第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

[命题角度３]　利用单调性求参数的取值范围或值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．如果函数f(x)＝ (２－a)x＋１,x＜１, ax,x≥１{ 满足对任 意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,那么实 数a的取值范围是　　　　． [破题关键点]　函数f(x)满足对任意x１≠x２, 都有f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,推出f(x)在(－∞,＋ ∞)上是增函数． 　　 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (１)比较大小．比较函数值的大小,应将自变量转化 到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性 解决． (２)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关 的不等式时,利用函数的单调性将“f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时 应特别注意函数的定义域． (３)利用单调性求参数 ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调 性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关七 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合具体函数,了解函数奇偶 性的概念和几何意义． ２．会运用函数的图象理解和研 究函数的奇偶性． ３．结合三角函数,了解函数周期 性的概念和几何意义． ４．会运用函数的图象理解和研 究函数的周期性 １．判断函数的奇偶性,发展数学 抽象和逻辑推理素养． ２．函数奇偶性的应用,发展逻辑 推理和数学运算素养． ３．函数周期性的应用,发展数学 抽象和逻辑推理素养． ４．函数基本性质的综合应用,提 升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高 考的热点,常与函数的求值、图象、单调 性、对称性、零点等知识交汇命题,函数 的周期性也经常会涉及三角函数或抽 象函数,并且考查力度逐年加大．本讲 内容在高考中多以选择题或填空题的 形式出现,难度不会太大,属于低中档 题型,主要考查考生对函数性质的理解 及应用能力 [必备知识] １．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义 域 内 任 意 一 个 x,都 有 　　　　　　　,那 么 函 数 f(x)是偶函数 关于 　 　 　 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义 域 内 任 意 一 个 x,都 有 　　　　　　　,那 么 函 数 f(x)是奇函数 关于 　 　 　 对称 ２．函数的周期性 (１)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有　　　　　　　,那么就称函数y＝f(x)为 周期函数,称T 为这个函数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期 中　　　　　　的正数,那么这个最小正数就 叫做f(x)的　　　　正周期． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数奇偶性的四个重要结论 (１)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(０) 有意义,那么一定有f(０)＝０． (２)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)． (３)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间 上具有相反的单调性． (４)奇、偶函数的性质:在公共定义域内,奇函数􀅰 奇函数＝偶函数,奇函数＋奇函数＝奇函数,偶 函数􀅰偶函数＝偶函数,偶函数＋偶函数＝偶 函数,奇函数􀅰偶函数＝奇函数． ２．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有: (如下a＞０): (１)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝２a; (２)若f(x＋a)＝ １f(x) ,则T＝２a; (３)若f(x＋a)＝－ １f(x) ,则T＝２a． ３．函数对称性的三个常用结论 (１)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,即f(a－x)＝ f(a＋x),则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ a对称; (２)若对于R上的任意x都有f(２a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(２a＋x),则y＝f(x)的图象关于直 线x＝a对称; (３)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,即f(－x＋b)＋ f(x＋b)＝０,则函数y＝f(x)关于点(b,０)中 心对称． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝x２,x∈(０,＋∞)是偶函数． (　　) (２)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一 定过原点． (　　) (３)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函 数,则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数． (　　) (４)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝ f(x)关于直线x＝a对称． (　　) (５)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝ f(x)关于点(b,０)中心对称． (６)函数f(x)为 R上的奇函数,且f(x＋２)＝ f(x),则f(２０２４)＝０． (　　) [小题查验] １．已知f(x)＝ax２＋bx是定义在[a－１,２a]上的 偶函数,那么a＋b的值是 (　　 ) A．－１３ B． １ ３ C． １ ２ D．－ １ ２ ２．下列函数为奇函数的是 (　　 ) A．y＝２x－１２x B．y＝x３sinx C．y＝２cosx＋１ D．y＝x２＋２x ３．(２０２５􀅰黄冈中学质检)已知函数f(x)为R上的 偶函 数,且 当 x＞０ 时,f(x)＝log４x－１,则 f(－２ ２ ３ )＝ (　　) A．－２３ B．－ １ ３ C． １ ３ D． ２ ３ ４．(２０２５􀅰黄冈二模)已知f(x)＝ xe x eax－１ 是偶函 数,则a＝ (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ ５．(２０２５􀅰湖南长沙质检)若f(x)＝(x－１)２＋ ax＋sinx＋π２ æ è ç ö ø ÷为偶函数,则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　判断函数的奇偶性(自主练透) [题组集训] １．(２０２４􀅰天津卷)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f (x)＝sinx＋４x e|x| ２．函数f(x)＝９ x＋１ ３x 的图象 (　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ３．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ ３－x２＋ x２－３; (２)f(x)＝lg (１－x２) |x－２|－２ ; (３)f(x)＝ x２＋x,x＜０, －x２＋x,x＞０．{ 判断函数奇偶性的方法 (１)定义法 (２)图象法 (３)性质法 ①“奇＋奇”是奇,“奇－奇”是奇,“奇􀅰奇”是 偶,“奇÷奇”是偶; ②“偶＋偶”是偶,“偶－偶”是偶,“偶􀅰偶”是 偶,“偶÷偶”是偶; ③“奇􀅰偶”是奇,“奇÷偶”是奇． 提醒:①“性质法”中的结论是在两个函数的 公共定义域内才成立的． ②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都 满足相同的关系时,才能判断其奇偶性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　函数奇偶性的应用(多维探究) [命题角度１]　利用奇偶性求函数值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．(２０２５􀅰 潍 坊 市 一 模 )若 函 数 f (x)＝ log３x－２,x＞０ g(x),x＜０{ 为奇函数,则f(g(－３))＝(　　 ) A．－３ B．－２ C．－１ D．０ [命题角度２]　利用奇偶性求参数值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰安徽质检)若f(x)＝(x＋a)ln２x－１２x＋１ 为 偶函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１２ D．１ [命题角度３]　利用奇偶性求解析式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３．已 知 f(x)是 奇 函 数,且 当 x＜０ 时,f(x)＝ －eax,若f(ln２)＝８,则a＝　　　　　　． [命题角度４]　利用奇偶性的图象特征解不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例]　已知y＝f(x)是偶函 数,y＝g(x)是奇函数,它们 的定义域是[－３,３],且它们 在x∈[０,３]上的图象如图所 示,求 不 等 式f(x) g(x)＜０ 的 解集． 逻辑推理———函数图象与性质在函数中 具体应用的核心素养．具体见下表: 信息提取 信息解读 逻辑推理 y＝f(x)是偶函数 y＝g(x)是奇函数 定义域是[－３,３], 且 它 们 在 x ∈ [０,３]上的图象如 图所示 不等式f(x) g(x)＜０ 偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象 关于原点对称 题干已给出x∈[０,３] 上的图象,可根据奇偶 性 的 图 象 特 征 补 上 x∈[－３,０]上的图象 此分式不等式可等价 转化为分子、分母相乘 的不等式,最终还是判 断f(x)与g(x)在定 义域内的正负值情况 解分式不等式f(x) g(x) ＜０⇔f(x)􀅰g(x) ＜０⇔x∈[０,３]时, 由图象直接判断; x∈[－３,０]时,根 据奇偶性补全图象 后 判 断 取 并 集,得 到 分 式 不 等 式 的 解集 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 画函数图象:根据奇偶函数的图象特征可画出 另一对称区间上的图象,进而利用整个定义域 上的图象解不等式或判断单调性． [跟踪训练] (２０２５􀅰湖南娄底押密考试)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x＋２)为偶函数,f(２x＋１)为奇函 数,则 (　　) A．f －１２ æ è ç ö ø ÷＝０ B．f(－１)＝０ C．f(２)＝０ D．f(４)＝０ 　　 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (１)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数 值求解． (２)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上, 再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造 关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解 析式． (３)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(－x)＝０ 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程(组),进而得出参数的值． (４)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象 及判断另一区间上的单调性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　函数周期性的应用(师生共研) [典例]　(１)x为实数,[x]表示不超过x的最大 整数,则函数f(x)＝x－[x]在R上为 (　　 ) A．奇函数　　　　　　　B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 (２)(２０２５􀅰 济宁市一模)已 知 函 数 f(x)是 (－∞,＋∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于 x＝１对称,当x∈[０,１]时,f(x)＝２x－１．则 f(２０２３)＋f(２０２４)的值为 (　　 ) A．－２ B．－１ C．０ D．１ [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)判断函数周期性的两个方法 ①定义法．　②图象法． (２)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求 值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已 知区间上的相应问题,进而求解． 易错警示:应用函数的周期性时,应保证自变 量在给定的区间内． [跟踪训练] １．(２０２５􀅰全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周 期为２的偶函数,当２≤x≤３时,f(x)＝５－２x, 则f －３４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１２ B．－ １ ４ C．１４ D． １ ２ ２．(２０２５􀅰陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)的定义域 为R,且 f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y), f(１)＝１,则∑ ２２ k＝１ f(k)＝ (　　) A．－３ B．－２ C．０ D．１ 学习至此,请完成配套训练　课时冲关八 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ２．解析:由于y＝ １３( ) x 在 R 上递减,y＝log２(x＋２)在 [－１,１]上递增,所 以f(x)在[－１,１]上 单 调 递 减,故 f(x)在[－１,１]上的最大值为f(－１)＝３． 答案:３ 考点四 １．B　[∵函数f(x)＝log２x＋ １ １－x 在(１,＋∞)上为增函 数,且f(２)＝０, ∴当x１∈(１,２)时,f(x１)＜f(２)＝０, 当x２∈(２,＋∞)时,f(x２)＞f(２)＝０, 即f(x１)＜０,f(x２)＞０．] ２．B　[２＝１＋１＝f(３)＋f(３)＝f(９),由f(x)＋f(x－８) ≤２,可得f[x(x－８)]≤f(９),因 为f(x)是 定 义 在(０, ＋∞)上的单调增函数, 所以有 x＞０, x－８＞０, x(x－８)≤９,{ 解得８＜x≤９,故x的取值范围是(８, ９]．] ３．解析:因为对任意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０, 所以y＝f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数． 所以 ２－a＞０, a＞１, (２－a)×１＋１≤a,{ 解得 ３ ２≤a＜２． 故实数a的取值范围是 ３２ ,２[ )． 答案: ３ ２ ,２[ ) 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点 ２．(１)f(x＋T)＝f(x)　(２)存在一个最小　最小 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√　(６)√ 小题查验 １．B　２．A　３．A　４．D　５．２ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．B　[对 A,f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１)＝ e－１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠f(１),所以f(x)不是偶函 数,故 A错误;对B,f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函数定义域为 R,且 f(－x)＝cos (－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝cosx＋x ２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为 偶函数,故B正确;对C,函数定义域为{x|x≠－１},不关于 原点对称,则f(x)不是偶函数,故C错误;对D,因为f(－x) ＝sin (－x)＋４(－x) e|－x| ＝－sinx＋４x ex ＝－f(x),则f(x)为奇 函数,不是偶函数,故D错误．] ２．B ３．解:(１)由 ３－x ２≥０, x２－３≥０,{ 得x ２＝３,解得x＝± ３, 即函数f(x)的定义域为{－ ３,３}, 从而f(x)＝ ３－x２＋ x２－３＝０． 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (２)由 １－x ２＞０, |x－２|≠２,{ 得定义域为(－１,０)∪(０,１),关于原点对 称．∴x－２＜０,∴|x－２|－２＝－x, ∴f(x)＝lg (１－x２) －x ． 又∵f(－x)＝lg [１－(－x)２] x ＝－ lg(１－x２) x ＝－f (x), ∴函数f(x)为奇函数． (３)显然函数f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞), 关于原点对称．∵当x＜０时,－x＞０, 则f(－x)＝－(－x)２－x＝－x２－x＝－f(x); 当x＞０时,－x＜０, 则f(－x)＝(－x)２－x＝x２－x＝－f(x); 综上可 知:对 于 定 义 域 内 的 任 意 x,总 有 f(－x)＝ －f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数． 考点二 １．B　[法一:∵函数f(x)＝ log３x－２,x＞０ g(x),x＜０{ 为奇函数, ∴g(－３)＝－f(３)＝－(log３３－２)＝１, ∴f(g(－３))＝f(１)＝log３１－２＝０－２＝－２． 法二:当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝log３(－x)－２, ∴f(x)＝－f(－x)＝－log３(－x)＋２, 即g(x)＝－log３(－x)＋２, ∴g(－３)＝－log３３＋２＝１, ∴f(g(－３))＝f(１)＝log３１－２＝０－２＝－２．] ２．B　[由题意知g(x)＝ln２x－１２x＋１ 是奇函数,而f(x)＝(x＋ a)g(x)为偶函数,有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x ＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x),故x－a＝x＋a,则a ＝０．] ３．解析:f(ln２)＝－f(－ln２)＝e(－aln２)＝eln２ －a ＝２－a＝８, ∴a＝－３． 答案:－３ [典例]　[解]　第一步　根据 奇 偶 性 补 全 函 数f(x)和 g(x)在整个 定 义 域 上 的 图 象y＝f(x)是 偶 函 数,y＝ g(x)是奇函数,根据函数图象的奇偶性画出y＝f(x),y ＝g(x)在[－３,０]上的图象如图所示, 第二步　将分式不等式等价转化 f(x) g(x)＜０ 等价于 f(x)＞０, g(x)＜０,{ 或 f(x)＜０, g(x)＞０,{ 第三步　根据图象,分别解两个不等式组 由图可知f(x)＞０,g(x)＜０时,－２＜x＜－１或０＜x＜ １, f(x)＜０,g(x)＞０时,２＜x＜３． 第四步　根据求解结果取并集 可求得其解集是{x|－２＜x＜－１,或０＜x＜１,或２＜x＜３}． 跟踪训练 　B　[f(x＋２)是偶函数,即f(x＋２)＝f(２－x),可得f(x)的 对称轴为x＝２,f(２x＋１)为奇函数,即f(１＋２x)＝－f(１－ ２x),可得f(x)的对称中心为(１,０)．此时,x＝０和x＝２关于 (１,０)对称,∴f(x)是偶函数,此时有f(－１)＝f(１)＝０．其 他选项不一定成立．] 考点三 [典例]　[解析]　(１)作出函数f(x) 的图象,由图象可知选 D． (２)∵函数f(x)是(－∞,＋∞)上 的奇函数,且f(x)的图象关于x＝ １对称, ∴f(－x)＝－f(x),由图象关于x＝１对称, 得f(１＋x)＝f(１－x),即f(－x)＝f(２＋x)＝－f(x), ∴f(４＋x)＝－f(２＋x)＝f(x),∴周期T＝４． ∵当x∈[０,１]时,f(x)＝２x－１, ∴f(２０２３)＋f(２０２４)＝f(－１)＋f(０)＝－f(１)＋ f(０)＝－２＋１＋１－１＝－１． [答案]　(１)D　(２)B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 跟踪训练 １．A　[f －３４( ) ＝f ３ ４( ) ＝f ２＋ ３ ４( ) ＝５－２ ２＋ ３ ４( ) ＝－１２ ,故选 A．] ２．A　[令y＝１,得f(x＋１)＋f(x－１) ＝f(x)􀅰f(１)＝f(x)⇒f(x＋１)＝f(x)－f(x－１), 故f(x＋２)＝f(x＋１)－f(x), f(x＋３)＝f(x＋２)－f(x＋１), 消去f(x＋２)和f(x＋１),得到f(x＋３)＝－f(x), 故f(x)周期为６; 令x＝１,y＝０,得f(１)＋f(１)＝f(１)􀅰f(０)⇒f(０)＝２, f(２)＝f(１)－f(０)＝１－２＝－１, f(３)＝f(２)－f(１)＝－１－１＝－２, f(４)＝f(３)－f(２)＝－２－(－１)＝－１, f(５)＝f(４)－f(３)＝－１－(－２)＝１, f(６)＝f(５)－f(４)＝１－(－１)＝２, 根据周期性质,f(k)(k＝１,２,􀆺,２２)中,任意连续６个数 的和为０, 故∑ ２２ k＝１ f(k)＝３[f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(６)]＋f(１９)＋ f(２０)＋f(２１)＋f(２２)＝f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４) ＝１＋(－１)＋(－２)＋(－１)＝－３, 即∑ ２２ k＝１ f(k)＝－３．] 第４节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)根式　(２)a　a　２．(１) n am 　 １n am 　没有意义　 (２)ar＋s　ars　arbr　３．(１)y＝ax(a＞０且a≠１) (２)(０,＋∞)　(０,１)　y＞１　０＜y＜１　y＞１　０＜y＜１ 增函数　减函数 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　(４)√ 小题查验 １．B　２．A　３．A　４．D　５．[１,＋∞) 跃升􀅰关键能力　考点一 １．D　[ nm( ) ５ ＝n５m－５, １２ (－２)４＝ ３ ２, ４ x３＋y３＝(x３＋ y３) １ ４ ≠(x＋y) ３ ４ , ３９＝ ９ １ ３( ) １ ２ ＝ ９ １ ２( ) １ ３ ＝３３．] ２．解:(１)原 式 ＝ ２７１０００( ) －１３ － (－１)－２ 􀅰 １７( ) －２ ＋ ２５ ９( ) １ ２ －１＝１０３－４９＋ ５ ３－１＝－４５． (２)原式＝４ １ ２ 􀅰４ ３ ２ １００ 􀅰a ３ ２ 􀅰a－ ３ ２ 􀅰b ３ ２ 􀅰b－ ３ ２ ＝ ４２５a ０􀅰b０ ＝４２５． 考点二 [典例]　[解析]　(１)A　[将 函 数 解 析 式 与 图 象 对 比 分析, 因为函数f(x)＝１－e|x|是偶函数,且值域是(－∞,０], 只有 A满足上述两个性质．] (２)D　[第一步　将不等式２x(x－a)＜１变形为两个基 本初等函数构成的不等式 不等式２x(x－a)＜１可变形为x－a＜ １２( ) x ． 第 二 步 　 画 出 函 数 y ＝ １ ２( ) x 与y＝x－a的图象 在同一平面直角坐标系内作 出 直 线 y＝x－a 与 y ＝ １ ２( ) x 的 图 象．由 题 意,在 (０,＋∞)上,直 线 有 一 部 分 在曲线的下方． 第三步　观察图象,列出有关a满足的条件 观察可知,有－a＜１,所以a＞－１．] (３)[解析]　曲线|y|＝２x＋１ 与直线y＝b的图象如图所示, 由图象可得:如果|y|＝２x＋１与 直线y＝b没有公共点,则b应满 足的条件是b∈[－１,１]． [答案]　[－１,１] 互动探究 １．解析:曲线y＝|２x－１|与直线 y＝b的 图 象 如 图 所 示,由 图 象 可 得,如果曲线y＝|２x－１|与直线y ＝b有两个公共点,则b的取值范 围是(０,１)． 答案:(０,１) ２．解析:因 为 函 数 y＝|２x －１|的 单 调 递 减 区 间 为 (－∞,０],所以k≤０,即k的取值范围为(－∞,０]． 答案:(－∞,０] ３．解析:y＝|ax－１|的图象是由y＝ax 先向下平移１个单 位,再将x轴下方的图象沿x 轴翻折过来得到的． 当a＞１时,两图象只有一个交点,不合题意,如图(１); 当０＜a＜１时,要使两个图象有两个交点, 则０＜２a＜１,得到０＜a＜１２ ,如图(２)． 综上可知,a的取值范围是 ０,１２( )． 答案:０,１２( ) 跟踪训练 １．D　[法一:当０＜a＜１时,函数y＝ax－１a 是减函数,且 其图象可视为是由函数y＝ax 的图象向下平移 １a 个单 位长度得到的,结合各选项知选 D． 法二:因为函数y＝ax－１a (a＞０,且a≠１)的图象必过 点(－１,０),所以选 D．] ２．解析:方程的解可看作函数y＝２x 和y＝２－x 的 图 象 交 点 的 横 坐 标,分别作出这两个函数图象(如 图所示)． 由图象得只有一个交点,因此 该 方程只有一个解． 答案:１ 考点三 １．B　[因为y＝４．２x 在R上递增,且－０．３＜０＜０．３,所以０＜ ４．２－０．３＜４．２０＜４．２０．３, 所以０＜４．２－０．３＜１＜４．２０．３,即０＜a＜１＜b, 因为y＝log４．２x在(０,＋∞)上递增,且０＜０．２＜１, 所以log４．２０．２＜log４．２１＝０,即c＜０, 所以b＞a＞c．] ２．C　[当a＜０时,不等式f(a)＜１可化为 １２( ) a －７＜１, 即 １ ２( ) a ＜８,即 １２( ) a ＜ １２( ) －３ , 因为０＜１２＜１ ,所以a＞－３,此时－３＜a＜０; 当a≥０时,不等式f(a)＜１可化为 a＜１, 所以０≤a＜１．综上可知,a的取值范围是(－３,１)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案