第2节 等差数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

[命题角度３]　形如an＋１＝Aan＋B(A≠０且A≠ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋３．已知数列{an}满足a１＝１,an＋１＝３an＋２,求数列 {an}的通项公式． [命题角度４]　形如an＋１＝ Aan Ban＋C (A,B,C为常 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 数),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．已知数列{an}中,a１＝１,an＋１＝ ２an an＋２ ,求数列{an}的 通项公式． 　　 由数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系 为an＋１＝an＋f(n)或an＋１＝f(n)􀅰an,则可 以分别通过累加、累乘法求得通项公式,另外, 通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公 式,(如角度１)．注意:有的问题也可利用构造 法,即通过对递推式的等价变形,(如角度３、４) 转化为特殊数列求通项． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关二十八 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　等差数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过生活中的实例,理解等差数列的 概念和通项公式的意义． ２．探索并掌握等差数列的前n 项和公 式,理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系． ３．能在具体的问题情境中,发现数列的 等差关系,并解决相应的问题． ４．体会等差数列与一元一次函数的关系 １．等差数列的基本运算,达 成逻辑 推 理 和 数 学 运 算 素养． ２．等差数列的判定与证明, 发展数学抽象和数学运算 素养． ３．等差数列的性质,提升逻 辑推理和数学运算素养 　　等差数列的定义、通项公 式及前n项和公式、等差数列 的性质是高考的热点,以求a１、 d、an、Sn 为主要考查内容．高 考题型多样,以选择题、填空题 的形式考查等差数列的基本运 算和性质,难度不大．在解答题 中常与等比数列、数列求和等 问题综合考查,难度中等 [必备知识] １．等差数列的概念 (１)如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前 一项的差等于　　　　　,那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　,公 差通常用字母d表示． 数学语言表达式:an＋１－an＝d(n∈N∗,d为常 数),或an－an－１＝d(n≥２,d为常数)． (２)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且 A＝　　　　．数列{an}是等差数列⇔２an＝an－１＋ an＋１(n≥２,n∈N∗)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 ２．等差数列的通项公式与前n项和公式 (１)若等差数列{an}的首项是a１,公差是d,则其通 项公式为an＝　　　　． 推广:①an＝am＋　　　　(m,n∈N∗)． ②等差数列 的 通 项 公 式 与 函 数 的 关 系an＝ dn＋(a１－d)是关于n的一次函数． ③数 列 {an}是 等 差 数 列 ⇔an＝pn＋q(p,q 为常数)． (２)等差数列的前n项和公式 Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝　　　　　　　　 (其中n∈ N∗ ,a１ 为首项,d为公差,an 为第n项)． 推广:①等差数列的前n项和公式与函数的关 系Sn＝ d ２n ２＋ a１－ d ２ æ è ç ö ø ÷n 是关于n 的二次函 数,且常数项为０． ②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An２＋Bn(A,B 为常数)． ３．等差数列的有关性质 已知数列 {an}是 等 差 数 列,Sn 是 {an}的 前n 项和． (１)当m＋n＝p＋q时,am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q ∈N∗)．特别地,若m＋n＝２p,则am＋an＝２ap (m,n,p∈N∗)． (２)等差数列{an}的单调性:当d＞０时,{an}是 　　　　数列;当d＜０时,{an}是　　　　数 列;当d＝０时,{an}是　　　　． (３)若{an}是等差数列,公差为d,则相隔等距离的项 组成的数列是等差数列,即ak,ak＋m,ak＋２m,􀆺,仍 是等差数列,公差为 　 (k,m∈N∗)． (４)数列 Sm,S２m －Sm,S３m －S２m,􀆺,也是等差 数列． ４．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a１＞０,d＜０,则Sn 存在最 　　值;若a１＜０,d＞０,则Sn 存在最　　值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知{an}为等差数列,d为公差,Sn 为该数列的前 n项和． １．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相 等,即a１＋an＝a２＋an－１＝a３＋an－２＝􀆺＝ak＋ an－k＋１＝􀆺． ２．Snn{ }也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公 差是{an}的公差的 １ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．在等差数列{an}中, (１)若项数为偶数２n,则S２n＝n(a１＋a２n)＝n(an ＋an＋１);S偶－S奇＝nd; S奇 S偶 ＝ an an＋１ ． (２)若项数为奇数２n－１,则S２n－１＝(２n－１)an; S奇－S偶＝an; S奇 S偶 ＝ n n－１． ４．若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分 别是Sn 和Tn,则 S２n－１ T２n－１ ＝ an bn ． ５．若数列{an},{bn}是公差分别为d１,d２ 的等差数 列,则数列{pan},{an＋p},{pan＋qbn}都是等 差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd１,d１, pd１＋qd２． ６．若am＝n,an＝m(m≠０),则am＋n＝０． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)若一个数列从第２项起每一项与它的前一项 的差都是常数,则这个数列是等差数列．(　　) (２)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n ∈N∗ ,都有２an＋１＝an＋an＋２． (　　) (３)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　) (４)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项 和公式为n的二次函数． (　　) (５)数列{an}满足an＋１－an＝n,则数列{an}是等 差数列． (　　) (６)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其 中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列． (　　) [小题查验] １．已知等差数列{an}前９项的和为２７,a１０＝８,则 a１００＝ (　　 ) A．１００　　　B．９９　　　C．９８　　　D．９７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ２．(２０２４􀅰全国甲卷(理))记Sn 为等差数列{an}的 前n项和,已知S５＝S１０,a５＝１,则a１＝ (　　) A．７２ B． ７ ３ C．－ １ ３ D．－ ７ １１ ３．(２０２５􀅰海口质检)记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若a２＋a６＝１０,a４a８＝４５,则S５＝ (　　) A．２５ B．２２ C．２０ D．１５ ４．(２０２５􀅰上海卷)已知等差数列{an}的首项a１＝ －３,公差d＝２,则该数列的前６项和为　　　． ５．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)设Sn 为等差数列{an}的前n项 和,若a３＋a４＝７,３a２＋a５＝５,则S１０＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　等差数列的基本运算(自主练透) 数学建模———等差数列实际应用中的核心素养 　　以等差数列的知识为基础,把现实生活中的实 际问题通过“建模”转化为数学问题,进而通过数学 运算来解释实际问题,并接受实际的检验,发展数 学建模的素养． [题组集训] １．记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a４＋a５＝ ２４,S６＝４８,则{an}的公差为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．８ ２．(２０２５􀅰咸阳市一模)«九章算术»是我国古代的 数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪 裹、上造、公士、凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分 之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,５人以 爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表 达,一般表示等差分配,在本题中表示等差分 配)．”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之 二”,则公士得 (　　) A．三分鹿之一 B．三分鹿之二 C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一 ３．(２０２５􀅰全国二卷)记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若S３＝６,S５＝－５,则S６＝ (　　) A．－２０ B．－１５ C．－１０ D．－５ 等差数列的基本运算的解题策略 (１)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及 五个量a１,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外 两个,体现了用方程组解决问题的思想． (２)数列的通项公式和前n项和公式在解题中 起到变量代换的作用,而a１ 和d 是等差数 列的两个基本量,用它们表示已知量和未知 量是常用方法． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　等差数列的判定与证明(子母变式) [母题]　若数列{an}的前n 项和为Sn,且满足 an＋２SnSn－１＝０(n≥２),a１＝ １ ２． (１)求证: １Sn{ }是等差数列; (２)求数列{an}的通项公式． [破题关键点]　(１)将an＋２SnSn－１＝０(n≥２) 转化为Sn 与Sn－１的关系等式;(２)先求出Sn,再 利用an 与Sn的关系求an． [子题１]　将母题条件“an＋２SnSn－１＝０(n≥２), a１＝ １ ２ ”改为“Sn(Sn－an)＋２an＝０(n≥２),a１＝ ２”,问题不变,试求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 [子题２]　(２０２５􀅰沈阳模拟)已知数列{an}的各项 均为正数,记Sn 为{an}的前n项和,从下面①② ③中选取两个作为条件,证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列;②数列{Sn}是等差数 列;③a２＝３a１, 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解 答计分． 　　 等差数列的四种判断方法 (１)定义法:对于n≥２的任意自然数,验证an －an－１为同一常数． (２)等差中项法:验证２an＝an－１＋an＋１(n≥２,n∈ N∗)都成立． (３)通项公式法:验证an＝pn＋q． (４)前n项和公式法:验证Sn＝An２＋Bn．后两 种方法只能用来判断是否为等差数列,而不 能用来证明等差数列,主要适合在选择题中 简单判断． 提醒:要注意定义中的“从第２项起”．如果一 个数列不是从第２项起,而是从第３项或第 ４项起,每一项与它前一项的差是同一个常 数,那么此数列不是等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　等差数列的性质(师生共研) [典例]　(１)(２０２５􀅰四川成都模拟)已知Sn 为等 差数列{an}的前n项和,a４＋２a９＋a２０＝２４,则 S２０＝ (　　) A．６０　　B．１２０　　C．１８０　　D．２４０ (２)一个等差数列{an}的前１２项的和为３５４,前 １２项中偶数项的和S偶 与前１２项中奇数项的和 S奇 之比为３２２７ ,则公差d＝　　　　． (３)(２０２５􀅰山师大附中三模)记Sn 为数列{an} 的前n项和．已知 ２Sn n ＋n＝２an＋１． ①证明:{an}是等差数列; ②若a４,a７,a９ 成等比数列,求Sn 的最小值． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 (３) 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 利用等差数列性质的常见题型与求解策略 求基 本量 (１)关键是将性质 m＋n＝p＋q⇒am ＋an＝ap＋aq 与前n 项和公式Sn＝ n(a１＋an) ２ 结合在一起,采用整体思 想,简化解题过程． (２)利用等差数列奇数项和与偶数项 和的性质:项数为偶数２n的等差数列 {an}:S２n＝n(a１＋a２n)＝􀆺＝n(an＋ an＋１),S偶 －S奇 ＝nd, S奇 S偶 ＝ an an＋１ ;项 数为奇数(２n＋１)的等差数列{an}: S２n＋１＝(２n＋１)an＋１, S奇 S偶 ＝ n＋１ n (其 中S奇 、S偶 分别表示数列{an}中所有 奇数项、偶数项的和)． 求前 n项 和的 最值 (１)若 a１ ＞ ０,d ＜ ０,且 满 足 an≥０, an＋１≤０,{ 前n项和Sn 最大． (２)若 a１ ＜ ０,d ＞ ０,且 满 足 an≥０, an＋１≤０,{ 前n项和Sn 最小． (３)除上面方法外,还可将{an}的前n 项和最值问题看作Sn 关于n 的二次 函数最值问题(公差不为零),利用二 次 函 数 的 图 象 或 配 方 法 求 解,注 意n∈N∗． 确定单 调性 公差d＞０时为递增数列,且当a１＜０ 时,前n项和Sn 有最小值;d＜０时为 递减数列,且当a１＞０时,前n 项和 Sn 有最大值． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关二十九 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 、4.解：a+=a2a,=14≠0， 又4，=1，则1=1， “(}是以1为首项，受为公差的等差数到 la =+m-0×-+ a a,=是aeN 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)2同-个常数公差(2)“时2.(1)u,+(m-1)d 2 (n-m)d(2)ma,+n",卫d3.(2)递增递减常数 2 列(3)md4.大小 思考辨析(1)×(2)/(3)/(4)×(5)×(6)J 小题查验 1.C2.B3.C4.125.95 跃升·关键能力考点一 1.C[设公差为d,则a,+a5=a1+3d+a1+4d=24,S =6a,+1=48,联立得 2a,+7d=24D·①×3-②得(21-15)d=24.6d= {6a1+15d=48②， 24,所以d=4.月 2.A[五人分得的鹿构成等差数列{an},d<0.a1= 1+号号8=55×号+1=5，解得d=-合 3 =-×4=] 3.B[因为S,=3u2=6,所以a2=2.因为S.=541=-5. 所以=一l.所以{a,}的公差d=a一ag=一3，所以a1 =5,所以S.=6a1+15d=6×5-15×3=-15.] 考点二 [母题][解](1)证明：当n2时，由an十2SS,-1=0, 释88一285所以发=2 又对==2，故付}是首项为2，公是为2的等是 数列. （2)由1)可得5=2S=动 1 当n≥2时， 1 1 。n一1二n a,=S,-S-1-202(n-D-2(n-1D 2n(n-1): 当1-1时01-号不适合上式. 「I 0=1, 故a= 1 2m(m-Dn≥2. [子题1]解：(1)证明：当n≥2时，a.=Sn-S,-1且S.(S -an)+2a.=0. ∴.S[S。-(S。-Sw-1)]+2(S。-S-1)=0, 即SS.-1+2(S。-S.-1)=0. 故载列{侵}送以着项为宁公差为宁的等差数列。 ·3 参考答案 2由D发-兰=，当≥2时， a,=Sn-S.-1=-n(n-1D 当1=1时，a1=2不造合上式， 12,n=1, 故a 2 n(n-1)n≥2. [子题2]解：一，选择条件①③ 已知{a,}为等差数列，a=3a1,设公差为d 则a4=3a1=a1十d.即d=2a1, 因为S.=u,+u2Da=ma 2 则S.=√a,·n(a>0), 所以数列{S,为等差数列， 二、选择条件①② 已知{a,)为等差数列，数列{√S。}为等差数列，设{a的 公差为d,则a,=a+(u-1)d,S=m,+nmDd= 之rd十（口，一号）m,若数到S为等差载到，则 号所以a,=a十d=3a 三、选择条件② 已知效列{S,)为等差数列，42=3a1,设公差为d, 则/S,-√S,=d,即√4a-√a=d, 则a1=d,√S=√S+(n-1)d=d, 则Sn=nd, a,=S.-S.-1=2d'n-d, 所以数列{a}为等差数列. 考点三 [典例](1)B[因为数列(a,/为等差数列，所以a十2a 十d0=2a12十2ag=24,所以a2+4,=12,所以S0= 20(a1十ao） 2 =10(a1+an)=10(a2+as)=120.] Sm十S4=354, (2)[解析]由题意，可知 32 27· 5。=192. 1S◆=162 又项数为12的等差数列中S。-S,=6d=192-162, ∴.d=5. [答案]5 （3)解：①由于2S+m=2a,十1，变形为25，=2ma.十1 n2,记为i式，又当n≥2时，2S-1=2(n-1)·a,-1十n- 1-(n-1),记为1式， 1-i可得(2n-2)an-(2n-2)a.-1=2n-2, n≥2，n∈N”, 即a-aw-1=1,n≥2，n∈N, 所以{a.}是等差数列. ②由题意可知a=aa,即(a1十6)2=(a1+3)(a1十8)，解得 a=-12,所以a,=-12+(n-1)×1=n-13.其中a1<a <…<a:<0,aa=0, 则S,的最小值为S2=S1a=一78. 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)2同一个公比g(2)等比中项±ab 2.10ag1(2)41-g2 1-g 3.(1)a,a。(2)递增 递减常数列(3)g(4)g 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 5