第9节 函数模型及应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第９节　函数模型及应用 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．理解函数模型是描述客观世界中变量 关系和规律的重要数学语言和工具．在 实际情境中,会选择合适的函数类型刻 画现实问题的变化规律． ２．结合现实情境中的具体问题,利用计算 工具,比较对数函数、一元一次函数、指 数函数增长速度的差异,理解“对数增 长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现 实含义 １．用函数图象刻画实际问 题中两变量的变化过程, 达成直观想象素养． ２．应用所给函数模型解决 实际问题,发展数学建模 和数学运算素养． ３．构建函数模型解决实际问 题,提升数学建模和数学 运算素养 　　函数模型的实际应用主要考查 利用函数图象刻画实际问题,以选择 题的形式出现;以解答题出现的是构 建函数模型解决实际问题,综合考查 导数、二次函数的图象与性质、基本 不等式等,多是解决实际问题中的最 值问题,考查建模能力及分析问题和 解决问题的能力 [必备知识] １．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠０) 二次函数型 f (x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c为常数, a≠０) 指数函数型 f (x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a＞０ 且a≠１,b≠０) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数, a＞０且a≠１,b≠０) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠０) ２．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与 性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞１) y＝logax (a＞１) y＝xn (n＞０) 在(０,＋∞)上 的增减性 　　　　 　　　　 　　　　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大 逐渐表现为 与 　 　 　 平行 随x的增大 逐渐表现为 与 　 　 　 平行 随n 值 变 化 而 各 有 不同 值的比较 存在一个x０,当x＞x０ 时, 有logax＜xn＜ax ３．解决应用问题的基本步骤 (１)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关 系,恰当选择模型; (２)建模:将文字语言、图形(或数表)等转化为数学 语言,利用数学知识建立相应的数学模型,将实 际问题化为数学问题; (３)求解:求解数学问题,得出数学结论; (４)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原 为实际问题的答案． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　形如f(x)＝x＋ax (a＞０)的函数模 型称为“对勾”函数模型: (１)该函数在(－∞,－ a)和[a,＋∞)上单调递 增,在[－ a,０)和(０,a]上单调递减． (２)当x＞０时,x＝ a时取最小值２ a,当x＜０ 时,x＝－ a时取最大值－２ a． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝２x 的函数值在(０,＋∞)上一定比y ＝x２ 的函数值大． (　　) (２)在(０,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax(a＞１) 的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞０)的 增长速度． (　　) (３)“指数爆炸”是指数型函数y＝a􀅰bx＋c(a≠ ０,b＞０,b≠１)增长速度越来越快的形象比喻． (　　) (４)幂函数增长比直线增长更快． (　　) (５)指数函数模型一般用于解决变化较快,短时 间内变化量较大的实际问题中． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [小题查验] １．小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵 塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行 驶．与以上事件吻合得最好的图象是 (　　 ) ２．下列函数中随x的增大,增长率最终最大的是 (　　 ) A．y＝１０００x　　　　　　　B．y＝x２ C．y＝lnx D．y＝(１􀆰０１)x ３．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y ＝alog３(x＋１),设这种动物第２年有１００只,到 第８年它们发展到 (　　 ) A．２００只 B．３００只 C．４００只 D．５００只 ４．某工厂生产某种产品固定成本为２０００万元,并 且每生产一单位产品,成本增加１０万元．又知总 收入K 是单位产品数Q 的函数,K(Q)＝４０Q－ １ ２０Q ２,则总利润L(Q)的最大值是　　　万元． ５．在如图所示的锐角三角形空 地中,欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为　　　　(m)． ６．某种病毒经３０分钟繁殖为 原来的２倍,且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt (其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示 病毒个数),则k＝　　　　,经过５小时,１个病 毒能繁殖为　　　　个． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透) [题组集训] １．(多选题)某城市为了了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量,收集并整理了２０２２年１月 至２０２４年１２月期间月接待游客量(单位:万人) 的数据,绘制了下面的折线图 根据该折线图,下列结论正确的是 (　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在７,８月 D．各年１月至６月的月接待游客量相对７月至 １２月,波动性更小,变化比较平稳 ２．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗１L汽油行 驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 (　　 ) A．消耗１L汽油,乙车最多可行驶５km B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗 汽油最多 C．甲车以８０km/h的速度行驶１h,消耗１０L汽油 D．某城市机动车最高限速８０km/h,相同条件 下,在该市用丙车比用乙车更省油 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 两种方法 (１)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模 型时,先建立函数模型,再结合模型选图象． (２)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根 据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合 图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符 合实际的情况,选择出符合实际情况的答案． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　应用所给函数模型解决实际问题(课堂共研) [典例]　某医药研究所开发 的一种新药,如果成年人按 规定的剂量服用,据监测, 服药后每毫升血液中的含 药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图 所示的曲线． (１)写出第一次服药后y 与t之间的函数关系 式y＝f(t); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 (２)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 ０．２５微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾 病有效的时间． [破题关键点]　由所给函数图象可知,当０≤t≤ １时,含药量y(微克)与时间t(小时)之间是正比 例函数的关系;当t＞１时,含药量y(微克)与时 间t(小时)之间是指数函数的关系． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (１)认 清 所 给 函 数 模 型,弄 清 哪 些 量 为 待 定 系数． (２)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待 定系数． (３)利用该模型求解实际问题． 易错警示:解决实际问题时要注意自变量的 取值范围． [跟踪训练] (２０２５􀅰湖南省名校大联考)某电影中反复出现 这样的人工语音:“道路千万条,安全第一条,行 车不规范,亲人两行泪．”讲的是“开车不喝酒,喝 酒不开车”．２０２３年,公安部交通管理局对综合 治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据 国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾 驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含 量阈值见表．经过反复试验,一般情况下,某人喝 一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散 点图”如图,且图中所示的函数模型 f(x)＝ ４０sinπ３x＋１３ ,０≤x＜２ ９０􀅰e－０．５x＋１４,x≥２ ì î í ïï ï ．假设该人喝一瓶啤酒 后至少经过n(n∈N∗ )小时才可以驾车,则n的 值为(参考数据:ln１５≈２．７１,ln３０≈３．４０) 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值/(mg/１００mL) 饮酒后驾车 [２０,８０) 醉酒后驾车 [８０,＋∞) A．５　　　B．６　　　C．７　　　D．８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　构建函数模型解决实际问题(多维探究) 数学建模———函数建模在实际问题中的妙用 　　解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考 查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式 (注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意 义作答． 读题 (文字语言) → 建模 (数学语言) → 求解 (数学应用) → 反馈 (检验作答) [命题角度１]　构建二次函数模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．某企业生产A,B 两种产品,根据市场调查与预 测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图１; B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关 系如图２(注:利润和投资单位:万元)． (１)分别将A,B 两种产品的利润表示为投资的 函数关系式; (２)已知该企业已筹集到１８万元资金,并将全部 投入A,B两种产品的生产． (ⅰ)若 平 均 投 入 生 产 两 种 产 品,可 获 得 多 少 利润? (ⅱ)问:如果你是厂长,怎样分配这１８万元投 资,才能使该企业获得最大利润? 其最大利润约 为多少万元? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 　　 二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模 型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的 优化问题时,一定要分析自变量的取值范围．利 用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定 区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对 称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另 一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在 区间的端点处取得． [命题角度２]　构建指数函数模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．已知某物体的温度v(单位:摄氏度)随时间t(单 位:分钟)的变化规律是v＝m􀅰２t＋２１－t(t≥０, 并且m＞０)． (１)如果m＝２,求经过多长时间,物体的温度为５ 摄氏度; (２)若物体的温度总不低于２摄氏度,求m 的取 值范围． 　　 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数 函数模型y＝N(１＋p)x(其中 N 是基础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函数模型y＝a(１＋ x)n(其中a为基础数,x 为增长率,n为时间) 的形式．解题时,往往用到对数运算,要注意与 已知表格中给定的值对应求解． [命题角度３]　构建分段函数模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本 为４０万美元,每生产１万只还需另投入１６万美 元．设华为公司一年内共生产该款华为手机x万 只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万 美元,且R(x)＝ ４００－６x,０＜x≤４０, ７４００ x － ４００００ x２ ,x＞４０． ì î í ïï ï (１)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只) 的函数解析式; (２)当年产量为多少万只时,华为公司在该款华 为手机的生产中所获得的利润最大? 并求出最 大利润． 数学建模———在分段函数中应用的核心素养 信息提取 信息解读 数学建模 年固 定 成 本 为 ４０万美元 每生 产 １ 万 只 还需另投入 １６ 万美元 每万 只 的 销 售 收入为R(x)万 美元 年利润W(万美 元)关于年产量 x(万只)的函数 解析式 所获 得 的 利 润 最 大 时 的 年 产量 固定成本,与产量、销 量无关 变动成本,与产量正相 关,每生产x万只手机 增加成本１６x万美元 年利润＝年销售总收 入－固定成本－变动 成本,则W＝xR(x)－ (１６x＋４０) 注意:R(x)为每万只 的销售收入,年销售总 收入 应 该 为 xR(x), x为年产量(万只) R(x)是分段 函 数,那 么W (x)也 是 分 段 函 数,需要分别求出每段 上的最值,比较后取其 大者 模型 １:求 利 润 最 大 模型 着眼 点:利 润 ＝ 销 售 收入 － 成 本．成 本 包 含固 定 成 本、变 动 成 本等所有题干涉及的 成本 模型２:分段函数模型 着眼 点:分 段 函 数 的 最值是其每个区间段 上的最值中的最大者 或最 小 者,应 分 别 求 解后进行比较． 注 意:实 际 问 题 中, x的取值 不 仅 要 使 函 数有 意 义,也 要 有 实 际意义 　　 １．本题的难点是函数模型是一个分段函数,由 于自变量在不同范围内,对应的函数解析式 不同,因此,此类问题最值的求解是必须先求 出函数在每个区间内的最值,然后将这些区 间内的最值进行比较确定最值． ２．解函数应用题的一般程序 第一步:审题———弄清题意,分清条件和结 论,理顺数量关系; 第二步:建模———将文字语言转化成数学语 言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:解模———求解数学模型,得到数学 结论; 第四步:还原———将用数学方法得到的结论 还原为实际问题的意义; 第五步:反思———对于数学模型得到的数学 结果,必须验证这个数学结果对实际问题的 合理性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 [跟踪训练] 为加快落实新旧动能转换,某单位在国家科研部 门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳 处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测 算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨) 之间的函数关系可近似地表示为y＝ １ ３x ３－８０x２＋５０４０x,x∈[１２０,１４４), １ ２x ２－２００x＋８００００,x∈[１４４,５００], ì î í ï ï ï ï 且每处理 一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 ２００元,若该项目不获利,国家将给予补偿． (１)当x∈[２００,３００]时,判断该项目能否获利? 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每 月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (２)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨 的平均处理成本最低? 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第１０节　导数的概念与计算 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过实例分析,经历由平均变化率过度到瞬 时变化率的过程,了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体 会导数的内涵与思想,体会极限思想． ２．通过函数图象直观理解导数的几何意义． ３．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数),y ＝x,y＝x２,y＝x３,y＝１x ,y＝ x的导数． ４．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求 简单的复合函数 １．导数的概念,发展 逻辑 推 理 和 数 学 运算素养． ２．导数的计算,提升 逻辑 推 理 和 数 学 运算素养． ３．导数的几何意义及 应用,提升逻辑推 理和数学运算素养 　　导数的运算、导数的几何 意义是高考命题的热点,导数 的运算一般不单独命题,常融 合在 与 导 数 有 关 的 其 他 题 目 中;而导数的几何意义是一个 高频考点,常与函数、解析几何 放在一起综合考查,有时还作 为解答题的一部分呈现． 　　本节内容主要以选择题、 填空题或解答题中第一问的形 式出现,属于中低档题 [必备知识] １．函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数 (１)定义:称函数y＝f(x)在x＝x０ 处的瞬时变化 率lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ＝limΔx→０ Δy Δx 为函数y＝ f(x)在 x＝x０ 处 的 导 数,记 作 f′(x０)或 y′|x＝x０,即f′(x０)＝limΔx→０ Δy Δx＝limΔx→０　　　　． (２)几何意义:函数f(x)在点x０ 处的导数f′(x０) 的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x０,f(x０)) 处的　　　　　　　　　．相应地,切线方程为 　　　　　　　　． ２．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内的每一点处都 有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这 个函数称为函数y＝f(x)在(a,b)内的导函数． 记作f′(x)或y′． ３．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　　　　 f(x)＝xα(α∈Q∗) f′(x)＝　　　　 f(x)＝sinx f′(x)＝　　　　 f(x)＝cosx f′(x)＝　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 跟踪训练 １．C　[f(x)＝０时,得 x≤０, x２－１＝０{ 或 x＞０, log２x＝０,{ 解得x＝－１或x＝１．故所求函数的零点个 数是２．] ２．解析:令f(x)＝|lgx|－kx－２＝０,可转化成两个函数 y１＝|lgx|,y２＝kx＋２的交点问题． 对于①,当k＝０时,|lgx|＝２,两个交点,①正确; 对于②,存在k＜０,使y１＝|lgx|与y２＝kx＋２相切,② 正确;对于③,若k＜０,y１＝|lgx|与y２＝kx＋２最多有２ 个交点,③错误;对于④,当k＞０时,过点(０,２)存在函数 g(x)＝lgx(x＞１)的切线,此时共有两个交点,当直线斜 率稍微小于相切时的斜率时,就会有３个交点,故④正 确．综上可知①②④符合题意． 答案:①②④ 考点三 [母题]　 [解 析]　 令 g(x)＝ xlnx,h(x)＝a,则问题可转化成 函数g(x)与h(x)的图象有两个 交 点．g′(x)＝ ln x ＋ １,令 g′(x)＜０,即lnx＜－１,可解得 ０＜x＜ １e ;令g′(x)＞０,即lnx ＞－１,可解得x＞ １e ,所以,当０＜x＜ １e 时,函数g(x) 单调递减;当x＞１e 时,函数g(x)单调递增,由此可知当x ＝１e 时,g(x)min＝－ １ e． 在同一坐标系中作出函数g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得－１e＜a＜０． 故实数a的取 值范围为 －１e ,０( )． [答案]　 －１e ,０( ) [子题１]　解析:由本例解析知a＝－１e 或a≥０． 答案:[０,＋∞)∪ －１e{ } [子题２]　解析:函 数f(x)＝ lnx－x－a的零点,即为关于 x的方程lnx－x－a＝０的实 根,将方程lnx－x－a＝０,化 为方程lnx＝x＋a,令y１ ＝ lnx,y２＝x＋a,由 导 数 知 识 可知,直线y２＝x＋a与曲线y１＝lnx相切时有a＝－１, 所以关于x的方程lnx－x－a＝０有两个不同的实根, 实数a的取值范围是(－∞,－１)． 答案:(－∞,－１) [子题 ３]　 解析:令 g(x)＝ xlnx,x＞０, －x２－２x,x≤０,{ h(x)＝a,则 问题转化为g(x)与h(x)的图 象有三个交点,g(x)图象如图． 由图象知－１e＜a＜１． 故实数a 的取值范围是 －１e ,１( )． 答案: －１e ,１( ) 第９节 夯实􀅰必备知识　必备知识 ２．单调递增　单调递增　单调递增　y轴　x轴 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．C　２．D　３．A　４．２５００　５．２０　６．２ln２　１０２４ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．BCD　[由折线图知,７月份后月接待游客量减少,A 错 误;B、C、D正确．] ２．D　[对于 A选项:由题图可知,当乙车速度大于４０km/h 时,乙车每消耗１L汽油,行驶里程都超过５km,则 A错 误;对于 B 选项:由题意可知,以相同速度 行 驶 相 同 路 程,燃油效率 越 高,耗 油 越 少,故 三 辆 车 中 甲 车 耗 油 最 少,则B错误;对于 C选项:甲车以８０km/h的速度行驶 时,燃油效率为１０km/L,则行驶１h,消耗了汽油８０×１ ÷１０＝８(L),则 C错误;对于选项 D:速度在８０km/h以 下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故 D对．] 考点二 [典例]　[解析]　(１)由题图,设y＝ kt,０≤t≤１, １ ２( ) t－a ,t＞１,{ 当t＝１时,由y＝４,得k＝４, 由 １ ２( ) １－a ＝４,得a＝３．所以y＝ ４t,０≤t≤１, １ ２( ) t－３ ,t＞１．{ (２)由y≥０．２５,得 ０≤t≤１, ４t≥０．２５,{ 或 t＞１, １ ２( ) t－３ ≥０．２５,{ 解得１ １６≤t≤５． 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 ５－１１６＝ ７９ １６ (小时)． 跟踪训练 　B　[由题意可知,当酒精含量低于２０mg/１００mL时才 可以驾车,即当x≥２时,f(x)＝９０􀅰e－０．５x＋１４＜２０,整 理得e－０．５x＜１１５ ,－０．５x＜ln１１５ ,解得x＞ln１５０．５ ≈５．４２ , 所以至少经过６小时才可以驾车．] 考点三 １．解:(１)设A,B 两种产品分别投资x 万元,x万元,x≥０, 所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设f(x)＝k１x,g(x)＝k２ x． 根据图象可解得f(x)＝０．２５x(x≥０)． g(x)＝２ x(x≥０)． (２)(ⅰ)由(１)得f(９)＝２．２５,g(９)＝２ ９＝６． 所以总利润y＝８．２５万元． (ⅱ)设B 产品投入x 万元,A 产品投入(１８－x)万元,该 企业可获总利润为y万元． 则y＝１４ (１８－x)＋２ x,０≤x≤１８． 令 x＝t,t∈[０,３ ２], 则y＝１４ (－t２＋８t＋１８)＝－１４ (t－４)２＋１７２． 所以当t＝４时,ymax＝ １７ ２＝８．５ , 此时x＝１６,１８－x＝２． 所以当A,B 两种产品分别投入２万元、１６万元时,可使 该企业获得最大利润,约为８．５万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 ２．解:(１)若m＝２,则v＝２􀅰２t＋２１－t＝２ ２t＋１２t( ) , 当v＝５时,２t＋１ ２t ＝５２ , 令２t＝x(x≥１),则x＋１x＝ ５ ２ , 即２x２－５x＋２＝０, 解得x＝２或x＝１２ (舍去),此时t＝１． 所以经过１分钟,物体的温度为５摄氏度． (２)物体的温度总不低于２摄氏度,即v≥２恒成立, 亦m􀅰２t＋２ ２t ≥２恒成立,亦即m≥２ １２t － １ ２２t( ) 恒成立． 令１ ２t ＝y,则０＜y≤１,∴m≥２(y－y２)恒成立, 由于y－y２≤１４ ,∴m≥１２． 因此,当物体的温度总不低于２摄氏度时,m 的取值范围 是 １ ２ ,＋∞[ )． ３．解:(１)第一步　分别列出０＜x≤４０和x＞４０时对应的 利润W．当０＜x≤４０ 时,W ＝xR(x)－(１６x＋４０)＝ －６x２＋３８４x－４０,当x＞４０时,W＝xR(x)－(１６x＋４０)＝ －４００００x －１６x＋７３６０． 第二步　列出利润W 的分段函数 所以,W＝ －６x２＋３８４x－４０,０＜x≤４０, －４００００x －１６x＋７３６０ ,x＞４０．{ (２)第三步　计算０＜x≤４０时的利润W 的最大值 ①当０＜x≤４０时,W＝－６(x－３２)２＋６１０４． 所以Wmax＝W(３２)＝６１０４; 第四步 计算x＞４０时的利润W 的最大值 ②当x＞４０时,W＝－４００００x －１６x＋７３６０ , 由于４００００ x ＋１６x≥２ ４００００ x ×１６x＝１６００ , 当且仅当４００００ x ＝１６x ,即x＝５０∈(４０,＋∞)时,取 等 号,所以W 取最大值为５７６０． 第五步　得出本题的利润W 的最大值 综合①②,当x＝３２时,W 取得最大值,最大值为６１０４万元． 跟踪训练 　解:(１)当x∈[２００,３００]时,设该项目获利为S, 则S＝２００x－ １２x ２－２００x＋８００００( ) ＝－１２x ２＋４００x－８００００＝－１２ (x－４００)２, 所以当x∈[２００,３００]时,S＜０,因此该单位不会获利． 当x＝３００时,S取得最大值－５０００, 所以国家每月至少补贴５０００元才能使该项目不亏损． (２)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝ １ ３x ２－８０x＋５０４０,x∈[１２０,１４４), １ ２x＋ ８００００ x －２００ ,x∈[１４４,５００]． ì î í ïï ï ①当x∈[１２０,１４４)时,yx ＝ １ ３x ２－８０x＋５０４０ ＝１３ (x－１２０)２＋２４０, 所以当x＝１２０时,yx 取得最小值２４０． ②当x∈[１４４,５００]时, y x ＝ １ ２x＋ ８００００ x －２００≥２ １ ２x× ８００００ x －２００＝２００ , 当且 仅 当 １ ２x＝ ８００００ x ,即 x＝４００ 时,yx 取 得 最 小 值２００． 因为２００＜２４０,所以当每月的处理量为４００吨时,才能 使每吨的平均处理成本最低． 第１０节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)f (x０＋Δx)－f(x０) Δx 　 (２)切线的斜率　y－y０＝ f′(x０)(x－x０)　３．０　αxα－１　cosx　－sinx　ex　axlna １ x　 １ xlna　４． (１)f′(x)±g′(x)　(２)f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)　５．u对x 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)√　(４)×　(５)√ 小题查验 １．B　２．D　３．B　４．C　５．４ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．解析:令２x＝Δx,由x→０,得 Δx→０, 则有lim Δx→０ f(１＋Δx)－f(１) Δx ＝－１ ,即f′(１)＝－１, 由导数的几何意义知,y＝f(x)在(１,f(１))处切线斜率 为－１． 答案:－１ ２．解:设f(x)＝ １ x , 则 Δy＝f(１＋Δx)－f(１)＝ １ １＋Δx －１＝１－ １＋Δx １＋Δx ＝ (１－ １＋Δx)(１＋ １＋Δx) １＋Δx(１＋ １＋Δx) ＝ －Δx １＋Δx(１＋ １＋Δx) , Δy Δx＝－ １ １＋Δx(１＋ １＋Δx) , ∴lim Δx→０ Δy Δx＝limΔx→０ －１ １＋Δx(１＋ １＋Δx) ＝－１２． ∴y′|x＝１＝－ １ ２． 考点二 　解:(１)y′＝(x２)′sinx＋x２(sinx)′ ＝２xsinx＋x２cosx． (２)y′＝ lnx＋１x( )′＝(lnx)′＋ １ x( )′＝ １ x－ １ x２ ． (３)y′＝ cosx ex( )′＝ (cosx)′ex－cosx(ex)′ (ex)２ ＝－sinx＋cosx ex ． (４)∵y＝xsin ２x＋π２( )cos ２x＋ π ２( ) ＝１２xsin (４x＋π)＝－１２xsin４x , ∴y′＝－１２sin４x－ １ ２x 􀅰４cos４x ＝－１２sin４x－２xcos４x． (５)令u＝２x－５,y＝lnu,则y′＝(lnu)′u′＝ １２x－５ 􀅰２＝ ２ ２x－５ ,即y′＝ ２２x－５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学