第11节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

　　　　　　第１１节　利用导数研究函数的单调性 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合实例,借助几何直观了 解函数的单调性与导数的 关系． ２．能利用导数研究函数的单 调性． ３．会求函数的单调区间(其中 多项式函数不超过三次) １．利用导数判断或证明函数的单调性, 发展逻辑推理和数学运算素养． ２．利用导数求函数的单调区间,提升逻 辑推理和数学运算素养． ３．已知函数的单调性求参数的取值范 围,提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用导数研究函数的单调性 是高考考查的热点内容,主要考查 利用导数讨论函数的单调性,利用 导数确定函数的单调区间、已知函 数的单调性求参数的取值范围等, 考查转化与化归、分类讨论、数形结 合等思想方法．题型主要以解答题为 主,属于中高档题 [必备知识] １．函数的单调性与导数的关系 已知函数y＝f(x)在某个区间内可导, (１)若f′(x)＞０,则f(x)在这个区间内　　　　; (２)若f′(x)＜０,则f(x)在这个区间内　　　　; (３)若f′(x)＝０,则f(x)在这个区间内是　　　　． ２．求函数单调区间的步骤 (１)求定义域． (２)求导． (３)由导数大于０求单调递增区间;由导数小于０ 求单调递减区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．f′(x)＞０(或f′(x)＜０)是f(x)在(a,b)内单调 递增(或递减)的充分不必要条件． ２．若f(x)可导且f′(x)＝０不恒成立,则f′(x)≥０ (或f′(x)≤０)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递 减)的充要条件． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)f′(x)＞０是f(x)为增函数的充要条件． (　　 ) (２)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图 象就越“平缓”． (　　 ) (３)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝０, 则f(x)在此区间内为常数函数． (　　 ) (４)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的 单调递增区间意义不一样． (　　 ) [小题查验] １．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则 下列判断中正确的是 (　　) A．函数f(x)在区间(－３,０)上单调递减 B．函数f(x)在区间(－３,２)上单调递减 C．函数f(x)在区间(０,２)上单调递减 D．函数f(x)在区间(－３,２)上是单调函数 ２．函数f(x)＝１＋x－sinx在(０,２π)上的单调情 况是 (　　 ) A．单调递增　　　　　B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 ３．已知f(x)是定义在R上的函数,它的图象上任意一 点P(x０,y０)处的切线方程为y＝(x２０＋x０－２)x＋(y０ －x３０－x２０＋２x０),那么函数f(x)的单调递减区间为 (　　 ) A．(－２,１) B．(－１,２) C．(－∞,－２) D．(１,＋∞) ４．(人教 A版教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的 减区间为　　　　． ５．已知f(x)＝x３－ax在[１,＋∞)上是增函数,则 a的最大值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 考点一　利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研) 分类讨论思想———分类与整合思想研究函数的单调性 　　含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常 见有以下几种可能:①方程f′(x)＝０是否有根;②若 f′(x)＝０有根,求出根后是否在定义域内;③若根在 定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类 方法． [典例]　(２０２５􀅰河南郑州质检)已知函数f(x)＝ eax－ax－１,a∈R． (１)当a＝１时,求曲线y＝f(x)在x＝０处的切 线方程; (２)当a≠０时,讨论函数f(x)的单调性; [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (１)求导:求出f′(x); (２)判号:判断f′(x)在(a,b)内的符号; (３)结论:写出f(x)在(a,b)内的单调区间． 　易错警示:研究含参数函数的单调性时,需注 意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论． [跟踪训练] 已知函数f(x)＝exln(１＋x)． (１)求曲线y＝f(x)在点(０,f(０))处的切线 方程; (２)设g(x)＝f′(x),讨论函数g(x)在[０,＋∞) 上的单调性; (３)证明:对任意的s,t∈(０,＋∞),有f(s＋t)＞ f(s)＋f(t)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　利用导数求函数的单调区间(师生共研) [典例]　已知函数f(x)＝x４＋ a x－lnx－ ３ ２ ,其中 a∈R,且曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的切线 垂直于直线y＝１２x． (１)求a的值; (２)求函数f(x)的单调区间． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 用导数法求可导函数单调区间的一般步骤 求定义域 → 求导数f′(x) → 求f′(x)＝０在 定义域内的根 → 用求得的 根划分定 义区间 → 确定f′(x)在 各个开区间 内的符号 → 得相应开 区间上的 单调性 [跟踪训练] 已知函数f(x)＝ln(ex＋１)－ax(a＞０)． (１)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数,求a 的值; (２)求函数y＝f(x)的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点三　已知函数的单调性求参数的取值范围(子母变式) [母题]　已知函数f(x)＝x３－ax－１． (１)讨论f(x)的单调性; (２)若f(x)在 R上为增函数,求实数a的取值 范围． [破题关键点]　(１)讨论f′(x)的符号是正的还 是负的; (２)转化为f′(x)≥０在(－∞,＋∞)上恒成立． [子题１]　 函数 f(x)不变,若f(x)在区间 (１, ＋∞)上为增函数,求a的取值范围． [子题２]　函数f(x)不变,若f(x)在区间(－１,１) 上单调递减,试求a的取值范围． [子题３]　函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为 (－１,１),求a的值． [子题４]　函数f(x)不变,若f(x)在区间(－１,１) 上不单调,求a的取值范围． 　　 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (１)利用集合间的包含关系处理:y＝f(x)在 (a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间 的子集． (２)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单 调递增,则f′(x)≥０;若函数单调递减,则 f′(x)≤０”来求解． 易错警示:f(x)为增函数的充要条件是对任 意的x∈(a,b)都有f′(x)≥０且在(a,b)内 的任一非空子区间上f′(x)不恒为０．应注意 此时式子中的等号不能省略,否则漏解． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十六 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 考点三 1.A [f()=+2sin z 1十x “f(x=c+2c0sx1+)-(c+2sn)·2z (1+x) =(x-1)e+2(1)cos t-Arsin t (1+x)P 则f(0)=3, ∴y=f八x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x一0)， 即3x一y十1=0， 令x=0,得y=1, 令y=0,得=子 ∴y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所国成的三 角形的面数为5=××1=] 2解桥：因为x)=n(2-1D十克谢f0)=1Xn1 1 1+12 所以切点为(（1，号》且f()=n(2x-1)+ (x+1) 则k=0=h1-子 由直线的点针式可得y一号-子一1D,化商可得7江 4y-5=0, 所以切线方程为7x一4y一5=0. 答案：7x-4y-5=0 3.解析：设切点为(xo,yo),y=nx十x十1求导得 y=上+1，依题有上+1=2，得x=1, o 所以%=ln1+1十1=2，切线方程为y-2=2(x一1)，即2x -y=0. 答案：2x-y=0 4.解析：y=lnx十2的切线为y=·x十山x十1（设切 点横金标为y=加红十)的初线为y一计 西十D》产（设切点楼坐标为 1 1 +11 nx+1=ln(x十1)- 1 解得 .b=lnx+1=1-ln2. 1 x=-2 答案：1-ln2 5.解析：由题意知y'=(e十x)'=e十1，当x=0时，切线 斜率k=2, 则切线方程为y=2x十1，y'=[n(x十1)十a]' ==2,得x=-y=2×(）十1=0， y=lnx+1)+a的点(-是0）： 即0=h(-号+1）十a,故a=h2 答案：ln2 ·3 参考答案 第11节 夯实·必备知识必备知识 1,单调递增单调递减常数函数 思考辨析 (1)×(2)×(3)√(4)/ 小题查验 1.A2.A3.A4.(-∞，0)5.3 跃升·关键能力考点一 [典例]解：(1)当a=1时，f(x)=e-x-1,f(0)=e°- 0-1=0, f(x)=e-1,f(0)=e°-1=0， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y一0=0X (x一0)，即y=0. (2)f(x)=ae"-a=a(e-1). 若a>0,令f(x)=0,即a(eF一1)=0， 因为a>0,所以e“一1=0，解得x=0. 当x<0时，e<1,f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e>1,f(x)>0,f(x)单调逼增. 若a0,令f(x)=0,解得x=0. 当x<0时.e“>1,了(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e<1,f(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述，当a≠0时，f(x)在(-，0)上单调递减，在 (0,+o)上单调递增」 跟踪训练 解1)由题fx)=eln1+)+e‘ =e·(1+)+中) 故f0)=e·（1+0+0)=1, f(0)=eln(1+0)=0, 因此，曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=x: (2)由知，gx)=fx)=e·(a1+0十) x∈[0，+o∞)， 则ge=e·(1+0+子a） 设h(x)=n(1+x)十1千x0+x) 2 x∈[0，十∞)， 1 则(0=1千1千x可1+z可 2 故h(x)在[0，十oo)上单调递增，故h(x)≥h(0)=1>0, 因此g'(x)>0对任意xE[0,十∞)恒成立， 故g(x)在[0，十∞)上单调递增： (3)设m(s)=f(s十t)-f(s)-f()=e+ln(1十s十t) e'ln(1十s)-eln(1十t), 则m。=e”(a+++1中) 1 e(a1+)+千)=gs+)-gs. 由(2)g(x)在[0，十0∞)上单调递增， 故s>0,t>0时，m'(s)=g(s+t)-g(s)>g(t)一 g(0)>g(0)-g(0)=0, 因此，m(s)在(0，十o)上单调递增， 故m(s)>m(0)=f(0+t)-f(0)-f(t)=-f(0)=0, 因此，对任意的xt∈(0，十0∞)， 有f(十)>fs)十ft). 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 [典例][解](1)对f(x)求导得(x)= 由fx)在点(1，f1)处的切线套直于直线y=之， 知了0)=-是-0=-2，解得a=名 2b1物)=导+是ax是 3 则f(x)=-4-5 4x2 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义城(0，十∞)内，故舍去， 当x∈(0,5)时，「(x)<0,故∫(x)在(0,5)上单调递减： 当x∈(5，十∞)时，(x)>0, 故f(x)在(5，十∞)上单调递增 跟踪训练 解：(1)函数∫(x)的定义域为R 由已知得了(x)=。+a e 函数y=f代x)的导函数是奇函数， f-n=-fm,脚a=e片@ 解得a=之 (2)由(1)f(x)=c +1-a=1-1 e'+a. ①当a≥1时，f(x)<0恒成立， a∈[1，十oo)时，函数y=f(x)在R上单调递减. ②当0<a<1时，由f(x)>0,得(1一a)(e十1)>1，即e> -1+己a解得x>n吕a 由f(x)<0,得(1-a)(e+1)<1, 即e<-1十己。解得<n户。 a∈01)时，画数y=f)在（加产。+∞）上单调 递增，在(0血巴a）上单调递减 考点三 [母题][解](1)(x)=3x2-a ①当a≤0时，f(x)≥0. 所以f八x)在（一c∞，十∞）上为增画数. @当a>0时，令3x2-a=0,得x=士3 3 当>我<-@时x)>0: 3 3 当-@<<@时，f(r)<0. 3 3 因此f(x)在 增，在一 3a√3a 33 上单调递减。 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增： 当a>0时，f(x)在 +小上* 3a. 3 调递增，在 3a,√3@上单调递减. 3 3 (2)因为f(x)在(-∞，十∞)上是增画数， 所以(x)=3x-a≥0在(-o0,十o∞)上恒成立， 即a≤3x对xER恒成立. 因为3x≥0，所以只需a≤0. 又因为a=0时，f'(x)=3x≥0，f(x)=x-1在R上 是增函数，所以a0, 即a的取值范围为(-∞，0]. ·3 [子题1门解：因为f(x)=3x-a,且f(x)在区间(1， 十∞)上为增虽数，所以(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， 即3x一a≥0在(1，十o∞)上板成立， 所以a≤3x2在(1，十o)上恒成立，所以a≤3， 即a的取值范围为（一o,3]. [子题2]解：由了(x)=3x-a≤0在(-1,1)上恒成立， 得a≥3.x在（一1,1）上恒成立. 因为一1<x<1,所以3x<3,所以a≥3. 即当a的取值范画为[3，十∞)时，f(x)在（一1,1）上单 调递减 [子题3]解：由母题可知，∫(x)的单调递减区间为 -3a,3@.@=1,即a=3. 33 3 [子题4]解：f(x)=x-ax-1,∴了(x)=3x-a. 显然a>0,由(x)=0,得x=±3@ 3 :f(x)在区间（一1,1）上不单调， 0<3a<1,得0<a<3, 3 即a的取值范围为(0,3). 第12节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)极大值(2)极小值2.(3)左正右负左负右正 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),fb) 思考辨析(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/(6)× 小题查险 1.C2.A3.ABD4.-45.144 跃升·关键能力考点一 1.D[由题图可加，当x<一2时，f(x)>0:当一2<x<1 时，f(x)<0:当1<x<2时，f(x)<0:当x>2时， (x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=一2处取得极 大值，在工=2处取得极小值.] 2.解：(1)f(x)=e十(x-1)e'-2ax=xe一2ax, 由题意知，(1)=e-2a=e-2,所以a=1, 又图为f(1)=-1十b=(e一2)×1十3一e=1· 所以b=2. (2)由(1)知，f(x)=xe-2x=x(e-2), 当x∈(-oa,0)时，f(x)>0:当x∈(0，ln2)时， f(x)<0: 当x∈(ln2,十oo)时，f(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为（一a,0),(ln2,十o∞），单调 递减区间为(0，ln2); 当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1: 当x=ln2时，f(x)取得极小值f(n2)=2ln2-(ln2). 3.解析：了(x)=lnx+1-2ax, 由题意知1nx十1一2a.x=0在(0，十oo)上有两个不相等 的实极，则2a=nr十 2 设g(x=l血x中1，则g(x)=-血 T 当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1)=1, 又当x>1时，g(x)>0, 当x→十0∞时，g(x)→0， 当x→0时，g(x)→一oa, 所以0<2a<1,即0<a<2 答案：(0,2) 4.解析：f(x)=2(alna一ex)至少要有两个零点x=x =(x)=2a'(In a)'-2e. (1)若a>1,则(x)在R上单调递增，此时若"(x。)= 0,则f(x)在（一∞，x)上单调递减，在(x。,十∞）上单 调递增，此时若有x=x1和x=x分别是函数f(x) 2a一ex(a>0且a≠1)的极小值，点和极大值，点， 2