第8节 函数与方程-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第８节　函数与方程 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合二次函数的图象,了解函数的 零点与方程根的联系,会判断一元 二次方程根的存在性及根的个数． ２．根据具体连续函数及其图象的特 点,了解函数零点存在定理,探索用 二分法求方程近似解的思路,能借 助计算工具用二分法求方程近似 解,了解用二分法求方程近似解具 有一般性 １．判 断 函 数 零 点 的 个 数,发 展 直 观 想 象 素养． ２．确定函数零点所在的 区间,达成直观想象 和逻辑推理素养． ３．函数零点的应用,提 升直观想象和逻辑推 理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否 存在和零点所在的区间,求方程的根, 函数的零点个数,基本初等函数的图 象是高考的热点．以函数的零点,方程 的根及函数图象的交点之间的等价转 化为桥梁,考查转化与化归思想,考查 函数与方程思想,数形结合等思想．本 部分内容在高考中以选择题或填空题 形式考查的居多,在解答题中也有所 体现,难度较大 [必备知识] １．函数的零点 (１)函数零点的概念 对于函数y＝f(x),把使　　　　的实数x叫 做函数y＝f(x)的零点． (２)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象 与　 　 　 　 　 　 有 交 点 ⇔ 函 数 y＝f(x) 有　　　　． (３)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线;②　　　　　　;则函数 y＝f(x)在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x)＝０的根． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与零点 的关系 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 与x轴的交点 　　　　 　　　　 　　　　 无交点 零点个数 ２ １ ０ ３．二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且　　　　的函数 y＝f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 区间　　　　使区间的两个端点逐步逼近　　 　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)􀅰f(b)＜０,则函 数y＝f(x)一定有零点． ２．由函数y＝f(x)在闭区 间[a,b]上有零点不一定 能推出f(a)􀅰f(b)＜０, 如图所示: 所以f(a)􀅰f(b)＜０是y＝f(x)在闭区间[a,b] 上有零点的充分不必要条件． ３．若函数f(x)在(a,b)上单调,且f(x)的图象是 连续不断的一条曲线,则f(a)􀅰f(b)＜０⇒函数 f(x)在[a,b]上只有一个零点． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数f(x)＝x２－１的零点是(－１,０)和(１,０)． (　　) (２)函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象 连续不断),则一定有f(a)􀅰f(b)＜０． (　　) (３)函数y＝２sinx－１的零点有无数多个．(　　) (４)二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)在b２－４ac ＜０时没有零点． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 [小题查验] １．下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分 法求零点的是 (　　 ) ２．(２０２５􀅰天津卷)函数f(x)＝０．３x－ x的零点所 在区间是 (　　) A．(０,０．３) B．(０．３,０．５) C．(０．５,１) D．(１,２) ３．函数f(x)＝ex＋３x的零点个数是 (　　 ) A．０ B．１ C．２ D．３ ４．用二分法求函数f(x)＝３x－x－４的一个零点, 其参考数据如下: f(１．６０００)＝０．２００ f(１．５８７５)＝０．１３３ f(１．５７５０)＝０．０６７ f(１．５６２５)＝０．００３f(１．５５６２)＝－０．０２９f(１．５５００)＝－０．０６０ 据此数据,可得f(x)＝３x－x－４的一个零点的 近似值(保留三位有效数字)为　　　　． ５．函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数,且 满 足 f(x＋２)＝f(x)．当x∈[０,１]时,f(x)＝２x．若 在区间[－２,３]上方程ax＋２a－f(x)＝０恰有 四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　确定函数零点所在的区间(自主练透) [题组集训] １．若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b) 􀅰(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于 区间 (　　 ) A．(a,b)和(b,c)内 B．(－∞,a)和(a,b)内 C．(b,c)和(c,＋∞)内 D．(－∞,a)和(c,＋∞)内 ２．设f(x)＝lnx＋x－２,则函数f(x)的零点所在 的区间为 (　　 ) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) ３．(２０２５􀅰大理州一模)已知三个函数f(x)＝２x＋ x,g(x)＝x－１,h(x)＝log３x＋x的零点依次为 a,b,c,则 (　　 ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 　　 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (１)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再 看是否有f(a)􀅰f(b)＜０．若有,则函数y＝ f(x)在区间(a,b)内必有零点． (２)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　判断函数零点的个数(师生共研) [典例]　已知f(x)＝ |lgx|,x＞０, ２|x|,x≤０,{ 则函数y＝ ２f２(x)－３f(x)＋１的零点个数是　　　　． 数学抽象、直观想象———确定函数零点个数中的核 心素养 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 f(x)＝ |lgx|,x＞０, ２|x|,x≤０．{ 当x＞０时,y＝|lgx| 的图象是函数y＝lgx 的图象在x 轴上方的 部分保持不变,x 轴下 方的部分沿x 轴对称 到x 轴上方 当x≤０时,y＝２|x|＝ ２－x ＝ １２( ) x 的 图 象 就是y＝ １２( ) x 的 图 象在y 轴左侧的部分 在同一坐标系中 画出函数y＝|lg x|在x＞０时的图 象 和 函 数 y ＝ ２|x|在x≤０时的 图象 续表 函数y＝ ２f２ (x) －３f(x) ＋ １ 的 零点 函数的零点 就 是 方 程 的根 函数 y＝２f２ (x)－ ３f(x)＋１的零点,即 方程２f２(x)－３f(x) ＋１＝０的根 函数y＝２f２(x)－３f(x) ＋１的零点,也就是方 程２f２(x)－３f(x)＋１ ＝０的根,把f(x)看成 一个整体,本方程就是 关于f(x)的一元二次 方程,通过解方程可以 得出f(x)＝１或１２ 解方程２f２(x)－３f(x) ＋１＝０,得f(x)＝１ 或１ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 续表 函数y＝ ２f２ (x) －３f(x) ＋ １ 的 零点 解方程２f２(x)－３f(x) ＋１＝０的根,是解适合 此方程的x 的值,也就 是方 程 f(x)＝ １２ 或 f(x)＝１对应的x的值 结合函数f(x)的图象, 观察y＝１２ 和y＝１与 y＝f(x)的图象交点 个数 零点个数 函数的零点 个 数 就 是 对应方程的根的个数, 即方 程 f(x)＝ １２ 或 f(x)＝１ 对应的 x 的 值 的 个 数,转 化 为 y＝１２ 和y＝１ 与y＝ f(x)的图象交点个数,借 助图 象 利 用 数 形 结 合 求解 y＝１２ 和y＝１与函数 y＝f(x)的图象交点个 数之和即为本题的零点 个数 [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (１)直接法:令f(x)＝０,则方程实根的个数就 是函数零点的个数． (２)零点存在性定理法:判断函数在区间[a,b] 上是连续不断的曲线,且f(a)􀅰f(b)＜０, 再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶 性、周 期 性、对 称 性 )可 确 定 函 数 的 零 点个数． (３)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点 个数问题．(画出两个函数的图象,其交点的 个数就是函数零点的个数) [跟踪训练] １．已知函数f(x)＝ x２－１,x≤０, log２x,x＞０．{ 则函数y＝f(x) 的零点个数是 (　　 ) A．０　　　　B．１　　　　C．２　　　　D．３ ２．(２０２５􀅰成都二模)已知函数f(x)＝|lgx|－kx－２, 给出下列四个结论: ①若k＝０,则f(x)有两个零点; ②∃k＜０,使得f(x)有一个零点; ③∃k＜０,使得f(x)有三个零点; ④∃k＞０,使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　函数零点的应用(子母变式) 数学建模———唇齿相依的函数与方程 　　函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与 对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关 系,建立函数关系式或构造函数,运用函数的图象 和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得 解决． 　　方程的思想,就是分析数学问题中的变量间的 等量关系,从而建立方程(组)或构造方程,通过解 方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化 问题,使问题获得解决． [母题]　若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点,则 实数a的取值范围为　　　　． [子题１]　若本例中f(x)有且只有一个零点,则实 数a的取值范围是　　　． [子题２]　若函数变为f(x)＝lnx－x－a,其他条 件不变,则a的取值范围是　　　　　　． [子题３]　若函数变为f(x)＝ xlnx－a,x＞０, －x２－２x－a,x≤０,{ 若函数y＝f(x)有三个零点,则实数a的取值范围 是　　　． 　　 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数 的取值范围常用的方法 (１)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的 不等式,再通过解不等式确定参数范围． (２)分离参数法:先将参数分离得a＝f(x),再 转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (３)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平 面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数 形结合求解． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十三 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 (４)∵y＝２＋ １x－１ , 故函数图象可由y＝１x 的图象向右平移１个单位,再向 上平移２个单位而得,如图(４)所示． 考点二 [典例]　[解析]　(１)A　[设f(x)＝(３x－３－x)cosx, f(－x)＝(３－x－３x)cos(－x)＝－f(x),所以f(x)为奇 函数,排除BD,令x＝１, 则f(１)＝(３－３－１)cos１＞０,排除 C．] (２)　A　[因为函数y＝xcosx＋sinx 为奇函数,所以 图象关于原点对称,排除 C、D,因为当x＝π时,y＝－π ＜０,排除B．] 跟踪训练 １．D　[f(x)＝x２＋１４ 为偶函数,g(x)＝sinx 为奇函数, 图中函数为奇函数, y＝f(x)＋g(x)－１４ 与y＝f(x)－g(x)－１４ 均不是奇 函数,故排除 A,B项; f(x)􀅰g(x)＝ x２＋１４( ) 􀅰sinx,[f(x)􀅰g(x)]′＝ x２＋１４( ) 􀅰cosx＋２x􀅰sinx,则 f π ４( ) 􀅰g π ４( )[ ] ′ ＞ ０,与题图不符,故排除C项．] ２．B　[令f(x)＝－x２＋(ex－e－x)sinx, 则f(－x)＝－(－x)２＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x２＋(ex－e－x)sinx＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数,排除 A,C; f π２( )＝－ π２ ４＋e π ２ －e－ π ２ ＝e π ２ －e－ π ２ －π ２ ４＞０ , 故排除 D,B正确．] 考点三 １．B 　 [(１)法 一:由 f (x)＝０,得 x≤０ x２＋x－２＝０{ , 或 x＞０ －１＋lnx＝０{ , 解得x＝－２,或x＝e． 因此函数f(x)共有２个零点． 法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共 有２个零点．] ２．D　[作函数f(x)的图象, 观察图象可知会有 ２x＜０ ２x＜x＋１{ ,解得x＜０, 所以满足f(x＋１)＜f(２x)的x 的取值范围是(－∞,０)．] ３．B　[依题意,“伙伴点组”的点满 足,都在y＝f(x)的图象上,且关于坐标原点对称．可作出函 数y＝ －ln(－x)(x＜０)关 于 原 点 对 称 的 函 数 y＝lnx(x＞０)的图象, 使它与直线y＝kx－１(x＞０)的交点个数为２即可． 当直 线 y＝kx－１ 与 y＝ lnx的图象相切时,设切点 为(m,lnm),又y＝lnx 的 导数为y′＝１x , 则km－１＝lnm,k＝１m ,解 得m＝１,k＝１, 可得函数y＝lnx(x＞０)的 图象过点(０,－１)的切线的 斜率为１,结 合 图 象 可 知k∈(０,１)时 两 函 数 图 象 有 两 个交点．] 第８节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)f(x)＝０　(２)x轴　零点　(３)f(a)􀅰f(b)＜０ ２．(x１,０),(x２,０)　(x１,０)　３．f(a)􀅰f(b)＜０　一分为二　 零点 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)√　(４)√ 小题查验 １．C　２．B　３．B　４．１．５６　５． ２５ ,２ ３( ) 跃升􀅰关键能力　考点一 １．A　[∵a＜b＜c,∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞０, f(b)＝(b－c)(b－a)＜０,f(c)＝(c－a)(c－b)＞０, 由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别 存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此 函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内．] ２．B　[法一　函数f(x)的零点 所在的 区 间 可 转 化 为 函 数 g (x)＝lnx,h(x)＝－x＋２图 象交点 的 横 坐 标 所 在 的 取 值 范围．作图如右: 可知f(x)的零点所在的区间 为(１,２)． 法二　易知f(x)＝lnx＋x－２在(０,＋∞)上为增函数, 且f(１)＝１－２＝－１＜０,f(２)＝ln２＞０． 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(１,２)内函数 存在零点．] ３．D　[令f(x)＝２x＋x＝０,解得x＜０, 令g(x)＝x－１＝０,解得x＝１,由h(x)＝log３x＋x, 令h １３( )＝－１＋ １ ３＜０ ,h(１)＝１＞０,又函数h(x)是增函 数,因此h(x)的零点x０∈ １ ３ ,１( )． 则b＞c＞a．] 考点二 [典例]　[解析]　第一步 作函 数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步　解方程２f２(x)－３f(x) ＋１＝０ 由２f２(x)－３f(x)＋１＝０,得 f(x)＝１２ 或f(x)＝１． 第三步　观察y＝ １２ 和y＝１与y＝f(x)的 图 象 交 点 个数 由图象知y＝１２ 与y＝f(x)的图象有２个交点, y＝１与y＝f(x)的图象有３个交点． 第四步　得出函数的零点个数 因此函数y＝２f２(x)－３f(x)＋１的零点有５个． [答案]　５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 跟踪训练 １．C　[f(x)＝０时,得 x≤０, x２－１＝０{ 或 x＞０, log２x＝０,{ 解得x＝－１或x＝１．故所求函数的零点个 数是２．] ２．解析:令f(x)＝|lgx|－kx－２＝０,可转化成两个函数 y１＝|lgx|,y２＝kx＋２的交点问题． 对于①,当k＝０时,|lgx|＝２,两个交点,①正确; 对于②,存在k＜０,使y１＝|lgx|与y２＝kx＋２相切,② 正确;对于③,若k＜０,y１＝|lgx|与y２＝kx＋２最多有２ 个交点,③错误;对于④,当k＞０时,过点(０,２)存在函数 g(x)＝lgx(x＞１)的切线,此时共有两个交点,当直线斜 率稍微小于相切时的斜率时,就会有３个交点,故④正 确．综上可知①②④符合题意． 答案:①②④ 考点三 [母题]　 [解 析]　 令 g(x)＝ xlnx,h(x)＝a,则问题可转化成 函数g(x)与h(x)的图象有两个 交 点．g′(x)＝ ln x ＋ １,令 g′(x)＜０,即lnx＜－１,可解得 ０＜x＜ １e ;令g′(x)＞０,即lnx ＞－１,可解得x＞ １e ,所以,当０＜x＜ １e 时,函数g(x) 单调递减;当x＞１e 时,函数g(x)单调递增,由此可知当x ＝１e 时,g(x)min＝－ １ e． 在同一坐标系中作出函数g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得－１e＜a＜０． 故实数a的取 值范围为 －１e ,０( )． [答案]　 －１e ,０( ) [子题１]　解析:由本例解析知a＝－１e 或a≥０． 答案:[０,＋∞)∪ －１e{ } [子题２]　解析:函 数f(x)＝ lnx－x－a的零点,即为关于 x的方程lnx－x－a＝０的实 根,将方程lnx－x－a＝０,化 为方程lnx＝x＋a,令y１ ＝ lnx,y２＝x＋a,由 导 数 知 识 可知,直线y２＝x＋a与曲线y１＝lnx相切时有a＝－１, 所以关于x的方程lnx－x－a＝０有两个不同的实根, 实数a的取值范围是(－∞,－１)． 答案:(－∞,－１) [子题 ３]　 解析:令 g(x)＝ xlnx,x＞０, －x２－２x,x≤０,{ h(x)＝a,则 问题转化为g(x)与h(x)的图 象有三个交点,g(x)图象如图． 由图象知－１e＜a＜１． 故实数a 的取值范围是 －１e ,１( )． 答案: －１e ,１( ) 第９节 夯实􀅰必备知识　必备知识 ２．单调递增　单调递增　单调递增　y轴　x轴 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．C　２．D　３．A　４．２５００　５．２０　６．２ln２　１０２４ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．BCD　[由折线图知,７月份后月接待游客量减少,A 错 误;B、C、D正确．] ２．D　[对于 A选项:由题图可知,当乙车速度大于４０km/h 时,乙车每消耗１L汽油,行驶里程都超过５km,则 A错 误;对于 B 选项:由题意可知,以相同速度 行 驶 相 同 路 程,燃油效率 越 高,耗 油 越 少,故 三 辆 车 中 甲 车 耗 油 最 少,则B错误;对于 C选项:甲车以８０km/h的速度行驶 时,燃油效率为１０km/L,则行驶１h,消耗了汽油８０×１ ÷１０＝８(L),则 C错误;对于选项 D:速度在８０km/h以 下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故 D对．] 考点二 [典例]　[解析]　(１)由题图,设y＝ kt,０≤t≤１, １ ２( ) t－a ,t＞１,{ 当t＝１时,由y＝４,得k＝４, 由 １ ２( ) １－a ＝４,得a＝３．所以y＝ ４t,０≤t≤１, １ ２( ) t－３ ,t＞１．{ (２)由y≥０．２５,得 ０≤t≤１, ４t≥０．２５,{ 或 t＞１, １ ２( ) t－３ ≥０．２５,{ 解得１ １６≤t≤５． 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 ５－１１６＝ ７９ １６ (小时)． 跟踪训练 　B　[由题意可知,当酒精含量低于２０mg/１００mL时才 可以驾车,即当x≥２时,f(x)＝９０􀅰e－０．５x＋１４＜２０,整 理得e－０．５x＜１１５ ,－０．５x＜ln１１５ ,解得x＞ln１５０．５ ≈５．４２ , 所以至少经过６小时才可以驾车．] 考点三 １．解:(１)设A,B 两种产品分别投资x 万元,x万元,x≥０, 所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设f(x)＝k１x,g(x)＝k２ x． 根据图象可解得f(x)＝０．２５x(x≥０)． g(x)＝２ x(x≥０)． (２)(ⅰ)由(１)得f(９)＝２．２５,g(９)＝２ ９＝６． 所以总利润y＝８．２５万元． (ⅱ)设B 产品投入x 万元,A 产品投入(１８－x)万元,该 企业可获总利润为y万元． 则y＝１４ (１８－x)＋２ x,０≤x≤１８． 令 x＝t,t∈[０,３ ２], 则y＝１４ (－t２＋８t＋１８)＝－１４ (t－４)２＋１７２． 所以当t＝４时,ymax＝ １７ ２＝８．５ , 此时x＝１６,１８－x＝２． 所以当A,B 两种产品分别投入２万元、１６万元时,可使 该企业获得最大利润,约为８．５万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案