第5节 三角恒等变换-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

[子题３]　解析:将函数y＝tan ωx＋π４( )(ω＞０)的图象向右 平移π ６ 个单位长度后,得到函数y＝tanωx＋π４－ ωπ ６( ) (ω ＞０)的图象,与函数y＝tanωx＋π６( ) 的图象重合,所以 π ４ －ωπ６＝ π ６＋kπ (k∈Z),所以k＝０时,ω的最小值为１２． 答案:１ ２ 考点三 [典例]　[解]　(１)因为f(t)＝１０－２ ３２cos π １２t＋ １ ２sin π １２t æ è ç ö ø ÷ ＝１０－２sin π１２t＋ π ３( ) , 又０≤t＜２４, 所以 π ３≤ π １２t＋ π ３＜ ７π ３ , 当t＝２时,sin π１２t＋ π ３( )＝１; 当t＝１４时,sin π１２t＋ π ３( )＝－１． 于是f(t)在[０,２４)上取得最大值１２℃,取得最小值８℃． 故实验室这一天的最高温度为１２ ℃,最低温度为８℃, 最大温差为４℃． (２)依题意,当f(t)＞１１时,实验室需要降温． 由(１)得f(t)＝１０－２sin π１２t＋ π ３( ) , 故有１０－２sin π１２t＋ π ３( ) ＞１１, 即sin π１２t＋ π ３( ) ＜－ １ ２． 又０≤t＜２４,因此７π６＜ π １２t＋ π ３＜ １１π ６ , 即１０＜t＜１８． 故在１０时至１８时实验室需要降温． 跟踪训练 解:(１)最 大 用 电 量 为 ５０ 千 瓦 时,最 小 用 电 量 为 ３０千瓦时． (２)观察图象,可知从８~１４时的图象是y＝ Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象． ∴A＝１２× (５０－３０)＝１０,b＝１２× (５０＋３０)＝４０． ∴T２＝１４－８＝ １ ２ 􀅰２π ω ,∴ω＝π６ , ∴y＝１０sin π６x＋φ( )＋４０． 将x＝８,y＝３０代入上式,解得φ＝ π ６ ,∴所求解析式为 y＝１０sin π６x＋ π ６( )＋４０,x∈[８,１４]． 第５节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．sinαcosβ＋cosαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ　cosαcosβ －sinαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ　２．２sinαcosα　cos ２α －sin２α＝２cos２α－１＝１－２sin２α　３．(１)tan(α＋β)(１－ tanαtanβ)　tan(α－β)(１＋tanαtanβ) 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)√　(４)×　(５)× 小题查验 １．D　２．D　３．D　４．－ ５５　５． １ ３ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．解析:原式＝２sinαcosα－２cos ２α ２ ２ (sinα－cosα) ＝２ ２cosα． 答案:２ ２cosα ２．解析:原式＝ cos４０° cos２５° １－cos５０° ＝ cos４０° cos２５°􀅰 ２sin２５° ＝ cos４０° ２ ２sin５０° ＝ ２． 答案:２ ３．解析: sin１１０°sin２０° cos２１５５°－sin２１５５° ＝sin７０°sin２０°cos３１０° ＝cos２０°sin２０°cos５０° ＝ １ ２sin４０° sin４０° ＝ １ ２． 答案:１ ２ 考点二 １．A　[sin１５°＋cos１５°＝ ２sin６０°＝ ６２． ] ２．D 　 [sin４ １５°－cos４ １５°＝ (sin２ １５°－cos２ １５°)􀅰 (sin２１５°＋cos２１５°)＝sin２１５°－cos２１５°＝－cos３０° ＝－ ３２． ] ３．B　[cos π４－θ( ) ＝３cosθ＋ π ４( ) ⇒tanθ＝ １ ２ ,又sin２θ ＝ ２tanθ １＋tan２θ ＝４５． ] ４．A　 [由 tan α＋π４( ) ＝７,可 得 tanα＋tanπ４ １－tanαtanπ４ ＝７,即 tanα＋１ １－tanα＝７ ,解得tanα＝３４ ,所以cos２α＝cos ２α－sin２α cos２α＋sin２α ＝１－tan ２α １＋tan２α ＝ １－ ３４( ) ２ １＋ ３４( ) ２＝ ７ ２５． ] ５．C　[∵α,β均为锐角,∴－ π ２＜α－β＜ π ２． 又sin(α－β)＝－ １０ １０ ,∴cos(α－β)＝ ３ １０ １０ ． 又sinα＝ ５５ ,∴cosα＝２ ５５ , ∴sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝ ５５× ３ １０ １０ － ２ ５ ５ × － １０ １０ æ è ç ö ø ÷＝ ２２．∴β＝ π ４． ] ６．解:∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ tan(α－β)＋tanβ １－tan(α－β)tanβ ＝ １ ２－ １ ７ １＋１２× １ ７ ＝１３＞０ ,∴０＜α＜π２ , 又∵tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝ ２×１３ １－ １３( ) ２＝ ３ ４＞０ , ∴０＜２α＜π２ , ∴tan(２α－β)＝ tan２α－tanβ １＋tan２αtanβ ＝ ３ ４＋ １ ７ １－３４× １ ７ ＝１． ∵tanβ＝－ １ ７＜０ ,∴π２＜β＜π ,－π＜２α－β＜０, ∴２α－β＝－ ３π ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 考点三 [典例]　[解]　(１)函数f(x)＝２ ３sin ωx＋π６( )cosωx ＝ ２ ３sinωx􀅰 ３２＋２ ３cosωx 􀅰１ ２ æ è ç ö ø ÷cosωx ＝３２sin２ωx＋ ３ 􀅰１＋cos２ωx ２ ＝ ３sin ２ωx＋π６( )＋ ３ ２． ∵f(x)的图象过点 ５π１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷, ∴ ３sin ２ω􀅰５π１２＋ π ６( )＋ ３ ２＝ ３ ２ , ∴２ω􀅰５π１２＋ π ６＝kπ ,k∈Z,即ω＝６k－１５ ． 再结合０＜ω＜２,可得ω＝１, ∴f(x)＝ ３sin ２x＋π６( )＋ ３ ２ , 故它的最小正周期为２π ２＝π． (２)将y＝f(x)＝ ３sin ２x＋π６( )＋ ３ ２ 的图象向右平移 π ６ 个单位长度, 得到函数y＝g(x)＝ ３sin ２x－π６( )＋ ３ ２ 的图象． 已知g α２( )＝ ５ ３ ６ ＝ ３sinα－ π ６( )＋ ３ ２ , ∴sinα－π６( )＝ １ ３ , ∴cos ２α－π３( )＝１－２sin ２ α－π６( )＝ ７ ９． 跟踪训练 解:(１)∵f(x)＝sinxcosx－cos２x＋a＝ １２sin２x－ １＋cos２x ２ ＋a＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋a－ １ ２ , ∴f(x)max＝ ２ ２＋a－ １ ２＝ ２ ２ ,∴a＝１２． (２)由(１)知,f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( ) , 若方程f(x)＋m＋１＝０在 π４ ,１７π ２４[ ] 内有两个零点,则 方程f(x)＝－m－１在 π４ ,１７π ２４[ ] 内有两个零点, 即函 数 y＝f(x)的 图 象 与 y＝ －m－１ 的 图 象 在 π ４ ,１７π ２４[ ] 内有两个不同交点,如图: 由图可知,要使函数y＝f(x)的图象与y＝－m－１的图 象在 π ４ ,１７π ２４[ ] 内有两个不同交点, 则１ ２≤－m－１＜ ２ ２ ,即－１－ ２２＜m≤－ ３ ２． 第６节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．bsinB　 c sinC　b ２＋c２－２bccosA　c２＋a２－２cacosB　 a２＋b２－２abcosC　２RsinB　２RsinC　b２R　sinA∶sinB∶ sinC　b ２＋c２－a２ ２bc 　 c２＋a２－b２ ２ac 　 a２＋b２－c２ ２ab 　３． 一解　 两解　一解　一解　无解　４．(２)上方　下方　顺时针　 ０°,３６０° 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　 (４)×　(５)√　 (６)√ 小题查验 １．A　２．A　３．C　４．７４ ５．解:(１)在△ABC 中,由正弦定理及已知得sinAsinB＝ ３sinBcosA,sinA＝ ３cosA,tanA＝ ３,A＝π３． (２)由c－２b＝１得b＝c－１２ ,由余弦定理a２＝b２＋c２－ ２bccosA 得(７)２＝c２＋ c－１２( ) ２ －２c c－１２( )cos π ３ ,即 ３c２＋１＝２８,解之得c＝３,b＝１． (３)由余弦定理 得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ (７)２＋３２－１２ ２ ７×３ ＝５ ７１４ ,sinB＝ １－ ５ ７ １４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２１１４ ,sin(A＋２B)＝ sinAcos２B＋cosAsin２B＝sinA[２cos２ B－１]＋ ２cosAcosBsinB＝ ３２ × ２ ５ ７ １４ æ è ç ö ø ÷ ２ －１æ è ç ö ø ÷ ＋２× １２ × ２１ １４ × ５ ７ １４ ＝ ４ ３ ７ ． 跃升􀅰关键能力　考点一 １．D　[cos１２０°＝a ２＋c２－b２ ２ac ⇒ －１２＝ a２＋４－１９ ２􀅰a􀅰２ ⇒a ２＋２a－１５＝０, 利用十字叉乘法⇒(a－３)(a＋５)＝０,解得a＝３．] ２．C　[因为B＝π３ ,b２＝９４ac ,所以sin２B＝９４sinAsinC , sinAsinC＝４９× ３ ４＝ １ ３ ,由余弦定理可得:b２＝a２＋c２ －ac＝９４ac ,即a２＋c２＝１３４ac ,sin２A＋sin２C＝１３４sinAsinC ＝１３１２ ,所以(sinA＋sinC)２＝sin２A＋sin２C＋２sinAsinC＝ １３ １２＋ ２ ３＝ ７ ４ ,sinA＋sinC＝ ７２． ] ３．解:(１)由 正 弦 定 理 可 得, asinA＝ b sinB ,即 ３９ sin１２０°＝ ２ sinB ,解得sinB＝ １３１３ ． (２)由余弦定理可得,a２＝b２＋c２－２bccosA, 即３９＝４＋c２－２×２×c× －１２( ) , 解得c＝５或c＝－７(舍去)．所以c＝５． (３)由正弦定理可得,asinA＝ c sinC , 即 ３９ sin１２０°＝ ５ sinC ,解得sinC＝５ １３２６ ,而A＝１２０°, 所以 B,C 都 为 锐 角,因 此 cosC＝ １－２５５２＝ ３ ３９ ２６ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 第５节　三角恒等变换 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．经历推导两角差余弦公式的过程,知 道两角差余弦公式的意义． ２．能从两角差的余弦公式推导出两角 和与差的正弦、正切公式,二倍角的 正弦、余弦、正切公式,了解它们的内 在联系． ３．能运用上述公式进行简单的恒等变 换(包括推导出积化和差、和差化积、 半角公式,这三组公式不要求记忆) １．三角函数式的化简,发展数 学抽象和数学运算素养． ２．三角函数式的求值,提升数 学运算素养． ３．三角变换的简单应用,增强 数学抽象和数学运算素养 　　本部分内容以两角和与差的三 角函数公式、倍角公式为化简基础, 考查三角函数关系式的化简与求值, 利用同角三角函数的基本关系式变 异名为同名的三角函数,结合诱导公 式、和差角公式及倍角公式进行恒等 变形为高考热点,考查题型多样,但 一般属于中低档题型,难度不大．常 与三角函数式的化简求值、三角函数 的图象与性质、向量等知识综合考查 [必备知识] １．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝　　　　　　　　;(Sα＋β) sin(α－β)＝　　　　　　　　;(Sα－β) cos(α＋β)＝　　　　　　　　;(Cα＋β) cos(α－β)＝　　　　　　　　;(Cα－β) tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ;(Tα＋β) tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ．(Tα－β) ２．二倍角公式 sin２α＝　　　　　　;(S２α) cos２α＝　　　　　　　　;(C２α) tan２α＝ ２tanα １－tan２α ．(T２α) ３．公式的变形与应用 (１)两角和与差的正切公式的变形 tanα＋tanβ＝　　　　　　　　; tanα－tanβ＝　　　　　　　　． (２)升幂公式 １＋cosα＝２cos２α２ ;１－cosα＝２sin２α２． (３)降幂公式 sin２α＝１－cos２α２ ;cos２α＝１＋cos２α２ ． ４．辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a２＋b２sin(α＋φ),其中cosφ＝ a a２＋b２ ,sinφ＝ b a２＋b２ ． ５．角的拆分与组合 (１)已知角表示未知角 例如,２α＝(α＋β)＋(α－β),２β＝(α＋β)－(α－β), α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β, α＝ π４＋α æ è ç ö ø ÷－π４＝ α－ π ３ æ è ç ö ø ÷＋π３． (２)互余与互补关系 例如,π ４＋α æ è ç ö ø ÷＋ ３π４－α æ è ç ö ø ÷＝π, π ３＋α æ è ç ö ø ÷＋ π６－α æ è ç ö ø ÷＝π２． (３)非特殊角转化为特殊角 例如,１５°＝４５°－３０°,７５°＝４５°＋３０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 sin２α＝ ２sinαcosα sin２α＋cos２α ＝ ２tanα １＋tan２α ; cos２α＝cos ２α－sin２α cos２α＋sin２α ＝１－tan ２α １＋tan２α ; １±sinα＝ sinα２±cos α ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ; tanα２＝ sinα １＋cosα＝ １－cosα sinα ． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)存在实数α,β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立． (　　) (２)公式tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ 可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(１－tanαtanβ),且对任 意角α,β都成立． (　　) (３)存在实数α,使tan２α＝２tanα． (　　) (４)当α是第一象限角时,sinα２＝ １－cosα ２ ． (　　) (５)公式asinx＋bcosx＝ a２＋b２sin(x＋φ)中φ 的取值与a,b的值无关． (　　) [小题查验] １．(２０２５􀅰宝鸡模拟)cos２ π１２－cos ２５π １２＝ (　　) A．１２　　　B． ３ ３　　　C． ２ ２　　　D． ３ ２ ２．(２０２５􀅰湖北十一校联考)已知角α的顶点与原 点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过 点P cosπ３ ,sinπ３ æ è ç ö ø ÷,则cosα－π６ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．０　　　B．１２　　　C． ２ ２　　　D． ３ ２ ３．(２０２５􀅰全国二卷)已知０＜α＜π,cosα２＝ ５ ５ ,则 sinα－π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２１０ B． ２ ５ C． ３ ２ １０ D． ７ ２ １０ ４．(２０２５􀅰杭州模拟)若θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,tanθ＝１２ , 则sinθ－cosθ＝　　　　． ５．已知sin２ π４＋α æ è ç ö ø ÷＝２３ ,则sin２α的值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　三角函数式的化简(自主练透) [题组集训] １．化简:sin２α－２cos ２α sinα－π４ æ è ç ö ø ÷ ＝　　　　． ２．化简: cos４０° cos２５°􀅰 １－sin４０° ＝　　　　． ３．计算 sin１１０°sin２０° cos２１５５°－sin２１５５° 的值为　　　　． 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (１)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差 别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用 公式; (２)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (３)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助 我们找到变形的方向,如“遇到分式要通 分”等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形 考点二　三角函数式的求值(多维探究) 数学运算———三角函数求值中的核心素养 　　数学运算就是指在明晰运算对象的基础上,依据 运算法则解决数学问题的素养．三角函数求值中的数 学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求 值和给值求角,力在培养学生的准确、快速的运算 能力． [命题角度１]　给角求值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰贵阳市监测考试)sin１５°＋cos１５°的 值为 (　　 ) A．６２ B．－ ６ ２ C． ２ ２ D．－ ２ ２ ２．sin４１５°－cos４１５°＝ (　　 ) A．１２ B．－ １ ２ C． ３ ２ D．－ ３ ２ [命题角度２]　给值求值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２５􀅰上海模拟)已知cos π４－θ æ è ç ö ø ÷＝３cosθ＋π４ æ è ç ö ø ÷, 则sin２θ＝ (　　) A．３５ B． ４ ５ C．－ ３ ５ D．－ ４ ５ ４．(２０２５􀅰东营质检)若tanα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝７,则cos２α 的值为 (　　) A．７２５ B． ３ ４ C． １２ ２５ D． ４ ５ [命题角度３]　给值求角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５．已知sinα＝ ５５ ,sin(α－β)＝－ １０ １０ ,α,β均为锐 角,则角β等于 (　　 ) A．５π１２ B． π ３ C． π ４ D． π ６ ６．已知α,β∈(０,π),且tan(α－β)＝ １ ２ ,tanβ＝ －１７ , 求２α－β的值． 　　 三角函数求值有三类 (１)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的 值,求另外一些角的三角函数值,解题关键 在于“变角”,使其角相同或具有某种关系． (２)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊 角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非 特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要 利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊 角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (３)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先 求角的某一函数值,再求角的范围,确定角． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　三角变换的简单应用(师生共研) [典例]　已知函数f(x)＝２ ３sinωx＋π６ æ è ç ö ø ÷cosωx (０＜ω＜２),且f(x)的图象过点 ５π１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． (１)求ω的值及函数f(x)的最小正周期; (２)将y＝f(x)的图象向右平移π６ 个单位,得到 函数y＝g(x)的图象,已知g α２ æ è ç ö ø ÷＝５ ３６ , 求cos２α－π３ æ è ç ö ø ÷的值． [破题关键点]　利用三角恒等变换将函数f(x) 的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式就可 以利用f(x)的图象过点 ５π１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ 求出ω的值及 函数f(x)的最小正周期,通过平移变换求出函 数y＝g(x)的解析式,再由g α２ æ è ç ö ø ÷＝５ ３６ 和倍角 公式求出cos２α－π３ æ è ç ö ø ÷的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适 当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方 向有两种,一种是变换函数的名称,一种是变换 角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同 角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角 的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、 倍角公式等． [跟踪训练] (２０２５􀅰泸州市模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx－ cos２x＋a的最大值为 ２２． (１)求a的值; (２)若方程f(x)＋m＋１＝０在 π４ ,１７π ２４[ ] 内有两 个零点,求m 的取值范围． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关二十二 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第６节　正弦定理和余弦定理及其应用 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题． ２．能够运用正弦定理、余弦定 理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的 实际问题 １．正、余弦定理的应用,提升数学抽象 和数学运算素养． ２．利用正弦、余弦定理判定三角形的形 状,增强逻辑推理和数学运算素养． ３．和三角形面积有关的问题,提升逻辑 推理和数学运算素养． ４．解三角形的实际应用,增强直观想象 和数学运算素养 　　正弦定理和余弦定理是历年 高考的必考内容,选择题、填空题 主要考查利用正弦定理、余弦定理 解三角形及三角形面积公式的应 用、解三角形实际应用中的距离问 题、高度问题,解答题常与三角函 数的图象与性质及三角恒等变换 相结合,属于中低档题 [必备知识] １．正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b, c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公 式 a sinA＝　　　　　　 ＝　　　　＝２R a２＝　　　　　　　; b２＝　　　　　　　; c２＝　　　　　　　 续表 常 见 变 形 (１)a＝２RsinA,b＝ 　　　,c＝　　　　; (２)sinA＝a２R ,sinB＝ 　　　　,sinC＝c２R ; (３)a∶b∶c＝ 　; (４)asinB＝bsinA, bsinC＝csinB,asinC ＝csinA cosA＝　　　　　　; cosB＝　　　　　　; cosC＝　　　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形