第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

[跟踪训练] 为加快落实新旧动能转换,某单位在国家科研部 门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳 处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测 算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨) 之间的函数关系可近似地表示为y＝ １ ３x ３－８０x２＋５０４０x,x∈[１２０,１４４), １ ２x ２－２００x＋８００００,x∈[１４４,５００], ì î í ï ï ï ï 且每处理 一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 ２００元,若该项目不获利,国家将给予补偿． (１)当x∈[２００,３００]时,判断该项目能否获利? 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每 月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (２)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨 的平均处理成本最低? 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第１０节　导数的概念与计算 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过实例分析,经历由平均变化率过度到瞬 时变化率的过程,了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体 会导数的内涵与思想,体会极限思想． ２．通过函数图象直观理解导数的几何意义． ３．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数),y ＝x,y＝x２,y＝x３,y＝１x ,y＝ x的导数． ４．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求 简单的复合函数 １．导数的概念,发展 逻辑 推 理 和 数 学 运算素养． ２．导数的计算,提升 逻辑 推 理 和 数 学 运算素养． ３．导数的几何意义及 应用,提升逻辑推 理和数学运算素养 　　导数的运算、导数的几何 意义是高考命题的热点,导数 的运算一般不单独命题,常融 合在 与 导 数 有 关 的 其 他 题 目 中;而导数的几何意义是一个 高频考点,常与函数、解析几何 放在一起综合考查,有时还作 为解答题的一部分呈现． 　　本节内容主要以选择题、 填空题或解答题中第一问的形 式出现,属于中低档题 [必备知识] １．函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数 (１)定义:称函数y＝f(x)在x＝x０ 处的瞬时变化 率lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ＝limΔx→０ Δy Δx 为函数y＝ f(x)在 x＝x０ 处 的 导 数,记 作 f′(x０)或 y′|x＝x０,即f′(x０)＝limΔx→０ Δy Δx＝limΔx→０　　　　． (２)几何意义:函数f(x)在点x０ 处的导数f′(x０) 的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x０,f(x０)) 处的　　　　　　　　　．相应地,切线方程为 　　　　　　　　． ２．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内的每一点处都 有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这 个函数称为函数y＝f(x)在(a,b)内的导函数． 记作f′(x)或y′． ３．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　　　　 f(x)＝xα(α∈Q∗) f′(x)＝　　　　 f(x)＝sinx f′(x)＝　　　　 f(x)＝cosx f′(x)＝　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 基本初等函数 导函数 f(x)＝ex f′(x)＝　　　　 f(x)＝ax(a＞０) f′(x)＝　　　　 f(x)＝lnx f′(x)＝　　　 f(x)＝logax(a＞０,a≠１) f′(x)＝　　　 ４．导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有: (１)[f(x)±g(x)]′＝　　　　　　; (２)[f(x)􀅰g(x)]′＝　　　　　　; (３)f (x) g(x)[ ]′＝ f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x)]２ (g(x)≠０)． ５．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u), u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′􀅰ux′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与　　　　的导 数的乘积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．f′(x０)与x０ 的值有关,不同的x０,其导数值一般也 不同． ２．f′(x０)不一定为０,但[f(x０)]′一定为０． ３．奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函 数,周期函数的导数还是周期函数． ４．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的 瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其 大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大, 曲线在这点处的切线越“陡”． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)y′＝f′(x)在点x＝x０ 处的函数值就是函数 y＝f(x)在点x＝x０ 处的导数值． (　　) (２)求f′(x０)时,可先求f(x０)再求f′(x０)． (　　) (３)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (　　) (４)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 切线． (　　) (５)若f(x)＝f′(a)x２＋lnx(a＞０),则f′(x)＝ ２xf′(a)＋１x． (　　) [小题查验] １．函数y＝xcosx－sinx的导数为 (　　 ) A．xsinx　　　　　　　B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx ２．函数y＝f(x)的图象如图所示,则y＝f′(x)的 图象可能是 (　　 ) ３．函数f(x)＝x４－２x３ 的图象在点(１,f(１))处的 切线方程为 (　　) A．y＝－２x－１ B．y＝－２x＋１ C．y＝２x－３ D．y＝２x＋１ ４．(２０２５􀅰烟台二模)曲线y＝ e x x＋１ 在点 １,e２ æ è ç ö ø ÷ 处 的切线方程为 (　　) A．y＝e４x B．y＝ e ２x C．y＝e４x＋ e ４ D．y＝ e ２x＋ ３e ４ ５．(２０２５􀅰全国一卷)若直线y＝２x＋５是曲线y＝ ex＋x＋a的一条切线,则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　导数的概念(自主练透) [题组集训] １．设f(x)是可导函数,且满足 lim x→０ f(１＋２x)－f(１) ２x ＝－１ ,则y＝f(x)在点(１, f(１))处的切线的斜率为　　　　． ２．用导数的定义求函数y＝ １ x 在x＝１处的导数． 根据导数的定义,求函数y＝f(x)在x＝x０ 处 导数的步骤 (１)求函数值的增量Δy＝f(x０＋Δx)－f(x０); (２)求平均变化率ΔyΔx＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ; (３)计算导数f′(x０)＝lim Δx→０ Δy Δx． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 考点二　导数的计算(自主练透) [题组集训] 　求下列函数的导数． (１)y＝x２sinx;　(２)y＝lnx＋１x ;　(３)y＝cosxex ; (４)y＝xsin２x＋π２ æ è ç ö ø ÷cos２x＋π２ æ è ç ö ø ÷; (５)y＝ln(２x－５)． 　　 函数求导的遵循原则 (１)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形 对函数进行化简,然后求导,这样可以减少 运算量,提高运算速度,减少差错． (２)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简,然后进行求导,有时可以避 免使用商的求导法则,减少运算量． (３)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层 次,通过设中间变量,确定复合过程,然后 求导． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　导数的几何意义及应用(多维探究) [命题角度１]　求切线方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数学运算———求切线方程的“在”“过”两重天 　　求曲线的切线问题时,要明确所运算的对象 (切线)涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线 方程的方法进行求解． (１)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导, 代入点的横坐标得到斜率． (２)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是 切点,故应先设切点,求切点坐标． １．(２０２４􀅰 全 国 甲 卷 (理))设 函 数 f(x)＝ ex＋２sinx １＋x２ ,则曲线y＝f(x)在点(０,１)处的切 线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ２．(２０２５􀅰广州质检)曲线f(x)＝xln(２x－１)＋ １ x＋１ 在点(１,f(１))处的切线方程为　　　　． 　　 已知切点A(x０,f(x０)),求切线方程的步骤: (１)求 斜 率 k,即 求 该 点 处 的 导 数 值:k ＝f′(x０); (２)求切线方程,即点斜式对应的直线方程:y －f(x０)＝f′(x０)(x－x０)． ３．曲线y＝lnx＋x＋１的一条切线的斜率为２,则 该切线的方程为　　　　． [命题角度２]　求切点坐标 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋２的切线,也 是曲线y＝ln(x＋１)的切线,则b＝　　　　． [命题角度３]　求参数的值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(０, １)处的切线也是曲线y＝ln(x＋１)＋a的切线, 则a＝　　　　． 　　 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用 时主要体现在以下几个方面: (１)已知切点A(x０,f(x０)),求斜率k,即求该 点处的导数值:k＝f′(x０); (２)已知斜率k,求切点A(x１,f(x１)),即解方 程f′(x１)＝k; (３)已知过某点 M(x１,f(x１))(不是切点)的切 线斜 率 为 k 时,常 需 设 出 切 点 A (x０, f(x０)),利用k＝ f(x１)－f(x０) x１－x０ 求解． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十五 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 艺考生文化课百日冲关·数学 2.解：1)若m=2,则0=2·2+2=2(2+2） 当5时，2+- ◆2=x(>≥1)，则x+1=5 x 2 即2.x°-5.x+2=0, 解得=2或工=号（舍去），此时1=1 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度 (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即≥2恒成立， 亦·Y十号≥2恒成立，亦即m≥2（位壶）恒成立. 令 2=y,则0<y≤1.…m≥2(y-y)恒成立， 由于y-y≤行∴m>2 1 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范国 是[合+∞)） 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40和x>40时对应的 利涧W.当0<x40时，W=xR(x)一(16x十40)= -6x+384x-40,当x>40时，W=xR(x)-(16x十40)= -40000-16x+7360. 第二步列出利润W的分段函数 -6x+384x-40.0<x≤40. 所以，W=》 40000-16x+7360,x>40. (2)第三步计算0<x≤40时的利润W的最大值 ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2+6104. 所以W=W(32)=6104: 第四步计算x>40时的利涧W的最大值 ②当x>40时，w=-40000-16x+7360. 由于40000+16r≥2， /0000×16x=1600. 当且仅当0000=16z,即x=50∈(40，十0)时，取等 号，所以W取最大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x=32时，W取得最大值，最大值为6104万元. 跟踪训练 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S, 则S=200.x- (7x-200x+80000》 =-r+400x-8000=-7(x-40. 1 所以当x∈[200,300]时，S<0,因此该单位不会获利. 当x=300时，S取得最大值一5000， 所以国家每月至少补贴5000元才能使该项日不亏损】 (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 1 2-80.x+5040,x∈[120,144). x +80000-200,x∈[144,500]. ①含xe[120.140时，兰-号-60r+5040 号-120)+240. 所以当x=120时，义取得最小值240. ·3 ②当x∈[144.500]时. -200=200, 当且仅当名=000 即x=400时，义取得最小 值200. 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能 使每吨的平均处理成本最低 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.1)+△)-fx2 △x (2)切线的斜率y一y= (.c。)(.x-x）3.0ar°-cos a-sinr e'a'lnd 1 1 r rIna 4.(1)f(x)±g'(x)(2)f(x)g(x)+ f(x)g'(x)5.u对x 思考辨析(1)√(2)×(3)√(4)×(5)/ 小题查验 1.B2.D3.B4.C5.4 跃升·关键能力考点一 1.解析：令2x=△x,由t→0，得△x→0， 则有1im1+△)-f①=-1，即了0D=-1. △ 由导数的几何意义知，y=f(x)在(1，f(1)处切线斜率 为一1. 答案：一1 2.解：设fx)=上， √x 则△y=f(1+△x)-f(1)= 1 -1=1-1+4 √1+△ √1十Az _1-+4z)1++△ √1+△x(1+√1+△r) -△x √1+△x(1+√1+△x) Ay-- 1 △.x /1+△x(1+/1+△x) 六-是-▣件十+ -1 考点二 解：(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx) =2xsin x+rcos .t. 2=(+=+(广= (e)2 sin +cos e ④：y=xin(2x+)os(2x+受) xsin(4+r)-xsin 4x, 1 -交sin4r-2roos4z (5)令a=2x-5y=lnu,则y=n0u'-2x-52= 2 2x5即y2x5 0 参考答案 考点三 第11节 1.A [f(r)=2sin 1+x2 夯实·必备知识必备知识 ∴f(x)=c+2osp01+x)-(e+2sin）·2z 1,单调递增单调递诚常数函数 (1+x) 思考辨析(1D×(2)×(3)/(4) =(-1)e+2(1+)cos r-Arsin z 小题查验 (1+x)2 1.A2.A3.A4.(-∞，0)5.3 则f(0)=3, 跃升·关键能力考点一 y=f(x)在点(0.1)处的切线方程为y一1=3(x一0)， [典例]解：(1)当a=1时，f(x)=e'-x-1,f(0)=e 即3.x-y+1=0, 0-1=0, 令x=0,得y=1, (.x)=e-1,f(0)=e-1=0. 令y=0,得=-名 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y一0=0X (x0),即y=0. ∴y=f八x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三 (2)f(.x)=ae-a=a(e-1). 若a>0,令f(.x)=0.即a(e-1)=0, 因为a>0,所以e“一1=0，解得x=0. 2.解析：因为fr)=n2x-D+x中市则fI)=lXnl 当x<0时，e“<1,(x)<0,f(x)单调递减： 当x>0时，e“>1,f(x)>0,f(.x)单调递增. 1 +2 若a<0,令f(x)=0,解得=0. 所以切点为（，）小且了(x)=血(2x-)+22 2.r 当x<0时，e>1,f'(x)<0,f(x)单调遍减： 当x>0时，e“<1,f(x)>0f(x)单调递增. 综上所述，当a≠0时，f(:x)在（一∞，0）上单调递减，在 (x+1) (0,十0∞)上单调递增. 217 则k=了(1)=1n1+2白交=' 跟踪训练 由直我的点针式可得y一名-子C一，化简可得71江 解：由题，f(x)=e·ln(1+x)+e·1十 4y-5=0. =e·(a+0+十) 所以切线方程为7.x一4y一5=0. 答案：7x-4y-5=0 故了o)=e心·(m1+0)+)=1, 3.解析：设切点为(，y),y=lnx十x十1求导得 f(0)=eln(1+0)=0. y=+1,依题有士+1=2得=1 因此，曲线y=八x)在(0，f(0)处的切线方程为y=x; 所以为=1n1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即2x (2)由1D知，g)=了()=e·(（a1++ -y=0. x∈[0，+c∞)， 答案：2x-y=0 4解折：=hx十2的切线为y=名·+n面十1（夜切 黄ge=ea1+n+吊：aa 1 点横坐标为y=ln(十)的切筑为y=6千十 设ke=la1++是，a x∈[0，+∞)， 十》千7（设切点横坐标为小 1 2 2 则h'（x)=十xa+)+1+x (11 十1 动… In z+1=In(z:+1)-- T: 故h(x)在[0，十o∞)上单调递增，故h(x)>h(0)=1>0. 十1" 因此g'(x)>0对任意x∈[0，十o∞)恒成立， x=2’ 故g(x)在[0，十○)上单调递增： 解得 (3)设m(s)=f(s+1)-f(s)-f(1)=e1n(1+s+t)- 1 .b=lnx1+1=1-ln2. e'In(1+s)-e'ln(1+t). 答案：1-ln2 5.解析：由题意知y=(e十x)'=e十1，当x=0时，切线 则m(=e(n1++)+1中+ 斜率k=2, e(1+0+)厂gs+)-g. 则切线方程为y=2r+1,y'=[ln(x+1)十a] 由(2)g(x)在[0，+∞)上单调递增， ==2,得x=-是y=2×()）十1=0， 故>0,1>0时，m'(s)-g(s+t)-g()>g()- y=ln(x+1)+a的切点（壹0） g(0)>g(0)-g(0)=0, 因此，m(s)在(0，十∞)上单调递增， 即0=h(-+1)十a,故a=lh2 故m(8)>m(0)=f(0+t)-f(0)-f(t)=-f(0)=0, 因此，对任意的s,1E(0,十6∞)， 答案：ln2 有fs十t)>f(s)+f). ·311·