第5节 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

　　　　　　第５节　基本不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a, b≥０)． ２．结合具体实例,能用基本不等式 解决 简 单 的 最 大 值 或 最 小 值 问题 １．利用基本不等式求最值,达成逻辑推理 和数学运算素养． ２．基本不等式的实际应用,发展数学建模 和数学运算素养． ３．基本不等式的综合应用,提升逻辑推理 和数学运算素养 　　利用基本不等式求函数 的最值,不等式的变形,构造 基本不等式的形式,不等式 的证明及利用不等式解决实 际问题等是高考的热点,各 种题型均有可能出现,难度 中等,属于低中档题 [必备知识] １．基本不等式:ab≤a＋b２ ． (１)基本不等式成立的条件:a≥０,b≥０． (２)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号． (３)　　　称为正数a,b的算术平均数,　　　　 称为正数a,b的几何平均数． ２．利用基本不等式求最值 已知x＞０,y＞０,则 (１)如果积xy 是定值p,那么当且仅当　　　　 时,x＋y有最小值是　　　　　　(简记:积定 和最小)． (２)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当　　　　 时,xy有最大值是　　　　　　(简记:和定积 最大)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　几个重要的不等式 (１)a２＋b２≥２ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取 等号． (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时取 等号． (３)a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时取 等号． (４)ba＋ a b ≥２ (a,b同号),当且仅当a＝b时取等 号． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝x＋１x 的最小值是２． (　　 ) (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ 成立的条件是ab＞０． (　　 ) (３)x＞０且y＞０是xy＋ y x≥２ 的充要条件．(　　 ) (４)若a＞０,则a３＋１ a２ 的最小值是２ a．(　　 ) (５)(a＋b)２≥４ab(a,b∈R)． (　　 ) [小题查验] １．设a＞b＞０,下列不等式不正确的是 (　　 ) A．ab＜a ２＋b２ ２ 　　　　　B．ab＜ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ C．２aba＋b＞ ab D．ab＞ ２ab a＋b ２．若实数a,b满足１a＋ ２ b＝ ab ,则ab的最小值为 (　　) A．２ B．２ C．２ ２ D．４ ３．(２０２５􀅰北京卷)已知a＞０,b＞０,则 (　　) A．a２＋b２＞２ab B．１a＋ １ b≥ １ ab C．a＋b＞ ab D．１a＋ １ b≤ ２ ab ４．(２０２５􀅰济南市诊断性考试)若实数x,y满足lgx＋ lgy＝lg(x＋y),则xy的最小值为　　　　． ５．已知a＞０,b＞０,且ab＝１,则１２a＋ １ ２b＋ ８ a＋b 的最 小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) [命题点１]　通过配凑法利用基本不等式 [典例]　(１)已知０＜x＜１,则x(４－３x)取得最大 值时x的值为　　　　． (２)函数y＝x ２＋２ x－１ (x＞１)的最小值为　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 [命题点２]　通过常数代换法利用基本不等式 [典例]　若a＞０,b＞０,lga＋lgb＝lg(a＋b),则a＋b 的最小值为 (　　) A．８ B．６ C．４ D．２ 数学运算———基本不等式应用中的核心素养 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依 据运算法则解决数学问题的过程．主要包括:理 解运算对象,掌 握 运 算 法 则,探 究 运 算 方 向,选 择运算方法,设 计 运 算 程 序,求 得 运 算 结 果 等． 应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运 算的核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算 已 知 条 件 a＞０,b＞０, lga＋lgb ＝lg(a＋b) 由lga＋lgb＝ lg(a＋b), 得 lg (ab)＝ lg(a＋b),即 ab ＝a＋b,则有 １ a＋ １ b＝１ 着眼点一(对数的运算性 质):由lga＋lgb＝lg(a ＋b),得lg(ab)＝lg(a＋ b),即ab＝a＋b． 着眼点二(等式的恒等变 形):由ab＝a＋b,得１a＋ １ b＝１． 续表 求a＋b的 最小值 利用常数“１”代换 的方法,将a＋b 变形 为a＋b＝ １ a＋ １ b( )(a＋b) ＝２＋ba ＋ a b ,再 利用基本不等式 求其最小值 着眼点三(“１”代换):a＋b ＝ １a＋ １ b( )(a＋b)＝ ２＋ba ＋ a b ． 着眼点四(基本不等式的应 用):２＋ ba ＋ a b ≥２＋ ２ ba 􀅰a b ＝４ ,当 且 仅 当 a＝b＝２时等号成立 [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 利用基本不等式求最值的三种常考类型及求解策略 (１)应用基本不等式解题一定要注意应用的前 提:“一正”“二定”“三相等”． (２)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的 特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式． (３)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元 法;二是将条件灵活变形,利用常数“１”代换的 方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本 不等式求最值． [跟踪训练] １．若正实数x,y满足４x＋y＝xy,则x＋４y取最小 值时,y的值为 (　　 ) A．１ B．２ C．３ D．５ ２．(２０２５􀅰上海卷)设a,b＞０,a＋１b＝１ ,则b＋１a 的最小值为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点二　基本不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某车间分批生产某种产品,每批产品的生 产准备费用为８００元,若每批生产x件,则平均 仓储时间为x ８ 天,且每件产品每天的仓储费用为 １元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小,每批应生产产品 (　　 ) A．６０件 B．８０件 C．１００件 D．１２０件 [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 在利用基本不等式解决实际问题时,一定要注 意所涉及变量的取值范围,即定义域．若使基本 不等式等号成立的变量值不在定义域内时,则 要研究函数的单调性,利用单调性求最值． [跟踪训练] 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台 机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与 机器运转时间x(单位:年)的关系为y＝－x２＋１８x －２５(x∈N∗),则该公司年平均利润的最大值是 　　　　万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　基本不等式的综合应用(师生共研) [典例]　(１)若a＞０,b＞０,a＋b＝２,则下列不 等式: ①a２＋b２≥２;②１a＋ １ b≥２ ;③ab≤１;④ a＋ b ≤ ２．恒成立的是 (　　 ) A．①②④　　　　　　　　B．①②③ C．②③④ D．①③④ (２)已知函数f(x)＝x ２＋ax＋１１ x＋１ (a∈R),若对 于任意x∈N∗ ,f(x)≥３恒成立,则a的取值范 围是　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等 式或比较大小 对所给不等式(或式子)变 形,然后利用基本不等式 求解 求 参 数 的 值 或 范围 观察题目特点,利用基本不 等式确定相关成立条件,从 而得参数的值或范围 与函数、数列、解 析几何等其他知 识结合的问题 利用已知条件进行转化,再 利用基本不等式求解 [跟踪训练] １．若函数f(x)＝x＋ １x－２ (x＞２)在x＝a处取最 小值,则a＝ (　　 ) A．１＋ ２ B．１＋ ３ C．３ D．４ ２．(多选题)(２０２５􀅰江西南昌三模)已知a＞０,b＞ ０,a＋b＝ab,则 (　　) A．a＞１且b＞１ B．ab≥４ C．a＋４b≤９ D．ba＋ １ b＞１ 学习至此,请完成配套训练　课时冲关五 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第５节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(２)a＝b　(３)a＋b２ 　 ab　２． (１)x＝y　２ p (２)x＝y　s ２ ４ 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．C　２．C　３．C　４．４　５．４ 跃升􀅰关键能力　考点一 [典例]　(１)[解析]　x(４－３x)＝１３ 􀅰(３x)(４－３x) ≤１３ 􀅰 ３x＋(４－３x) ２[ ] ２ ＝４３ , 当且仅当３x＝４－３x,即x＝２３ 时,取等号． [答案]　２３ (２)[解析]　y＝x ２＋２ x－１＝ (x２－２x＋１)＋(２x－２)＋３ x－１ ＝ (x－１)２＋２(x－１)＋３ x－１ ＝(x－１)＋ ３x－１＋２≥２ ３＋２． 当且仅当x－１＝ ３x－１ ,即x＝ ３＋１时,等号成立． [答案]　２ ３＋２ [典例]　[解析]　C　[由lga＋lgb＝lg(a＋b),得lg(ab)＝ lg(a＋b),即ab＝a＋b,则 有 １a ＋ １ b ＝１ ,所 以a＋b＝ １ a＋ １ b( )(a＋b)＝２＋ b a ＋ a b ≥２＋２ b a 􀅰a b ＝４ ,当 且仅当a＝b＝２时等号成立,所以a＋b的最小值为４．] 跟踪训练 １．D　[∵x＞０,y＞０且４x＋y＝xy, ∴１x＋ ４ y＝１ , ∴x＋４y＝(x＋４y) １x＋ ４ y( )＝１７＋ ４x y ＋ ４y x ≥２５ ,当且 仅当x＝y＝５时取等号．] ２．解析:∵a＞０,b＞０,a＋１b＝１ ,∴０＜a＜１,b＞１, ∴a＝１－１b＝ b－１ b ＞０ , ∴b＋１a＝b＋ b b－１＝b－１＋ １ b－１＋２≥ ２ (b－１) １b－１( ) ＋２＝４． 当且仅当 １ b－１＝b－１ ,即b＝２,a＝１２ 时,等号成立． 答案:４ 考点二 [典例]　[解析]　B　[若每批生产x件产品,则每件产品 的生产费用是８００ x 元,仓储费用是x ８ 元,总的费用是８００ x ＋x８≥２ ８００ x 􀅰x ８ ＝２０ ,当且仅当８００ x ＝ x ８ ,即x＝８０ 时取等号．] 跟踪训练 解析:每 台 机 器 运 转 x 年 的 年 平 均 利 润 为yx ＝１８－ x＋２５x( ) ,而x＞０,故 y x ≤１８－２ ２５＝８ ,当且仅当x ＝５ 时 等 号 成 立,此 时 年 平 均 利 润 最 大,最 大 值 为 ８ 万元． 答案:８ 考点三 [典例]　[解析]　(１)因为a＞０,b＞０,a＋b＝２, 所以由 a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ ＝１≥ ab≥ ２ １ a＋ １ b , 得a２＋b２≥２;１a ＋ １ b ≥２ ;ab≤１;即①②③均正确;不 妨令a＝b＝１,则 a＋ b＝２＞ ２,故④错误;综上所述, 恒成立的是①②③． (２)对任意x∈N∗ ,f(x)≥３恒成立,即x ２＋ax＋１１ x＋１ ≥３ 恒成立,即知a≥－ x＋８x( )＋３． 设g(x)＝x＋８x ,x∈N∗ ,则g(２)＝６,g(３)＝１７３． ∵g(２)＞g(３),∴g(x)min＝ １７ ３．∴－ x＋ ８ x( ) ＋３≤ －８３ ,∴a≥－８３ ,故a的取值范围是 －８３ ,＋∞[ )． [答案]　(１)B　(２) －８３ ,＋∞[ ) 跟踪训练 １．C　[当x＞２时,x－２＞０,f(x)＝(x－２)＋ １x－２＋２≥ ２ x－２× １x－２＋２＝４ ,当且仅当x－２＝ １x－２ (x＞２),即x ＝３时取等号,即当f(x)取得最小值时,a＝３．] ２．ABD　[对于 A,a＞０,b＞０,a＋b＝ab,则a＝ bb－１＞０ , 故b＞１,同理可得a＞１,A 正确;对于B,a＞０,b＞０,ab ＝a＋b≥２ ab,∴ab≥４,当且仅当a＝b＝２时取等号, B正确;对于 C,a＞０,b＞０,a＋b＝ab,则 １a ＋ １ b ＝１ ,则 a＋４b＝(a＋４b)􀅰 １a＋ １ b( ) ＝１＋ ４b a ＋ a b ＋４≥５＋ ２ ４＝９,当且仅当 ４b a ＝ a b a＋b＝ab{ ,即a＝３,b＝ ３ ２ 时取等号, C错误;对于 D,由于b＞０,故ba ＋ １ b＝ ab－a a ＋ １ b＝b－ １＋１b≥２－１＝１ ,当且仅当b＝１时取等号,而b＞１,故 b a ＋ １ b＞１ ,D正确．] 第二章　　第１节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．非空数集　非空集合　任意　唯一确定　任意　唯一 确定　A→B　f:A→B　２．(１)定义域　{f(x)|x∈A}　 值域 (２)定义域　对应关系　３．解析法　列表法　４．对应关系 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)√　(４)×　(５)×　(６)× 小题查验 １．B　２．B　３．C　４．[－３,０]∪[２,３]　[１,５]　[１,２)∪ (４,５]　５．３ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．B　[①中当x＞０时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象,②中当x＝x０ 时,y的值有两个, 因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象．] ２．A　[对于 A,g(x)＝|x|,∴f(x)＝g(x),A符合题意; 对于B,f(x)＝|x|,g(x)＝x (x≥０), ∴两函数的定义域不同,B不符合题意; 对于 C,f(x)＝x＋１(x≠１),g(x)＝x＋１, ∴两函数的定义域不同,C不符合题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案