1.3勾股定理的应用（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 章节导读 三角形 1.1 探索勾股定理 1.2 勾股定理逆定理（判断直角三角形） 直角三角形 边角关系 全等三角形 边角 关系 勾股定理逆定理 勾股数 确定直角三角形 勾股定理解直角三角形 勾股定理的证明 方法 1.3 勾股定理的应用 折叠问题 大树折断/芦苇问题 航海问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 问题引入 上述解题过程用了什么知识？解决了什么问题？ 40cm 50cm (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B、D之间的距离 是50cm，边AD垂直于边AB吗? (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 30cm 1.3 学 习 目 标（P13-P14） 1 2 3 能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形； 能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题； 掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗? 新知探究 （一）几何图形中的计算(折叠问题) 4cm x 8-x 8-x 8cm 方法点拨： ①根据折叠前后图形全等、对应边相等，确定边长； ②寻找合适的直角三角形，运用方程思想和勾股定理解三角形 提分笔记 新知探究 （二）构造直角三角形解实际问题 ②画图建模：作长方形的水池纵截面，OA为水池深度，OB为芦苇长度； ①读题：水面宽1丈（10尺），水深未知，中央芦苇比水深多1尺； ③构造Rt△：连接OC，OC=OB，OB=OA+1尺，AC=5尺，构造Rt△AOC； ④选择方法： 在Rt△AOC中，OC=OA+1，AC=5，适用勾股定理和方程思想； ⑤列式求解：设OA为x，OC为x+1，根据勾股定理可得52+ x2= (x+1)2。 5尺 1尺 x x+1 新知探究 归纳解题步骤 审题画图 标注已知和未知 建模/构造Rt△ 选定理和方法 列式 求解 检验作答 实际问题 数学问题 数学解决 实际解释 应用新知 132-122 1m 12米 题型一.旗杆长问题/大树折断问题 5m AC=AB+1m 4米 13米 19 构造Rt△：旗杆，绳子与地面构成Rt△ 构造Rt△： 延长AB，过点C作CD⊥AB 延长线于点D， 在Rt△BDC中用勾股定理 应用新知 航行时间 题型二.航海问题 20海里 2h后“中山”号和“惠州”号的距离为25海里，即AB=25海里 25海里 分析问题： 实际问题→数学问题：判断△OAB的形状 航行速度 航行速度 15海里 指东偏北45°方向 应用新知 DE=CE 题型三.两地之间选址问题 50km 30km 分析问题：实际问题（求AE距离）→数学问题：在Rt△DAE和Rt△CBE中同时使用勾股定理解边长AE 25km 解决问题：①设AE=xkm，得到BE=(50-x)km； ②勾股定理表示DE2、CE2；③列式DE2=CE2 xkm （50-x）km 应用新知 小汽车限速为80km/h 题型四.判断/决策类问题 200m 小汽车从C到B的行驶时间为8s 120m 巩固练习 （一）P14随堂练习 数学知识和方法： 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形 巩固练习 (二)补充练习 A 真题感知 (二)补充练习 巩固练习 (二)补充练习 巩固练习 (二)补充练习 巩固练习 (二)补充练习 拓展提升 拓展提升 真题感知 1. 基础必做题：教材P14-15，习题§1.3 第1、2、3题； 2. 能力提升题：补充选做作业 3. 预习作业：预习教材P16-17问题解决策略：反思。 作业布置 作业布置 课堂小结 本节课学习内容梳理： 感谢聆听! 答：测量AD、AB和BD的长度，若满足AD2+AB2=BD2，则AD⊥AB。 答：∵302=402=2500=502，∴AD2+AB2=BD2，∴∠BAD=90°，∴AD⊥AB。 答：通过分段测量，并累加长度得到AD、AB和BD的实际长度，再验证是否满足勾股定理。 ①读题画图： 明确图形（正方形ABCD），标注AD=CD=8cm，ED=4cm，EF=CF； ②寻找/构造Rt△：Rt△DEF。 ③选择定理：∵EF+DF=CD=8cm，ED=4cm，∴在Rt△EFD中可用勾股定理； ④设未知量列式：在Rt△ABD中，设DF=x，EF=8-x，EF²=DF²+DE²，(8-x)²= x²+4² ⑤求解作答： 化简解方程x=3，∴DF长为3cm。 例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解:设水深OA为x尺，芦苇的长OB(OC)为x+1尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。 在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+ OA2= OC2，即52+x2=(x+1)2，解得x=12，12+1=13；因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米(x>1)． 在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理得AB2+BC2=AC2． ∴x2+52=(x+1)2，解得：x=12，答：旗杆的高度为12米． 变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°， 由题意可得：BC=13m，DC=12m，故BD2=132-122=25=52， ∴AD=4+5=9m，则AC2=AD2+CD2=92+122=225=152， ∴AC+AB=15+4=19m，故答案为：19． 例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆AB的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端C刚好接触地面时，此时绳子末端C与旗杆的距离为5米，求旗杆AB的高度． 解：由题意可得：OA=7.5×2=15(海里)，OB=10×2=20(海里)，AB=25海里， ∵152+202=252，∴∠AOB=90°， ∵“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∵∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=90°- 45°=45°． ∴ “中山”号沿北偏西45°（或西北）方向航行． 例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 解：由题意，得：AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°，CE=DE，设AE=xkm，则：BE=(50-x)km， 在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2，在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2， ∵CE=DE，DA=30km，CB=20km，∴AD2+AE2=BC2+BE2，即：302+x2=202+(50-x)2， 解得：x=20，∴AE=20km，∴基地E应建在离A站20km的地方． 例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少km的地方？ （1）解：由题意可得：AC=120，AB=200，∠ACB=90°， ∴BC2=2002-1202=160(m)； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为v=160÷8=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)； ∵72(km/h)<80(km/h)；∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m的C处(即AC=120m)，过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m． (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h） 解：（1）72+242=625=252，152+202=625，242=576，625≠576，∴（1）不正确； （2）72+242=625=252=152+202，∴（2）正确；（3）不正确 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 解：如图，当 恰好是水杯的内径， 时，勺子在水杯内长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得： ，∴在 中， ，AC=10cm， ∴ ，∴勺子漏出杯子的部分至少为 ，故选：A． 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是 ，水杯的内侧高度为 ，若勺子的长度为 ，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接 ， ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴ ， 两小时后，两艘船分别行驶了 （海里）， （海里）， 根据勾股定理得： （海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， 设 ，则 ， 由折叠知 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中，由勾股定理得： ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 即 的长为 ． 3．在 中， ， ， ，D，E分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着 折叠，顶点B的对应点 落在直角边 上，且 ．求 的长． 解：如图①，连接 ， ， ， ∵将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠， 使点B落在 边的中点E处，压平后得到折痕 ， ∴ 垂直平分 ， ， ， ∴ ， ，设 ，则 ， 在 和 中， ∴ ，即 ， 解得 ．故线段 的长为 ．故答案为： ． 4．如图，将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点 落在 边的中点 处，压平后得到折痕 ，则线段 的长为 ． 解：在 中， ， ， 根据勾股定理得， ， ∴观光电瓶车的速度为 ， ， 这辆观光电瓶车超速了． 5.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？ 为了美化城市，洒水车需要在一条长为 的重要路段 段以50米 分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段 上的两个路口A、B的距离分别为 ，经测量，发现在 及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段 的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在 及以内的会受到音乐的影响，学校到 的最小距离为 ， ∴学校会受到影响， 当 时，正好影响C学校， ， ， ， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米 分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． （1）解：如图，过点C作 于D， ， 是直角三角形，且 ， ， ， ， 答：点C到路段 的距离是 ； 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，即小丽在 处时距离地面的高度是 ，故选：A． （2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆绳长 ，向前荡起到最高点 处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点 处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 能力提升题：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为： ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域． (1)请计算说明海港 会受到台风的影响； (2)若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？ （1）解：如图，过点 作 于点 ∵ ， ， ，∴ ，∴ 是直角三角形，∴ ，∴ ，∴ ， ∵以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域， ，∴海港 会受台风影响； （2）解：当 ， 时，台风在 上运动期间会影响海港 ， 在 中， ，ED=70km，∴ ， ∵台风的速度为20千米/小时，∴ （小时）， 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． $$