第3节 三角函数的图象与性质-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

考点三 [典例]　[解析]　(１)∵ ５π６＋α( )＋ π ６－α( )＝π, ∴tan ５π６＋α( )＝tan π－ π ６－α( )[ ] ＝－tan π６－α( )＝－ ３ ３． (２)因为θ是第四象限角,且sinθ＋π４( )＝ ３ ５ , 所以θ＋π４ 是第一象限角,所以cosθ＋π４( )＝ ４ ５ , 所以sinθ－π４( )＝sin － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ] ＝－sin π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝－cosθ＋ π ４( )＝－ ４ ５ , cosθ－π４( )＝cos － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ] ＝cos π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝sinθ＋ π ４( )＝ ３ ５ , 所以tanθ－π４( )＝ sinθ－π４( ) cosθ－π４( ) ＝－４３． [答案]　(１)－ ３３　 (２)－４３ 跟踪训练 １．解析:∵ π３－α( )＋ π ６＋α( )＝ π ２ , ∴cos π６＋α( )＝cos π ２－ π ３－α( )[ ] ＝sin π３－α( )＝ １ ２． 答案:１ ２ ２．A　[原式化简得３cos２α－４cosα－４＝０,解得cosα＝－２３ 或２(舍),又α∈(０,π),所以sinα＝ ５３． ] 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 ２．x x∈R,且x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }　[－１,１]　[－１,１] ２π　π　奇函数　 ２kπ－π２ ,[ ２kπ＋π２ ] 　[２kπ－π,２kπ] ２kπ＋π２ ,[ ２kπ＋３π２ ][２kπ,２kπ＋π]　(kπ,０) kπ＋π２ ,０( ) 　x＝kπ 思考辨析　(１)√　(２)√　(３)×　(４)×　(５)× 小题查验 １．C　２．A　３．BC　４．AD　５．[０,１] 跃升􀅰关键能力　考点一 １．解析:(１)法一(利用三角函数图象):要 使函数有意义,必须使sinx－cosx≥ ０．在 同 一 坐 标 系 中 画 出 [０,２π]上 y＝sinx和y＝cosx的图象,如图所示． 在[０,２π]内,满足sinx＝cosx的x为π４ ,５π ４ ,再结合正弦、余 弦函数的周期是２π,所以函数y＝ sinx－cosx的定义域 为 x|２kπ＋π４≤x≤２kπ＋ ５π ４ ,k∈Z{ }． 法二(利用三角函数线):画出满足条件 sinx≥cosx的角x的终边范围(如图阴 影部分所示),∴函数y＝ sinx－cosx 的定义域为 x|２kπ＋π４{ ≤x≤２kπ＋５π４ ,k∈Z}． 法三(利用整体思想):sinx－cosx＝ ２sinx－π４( ) ≥０, 将x－π４ 视为一个整体,由正弦函数y＝sinx的图象和 性质可知２kπ≤x－π４ ≤π＋２kπ ,k∈Z,解得２kπ＋ π４ ≤ x≤２kπ＋５π４ ,k∈Z．所以函数y＝ sinx－cosx的定义 域为 x|２kπ＋π４≤x≤２kπ＋{ ５π ４ ,k∈Z}． (２)由 sin２x＞０ , ９－x２≥０,{ 得 ２kπ＜２x＜２kπ＋π,k∈Z, －３≤x≤３．{ ∴－３≤x＜－π２ ,或０＜x＜π２． ∴ 函 数 y ＝ lg (sin ２x)＋ ９－x２ 的 定 义 域 为 x|－３≤x＜－π２ ,或０＜x＜π２{ }． 答案:(１)x|２kπ＋π４≤x≤２kπ＋ ５π ４ ,k∈Z{ } (２)x|－３≤x＜－π２ ,或０＜x＜π２{ } ２．(１)A　[f(x)＝sin３ ωx＋π３( )＝sin(３ωx＋π)＝－sin３ ωx,由T＝２π３ω＝π ,得ω＝２３ , 即f(x)＝－sin２x,当x∈ －π１２ ,π ６[ ] 时, ２x∈ －π６ ,π ３[ ] , 画出f(x)＝－sin２x图象,如图, 由 图 可 知,f(x)＝ －sin２x 在 －π１２ ,π ６[ ] 上单调递减, 所以,当x＝π６ 时, f(x)min＝－sin π ３＝－ ３ ２． ] (２)解析:f(x)＝sin ２x＋３π２( ) －３cosx＝－cos２x－３cosx ＝－２cosx＋３４( ) ２ ＋１７８ ,因为cosx∈[－１,１],所以当cosx ＝１时,f(x)取得最小值, ∴f(x)min＝－４． 答案:－４ 考点二 [典例]　(１)[解析]　y＝－sin ２x－π３( ) 的减区间是 y＝sin ２x－π３( ) 的增区间． 由２kπ－π２≤２x－ π ３≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得kπ－π１２≤x≤kπ＋ ５π １２ ,k∈Z． 故所给函数的减区间为 kπ－π１２ ,kπ＋５π１２[ ] ,k∈Z． [答案]　 kπ－π１２ ,kπ＋５π１２[ ] ,k∈Z (２)[解析]　方法一:第一步,求出f(x)＝２sinωx＋１(ω ＞０)的单调递增区间． 由２kπ－π２≤ωx≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得f(x)的增区间是 ２kπω － π ２ω ,２kπ ω ＋ π ２ω[ ] ,k∈Z． 第二步,转化为集合之间的关系,即 －π２ ,２π ３[ ] 是 函 数 f(x)单调递增区间的子区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ∵f(x)在 －π２ ,２π ３[ ] 上单调递增, ∴ －π２ ,２π ３[ ] ⊆ － π ２ω ,π ２ω[ ]． 第三步,利用数轴,列出关于ω的不等式组,解不等式组 得ω的取值范围． ∴－π２≥－ π ２ω 且２π ３≤ π ２ω ,∴ω∈ ０,３４( ]． 方法二:第一步,由x的取值范围求出ωx(ω＞０)的取值区间． ∵x∈ －π２ ,２π ３[ ] ,ω＞０．∴ωx∈ － ωπ ２ ,２πω ３[ ] , 第二步,由f(x)在区间 －π２ ,２π ３[ ] 上单调递增得ωx(ω ＞０)的取值区间是 －π２ ,π ２[ ] 的子区间． 又f(x)在区间 －π２ ,２π ３[ ] 上单调递增, ∴ －ωπ２ ,２πω ３[ ] ⊆ － π ２ ,π ２[ ] , 第三步,利用数轴,列出关于ω的不等式组,解不等式组 得ω的取值范围． 则 －ωπ２≥－ π ２ , ２πω ３ ≤ π ２ , ì î í ïï ï 又ω＞０,得０＜ω≤３４． 方法三:第一步,由f(x)在区间 －π２ ,２π ３[ ] 上单调递增 得原点到区间 －π２ ,２π ３[ ] 端点的距离不超过 T ４． ∵f(x)在区间 －π２ ,２π ３[ ] 上单调递增, 故原点到区间端点的距离不超过T ４ , 第二步,列出关于ω的不等式组,解不等式组得ω的取值 范围． 所以 π ２≤ T ４ , ２π ３≤ T ４ , ì î í ïï ï 得T≥８π３ ,即２π ω≥ ８π ３． 又ω＞０, 得０＜ω≤３４． 故ω的取值范围是 ０,３４( ]． [答案]　 ０,３４( ] 互动探究 解:法 一:x∈ R 时,y＝sin π３－２x( ) 的 减 区 间 为 kπ－π１２ ,kπ＋５π１２[ ] ,k∈Z．令k＝０,得－ π １２≤x≤ ５π １２ ; 令k＝－１,得－１３π１２≤x≤－ ７π １２ , 故x∈[－π,０]时,y＝sin π３－２x( ) 的减区间为 －π,－７π１２[ ] , － π １２ ,０[ ]． 法二:因为－π≤x≤０,所以－７π３≤２x－ π ３≤－ π ３ ,结合正 弦曲线, 由－７π３≤２x－ π ３≤－ ３π ２ ,解得－π≤x≤－７π１２ ; 由－π２≤２x－ π ３≤－ π ３ ,解得－π１２≤x≤０ , 所以所求函数的单调递减区间为 －π,－７π１２[ ] , －π１２ ,０[ ]． 跟踪训练 １．C　[f(x)＝cos２x－sin２x＝cos２x,选 项 A 中:２x∈ －π,－π３( ) ,此 时 f(x)单 调 递 增,选 项 B 中:２x∈ －π２ ,π ６( ) ,此时f(x)先递增后递减,选项 C中:２x∈ ０,２π３( ) ,此 时 f(x)单 调 递 减,选 项 D 中:２x ∈ π ２ ,７π ６( ) ,此时f(x)先递减后递增．] ２．A　[∵f(x)＝cosx－sinx＝ ２cosx＋π４( ) ,∴由２kπ≤x ＋π４≤π＋２kπ (k∈Z)得－ π４ ＋２kπ≤x≤ ３π ４ ＋２kπ (k∈ Z),因 此,[－a,a]⊆ －π４ ,３π ４[ ] ,∴－a＜a,－a≥ －π４ ,a≤３π４ ,∴０＜a≤π４ 从而a的最大值为 π４． ] 考点三 １．A　[对于 A,sinx＋cosx＝ ２ ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷＝ ２sin x＋π４( ) ,则 T＝２π,满 足条件,故 A正确; 对于B,sinxcosx＝ １２sin２x ,则 T＝２π２ ＝π ,不满足条 件,故B错误; 对于 C,sin２x＋cos２x＝１,为常值函数,则不存在最小正 周期,不满足条件,故 C错误; 对于 D,sin２x－cos２x＝－cos２x,则T＝２π２＝π ,不满足 条件,故 D错误．] ２．B　[依题知a－π３＝ kπ ２ ,即a＝kπ２＋ π ３ ,其中k∈Z,又a ＞０,所以当k＝０时,a取得最小值 π３ ,故选B．] 跟踪训练 　D　[函数f(x)定义域为 R,且f(－x)＝f(x),故f(x) 是偶函数;f(x)＝cosx－(２cos２x－１)＝－２cos２x＋ cosx＋１＝－２ cosx－１４( ) ２ ＋９８ ,故最大值为９ ８． ] ３．C　[∵当x＝π４ 时,函数f(x)取得最小值, ∴sin π４＋φ( )＝－１,∴φ＝２kπ－ ３π ４ (k∈Z)． ∴f(x)＝sin x＋２kπ－３π４( )＝sin x－ ３π ４( )． ∴y＝f ３π４－x( )＝sin(－x)＝－sinx． ∴y＝f ３π４－x( ) 是奇函数,且图象关于直线x＝ π ２ 对称．] 跟踪训练 　A　 [ω＝２πT ∈ (２,３),y＝f(x)的 函 数 图 象 关 于 点 ３π ２ ,２( ) 中 心 对 称,则 有 b＝２,且 f ３π２( ) ＝２,所 以 sin ３π２ω＋ π ４( )＋２＝２,则 ３π ２ω＋ π ４＝kπ ,k∈Z; 解得ω＝４k－１６ ,由ω∈(２,３),得k＝４,ω＝５２ , 故f π２( )＝sin ５ ２× π ２＋ π ４( )＋２＝－１＋２＝１．] ４．B　[∵函数f(x)＝ ３sin(２x＋θ)＋cos(２x＋θ)＝ ２sin ２x＋θ＋π６( ) 是偶函数, ∴θ＋π６＝kπ＋ π ２ ,即θ＝kπ＋π３ ,k∈Z, 因此可取θ＝π３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 此 时,f (x)＝ ２sin ２x＋π２( ) ＝ ２ cos ２x,且 在 ０,π４[ ] 上,即２x∈ ０, π ２[ ] 时,f(x)单调递减．] ５．解析:对于函数f(x)＝ ３sin ２x＋π３( ) 的图象, 令２x＋π３＝kπ＋ π ２ ,得x＝kπ２＋ π １２ ,k∈Z,令k＝０,可 得函数在区间 ０,π２( ) 上的对称轴方程为x＝ π １２． 答案:x＝π１２ 跟踪训练 　C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)| ＝sin|x|＋|sinx|, ∴f(x)是偶函数,①对; f(x)在区间 π２ ,π( ) 上单调递减,②错; f(x)在[－π,π]上有３个零点,③错; f(x)的最大值为２,④对．] 第４节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)－φω 　 π ２－φ ω 　 π－φ ω 　 ３π ２－φ ω 　 ２π－φ ω 　０　 π ２ 　π 　３π２　２π　２． ２π ω　ωx＋φ　φ 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√ 小题查验 １．A　２．A　３．C　４．２３　４π　－ π ４　５． ２π ３ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．ABD　[由题图可知５π６ － π １２＝ ３π ４ ＝ ３T ４ (T 为f(x)的最 小正周期), 所以T＝π＝２πω ,解得ω＝２,则f(x)＝sin(２x＋φ),由２ ×π１２＋φ＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),得φ＝２kπ＋ π ３ (k∈Z),因为 |φ|＜ π ２ ,所以φ＝ π ３ ,所以f(x)＝ sin ２x＋π３( ) ,因此 A选项正确;f(x)＝ sin ２x＋π３( )＝cos π ２－２x－ π ３( )＝cos π ６－２x( ) ＝cos ２x－π６( ) ,所以B选项正确;令２x＋ π ３＝kπ＋ π ２ (k∈Z),得x＝kπ２＋ π １２ (k∈Z),(易错:混淆对称轴与对 称中心满足的方程) 即函数f(x)＝sin ２x＋π３( ) 图象的对称轴方程为x＝ kπ ２＋ π １２ (k∈Z),所以C选项不正确;令２x＋π３＝kπ (k∈ Z),得x＝kπ２－ π ６ (k∈Z),即函数f(x)＝sin ２x＋π３( ) 图象的对称中心为 kπ ２－ π ６ ,０( )(k∈Z),当k＝１时,对称 中心为 π ３ ,０( ) ,所以 D选项正确．] ２．B　[由题图知,T＝πω＝２ ３π ８－ π ８( )＝ π ２ ,∴ω＝２． 由２×３π８＋φ＝kπ ,k∈Z,得φ＝kπ－ ３π ４ ,k∈Z． 又∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ４． 由Atan ２×０＋π４( )＝１, 知A＝１,∴f(x)＝tan ２x＋π４( ) , ∴f π２４( )＝tan ２× π ２４＋ π ４( )＝tan π ３＝ ３． ] ３．BCD　[由图可得f(０)＝２cosφ＝１,即cosφ＝ １ ２ , 而－ π２ ＜φ＜０ ,可 得φ＝－ π ３ ,又∵f －π３( ) ＝０,即 ２cos －π３ω－ π ３( )＝０, 可得－π３ω－ π ３＝－ π ２＋２kπ ,k∈Z,可得ω＝１２－６k ,k ∈Z, 又∵T４＞０－ － π ３( ) ,且ω＞０,即 ２π ４ω＞ π ３ ,即０＜ω＜ ３ ２ ,可得ω＝１２ , ∴f(x)＝２cos １２x－ π ３( ) , 对于选项 A,∵１２× ３π ２－ π ３＝ ５π １２≠ π ２＋kπ ,k∈Z, ∴ ３π２ ,０( ) 不是函数的对称中心,故 A不正确; 对 于 选 项 B,∵x∈ (－１,２),可 得 １２x－ π ３ ∈ －１２－ π ３ ,１－π３( ) ⊆(－π,０), ∴函数在(－１,２)上是单调递增,故B正确; 对于选项C中,f′(x)＝－sin １２x－ π ３( ) ,f′(０)＝ ３ ２ , 则f(x)在点(０,１)处的切线方程为y＝ ３２x＋１ ,故C正确; 对于选项 D中,将f(x)向左平移２π３ 个单位后, 可得g(x)＝２cos １２× x＋ ２π ３( )－ π ３[ ] ＝２cos １ ２x ,则 g(x)为偶函数,故 D正确．] 考点二 [母题]　[解析]　D　[函数y＝２sin ２x＋π６( ) 的周期为T ＝２π２＝π ,所以函数y＝２sin ２x＋π６( ) 的图象向右平移 １ ４ 个周期,即为函数y＝２sin ２x＋π６( ) 的图象向右平移 π ４ 个 单位,可得图象对应的函数为y＝２sin ２x－π４( )＋ π ６[ ] , 即y＝２sin ２x－π３( )．] [子题１]　解:把y＝sinx的图象上所有的点向右平移π６ 个单 位,得到y＝sinx－π６( ) 的图象,再把y＝sinx－ π ６( ) 的图 象上的点的横坐标缩短为原来的 １ ２ (纵坐标不变),得到y ＝sin ２x－π６( ) 的图象,最后把y＝sin ２x－ π ６( ) 上所有点 的纵坐标伸长到原来的２倍(横坐标不变),即可得到y＝ ２sin ２x－π６( ) 的图象． [子题２]　解析:把y＝２sin ２x＋π６( ) 图象上所有的点向左平 移m个单位长度后,得到y＝２sin ２(x＋m)＋π６[ ] 的图象, 此图象关于y轴对称．则２m＋ π６ ＝kπ＋ π ２ (k∈Z),m＝ １ ２kπ＋ π ６ (k∈Z),m＞０,∴m的最小值为π６． 答案:π ６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 第３节　三角函数的图象与性质 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．能画出y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx 的图象,了解三角函数的周期性、单 调性、奇偶性、最大(小)值． ２．借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [０,２π]上的性质(如单调性、最大值 和最小值、图象与x轴的交点等),正 切函数在 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷上的性质 １．三角函数的定义域与值域(最 值),达成直观想象和数学运 算的素养． ２．三角函数的单调性,增强逻辑 推理和数学运算的素养． ３．三角函数的周期性、奇偶性和 对称性,提升逻辑推理和数学 运算的素养 　　三角函数的奇偶性、周期性、 单调性及最值是高考的热点,题型 既有选择题、填空题,又有解答题, 一般难度不会太大,属中低档题 型,通常与三角恒等变换相结合, 在考查三角函数性质的同时,又考 查了三角恒等变换的方法与技巧． 考查考生函数与方程、转化与化 归、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] １．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象中,五个关键 点是:(０,０),π２ ,１æ è ç ö ø ÷,(π,０),３π２ ,－１æ è ç ö ø ÷,(２π,０)． 余弦函数y＝cosx,x∈[０,２π]的图象中,五个关键 点是:(０,１),π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(π,－１),３π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(２π,１)． ２．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定 义 域 R R 　　　　　　　 　　　　　　　 值域 　　　　 　　　　 R 周期性 ２π 　　　　 　　 奇偶性 　　　　 偶函数 奇函数 递增 区间 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　 　　　 　 　 　 　　　　　　 kπ－ π２ ,( kπ＋ π２ ) 续表 递减 区间 　　　　 　　　　 　　 　 　 　 　 　　 无 对称 中心 　　　　 　　　　　　 kπ２ ,０( ) 对称轴 方程 x＝kπ＋ π２ 　　　　 无 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,则 φ＝ π ２＋kπ (k∈Z);若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函 数,则φ＝kπ(k∈Z)． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝sinx的图象介于直线y＝１与y＝ －１之间． (　　) (２)将余弦曲线向右平移π２ 个单位就得到正弦 曲线． (　　) (３)函数y＝sin２x＋３π２ æ è ç ö ø ÷是奇函数． (　　) (４)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝２kπ＋π２ (k∈Z)． (　　) (５)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [小题查验] １．设函数f(x)＝cos ωx＋π６ æ è ç ö ø ÷ 在[－π,π]的图象大致如图, 则f(x)的最小正周期为 (　　) A．１０π９ 　　　B． ７π ６　　　C． ４π ３　　　D． ３π ２ ２．下列函数中,以π２ 为周期且在区间 π ４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷ 上单 调递增的是 (　　) A．f(x)＝|cos２x| B．f(x)＝|sin２x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| ３．(多选题)(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝ sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列说法正确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 ４．(多选题)(２０２５􀅰青岛模拟)已知函数f(x)＝ sin(２x＋φ)(０＜φ＜π)的图象关于点 ２π ３ ,０æ è ç ö ø ÷中心 对称,则 (　　) A．f(x)在区间 ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷单调递减 B．f(x)在区间 －π１２ ,１１π １２ æ è ç ö ø ÷有两个极值点 C．直线x＝７π６ 是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝ ３２－x 是曲线y＝f(x)的切线 ５．(２０２５􀅰上海卷)函数y＝cosx 在 [ －π２, π ４ ] 上 的值域为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　三角函数的定义域、值域问题(自主练透) [命题角度１]　三角函数的定义域问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(１)函数y＝ sinx－cosx的定义域为　　　　　． (２)函数y＝lg(sin２x)＋ ９－x２的定义域为 　 　． 　　 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角 不等式,常借助于三角函数线或三角函数图象 来求解． [命题角度２]　三角函数的值域(最值)问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(１)(２０２４􀅰 天 津 卷)已 知 函 数 f(x)＝ sin３ωx＋π３ æ è ç ö ø ÷的 最 小 正 周 期 为 π,则 f(x)在 －π１２ ,π ６[ ]的最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ ３ ２ C．０ D．３２ (２)函数f(x)＝sin２x＋３π２ æ è ç ö ø ÷－３cosx的最小值 为　　　　． １．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三 角不等式,常借助于三角函数线或三角函数 图象来求解． ２．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解 策略: (１)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化 为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的 形 式,再 求 最 值 (值域); (２)形如y＝asin２x＋bsinx＋c的三角函数,可先 设sinx＝t,化为关于t的二次函数求值域 (最值); (３)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数,可先设t＝sinx±cosx,化为 关于t的二次函数求值域(最值)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形 考点二　三角函数的单调性(师生共研) [典例]　(１)y＝sin π３ －２x æ è ç ö ø ÷ 的单调递减区间为 　　　． (２)若 f(x)＝２sinωx＋１(ω＞０)在 区 间 －π２ ,２π ３[ ] 上 是 单 调 递 增,则ω 的 取 值 范 围 是 　　　　　　． 逻辑推理———三角函数单调性中应用的核心素养 具体见下表: 信息提取 信息解读 逻辑推理 已 知 f(x)＝ ２sinωx＋１(ω＞ ０ ) 在 区 间 － π２ ,２π ３[ ] 上单调递增 解读一: －π２ ,２π ３[ ] 是 函数f(x)单调递增区 间的子区间． 解读二:ωx 的取 值 范 围是 － π２ ,π ２[ ] 的子 区间． 解读 三:原 点 到 区 间 － π２ ,２π ３[ ] 两端点的 距离不超过T ４ 求参 数 ω 的 取 值范围 建 立 关 于 ω 的 不 等 式组 推理 一:由 函 数y＝ sinx在区间 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ] 上 单 调 递 增,求 得 f(x)＝２sinωx＋１(ω ＞０)的单调递增区间． 推理 二:由 不 等 式 的 基本 性 质 求 出 ωx 的 取值范围． 推理三:由正弦函数 y＝sinx的 图 形 与 性 质 知 原 点 到 区 间 － π２ ,π ２[ ] 两 端 点 的距离等于T ４ [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋[互动探究] 在本例(１)中函数不变,求函数在[－π,０]上的单 调递减区间． 　　 求三角函数单调区间的两种方法 (１)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后 的整体当作一个角u(或t),利用基本三角 函数的单调性来求所要求的三角函数的单 调区间． (２)图象法:函数的单调性表现在图象上是:从 左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区 间,图象下降趋势的区间为单调递减区间, 画出三角函数的图象,结合图象易求它的单 调区间． 　提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系 数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数 自身的定义域． [跟踪训练] １．(２０２５􀅰南京质检)已知函数f(x)＝cos２x－ sin２x,则 (　　) A．f(x)在 －π２ ,－π６ æ è ç ö ø ÷上单调递减 B．f(x)在 －π４ ,π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．f(x)在 ０,π３ æ è ç ö ø ÷上单调递减 D．f(x)在 π４ ,７π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 ２．若f(x)＝cosx－sinx在[－a,a]上单调递减, 则a的最大值是 (　　) A．π４ B． π ２ C．３π４ D．π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究) [命题角度１]　三角函数的周期性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２４􀅰上海卷)下列函数中,最小正周期是２π 的是 (　　) A．y＝sinx＋cosx B．y＝sinxcosx C．y＝sin２x＋cos２x D．y＝sin２x－cos２x ２．(２０２５􀅰全国一卷)已知点(a,０)(a＞０)是函数y ＝２tanx－π３ æ è ç ö ø ÷的图象的一个对称中心,则a的 最小值为 (　　) A．π６ B． π ３ C．π２ D． ４ ３π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 求三角函数周期的方法 (１)利用周期函数的定义; (２)利用公式:y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋ φ)的最小正周期为 ２π |ω| ,y＝tan(ωx＋φ)的最小 正周期为 π |ω| ; (３)利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问 题,通常要画出图象,结合图象进行判断． [跟踪训练] (２０２５􀅰成都模拟)已知函数f(x)＝cosx－cos２x, 试判断函数f(x)的奇偶性及最大值 (　　) A．奇函数,最大值为２ B．偶函数,最大值为２ C．奇函数,最大值为９８ D．偶函数,最大值为９８ [命题角度２]　三角函数的对称轴或对称中心 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．当x＝π４ 时,函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值, 则函数y＝f ３π４－x æ è ç ö ø ÷ (　　 ) A．是奇函数且图象关于点 π２ ,０æ è ç ö ø ÷对称 B．是偶函数且图象关于点(π,０)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝π２ 对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴,只需令ωx ＋φ＝ π ２＋kπ (k∈Z),求x;若求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标,只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z),求x即可． [跟踪训练] (２０２５􀅰日照模拟)记函数f(x)＝sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＋b(ω＞０)的最小正周期为T,若２π３≤T＜π ,且 y＝f(x)的 图 象 关 于 点 ３π２ ,２æ è ç ö ø ÷ 中 心 对 称,则 f π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１ B．３２ C．５２ D．３ [命题角度３]　三角函数奇偶性、对称性的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．使函数f(x)＝ ３sin(２x＋θ)＋cos(２x＋θ)是偶 函数,且在 ０,π４[ ]上是减函数的θ的一个值是 (　　 ) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． ５π ６ ５．(２０２５􀅰雅安市模拟)函数f(x)＝ ３sin ２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的 图象在区间 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上的对称轴方程为　　　　． 　　 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性的应用 (１)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,则当x＝０ 时,f(x)取 得 最 大 或 最 小 值;若 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)为奇函数,则当x＝０时,f(x) ＝０． (２)对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定 经过图象的最高点或最低点,对称中心一定 是函数的零点,因此在判断直线x＝x０ 或点 (x０,０)是否是函数的对称轴或对称中心时,可 通过检验f(x０)的值进行判断． [跟踪训练] 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个 结论: ①f(x)是偶函数; ②f(x)在区间 π２ ,πæ è ç ö ø ÷上单调递增; ③f(x)在[－π,π]上有４个零点; ④f(x)的最大值为２． 其中所有正确结论的编号是 (　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 学习至此,请完成配套训练　课时冲关二十 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形