第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第１节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．了解任意角的概念和弧 度制的概念,体会引入弧 度制的必要性． ２．能 进 行 弧 度 与 角 度 的 互化． ３．借助单位圆理解三角函 数(正弦、余弦、正切)的 定义 １．角的集合表示及象限角的判定,达 成数学抽象素养． ２．扇形的弧长及面积公式,发展数学 抽象和数学运算素养． ３．三角函数的定义,提升数学抽象和 数学运算素养． ４．三角函数线、三角函数值的符号,提 升直观想象素养 　　对于角的概念与分类、弧度制及任 意角的三角函数定义单独命题的概率 很小,多与其他知识相结合,如三角恒 等变换、同角三角函数基本关系式及诱 导公式等综合命题,题型一般为选择 题、填空题形式,属于中低档题目,考查 学生的基本运算能力及等价转化能力 [必备知识] １．角的概念的推广 (１)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着　　 　　 从 一 个 位 置 旋 转 到 另 一 个 位 置 所 成 的 图形． (２)分类 按旋转方向不同分为　　、　　、　　． 按终边位置不同分为　　　和　　　．{ (３)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同 角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k􀅰 ３６０°,k∈Z}． ２．弧度制的定义和公式 (１)定义:把长度等于　　　　的弧所对的圆心角 叫做１弧度的角,弧度记作rad． (２)公式 角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①１°＝ π１８０rad ; ②１rad＝　　　　 弧长公式 弧长l＝　　　　 扇形面积公式 S＝　　　　lr＝　　　　 ３．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 　 　 叫 做 α 的正弦,记作 sinα 　 　 叫 做 α 的余弦,记作 cosα 　 　 　 　 叫 做α的正切, 记作tanα 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口 诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角 函数线 有向线段 　 　 为 正 弦线 有向线段 　 　 为 余 弦线 有向线段 　 　 为 正 切线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．任意角三角函数的定义的推广 设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到 原点O的距离为r,则sinα＝yr ,cosα＝xr ,tanα＝ y x (x≠０)． ２．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角,则α２ 所在象限 如图 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)小于９０°的角是锐角． (　　) (２)锐角是第一象限角,反之亦然． (　　) (３)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (４)不相等的角终边一定不相同． (　　) (５)终边相同的角的同一三角函数值相等． (　　) (６)点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α终边在 第二象限． (　　) (７)α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,则tanα＞α＞sinα． (　　) (８)α为第一象限角,则sinα＋cosα＞１．(　　) [小题查验] １．－８７０°角的终边在第几象限 (　　) A．一 B．二 C．三 D．四 ２．下列与９π４ 的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　 ) A．２kπ＋４５°(k∈Z) B．k􀅰３６０°＋９π４ (k∈Z) C．k􀅰３６０°－３１５°(k∈Z) D．kπ＋５π４ (k∈Z) ３．(２０２５􀅰聊城模拟)若α为第四象限角,则 (　　) A．cos２α＞０ B．cos２α＜０ C．sin２α＞０ D．sin２α＜０ ４．(２０２５􀅰唐山三模)已知角α的顶点与原点重合, 始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(－１, －２),则sin２α＋sin２α＝ (　　) A．５８ B． ８ ５ C． ５ ５ D． ２ ５ ５ ５．已知扇形的面积为２,扇形圆心角的弧度数是４, 则扇形的周长为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　角的集合表示及象限角的判定(师生共研) [典例]　(１)若角θ的终边与６π７ 角的终边相同,则 在[０,２π)内 终 边 与 θ３ 角 的 终 边 相 同 的 角 为 　　　　　． (２)如果α是第三象限的角,则角－α的终边所在 位置 是 　 　 　 　,角 ２α 的 终 边 所 在 位 置 是 　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (２)　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　　　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [互动探究] 在本例 (２)的 条 件 下,角α３ 的 终 边 所 在 的 位 置是　　　　． 　　 (１)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的 所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋 值来求得所需角． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 (２)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止 边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对 应的－３６０°~３６０°范围内的角α和β,写出 最简区间． ③起始、终止边界对应角α,β再加上３６０°的 整数倍,即得区间角集合． (３)已知角α终边所在的象限,求２α、α２ 、π－α 等角的终边所在象限问题,可由条件先写出 α的范围,解不等式得出角２α、α２ 、π－α等的 范围,再根据范围确定象限． [跟踪训练] １．若α＝k􀅰１８０°＋４５°(k∈Z),则α在 (　　 ) A．第一或第三象限　　　B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 ２．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括 边界),则角α的集合为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　扇形的弧长及面积公式(师生共研) [典例]　已知扇形周长为４０,当它的半径和圆心 角分别取何值时,扇形的面积最大? [思维导引]　建立扇形的面积S 与其半径r 的 函数关系式求解． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [互动探究] １．本例题条件若变为“周长为６,面积是２”,试求圆 心角的弧度数． ２．本例题条件若变为“扇形的圆心角为１２０°,弦长 为AB＝１２”,试求弧长l． 应用弧度制解决问题的方法 (１)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意 角的单位必须是弧度． (２)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次 函数的最值问题,利用配方法使问题得到 解决． (３)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理 利用圆心角所在的三角形． [跟踪训练] 一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆 半径的２ ３ ,面积等于圆面积的５ ２７ ,则扇形的弧长 与圆周长之比为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形 考点三　三角函数的定义(子母变式) [母题]　设角α终边上一点P(－４a,３a)(a＜０), 则sinα的值为　　　　． 数学运算———三角函数定义应用中的核心素养 信息提取 信息解读 数学运算 已知角α 终 边 上 一 点P 的坐标(－４a, ３a)(a＜０) 角α 的 顶 点 在 坐 标 原点,始边为x轴的 非负半轴,终边可以 由点P 的坐标确定 求sinα的值 可以利用任意角的 三 角 函 数 定 义,求 sinα的值 先求点P 到坐标原 点的距离r,在利用 sinα＝ yr ,求sinα 的值 [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 [子题１]　若母题中“a＜０”,改为“a≠０”,则sinα 的值为　　　　． [子题２]　已知角α的终边在直线３x＋４y＝０上, 求sinα,cosα,tanα的值． [子题３]　已知角α的终边上一点P(－ ３,m) (m≠０),且sinα＝ ２m４ ,求cosα,tanα的值． 　　 用定义法求三角函数值的两种情况 (１)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出 点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定 义求解． (２)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设 出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距 离,然后用三角函数的定义来求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点四　三角函数线、三角函数值的符号(自主练透) [题组集训] １．下列各选项中正确的是 (　　 ) A．sin３００°＞０　　　　　　B．cos(－３０５°)＜０ C．tan －２２３π æ è ç ö ø ÷＞０ D．sin１０＜０ ２．已 知 sin２θ＜０,且|cosθ|＝ －cosθ,则 点 P(tanθ,cosθ)在第　　　　象限． 　　 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数 值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正 弦、三正切、四余弦． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十八 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 艺考生文化课百日冲关·数学 第三章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角轴线角 2*径长2()ar÷合aP3y 义MP OM AT 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)/ (7)/(8)/ 小题查验 1.C2.C3.D4.B5.6 跃升·关键能力考点一 [典例][解析](1：0=g+2kx∈Z. -g+2(k∈D. 37 3 依题高0<号-2告<2-号<号k长7 k=0,1,2即在[0,2m)内终边与号相同的角为受， 20元34π 21·21 (2)由a是第三象限的角得x十2k<a<十2x, -3号-2kr一a<二元一2kx, 即受+2k<-a<+2x(k∈Z, ,。角一a的终边在第二象限 由x+2kr<a<经+2x, 得2r十4kπ<2a<3r十4kπ(kEZ). 角2的终边在第一，二象限或y抽的非负半轴上 [答案]1牙，严， 工(2)第二象限第一、二象限 或y轴的非负半轴上 互动探究 解折析：国为十2<a<受+2kxk∈D, 所以吾+2<g<吾+2(kEZD. 33323 当k=3nneD时，晋+2x<号<受+2 (nEZ): 当6=3+1a∈D时，+2m<号<号+2mnEZ: 当k=3+2meD时.号+2m<号<告+2mmeD. 综上可知，号的终边在第一、三，四象限。 答案：第一、三、四象限 跟踪训练 1.A[当k=2n(n∈Z)时，a=2m·180°+45°=n·360°+ 45”,a为第一象限角.当k=2n十1(n∈Z)时，a=(2n十1) ·180°+45°=n·360°+225°，a为第三象限角.所以a为 第一或第三象限角.门 2.解析：在0°~一360°范图内，终边落在阴影内的角为90°≤a ≤135°或270°≤a≤315°.所以终边落在阴影所表示的范 围内的角a的集合为{a90°+k·360°≤a≤135°十k· 360°，k∈ZU{a270°+k·360°≤a≤315°+k·360°，k ∈Z}={a90°+2k·180°a≤135°+2k·180°，k∈Z}U {a90°+(2k+1)·180°≤a≤135°+(2k+1)·180°，k∈ Z}={a90°+n·180°≤a≤135°+n·180°，n∈Z. 答案：{a90°十n·180°≤a≤135°+n·180,n∈7h ·3 考点二 [典例][解]设圆心角是9，半径是r,则2r十0=40. 又S=20r=2r40-2r)=r20- =-(r-10)2+100≤100. 当且仅当r=10时，Sm.=100, 此时2×10十108=40.8=2. 所以当r=10,日=2时，扇形的面积最大. 互动探究 1.解：设半径为r,弧长为l, =2，解得{成红=2， 12r十1=6， 则{1 r{l=41=2. 國心角的孤度数为a=4或1. 2.解：液率径为八则由=n60, r=43,.l=a·r= 8 3元 跟踪训练 解析：设国的半径为r,则扇彩的半径为号，记扇彩的国 心角为a, 1/2r 则2“3 27a-5x 61 5π，2r 一扇形的孤长与圆周长之比为上 =63 5 2r18 答案：8 考点 [母题][解析]第一步：利用两点间的距离公式求出，点 P到坐标原，点的距离”， 设P与原点的距离为r,:P(-4a,3a),a<0, ∴r=√/(-4a)+(3a)=a=-5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sina的值. 4.sin a= -5a 5 [答案] - [子题1门解析：当a<0时，sina=一 亏：当a>0时，r=5a, 3 sin a= 3 [子题2]解：设a终边上任一点为P(-4a,3a),当a>0时， r=5a,sin a=- 4 3 ，tana=一4； sa=， 3 当a0时，r=一5a,sina= tan a=-3 [子题3]解：由题设知x=一√5，y=m, ∴.P=OP=(-√5)2十m(0为原点). r=√3+m. 四=m=2E. ∴sina=-Em=m 即3+m2=8,解得m=士√5. 当m=5时，r=2√2，x=-√5，y=5, cosa=6 22 tan a=-15 3 当m=-√5时，r=22,x=-√5，y=-5, .cos a= 5--】 22 tan a=15 3 4 考点四 1.D[300°=360°一60°，则300°是第四象限角，故 sin300°<0：-305°=-360°+55°，则一305是第一象限 角，故0(-305>0：而一号=-8x十号，所以-号 3 π是第二象限角， 故1m(号)0，国为3x<10<子，所以10是第三 象限角，故sin10<0.] 2.解析：法一：由sin20<0,得2kπ十π<20<2kr十2π(k∈ Z),kx十受<0K标+∈， 当k为奇数时，日的终边在第四象限： 当k为偶数时，日的终边在第二象限 又因c0s8≤0，所以日的终边在左半坐标平面（包括y 轴)，所以日的终边在第二象限， 所以tan0<0,cos8<0,点P在第三象限。 法二：由c0s8=一c0s0,知c0s≤0，① 又sin200,即2sin0cos00,②④ 由①②可推出/sin>0 cos <0 因此0在第二象限，P(tnB,cos)在第三象限， 答案：三 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)sina十cosa=1 (2)sin a=tan a 2.-sin a cos a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a 一tana 思考辨析(1)×(2)×(3)√(4)/(5)× 小题查验 1A2D3A43四 5 5.-1 跃升·关键能力考点一 [母题][解](1)法一：联立方程 1 sina十cosa=方，① (sin'a十cos'a=1,② 由①得cosa= 1 一sina,将其代入②，整理得 25sina-5sina-12=0.,a是三角形内角， 4 sin a=5 .tan a=- cos a=-3 3 法二：'sina十cosa= 1 ∴.(sina十cosa)'= (）广，即1+2 ina= 25 .2sin acos a=- 24 'sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+ 24-49 2525 12 .'sin acos a= 25 <0.且0<a<r, sin a>0,cos a<0,sin a-cos a >0. 'sin a-cos a=- 51 1 sina十cosa= sin a=5' 4 由 5. sin a-cos a= cos a=- 3 .tan a=- ·3 参考答案 (2) 1 sin'a+cos'a cos'a-sin'a cos a-sin'a sina十cosa cos'a tan'a-l cos'a-sin'a 1-tan'a .'tan a=- cos'a 1 _tan'a+1 25 cos'a-sin'a 1-tan'a 1() [子题1]解：由tana= 一了，得sima=一 1 3cos a, 将其代入sin'a十cos2a=1, 得智osa=1oasa=品汤知osK0 cos a=- 3√1 10 0,sin a- 10 10 故sina十cosa= √10 51 [子题2]解：由母题解析可知：tana=一 4 3 (1)sin a-4cos a lan a-4 5sin a-+2cos a 5tan a+2 34 x(言）F2 (2)sin'a十2 sin acos a= sina+2sin acos a sin acos'a 168 tan'a+2tan a 9 3 1+tan'a [子题3] 解：由0a中30g=5,得a"3=5,即1ama 3cos a-sin a 3-tan a =2. 考点二 解析：sim(管-a）sin[x-(晋-a)] si血(e+吾)=子 (2)fa)-(-2sin a)(-cos a)+cosa 1+sin'a十sina-cosa 2 sin acos a十cosc_cosa(1-2sina） 2sin'a-sin a sina(1十2sina) d。1+2sme≠0，…/(2g) tan a 1 1 =√5 tan( ian(4+若)an (3)方程5x-7江-6=0的根为-是或2. 又a是第三象限角，sina=一 3 5 ∴.cosa=-√1-sina= tana=sina」 53 cos a 4 5 ∴原式=osa(-sina) ·tana=-tana= 9 sina·cosa 答案：1)片 (2W5(3)-6 9