； ②因为74 088的个位上的数是8，，所以能确定 的个位上的数是2； ③如果划去74 088后面的三位088得到数74，而， ，由此能确定 的十位上的数是4. 已知为整数，则的各数位上的数字之和为（提示： ， ，， ）( ) B A.15 B.16 C.17 D.19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】根据题意可知为两位数，且个位上的数是9.根据 ， ，可知的十位上的数是7，所以 的各数位上的数字之 和为16.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性问题［2025河南洛阳月考］写出一个比0大，且比3小的无理数： __________________. （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 12.［2025天津河西区月考］已知一个长方形的面积为 ，且长是宽的2倍， 则这个长方形的周长为____ . 30 【解析】设这个长方形的宽为，长为，则，解得 或 （舍去），所以这个长方形的宽为，长为 ，则这个长方形的周 长为 .故答案为30. 上分警示 长方形的周长 注意长方形的周长（长宽） ，不要忘记乘2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.［2025北京海淀区校级月考］若非零实数，满足 ， 则 ____. 【解析】因为非零实数，满足 ，所以 ，所以，所以.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.［2025广东湛江月考］已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的 的最小值是___. 5 【解析】因为是正整数，所以 是一个完全平方数.又因为 ，为正整数，所以是一个完全平方数，所以 的最小值是5.故 答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.［2025四川达州月考，中］若正数的两个平方根分别是和 ，则 _____. 256 【解析】因为正数的两个平方根分别是和 ，所以 ，解得，所以 ，所以 .故答案为256. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.［2025安徽合肥寿春中学月考，偏难］定义：若两个含二次根式的式子， 满 足，且是有理数，则称与是关于 的共轭二次根式. （1）若与是关于4的共轭二次根式，则 _____. 【解析】因为与是关于4的共轭二次根式，所以，故答案为 . （2）若与是关于12的共轭二次根式，则 的值为____. 【解析】因为与 是关于12的共轭二次根式，所以 ，所以，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025江苏连云港月考］（8分）把下列各数填入相应的集合内. ， （相邻两个1之间5的个数逐次加1），0， ， ，，，， . 正数集合：{____， ； 无理数集合：{____， ； 分数集合：{____， ； 非负整数集合：{____， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解】正数集合： （相邻两个1之间5的个数逐次加1）， ，，， ； 无理数集合： （相邻两个1之间5的个数逐次加1），,… ； 分数集合：，，, ； 非负整数集合：，，, .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.［2025河南郑州月考］（10分）计算： （1） ； 【解】原式 …………（3分） .…………（5分） （2） . 【解】原式 …………（7分） …………（9分） .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 19.［2025湖北武汉期末］（10分）如图是一个体积为216立方厘米的立方体铁块. （1）求出这个立方体铁块的棱长. 【解】由题可知，立方体铁块的棱长为 （厘米）.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）现在工厂要将这个铁块熔化，重新铸造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块 和一个底面为正方形的长方体铁块.若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底 面正方形的边长. 【解】由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为 厘米，则 ，…………（8分） 解得 （负值已舍去）. 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.［2025北京人大附中月考］（12分）我们知道， 是一个无理数，将这个数减 去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答 以下问题： （1）的小数部分是_______， 的整数部分是___； 1 【解】因为，所以的小数部分为.因为 ，所以 ，所以由数轴可得,，所以 的整数部分为1. 故答案为 ，1.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）［中］若是的整数部分，是的小数部分，求 的平方根. 【解】因为，所以的整数部分为8，即 .…………（6分） 因为，所以 的整数部分为2，…………（8分） 所以的小数部分为，即 ， 所以 . 因为，所以的平方根为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 21.新情境［2025安徽芜湖镜湖区校级月考］（12分）高空抛物极其危险，是我们 必须杜绝的行为.据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间 （单位：）近似满足公式 （本题不考虑风速的影响,物体均由静止自由下 落）. （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从 高空抛出 的物体从抛出到落地所需时间 是多少？ 【解】当时，.当 时， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）（1）中的是 的多少倍？ 【解】因为，所以是的 倍.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［中］从足够高的高空抛出物体，经过 ，所抛物体下落的高度是多少？ 【解】当时，，解得 . 答：所抛物体下落的高度是 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 22.探究性问题［2025江苏无锡月考］（14分）【阅读材料】一些含根号的式子可 以写成另一个式子的平方，如设 （其中，，，均为正整数），则有 ，所以 ，.这样可以把部分形如 的式子化为平方式. 【解决问题】请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当，，，均为正整数时，若，用含， 的式子 分别表示，，则__________， ______； . 【解】因为， ，所以 ， . 故答案为， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［中］找一组正整数填空：_____________ ；（答案不唯一） 21 4 1 2 【解析】设, ,所以 ， .若令，，则， . 故答案为21，4，1，2.（答案不唯一）…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （3）［偏难］化简 . 【解】原式 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 $$