第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

考点四　分段函数及应用(多维探究) [命题角度]　求函数值、值域(最值) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．设函数f(x)＝ １＋log２(２－x),x＜１, ２x－１,x≥１,{ 则f(－２)＋f(log２１２)＝ (　　 ) A．３ B．６ C．９ D．１２ ２．定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b＝a;当a＜b时, a⊕b＝b２．设函数f(x)＝(１⊕x)x－(２⊕x),x∈ [－２,２],则函数f(x)的值域为　　　　． 　　 分段函数“两种”题型的求解策略 (１)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选 定相应的解析式代入求解． (２)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意 检验所求自变量的值或范围是否符合相应 段的自变量的取值范围． 　提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分 类讨论． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关六 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．借助函数图象,会用符号 语言表达函数的单调性、 最大值、最小值,理解它 们的作用和实际意义． ２．会运用基本初等函数的 图象分析函数的性质 １．函数的单调性的判断或证明,发展 数学抽象和逻辑推理素养． ２．确定函数的单调区间,提升直观想 象和逻辑推理素养． ３．确定函数的最值(值域),发展直观 想象和数学运算素养． ４．函数单调性的应用,发展逻辑推理 和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应 用函数的单调性比较函数值大小、求最 值、求参数的取值(范围)是高考的热 点,多以选择题、填空题的形式出现,难 度不大,属于低中档题型,常与函数的 图象及奇偶性交汇命题;若与导数交汇 命题,则以解答题的形式出现,难度较 大,属于中高档题型．在解答题中常与 恒成立、方程有解等问题综合考查 [必备知识] １．函数的单调性 (１)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于 定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量 的值x１,x２ 当x１＜x２ 时,都有 　　 　 　,那么就说 函数f(x)在区间 D 上是增函数 当x１＜x２ 时,都有 　　 　 　,那么就说 函数f(x)在区间 D 上是减函数 续表 图象 描述 自 左 向 右 看 图 象 是 　　　　 自 左 向 右 看 图 象 是 　　　　 (２)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间 D 上是　　　　或 　　　　,那么就说函数y＝f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,　　　　叫做函数y＝ f(x)的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 ２．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数 M 满足 条件 (１)对于∀x∈I,都有 　　　　; (２)∃x０∈I,使得 　　　　 (３)对于∀x∈I,都有 　　　　; (４)∃x０∈I,使得 　　　　 结论 M 是函数y＝f(x)的 最大值 M 是函数y＝f(x)的 最小值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设∀x１,x２∈D(x１≠x２),则①x１－x２＞０(或＜ ０),f(x１)－f(x２)＞０(或＜０)⇔f(x)在D 上单 调递增;x１－x２＞０(或＜０),f(x１)－f(x２)＜０ (或＞０)⇔f(x)在D 上单调递减; ②f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０(或 (x１－x２)[f(x１)－ f(x２)]＞０)⇔f(x)在D 上单调递增; ③f (x１)－f(x２) x１－x２ ＜０(或 (x１－x２)[f(x１)－ f(x２)]＜０)⇔f(x)在D 上单调递减． ２．对勾函数y＝x＋ax (a＞０)的增区间为(－∞, － a]和 [a,＋ ∞);减 区 间 为 [－ a,０)和 (０,a],且对勾函数为奇函数． ３．单调函数的运算性质 (１)在函数f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下 结论: ①若f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)＋ g(x)也是增(减)函数; ②若f(x)是增(减)函数,g(x)是减(增)函数,则 f(x)－g(x)是增(减)函数; (２)若函数f(x)在区间 D 上具有单调性,则在区 间D 上具有以下性质: ①当a＞０时,函数af(x)与f(x)有相同的单调性, 当a＜０时,函数af(x)与f(x)有相反的单调性; ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时,f(x)与 １ f(x) 有相反的单调性; ③若f(x)≥０,则f(x)与 f(x)具有相同的单 调性． ４．如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,在 区间[b,c]上单调递减,则函数y＝f(x),x∈[a, c]在x＝b处有最大值f(b);如果函数y＝f(x)在 区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则 函数y＝f(x),x∈[a,c]在x＝b处有最小值f(b)． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数f(x)的图象如图所 示,则函数f(x)的单调增区 间是(－∞,０]∪(０,＋∞)． (　　) (２)若 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x),有f(－１)＜f(３),则函数f(x)在 R上为 增函数． (　　) (３)函数y＝|x|是R上的增函数． (　　) (４)函数y＝f(x)在[１,＋∞)上是增函数,则函 数的单调递增区间是[１,＋∞)． (　　) (５)对于函数 f(x),x∈D,若 x１,x２∈D,且 (x１－x２)􀅰[f(x１)－f(x２)]＞０,则函数f(x) 在D 上是增函数． (　　) (６)在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间 端点取到． (　　) [小题查验] １．(２０２５􀅰济宁模拟)下列函数中是增函数的为 (　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ x C．f(x)＝x２ D．f(x)＝ ３ x ２．设定义在[－１,７]上的函数y＝f(x)的图象如图 所示,则关于函数y＝ １f(x) 的单调区间表述正确 的是 (　　 ) A．在[－１,１]上单调递减 B．在(０,１]上单调递减,在[１,３)上单调递增 C．在[５,７]上单调递减 D．在[３,５]上单调递增 ３．(２０２５􀅰东营模拟)以下函数既是奇函数,又是减 函数的是 (　　) A．y＝－３x B．y＝x３ C．y＝log３x D．y＝３x ４．已知函数f(x)＝２x－x－１,则不等式f(x)＞０的 解集是 (　　) A．(－１,１) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞) C．(０,１) D．(－∞,０)∪(１,＋∞) ５．函数f(x)＝ ２xx＋１ 在[１,２]上的最大值和最小值 分别是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点一　函数单调性的判断或证明(自主练透) 逻辑推理———函数单调性问题中的核心素养 　　依据增函数、减函数的定义证明函数单调性, 通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤 进行,充分体现了“逻辑推理”的核心素养． [题组集训] １．下列函数中,在区间(１,＋∞)上是增函数的是 (　　) A．y＝－x＋１　　　　　　　B．y＝ １１－x C．y＝－(x－１)２ D．y＝３１－x ２．判断并证明函数f(x)＝ axx２－１ (其中a＞０)在x∈ (－１,１)上的单调性． 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 取值 设x１,x２ 是定义区间内的任意两个值,且 x１ ＜x２ 作差、 变形 ↓ 作差f(x１)－f(x２)(或f(x２)－f(x１)),并 通过因式分解、配方、有理化等方法,向有 利于判断差的符号的方向变形 定号 ↓ 确定差f(x１)－f(x２)(或f(x２)－f(x１)) 的符号,当符号不确定时,可以进行分类 讨论 判断 ↓ 根据定义作出结论 易错警示:可导函数也可以利用导数判断．但 是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定 义法进行判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　确定函数的单调区间(课堂共研) [典例]　(１)函数y＝f(x)(x∈ R)的图象如图所示,则函数 g(x)＝f(logax)(０＜a＜１) 的单调递减区间是 (　　) A．０,１２[ ] B．[a,１] C．(－∞,０)∪ １２ ,＋∞[ ö ø ÷ D． a,a＋１[ ] (２)函数y＝－x２＋２|x|＋１的单调递增区间为 　　　　,单调递减区间为　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 [互动探究] １．若将典例(２)中的函数变为“y＝|－x２＋２x＋１|”,则 结论如何? ２．若将典例(１)中的“０＜a＜１”改为“a＞１”,则函数 g(x)的单调递减区间如何? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 　　 １．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (１)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数 的和、差或复合函数,求单调区间． (２)定义法:先求定义域,再利用单调性定义． (３)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它 的单调区间． (４)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单 调区间． ２．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (１)确定函数的定义域． (２)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u), u＝g(x)． (３)分别确定这两个函数的单调区间． (４)若这两个函数同增同减,则y＝f(g(x))为 增函数;若一增一减,则y＝f(g(x))为减函 数,即“同增异减”． 　提醒:单调区间只能用区间表示,不能用集合 或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不 能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结． [跟踪训练] １．设函数f(x)＝ １,x＞０, ０,x＝０, －１,x＜０, ì î í ïï ï g(x)＝x２f(x－１), 则函数g(x)的递减区间是 (　　) A．(－∞,０] B．[０,１) C．[１,＋∞) D．[－１,０] ２．函数f(x)＝ln(x２－２x－８)的单调递增区间是 (　　 ) A．(－∞,－２) B．(－∞,１) C．(１,＋∞) D．(４,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　确定函数的最值(值域)(师生共研) [典例]　(１)若函数f(x)＝１a－ １ x 在 １ ２ ,２[ ] 上的 值域是 １ ２ ,２[ ],则实数a的值为　　　　． (２)函 数 f(x)＝x ２＋８ x－１ (x＞１)的 最 小 值 为 　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型 (１)单调性法:应先确定函数的单调性,然后再 由单调性求解． (２)图象法:作出函数的图象,利用最值的几何 意义,观 察 其 图 象 最 高 点、最 低 点,求 出 最值． (３)基本不等式法:分子、分母中的一个为一次函 数,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y) 的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三 相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域)． (４)导数法:用导数法,先求出给定区间上的极 值,再结合端点值求得． (５)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换 元转化为以上四种类型中的某种,再求解． 易错警示:用换元法时,一定要注意新“元”的范围． [跟踪训练] １．函数y＝ x－x(x≥０)的最大值为　　　　　． ２．函数f(x)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ x －log２(x＋２)在区间[－１,１] 上的最大值为　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点四　函数单调性的应用(多维探究) [命题角度１]　比较两个函数值或两个自变量的大小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．已知函数f(x)＝log２x＋ １ １－x ,若x１∈(１,２),x２ ∈(２,＋∞),则 (　　) A．f(x１)＜０,f(x２)＜０ B．f(x１)＜０,f(x２)＞０ C．f(x１)＞０,f(x２)＜０ D．f(x１)＞０,f(x２)＞０ [命题角度２]　解函数不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．f(x)是定义在(０,＋∞)上的单调增函数,满足 f(xy)＝f(x)＋f(y),f(３)＝１,当 f(x)＋ f(x－８)≤２时,x的取值范围是 (　　) A．(８,＋∞) B．(８,９] C．[８,９] D．(０,８) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [命题角度３]　利用单调性求参数的取值范围或值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．如果函数f(x)＝ (２－a)x＋１,x＜１, ax,x≥１{ 满足对任 意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,那么实 数a的取值范围是　　　　． [破题关键点]　函数f(x)满足对任意x１≠x２, 都有f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,推出f(x)在(－∞,＋ ∞)上是增函数． 　　 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (１)比较大小．比较函数值的大小,应将自变量转化 到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性 解决． (２)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关 的不等式时,利用函数的单调性将“f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时 应特别注意函数的定义域． (３)利用单调性求参数 ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调 性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关七 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合具体函数,了解函数奇偶 性的概念和几何意义． ２．会运用函数的图象理解和研 究函数的奇偶性． ３．结合三角函数,了解函数周期 性的概念和几何意义． ４．会运用函数的图象理解和研 究函数的周期性 １．判断函数的奇偶性,发展数学 抽象和逻辑推理素养． ２．函数奇偶性的应用,发展逻辑 推理和数学运算素养． ３．函数周期性的应用,发展数学 抽象和逻辑推理素养． ４．函数基本性质的综合应用,提 升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高 考的热点,常与函数的求值、图象、单调 性、对称性、零点等知识交汇命题,函数 的周期性也经常会涉及三角函数或抽 象函数,并且考查力度逐年加大．本讲 内容在高考中多以选择题或填空题的 形式出现,难度不会太大,属于低中档 题型,主要考查考生对函数性质的理解 及应用能力 [必备知识] １．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义 域 内 任 意 一 个 x,都 有 　　　　　　　,那 么 函 数 f(x)是偶函数 关于 　 　 　 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义 域 内 任 意 一 个 x,都 有 　　　　　　　,那 么 函 数 f(x)是奇函数 关于 　 　 　 对称 ２．函数的周期性 (１)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有　　　　　　　,那么就称函数y＝f(x)为 周期函数,称T 为这个函数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期 中　　　　　　的正数,那么这个最小正数就 叫做f(x)的　　　　正周期． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 参考答案 考点四 互动探究 1.C[根据分段函数的意义， 1.解：函数y=|一x+2x+1的 f(-2)=1+10g:(2+2)=1+2=3.又1og12>1. 图象如图所示， (log21-1) 由图象可知，函数y= ∴f(1og12)=2%-=2%0=6.因此f(-2)+ |一x+2x+1|的单调递增 f(1og:12)=3+6=9.] 区间为(1一2,1)和(1+2， 12 011+w2 2.解析：由题意知，f(.x)= (x-2,x∈[-2,1]， 十∞)：单调递减区间为（一∞， x2-2,.x∈(1,2]， 1-2)和(1,1+2). 当xe[-2,1]时，f(x)∈[-4，一1门：当x∈(1,2]时， f(x)∈(-1,6].故当x∈[-2,2]时，f(x)∈[-4,6]. 2.解析：由钢(1)解折知，需10gx<0或1ogr>≥子，解得 答案：[一4,6] x≤1或x≥Wa,又x>0,所以单调递减区间为(0,1门， 第2节 [a,+o∞). 夯实·必备知识必备知识 跟踪训练 1.(1)f(x1)<fx）f(x1)>f(x2)上升的 下降的 1.B[g(x) (2)增函数减函数区间D2.(1)f(x)≤M x,x>1. (2)f(.xa)=M(3)f(x)≥M(4)f(x,)=M =0,x=1, 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)/ -x,x<1 小题查验 如图所示，其递减区间是[0,1).] 1.D2.B8A4D5号1 2.D[由x-2x-8>0,得函数的 定义域为（一∞，一2）U(4,+ 跃升·关键能力考点一 ∞).令1=x2-2x-8, 1.B[函数y=一x十1在(1，十o∞)上为减函数，A不符合 则y=lnt. 题意y一亡在1，十)止为增西数，B行合题意：y t=x-2x-8=(.x-1)-9, 一(x一1)2在(1，十∞)上为减函数，C不将合题意：y= .1=x2一2.x一8的单调增区间为(4，十o∞). 3在(1，十∞)上为减函效，D不符合题意.] 又y=lnt是增函数，∴.函数f(.x)=n(x2-2x一8)的单调 2.证明：法一（定义法）：设一1<x1<x2<1 增区间为(4，十∞).] 则fx)-fx,)=a-a2 考点三 x-1x-1 [典例] [解折]①因为画数(x)在区同[22]上是 a.x1-a,x1-a.x2x十a.x (.x-1)(x号-1) 增高数，值城为[位2]所以/（侵）-壹2）=2，即 -气2'1< ∴.x2-x1>0x1x2+1>0,(xi-1)(x号-1)>0. 1 =2, 因此当a>0时，f(x1)-f(x)>0, 2 即f(x)>f(x),此时函数f(x)在（一1,1）上为减 函数， (2)法一：基本不等式法：r)=士+8 x-1 法二（学教法）：广r)=4r）-2ar2=二a(x+1D (x2-1)2 (x2-1)2· =)+2-D+9=(x-1)+号+2≥ x-1 又a>0,所以f(x)<0,所以函数f(x)在(-1,1)上为 减函数 2-D…马+2=8，当且仅当x-1=吕即 考点二 4时，f（x)nm=8. [典例][解析](1)由图象知f(x)在（一o∞，0]和 法二：导数法：f(x)=r一4)(x+2) [合十）上单洞递减，而在[，号]上单调造增，又0 (.x-1)2 令f(x)=0,得x=4或x=一2（舍去）. <a<1时，y=logx为(0，十o∞)上的减函数，所以要使 当1<<4时，(x)<0,f(x)在(1,4)上单调递减： gr)=log)单调递减，需要1ogx∈[0：]即0≤ 当x>4时，了(x)>0,f(x)在(4，十o)上单调递增， 所以f(x)在x=4处达到最小值， 1ogr<2,解得xE[a1 即f(x)m=f(4)=8. (2)由于y= 1-x+2x+1,x≥0， [答案】1号(28 跟踪训练 {-x2-2x+1.x<0, (-(x-1)2+2.x≥0， 3210123x ,解折：令1=后，则≥0：所以y=1一f=一（-） 即y={-(x+12+2x<0. 画出函数图象如图所示，单调递增 子结合二次高教的图象知，音1=宁即工=号时 区间为（一∞，一1门和[0,1门.单调递减区间为[-1.0]和[1， 十0o). [答案](1)B(2)(-∞，-1]和[0.1][-1,0]和 [1,+0∞) 答案：日 ·303· 艺考生文化课百日冲关·数学 2.解桥：由于y=(兮)广在R上递减y=10g红+2)》在 .函数「(x)为奇函数 (3)显然函数f(x)的定义战为（一0∞，0）U(0,十∞)， [一1,1门上递增，所以f(x)在[一1,1门上单调递减，故 关于原点对称.当x<0时，一x>0, f(x)在[一1,1]上的最大值为f(-1)=3. 则f-x)=-(一x)2一x=-x2-x=一f(x): 答案：3 当x>0时，一x0, 考点四 则f(-x)=(-x)-x=x2-x=一f(x): 1上.B[:函数x)=l0g十己在1，十∞)上为增画 综上可知：对于定义城内的任意x,总有∫（一x)= 一f(x)成立，.函数f(x)为奇函数. 数，且f(2)=0, 考点二 ∴.当x1∈(1,2)时，f(.x1)<f(2)=0, 当x2∈(2，十∞)时，f(x2)>f(2)=0 1.B[法一：函数f(x)= ogx一2x>0为奇函数 g(x),x<0 即f(x1)<0,f(x)>0.] .g(-3)=-f(3)=-(1og3-2)=1, 2.B[2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(.x)+f(x-8) ∴.f(g(-3)=f(1)=1og1-2=0-2=-2. ≤2，可得f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0， 法二：当x<0时，一x>0,f(一x)=0g(一x)一2， 十©)上的单调增函数， ∴.f(x)=-f(x)=-log(-x)十2， t0, 即g(x)=-log1(一x)+2, 所以有】 t-8>0,解得8<x≤9，故x的取值范围是(8， .g(-3)=-log3+2=1, x(.x-8)≤9. ∴.f(g(-3)=f(1)=1og1-2=0-2=-2.] 91.] 3解析：因为对任意≠都有)-f儿)0. 2.B[由题意知g)=h号是奇画数，而)=+ 无一 a)g(x)为祸函数，有f(-x）=(一x十a)g(-x)=-(-x 所以y=f(x)在（一o∞，十∞）上是增函数. 十a)g(x)=(x十a)g(x)=f(x),故x-a=x十a,则a r2-4>0. =0.] 所以a>1, 解得2<a<2. 3.解析：f(ln2)=-f(-n2)=e-m=e=2=8. (2-a)×1+1≤a .4=-3. 故实数a的取值范国是[受2 答案：一3 [典例们[解]第一步根据奇偶性补全函数f(x)和 答案：[2 g(x)在整个定义城上的图象y=∫(x)是偶函数，y= 第3节 g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y=f(x),y =g(x)在[一3,0们上的图象如图所示， 夯实·必备知识必备知识 y 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=一f(x)原点 2.(1)f(x+T)=f(x)(2)存在一个最小最小 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)√(5)√(6)/ y=g(x) 小题查验 -32 /-10/12 3 1.B2.A3.A4.D5.2 yfa) 跃升·关键能力考点一 .B[时A=青，画数定义战为R但-1D 第二步将分式不等式等价转化 <0￥价手r)>0:或fx)C0: 0=号则-1D≠，所以不是%国 g(x) {g(x)<0,{g(x)>0. 第三步根据图象，分别解两个不等式组 数，故A错泥：对B)=,画数定又线为R,且 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，-2<x<-1或0<x< f-x）=cos(）+(-x=c0sx+x2 f(x)0,g(x)>0时，2，x3 =f(x),则f(x)为 (一x)+1 x+1 第四步根据求解结果取并集 偶函数，故B正确：对C,函数定义城为{xx≠一1}，不关于 可求得其解集是{x|一2<x<一1，或0<x<1,或2<x<3). 原，点对称，则f代x)不是偶函数，故C错误；对D,因为f(一x) 跟踪训练 -血（一）+4(-2--in+虹=-fr),则fx)为奇 BLf(x十2)是偶函数，即f(x十2)=f(2-x),可得f(x)的 e e 对称轴为x=2,f(2x十1)为奇函数，即f(1十2x)=一f(1 函数，不是偶函教，故D错误，门 2x),可得(x)的对称中心为(1,0).此时，x=0和x=2关于 2.B (1,0)对称，∴.f八x)是偶函数，此时有f(-1)=f(1)=0.其 他选项不一定成立，] 3.解：1)由3之≥0得2=3，解得x=士5， 1x2-3≥0.1 考点三 [典例门[解析](1)作出函数f(x) 即函数f(x)的定义战为{一√3③， 的图象，由图象可知选D, 从而fx)=√3-x+√爱-3=0. (2),函数f(x)是（一，十）上 p 因此f-x)=一f(x)且f(-x)=f(x), 的奇函数，且f(x)的图象关于x= ,函数f(x)既是奇函数又是偶函数， 1对称， @由一名.得克义线为（一10U0,送于原去对 f(一x)=一f(x）,由图象关于x=1对称， 得f1十x)=f1一x),即f一x)=f(2十x)=一f(x), 称..x-2<0.x-2-2=-x, .f(4十x)=一f'(2十x)=f(x),.周期T=4. ∴fx)=g1-x) :当x∈[0,1门时，f(x)=2-1. 一x ..f(2023)+f(2024)=f(-1)+f(0)=-f(1)+ 又f-0=l1-（]=-1-2）=-fr. f(0)=-2+1+1-1=-1. [答案](1)D(2)B ·304·