第1节 函数的概念及其表示-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第１节　函数的概念及其表示 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．了解构成函数的要素,会求一 些简单函数的定义域和值域, 了解映射的概念． ２．在实际情境中,会根据不同的 需要选择恰当的方法(如图象 法、列表法、解析法)表示函 数,理解函数图象的作用． ３．通过具体实例,了解简单的分 段函数,并能简单应用 １．函数的概念,感悟和发展 数学抽象的素养． ２．函数的解析式,提升逻辑 推理和数学运算的素养． ３．函数的定义域,发展数学 抽象和提升逻辑推理的 素养． ４．分段函数及应用,提升逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 的 素养． 　　以理解函数的概念,会求一些简单函数 的定义域为主,常与不等式相结合求函数的 定义域、值域．函数解析式的求解与应用是 函数内容的基础,注意换元法、待定系数法 等数学思想方法的运用．分段函数主要涉及 的是与其相关的函数值、方程或不等式,该 部分内容高考中多以选择题或填空题的形 式考查,难度不会太大,属于低中档题．主要 考查考生的函数与方程思想、数形结合思 想、分类讨论思想以及运算求解的能力 [必备知识] １．函数与映射的概念 类别 函数 映射 两个集合 A、B 设A,B 是两个　　 　　 设A,B 是两个　　 　　 对应关系 f:A→B 如 果 按 照 某 种 确 定的 对 应 关 系 f, 使对于 集 合 A 中 的 　　　　一个数x, 在集合B中都有 　 的数f(x)和它对应 如 果 按 某 一 个 确 定 的对应关系f,使对 于集合 A 中的 　 　 　　一个元素x,在 集合 B 中 都 有 　 　 　　 的 元 素 y 与 之 对应 名称 称f:　　　　为从 集合 A 到集合B 的 一个函数 称 　 　 　 　 为 从 集 合A 到集合B 的一 个映射 记法 函数y＝f(x),x∈A 映射f:A→B ２．函数的定义域、值域 (１)在函数y＝f(x),x∈A 中,x叫做自变量,x的 取值范围A 叫做函数的　　　　;与x的值相 对应的y值叫做函数值,函数值的集合　　　　 叫做函数的　　　　． (２)如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　 完全一致,则这两个函数为相等函数． ３．函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　、图象法和　　　． ４．分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因 　　　　不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数是特殊的映射,是A,B为非空数集的映射, 其特征:第一,在A 中取元素的任意性;第二,在 B中对应元素的唯一性． ２．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域 和对应关系完全一致． ３．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分 段函数虽 由 几 个 部 分 组 成,但 它 表 示 的 是 一 个函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数是建立在其定义域到值域的映射． (　　) (２)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有２ 个交点． (　　) (３)函数f(x)＝x２－２x与g(t)＝t２－２t是同一 函数． (　　) (４)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个 函数是相等函数． (　　) (５)f(x)＝|x|x 与g(x)＝ １(x≥０), －１(x＜０){ 表示同一 函数． (　　) (６)若A＝R,B＝{x|x＞０},f:x→y＝|x|,其对 应是从A 到B 的映射． (　　) [小题查验] １．函数y＝ xln(１－x)的定义域为 (　　 ) A．(０,１) B．[０,１) C．(０,１] D．[０,１] ２．已知函数f(x)＝ log２x,x＞０, ３x,x≤０,{ 则f f １ ４ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ 的 值是 (　　 ) A．９ B．１９ C．－９ D．－ １ ９ ３．下列图象可以表示以 M＝{x|０≤x≤１}为定义 域,以N＝{y|０≤y≤１}为值域的函数的是 (　　 ) ４．函数y＝f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定 义域是　　　　;值域是　　　　;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是　　　　． ５．(２０２４􀅰上海卷)已知函数f(x)＝ x,x＞０ １,x≤０{ , 则f(３)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　函数的概念(自主练透) [题组集训] １．下列所给图象是函数图象的个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．下列各组函数中,表示同一函数的是 (　　) A．f(x)＝|x|,g(x)＝ x２ B．f(x)＝ x２,g(x)＝(x)２ C．f(x)＝x ２－１ x－１ ,g(x)＝x＋１ D．f(x)＝ x＋１􀅰 x－１,g(x)＝ x２－１ ３．设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D, 都存在y∈D,使得f(y)＝－f(x)成立,则称函 数f(x)为“美丽函数”,下列所给出的几个函数: ①f(x)＝x２;②f(x)＝ １x－１ ;③f(x)＝ln(２x＋３); ④f(x)＝２x－２－x;⑤f(x)＝２sinx－１． 其中是“美丽函数”的序号有　　　　　　　． 函数的三要素 　定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立 的,值域可由定义域和对应法则唯一确定;因 此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数 才是同一函数．特别值得说明的是,对应法则 是就效果而言的(判断两个函数的对应法则 是否相同,只要看对于函数定义域中的任意 一个相同的自变量的值,按照这两个对应法 则算出的函数值是否相同)不是指形式上的． 即对应法则是否相同,不能只看外形,要看本 质;若是用解析式表示的,要看化简后的形式 才能正确判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 考点二　求函数的解析式(课堂共研) [典例]　(１)已知f(x＋１)＝x＋２ x,则f(x)＝ 　　　　　　． (２)已知二次函数f(x)满足f(２)＝－１,f(－１) ＝－１,且f(x)的最大值是８,则f(x)的解析式 为　　　　　　． (３)定义在(－１,１)内的函数f(x)满足２f(x)－ f(－x)＝lg(x＋１),则 函 数 f(x)的 解 析 式 为　　　　　　　　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 (３)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 函数解析式的求法 (１)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),便得f(x)的解析式． (２)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函 数、二次函数),可用待定系数法． (３)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式, 可用换元法,此时要注意新元的取值范围． (４)消去法:已知关于f(x)与f １x æ è ç ö ø ÷或f(－x) 的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． [跟踪训练] １．已知f(x)是一次函数,且满足３f(x＋１)－２f(x－ １)＝２x＋１７,则f(x)＝　　　　． ２．已知f ２x＋１ æ è ç ö ø ÷＝lgx,则f(x)的解析式为 　． ３．已知函数f(x)的定义域为(０,＋∞),且f(x)＝ ２f １x æ è ç ö ø ÷􀅰 x－１,则f(x)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　函数的定义域(多维探究) [命题角度１]　求给定函数解析式的定义域 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１]　函数f(x)＝ 　　　　　　 　　　　　　１－|x－１| ax－１ (a＞０且a≠ １)的定义域为　　　　　　　　． [尝试解答]　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　(２０２５􀅰聊城二模)函数f(x)＝１x＋ １－x的定义域是　　　　． [尝试解答]　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [命题角度２]　求抽象函数的定义域 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例３]　已知函数f(x)的定义域为(－１,０),则 函数f(２x＋１)的定义域为 (　　 ) A．(－１,１)　　　　　　　　B．－１,－１２ æ è ç ö ø ÷ C．(－１,０) D．１２ ,１æ è ç ö ø ÷ [尝试解答]　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [互动探究] １．已知函数f(２x＋１)的定义域是(－１,０),则f(x) 的定义域为　　　　． ２．已知f(２x)的定义域是[－１,１],则f(log２x)的 定义域为　　　　． [命题角度３]　已知定义域确定参数问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例４]　若函数f(x)＝ ２x ２ ＋２ax－a－１的定义域 为R,则a的取值范围为　　　． [尝试解答]　　　　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (１)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的 不等式(组)求解． (２)抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复 合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b 求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的 值域． (３)实际问题:既要使构建的函数解析式有意 义,又要考虑实际问题的要求． 提醒:(１)如果所给解析式较复杂,切记不要 化简后再求定义域． (２)所求定义域须用集合或区间表示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点四　分段函数及应用(多维探究) [命题角度]　求函数值、值域(最值) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．设函数f(x)＝ １＋log２(２－x),x＜１, ２x－１,x≥１,{ 则f(－２)＋f(log２１２)＝ (　　 ) A．３ B．６ C．９ D．１２ ２．定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b＝a;当a＜b时, a⊕b＝b２．设函数f(x)＝(１⊕x)x－(２⊕x),x∈ [－２,２],则函数f(x)的值域为　　　　． 　　 分段函数“两种”题型的求解策略 (１)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选 定相应的解析式代入求解． (２)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意 检验所求自变量的值或范围是否符合相应 段的自变量的取值范围． 　提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分 类讨论． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关六 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．借助函数图象,会用符号 语言表达函数的单调性、 最大值、最小值,理解它 们的作用和实际意义． ２．会运用基本初等函数的 图象分析函数的性质 １．函数的单调性的判断或证明,发展 数学抽象和逻辑推理素养． ２．确定函数的单调区间,提升直观想 象和逻辑推理素养． ３．确定函数的最值(值域),发展直观 想象和数学运算素养． ４．函数单调性的应用,发展逻辑推理 和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应 用函数的单调性比较函数值大小、求最 值、求参数的取值(范围)是高考的热 点,多以选择题、填空题的形式出现,难 度不大,属于低中档题型,常与函数的 图象及奇偶性交汇命题;若与导数交汇 命题,则以解答题的形式出现,难度较 大,属于中高档题型．在解答题中常与 恒成立、方程有解等问题综合考查 [必备知识] １．函数的单调性 (１)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于 定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量 的值x１,x２ 当x１＜x２ 时,都有 　　 　 　,那么就说 函数f(x)在区间 D 上是增函数 当x１＜x２ 时,都有 　　 　 　,那么就说 函数f(x)在区间 D 上是减函数 续表 图象 描述 自 左 向 右 看 图 象 是 　　　　 自 左 向 右 看 图 象 是 　　　　 (２)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间 D 上是　　　　或 　　　　,那么就说函数y＝f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,　　　　叫做函数y＝ f(x)的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 第５节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(２)a＝b　(３)a＋b２ 　 ab　２． (１)x＝y　２ p (２)x＝y　s ２ ４ 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．C　２．C　３．C　４．４　５．４ 跃升􀅰关键能力　考点一 [典例]　(１)[解析]　x(４－３x)＝１３ 􀅰(３x)(４－３x) ≤１３ 􀅰 ３x＋(４－３x) ２[ ] ２ ＝４３ , 当且仅当３x＝４－３x,即x＝２３ 时,取等号． [答案]　２３ (２)[解析]　y＝x ２＋２ x－１＝ (x２－２x＋１)＋(２x－２)＋３ x－１ ＝ (x－１)２＋２(x－１)＋３ x－１ ＝(x－１)＋ ３x－１＋２≥２ ３＋２． 当且仅当x－１＝ ３x－１ ,即x＝ ３＋１时,等号成立． [答案]　２ ３＋２ [典例]　[解析]　C　[由lga＋lgb＝lg(a＋b),得lg(ab)＝ lg(a＋b),即ab＝a＋b,则 有 １a ＋ １ b ＝１ ,所 以a＋b＝ １ a＋ １ b( )(a＋b)＝２＋ b a ＋ a b ≥２＋２ b a 􀅰a b ＝４ ,当 且仅当a＝b＝２时等号成立,所以a＋b的最小值为４．] 跟踪训练 １．D　[∵x＞０,y＞０且４x＋y＝xy, ∴１x＋ ４ y＝１ , ∴x＋４y＝(x＋４y) １x＋ ４ y( )＝１７＋ ４x y ＋ ４y x ≥２５ ,当且 仅当x＝y＝５时取等号．] ２．解析:∵a＞０,b＞０,a＋１b＝１ ,∴０＜a＜１,b＞１, ∴a＝１－１b＝ b－１ b ＞０ , ∴b＋１a＝b＋ b b－１＝b－１＋ １ b－１＋２≥ ２ (b－１) １b－１( ) ＋２＝４． 当且仅当 １ b－１＝b－１ ,即b＝２,a＝１２ 时,等号成立． 答案:４ 考点二 [典例]　[解析]　B　[若每批生产x件产品,则每件产品 的生产费用是８００ x 元,仓储费用是x ８ 元,总的费用是８００ x ＋x８≥２ ８００ x 􀅰x ８ ＝２０ ,当且仅当８００ x ＝ x ８ ,即x＝８０ 时取等号．] 跟踪训练 解析:每 台 机 器 运 转 x 年 的 年 平 均 利 润 为yx ＝１８－ x＋２５x( ) ,而x＞０,故 y x ≤１８－２ ２５＝８ ,当且仅当x ＝５ 时 等 号 成 立,此 时 年 平 均 利 润 最 大,最 大 值 为 ８ 万元． 答案:８ 考点三 [典例]　[解析]　(１)因为a＞０,b＞０,a＋b＝２, 所以由 a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ ＝１≥ ab≥ ２ １ a＋ １ b , 得a２＋b２≥２;１a ＋ １ b ≥２ ;ab≤１;即①②③均正确;不 妨令a＝b＝１,则 a＋ b＝２＞ ２,故④错误;综上所述, 恒成立的是①②③． (２)对任意x∈N∗ ,f(x)≥３恒成立,即x ２＋ax＋１１ x＋１ ≥３ 恒成立,即知a≥－ x＋８x( )＋３． 设g(x)＝x＋８x ,x∈N∗ ,则g(２)＝６,g(３)＝１７３． ∵g(２)＞g(３),∴g(x)min＝ １７ ３．∴－ x＋ ８ x( ) ＋３≤ －８３ ,∴a≥－８３ ,故a的取值范围是 －８３ ,＋∞[ )． [答案]　(１)B　(２) －８３ ,＋∞[ ) 跟踪训练 １．C　[当x＞２时,x－２＞０,f(x)＝(x－２)＋ １x－２＋２≥ ２ x－２× １x－２＋２＝４ ,当且仅当x－２＝ １x－２ (x＞２),即x ＝３时取等号,即当f(x)取得最小值时,a＝３．] ２．ABD　[对于 A,a＞０,b＞０,a＋b＝ab,则a＝ bb－１＞０ , 故b＞１,同理可得a＞１,A 正确;对于B,a＞０,b＞０,ab ＝a＋b≥２ ab,∴ab≥４,当且仅当a＝b＝２时取等号, B正确;对于 C,a＞０,b＞０,a＋b＝ab,则 １a ＋ １ b ＝１ ,则 a＋４b＝(a＋４b)􀅰 １a＋ １ b( ) ＝１＋ ４b a ＋ a b ＋４≥５＋ ２ ４＝９,当且仅当 ４b a ＝ a b a＋b＝ab{ ,即a＝３,b＝ ３ ２ 时取等号, C错误;对于 D,由于b＞０,故ba ＋ １ b＝ ab－a a ＋ １ b＝b－ １＋１b≥２－１＝１ ,当且仅当b＝１时取等号,而b＞１,故 b a ＋ １ b＞１ ,D正确．] 第二章　　第１节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．非空数集　非空集合　任意　唯一确定　任意　唯一 确定　A→B　f:A→B　２．(１)定义域　{f(x)|x∈A}　 值域 (２)定义域　对应关系　３．解析法　列表法　４．对应关系 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)√　(４)×　(５)×　(６)× 小题查验 １．B　２．B　３．C　４．[－３,０]∪[２,３]　[１,５]　[１,２)∪ (４,５]　５．３ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．B　[①中当x＞０时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象,②中当x＝x０ 时,y的值有两个, 因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象．] ２．A　[对于 A,g(x)＝|x|,∴f(x)＝g(x),A符合题意; 对于B,f(x)＝|x|,g(x)＝x (x≥０), ∴两函数的定义域不同,B不符合题意; 对于 C,f(x)＝x＋１(x≠１),g(x)＝x＋１, ∴两函数的定义域不同,C不符合题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 对于 D,f(x)＝ x＋１􀅰 x－１(x＋１≥０且x－１≥０), f(x)的定义域为{x|x≥１}, g(x)＝ x２－１(x２－１≥０), g(x)的定义域为{x|x≥１,或x≤－１}． ∴两函数的定义域不同,D不符合题意．] ３．解析:由已知,在函数定义域内,对任意的x都存在着y, 使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互 为相反数,即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于 原点对称时才会满足“美丽函数”的条件． ①中函数的值域为[０,＋∞),值域不关于原点对称,故 ①不符合题意; ②中函数的值域为(－∞,０)∪(０,＋∞),值域关于原点 对称,故②符合题意; ③中函数的值域为(－∞,＋∞),值域关于原点对称,故 ③符合题意; ④中 函 数 的 值 域 为 R,值 域 关 于 原 点 对 称,故 ④ 符 合 题意; ⑤中函数f(x)＝２sinx－１的值域为[－３,１],不关于原 点对称,故⑤不符合题意． 答案:②③④ 考点二 [典例]　[解析]　(１)法一:设t＝ x＋１,则x＝(t－１)２, t≥１,代入原式有f(t)＝(t－１)２＋２(t－１)＝t２－２t＋１ ＋２t－２＝t２－１．故f(x)＝x２－１,x≥１． 法二:∵x＋２ x＝(x)２＋２ x＋１－１ ＝(x＋１)２－１, ∴f(x＋１)＝(x＋１)２－１, x＋１≥１, 即f(x)＝x２－１,x≥１． (２)法一(利用一般式): 设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０)． 由题意得 ４a＋２b＋c＝－１, a－b＋c＝－１, ４ac－b２ ４a ＝８ , ì î í ïï ï 解得 a＝－４, b＝４, c＝７．{ ∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－４x２＋４x＋７． 法二(利用顶点式): 设f(x)＝a(x－m)２＋n． ∵f(２)＝f(－１), ∴抛物线的对称轴为x＝２＋ (－１) ２ ＝ １ ２． ∴m＝１２． 又根据题意函数有最大值８,∴n＝８． ∴y＝f(x)＝a x－１２( ) ２ ＋８． ∵f(２)＝－１,∴a ２－１２( ) ２ ＋８＝－１, 解得a＝－４, ∴f(x)＝－４ x－１２( ) ２ ＋８＝－４x２＋４x＋７． 法三(利用零点式): 由已知f(x)＋１＝０两根为x１＝２,x２＝－１, 故可设f(x)＋１＝a(x－２)(x＋１), 即f(x)＝ax２－ax－２a－１． 又函数有最大值ymax＝８,即 ４a(－２a－１)－a２ ４a ＝８． 解得a＝－４或a＝０(舍)． ∴所求函数的解析式为f(x)＝－４x２＋４x＋７． (３)当x∈(－１,１)时, 有２f(x)－f(－x)＝lg(x＋１)． ① 以－x代替x得,２f(－x)－f(x)＝lg(－x＋１)． ② 由①②消去f(－x),得 f(x)＝２３lg (x＋１)＋１３lg (１－x),x∈(－１,１)． [答案]　(１)x２－１(x≥１) (２)f(x)＝－４x２＋４x＋７ (３)f(x)＝２３lg (x＋１)＋１３lg (１－x),x∈(－１,１) 跟踪训练 １．解析:因为f(x)是一次函数, 可设f(x)＝ax＋b(a≠０), ∴３[a(x＋１)＋b]－２[a(x－１)＋b]＝２x＋１７, 即ax＋(５a＋b)＝２x＋１７, 因此应有 a＝２, ５a＋b＝１７,{ 解得 a＝２, b＝７．{ 故f(x)的解析式是f(x)＝２x＋７． 答案:２x＋７ ２．解析:令２x＋１＝t ,得x＝ ２t－１ , 代入得f(t)＝lg ２t－１ , 又x＞０,所以t＞１, 故f(x)的解析式是f(x)＝lg ２x－１ (x＞１)． 答案:f(x)＝lg ２x－１ (x＞１) ３．解析:在f(x)＝２f １x( ) 􀅰 x－１中,将x换成 １ x , 则得f １x( )＝２f(x)􀅰 １ x －１． 由 f(x)＝２f １x( ) 􀅰 x－１, f １x( )＝２f(x)􀅰 １ x －１ , ì î í ïï ï 解得f(x)＝２３ x＋ １ ３． 答案:２ ３ x＋ １ ３ 考点三 [典例１]　[解析]　由 １－|x－１|≥０ , ax－１≠０,{ 得 ０≤x≤２, x≠０,{ 解得０＜x≤２, 故所求函数的定义域为(０,２]． [答案]　(０,２] [典例２]　[解析]　依题意 x≠０ , １－x≥０,{ 解得x∈(－∞,０) ∪(０,１]． [答案]　(－∞,０)∪(０,１] [典例３][解析]　B　[由函数f(x)的定义域为(－１,０), 则使函数f(２x＋１)有意义,需满足－１＜２x＋１＜０,解得 －１＜x＜－１２ ,即所求函数的定义域为 －１,－１２( )．] 互动探究 １．解析:由 已 知x∈(－１,０),所 以 ２x＋１∈(－１,１),故 f(x)的定义域为(－１,１)． 答案:(－１,１) ２．解析:由已知x∈[－１,１],所以２x∈ １２ ,２[ ] ,故f(x)的 定义域 为 １ ２ ,２[ ] ,所 以 在 函 数y＝f(log２x)中,１２ ≤ log２x≤２,即log２ ２≤log２x≤log２４,所以 ２≤x≤４,故 f(log２x)的定义域为[２,４]． 答案:[２,４] [典例４]　[解析]　因为函数f(x)的定义域为 R,所以 ２x ２＋２ax－a－１≥０对x∈R恒成立,则x２＋２ax－a≥０恒 成立．因此有Δ＝(２a)２＋４a≤０,解得－１≤a≤０,故a的 取值范围为[－１,０]． [答案]　[－１,０] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点四 １．C　[根据分段函数的意义, f(－２)＝１＋log２ (２＋２)＝１＋２＝３．又log２１２＞１, (log２１２－１) ∴f(log２１２)＝２ (log２ １２－１)＝２log２６ ＝６,因 此 f(－２)＋ f(log２１２)＝３＋６＝９．] ２．解析:由题意知,f(x)＝ x－２,x∈[－２,１], x３－２,x∈(１,２],{ 当x∈[－２,１]时,f(x)∈[－４,－１];当x∈(１,２]时, f(x)∈(－１,６]．故当x∈[－２,２]时,f(x)∈[－４,６]． 答案:[－４,６] 第２节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)f(x１)＜f(x２)　f(x１)＞f(x２)　上升的　下降的 (２)增函数　减函数　区间D　２．(１)f(x)≤M (２)f(x０)＝M　(３)f(x)≥M 　(４)f(x０)＝M 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√　(６)√ 小题查验 １．D　２．B　３．A　４．D　５．４３ ,１ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．B　[函数y＝－x＋１在(１,＋∞)上为减函数,A 不符合 题意;y＝ １１－x 在(１,＋∞)上为增函数,B符合题意;y＝ －(x－１)２ 在(１,＋∞)上为减函数,C不符合题意;y＝ ３１－x在(１,＋∞)上为减函数,D不符合题意．] ２．证明:法一(定义法):设－１＜x１＜x２＜１, 则f(x１)－f(x２)＝ ax１ x２１－１ － ax２ x２２－１ ＝ ax１x２２－ax１－ax２x２１＋ax２ (x２１－１)(x２２－１) ＝ a(x２－x１)(x１x２＋１) (x２１－１)(x２２－１) ．∵－１＜x１＜x２＜１, ∴x２－x１＞０,x１x２＋１＞０,(x２１－１)(x２２－１)＞０． 因此当a＞０时,f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２),此 时 函 数 f(x)在 (－１,１)上 为 减 函数． 法二(导数法):f′(x)＝a (x２－１)－２ax２ (x２－１)２ ＝－a (x２＋１) (x２－１)２ ． 又a＞０,所以f′(x)＜０,所以函数f(x)在(－１,１)上为 减函数． 考点二 [典例]　 [解析]　 (１)由 图 象 知 f(x)在 (－ ∞,０]和 １ ２ ,＋∞[ ) 上单调递减,而在 ０,１２[ ] 上单调递增．又０ ＜a＜１时,y＝logax 为(０,＋∞)上的减函数,所以要使 g(x)＝f(logax)单调递减,需要logax∈ ０, １ ２[ ] ,即０≤ logax≤ １ ２ ,解得x∈[a,１]． (２)由于y＝ －x２＋２x＋１,x≥０, －x２－２x＋１,x＜０,{ 即y＝ －(x－１)２＋２,x≥０, －(x＋１)２＋２,x＜０．{ 画出函数图象如图所示,单调递增 区间为(－∞,－１]和[０,１],单调递减区间为[－１,０]和[１, ＋∞)． [答案]　(１)B　(２)(－∞,－１]和[０,１]　[－１,０]和 [１,＋∞) 互动探究 １．解:函数y＝|－x２＋２x＋１|的 图象如图所示． 由 图 象 可 知,函 数 y ＝ |－x２＋２x＋１|的 单调递增 区间为(１－ ２,１)和(１＋ ２, ＋∞);单调递减区间为(－∞, １－ ２)和(１,１＋ ２)． ２．解析:由例(１)解析知,需logax≤０或logax≥ １ ２ ,解得 x≤１或x≥ a,又x＞０,所 以 单 调 递 减 区 间 为(０,１], [a,＋∞)． 跟踪训练 １．B　[g(x) ＝ x２,x＞１, ０,x＝１, －x２,x＜１． { 如图所示,其递减区间是[０,１)．] ２．D　[由x２－２x－８＞０,得函数的 定义 域 为 (－ ∞,－２)∪ (４,＋ ∞)．令t＝x２－２x－８, 则y＝lnt． ∵t＝x２－２x－８＝(x－１)２－９, ∴t＝x２－２x－８的单调增区间为(４,＋∞)． 又y＝lnt是增函数,∴函数f(x)＝ln(x２－２x－８)的单调 增区间为(４,＋∞)．] 考点三 [典例]　[解析]　(１)因为函数f(x)在区间 １２ ,２[ ] 上是 增函数,值域为 １ ２ ,２[ ] ,所以f １２( ) ＝ １ ２ ,f(２)＝２,即 １ a－２＝ １ ２ , １ a－ １ ２＝２ , ì î í ïï ï 解得a＝２５． (２)法一:基本不等式法:f(x)＝x ２＋８ x－１＝ (x－１)２＋２(x－１)＋９ x－１ ＝ (x － １)＋ ９x－１ ＋ ２ ≥ ２ (x－１)􀅰 ９x－１＋２＝８ ,当且仅当x－１＝ ９x－１ ,即x＝ ４时,f(x)min＝８． 法二:导数法:f′(x)＝ (x－４)(x＋２) (x－１)２ , 令f′(x)＝０,得x＝４或x＝－２(舍去)． 当１＜x＜４时,f′(x)＜０,f(x)在(１,４)上单调递减; 当x＞４时,f′(x)＞０,f(x)在(４,＋∞)上单调递增, 所以f(x)在x＝４处达到最小值, 即f(x)min＝f(４)＝８． [答案]　(１)２５　 (２)８ 跟踪训练 １．解析:令t＝ x,则t≥０,所以y＝t－t２＝－ t－１２( ) ２ ＋ １ ４ ,结合二次函数的图象知,当t＝１２ ,即x＝１４ 时,ymax ＝１４． 答案:１ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案