第6节 二次函数与幂函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

当a＞１时,得a－１≤１３≤a ,即a≥３; 当０＜a＜１时,得a－１≥１３≥a ,得０＜a≤１３． 综上所述,a的取值范围是 ０,１３( ] ∪[３,＋∞)． 答案:０,１３( ] ∪[３,＋∞) ３．B　[f(x)＝log１ ２ (x２－ax－a)在 －∞,－１２( ] 上是增函 数,说明内层函数μ(x)＝x ２－ax－a在 －∞,－１２( ] 上是 减函数 且μ(x)＞０ 成立,只 需 对 称 轴x＝ a ２≥－ １ ２ 且 μ(x)min＝μ － １ ２( ) ＞０,解得a∈ －１, １ ２[ )．] ４．解析:当x≤２时,f(x)＝－x＋６,f(x)在(－∞,２]上为减函 数,∴f(x)∈[４,＋∞);当x＞２时,若a∈(０,１),则f(x)＝３ ＋logax 在 (２,＋ ∞)上 为 减 函 数,f(x)∈ (－ ∞, ３＋loga２),显 然 不 满 足 题 意,∴a＞１,此 时 f(x)在 (２,＋∞)上为增函数,f(x)∈(３＋loga２,＋∞),由题意 可知 (３＋loga２,＋∞)⊆ [４,＋∞),则 ３＋loga２≥４, 即loga２≥１, ∴１＜a≤２．即实数a的取值范围是(１,２]． 答案:(１,２] 第６节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)y＝xα　(３)[０,＋∞)　[０,＋∞)　{y|y≠０}　奇　 奇　在(－∞,０]上单调递减,在[０,＋∞)上单调递增　在 R上单调递增　在[０,＋∞)上单调递增　在(－∞,０)和 (０,＋∞)上单调递减　(１,１) ２．(１)ax２＋bx＋c(a≠０)　(m,n)　(２)４ac－b ２ ４a ,＋∞[ ) 　 －∞,４ac－b ２ ４a( ] 　 － b ２a ,＋∞[ ) 　 －∞,－b２a( ] 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　(４)× 小题查验 １．C　２．B　３．A　４．y＝１３x ２－２x＋３　５．１或２ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[令f(x)＝xα,则４α＝２,∴α＝１２ ,∴f(x)＝x １ ２ ．] ２．A　[因为a＝４ ２ ３ ,b＝４ ２ ５ ,c＝２５ １ ３ ＝５ ２ ３ ,函数f(x)＝x ２ ３ 在(０,＋∞)上单调递增,所以４ ２ ３ ＜５ ２ ３ ,又４ ２ ５ ＜４ ２ ３ ,所以 b＜a＜c．] ３．B　[由于f(x)为幂函数,所以n２＋２n－２＝１, 解得n＝１或n＝－３,经检验只有n＝１适合题意．] ４．解析:不等式(a＋１)－ １ ３ ＜(３－２a)－ １ ３ 等价于a＋１＞３－ ２a＞０或３－２a＜a＋１＜０或a＋１＜０＜３－２a,解得a＜ －１或２３＜a＜ ３ ２． 答案:(－∞,－１)∪ ２３ ,３ ２( ) 考点二 １．D　[由 A,C,D知,f(０)＝c＜０,从而由abc＞０,所以ab ＜０,所以对称轴x＝－b２a＞０ ,知 A,C 错误,D 满足要 求;由B项知f(０)＝c＞０,所以ab＞０,所以x＝－b２a＜ ０,B项错误．] ２．D　[当a＝０时,f(x)＝２x－３,在定义域 R上是单调递 增的,故在(－∞,４)上单调递增; 当a≠０时,二次函数f(x)的对称轴为x＝－１a , 因为f(x)在(－∞,４)上单调递增, 所以a＜０,且－１a≥４ ,解得－１４≤a＜０． 综上可知,实数a的取值范围是－１４≤a≤０． ] ３．D　[f(x)＝－４ x－a２( ) ２ －４a,对称轴为x＝a２ , ①当a２≥１ ,即a≥２时,f(x)在[０,１]上单调递增, ∴ymax＝f(１)＝－４－a２, 令－４－a２＝－５,得a＝±１(舍去)． ②当０＜a２＜１ ,即０＜a＜２时,ymax＝f a ２( )＝－４a, 令－４a＝－５,得a＝５４． ③当a２≤０ ,即a≤０时,f(x)在[０,１]上单调递减, ∴ymax＝f(０)＝－４a－a２,令－４a－a２＝－５, 得a＝－５或a＝１(舍去)．综上所述,a＝５４ 或－５．] ４．解析:由f(x)＞０,即ax２－２x＋２＞０,x∈(１,４),得a＞ －２ x２ ＋２x 在(１,４)上恒成立． 令g(x)＝－２x２ ＋２x＝－２ １ x－ １ ２( ) ２ ＋１２ , １ x∈ １ ４ ,１( ) ,所以g(x)max＝g(２)＝１２, 所以要使f(x)＞０在(１,４)上恒成立,只要a＞１２ 即可． 答案: １ ２ ,＋∞( ) 第７节 夯实􀅰必备知识　必备知识 ２．(１)f(x)－k　(２)－f(x)　f(－x)　－f(－x)　logax(a ＞０且a≠１)　(３)f(ax)　af(x)　(４)|f(x)|　f(|x|) 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)×　(４)√　(５)× 小题查验 １．A　２．A　３．D　４．上　３　５．(０,＋∞) 跃升􀅰关键能力　考点一 　解:(１)∵函数的定义域为{x|x＞０} 且y＝elnx＝x(x＞０), ∴其图象如图(１)所示． 　 (２)将函数y＝log２x 的图象向左平移一个单位,再将x 轴下方的 部 分 沿x 轴 翻 折 上 去,即 可 得 到 函 数 y＝ |log２(x＋１)|的图象,如图(２)所示． (３)∵y＝ ax,x≥０, １ a( ) x ,x＜０{ (０＜a＜１), ∴只需作出０＜a＜１时函数y＝ax(x≥０)和y＝ １a( ) x (x＜０)的图象,合起来即得函数y＝a|x|(０＜a＜１)的图 象．如图(３)所示． 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 第６节　二次函数与幂函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过具体实例,结合y＝x,y＝x２,y＝ x３,y＝１x ,y＝ x的图象,理解它们的 变化规律,了解幂函数． ２．理 解 并 掌 握 二 次 函 数 的 定 义、图 象 及性质． ３．能用二次函数、方程、不等式之间的关 系解决简单问题 １．幂函数的图象与性质,发 展数学抽象和直观想象 素养． ２．二次函数的最值问题,达 成直观想象和逻辑推理 素养． ３．二次函数零点的分布问 题,提升直观想象和逻辑 推理素养 　　幂函数、二次函数的图象与性 质是高考考查的热点内容,常与一 元二次方程、一元二次不等式等知 识交汇命题,考查数形结合思想, 这种思想方法常融合在函数的最 值、函数零点的分布问题之中．主 要以选择题或填空题的形式出现, 属于低中档题,在解答题中常与导 数的应用综合,属于中高档题 [必备知识] １．幂函数 (１)幂函数的定义 一般地,形如　　　　的函数称为幂函数,其中 x是自变量,α为常数． (２)常见的５种幂函数的图象 (３)常见的５种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x２ y＝x３ y＝x １ ２ y＝x－１ 定义域 R R R 　　　　 {x|x≠０} 值域 R 　　　　 R [０,＋∞) 　　　　 奇偶性 　　 偶 　　 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　 公共点 　　　　 ２．二次函数 (１)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)＝　　　　　　　　． 顶点式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),顶点坐标为 　　　　． 零点式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),x１, x２ 为f(x)的零点． (２)二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax２＋ bx＋c(a＞０) f(x)＝ax２＋ bx＋c(a＜０) 图象 定义域 (－∞,＋∞) (－∞,＋∞) 值域 　　　　 　　　　 单调性 在 －∞,－b２a æ è ç ] 上 单 调递减; 在 　 　 　 　 上 单 调 递增 在　　　　上单 调递增; 在 －b２a ,＋∞[ ö ø ÷ 上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－b２a 对称 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一元二次不等式恒成立的条件 (１)ax２＋bx＋c＞０(a≠０)恒成立的充 要 条 件 是 a＞０, Δ＜０．{ (２)ax２＋bx＋c＜０(a≠０)恒成立的充要条件是 a＜０, Δ＜０．{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝２x １ ２ 是幂函数． (　　) (２)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一 定是原点． (　　) (３)当n＜０时,幂函数y＝xn 是定义域上的减 函数． (　　) (４)二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０),x∈[m,n] 的最小值一定是４ac－b ２ ４a ． (　　) [小题查验] １．(２０２５􀅰济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k􀅰xα 的图象过点 １ ２ ,２ ２ æ è ç ö ø ÷,则k＋α＝ (　　 ) A．１２ B．１ C． ３ ２ D．２ ２．下面给出４个幂函数的图象,则图象与函数的大 致对应是 (　　 ) A．①y＝x １ ３ ,②y＝x２,③y＝x １ ２ ,④y＝x－１ B．①y＝x３,②y＝x２,③y＝x １ ２ ,④y＝x－１ C．①y＝x２,②y＝x３,③y＝x １ ２ ,④y＝x－１ D．①y＝x １ ３ ,②y＝x １ ２ ,③y＝x２,④y＝x－１ ３．函数f(x)＝x２＋mx＋１的图象关于直线x＝１ 对称的充要条件是 (　　 ) A．m＝－２ B．m＝２ C．m＝－１ D．m＝１ ４．二次函数的 图 象 与x 轴 只 有 一 个 公 共 点,对 称轴为x＝３,与y轴交于点(０,３)．则它的解 析式为　　　　　． ５．若幂函数y＝(m２－３m＋３)xm ２ －m－２的图象不经 过原点,则实数m 的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　幂函数的图象与性质(自主练透) [题组集训] １．幂函数y＝f(x)的图象过点(４,２),则幂函数y ＝f(x)的图象是 (　　 ) ２．已知a＝２ ４ ３ ,b＝４ ２ ５ ,c＝２５ １ ３ ,则 (　　 ) A．b＜a＜c　　　　　　　　　B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ３．已知幂函数f(x)＝(n２＋２n－２)xn ２－３n(n∈Z)的图 象关于y轴对称,且在(０,＋∞)上是减函数,则n的 值为 (　　 ) A．－３ B．１ C．２ D．１或２ ４．若(a＋１)－ １ ３ ＜(３－２a)－ １ ３ ,则实数a的取值范 围是　　　　　． １．幂函数的解析式:y＝xα(α∈R),其中只有参数 α,因此只需一个条件即可确定其解析式． ２．幂函数的图象特征:①在(０,１)上,幂函数中 指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指 大图低”),在(１,＋∞)上,幂函数中指数越 大,函数图象越远离x轴．②曲线在第一象限 的凹凸性:α＞１时,曲线下凸;０＜α＜１时,曲 线上凸;α＜０时,曲线下凸． ３．幂函数的性质: (１)若α为偶数,则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数; 若α为奇数,则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数． 反之,不成立．当α是分数时,一般将其先化为 根式,再判断奇偶性． (２)若幂函数y＝xα 在(０,＋∞)上单调递增, 则α＞０;若在(０,＋∞)上单调递减,则α ＜０． ４．幂值大小的比较:结合幂值的特点,选择适当 的函数,借助其单调性进行比较． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点二　二次函数的图象与性质(多维探究) [命题角度１]　二次函数的图象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．设abc＞０,二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c的图象 可能是 (　　 ) [命题角度２]　二次函数的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．如果函数f(x)＝ax２＋２x－３在区间(－∞,４)上是 单调递增的,则实数a的取值范围是 (　　 ) A．a＞－１４　　　　　　　B．a≥－ １ ４ C．－１４≤a＜０ D．－ １ ４≤a≤０ [命题角度３]　二次函数的最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 逻辑推理———分类讨论思想在二次函数问题中的应用 　　二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最 值点的函数),x＝－b２a 为其最值点横坐标,在其两 侧二次函数具有相反的单调性,当已知二次函数在 某区间上的最值求参数时,要根据对称轴与已知区 间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值,建 立方程求解参数． ３．已知f(x)＝－４x２＋４ax－４a－a２ 在[０,１]内的 最大值为－５,则a的值为 (　　 ) A．５４ B．１ 或５ ４ C．－１或５４ D．－５ 或５ ４ 　　 二次函数求最值问题,一般先用配方法化为 y＝a(x－m)２＋n的形式,得顶点(m,n)和对 称轴方程x＝m,结合二次函数的图象求解． 常见有三种类型: (１)顶点固定,区间也固定; (２)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这 时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时 在区间之外; (３)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的 参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关 系,明确函数的 单 调 性,从 而 确 定 函 数 的 最值． [命题角度４]　二次函数中恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．设函数f(x)＝ax２－２x＋２,对于满足１＜x＜４ 的一切x值都有f(x)＞０,则实数a的取值范围 为　　　　． 　　 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (１)一般有两个解题思路:一是分离参数求解; 二是构造函数,数形结合求解． (２)两种思路都是将问题归结为求函数的最值, 至于用哪种方法,关键是看参数是否能分 离．这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 ⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒 成 立 ⇔a≤ f(x)min． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十一 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第７节　函数的图象 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．在实际情境中,会根据不同 的需要 选 择 图 象 法、列 表 法、解析法表示函数． ２．会运用函数图象理解和研 究函数的性质,解决方程解 的 个 数 与 不 等 式 的 解 的 问题． ３．会结合函数性质判断或选 择函数的图象 １．作函数的图象,达成 直观想象素养． ２．函数图象的识别,提 升直观想象素养． ３．函数图象的应用,提 升直观想象和逻辑 推理素养 　　高考对函数图象的考查多种多样,可以是由函 数的解析式与函数的性质识图选图,可以是由函数 的图象研究函数的性质,还可以是数形结合思想的 运用等,其中给出函数解析式判断函数的图象及利 用函数图象求函数零点,求交点个数及求参数值 (范围)是高考的热点,各种基本初等函数的图象与 性质的应用,图象变换等也是高考的热点．本部分 内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现,属 于中档题,有时也在解答题中考查数形结合的思 想,属于中高档题,难度较大 􀅰５３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用